2023年12月16日发(作者：诸葛闵)

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z的共轭复数为z，若复数z满足iz12i，则下列说法正确的是（A．z的虚部为iC．z5B．z对应的点在第二象限D．z2i））2．如图，在四边形ABCD中，DC2AB,BE2EC，设DCa，DAb，则DE等于（51A．ab6251C．ab6321B．ab322r1rD．a+b333．已知直线l1:2xy0，直线l2:xay30，若l1//l2，则l1与l2的距离为（A．455）B．355C．755D．655222224．若圆C1:x2xy4y40与圆C2:(x2)(y2)r(r0)恰有一条公切线，则r（）A．4B．6C．4或6D．8）5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（A．若mn，m，n，则B．若m//n，m//，n//，则//C．若mn，m//，，则nD．若m//n，m，，则n//，先后抛掷两次，将得到的点数分别记6．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）a2m3,n1b，1,1的夹角为，则为钝角的概率是（为m，n，记向量A．）518B．13C．13361D．1136

7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为平行四边形，EF//面ABCD，记该刍甍的体积为V1，三棱锥EABD的体积为V2，AB=a，EFb，若V22b，则（V15a）A．1B．21C．13D．238．锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足ccosBb1cosC且ABC的面积S1，则acbabc的取值范围是（A．424,4）B．4,424D．4,4343424,C．3二、多选题9．近日，华为在美国商务部长雷蒙多访问中国之际发布了备受瞩目的新款手机Mate60pro，该手机采用了自主国产芯片麒麟9000s，这标志着华为成功冲破了美国的限制和封锁.芯片的突破，鼓舞了中国全社会.现甲，乙两人准备各买一部手机，购买华为手机的概率分别为0.8，0.9，购买黑色手机的概率分别为0.7，0.5，若甲，乙两人购买哪款手机互相独立，则（）A．甲，乙两人恰有一人购买华为手机的概率为0.26B．甲购买了华为手机，但不是黑色的概率为0.24C．甲，乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3D．甲，乙至少有一人购买黑色华为手机的概率为0.75810．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a3（A．若三角形ABC的面积为13，则sinBsinC22π3）B．若ABC仅有一解，则b0,3C．若bc3a，则ABC为直角三角形32

D．若BC边上的中线AD长为11，则三角形ABC的面积为3211．圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理，经过圆内一点引两条弦被这点所分成的两线段长的积相等，已知圆的半径为5，点P是圆O内的一定点，且OP3，过点P引两条弦AC，BD，则下列说法正确的是（）A．PAPC为定值B．OBOD的取值范围为25,7C．当ACBD时，如图以O为原点，OP为x轴，则AB中点M的轨迹方程为x2y23x80D．当ACBD时，四边形ABCD面积的最大值为4012．已知四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（）3

A．侧棱CC1上一点E，满足C1E1，则A1B//平面AD1EC1C3B．若E为CC1的中点，过A，D1，E的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3:51C．DABB1DCDA12D．设DB1与面AD1C的交点为O，则DO2OB11三、填空题13．若直线l过点0,2且在两坐标轴上的截距之差为3，则直线l的一般式方程为.14．已知向量ax,1,2，b1,y,1，c2,4,2，若a，b，c互不共线，且a，b，c共面，则x可以为.15．已知直线l:mxy3m10与圆x2y24交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则梯形ABDC面积为.16．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，A1D11，AB2，M为D1B上一动点，N为AB上一动点，则2A1M2MN的最小值为.4

四、解答题17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC90，AA1AB.(1)D为棱BC上一点，证明：AB1A1D(2)在棱B1C1中是否存在一点E，使得AB1//面A1EC，若存在，指出E点位置，并证明.若不存在，说明理由.18．（1）写出点Px0,y0到直线l:AxByC0（A,B不全为零）的距离公式;（2）当Px0,y0不在直线l上，证明Px0,y0到直线l:AxByC0AB0距离公式.（3）在空间解析几何中，若平面的方程为：AxByCzD0（A,B,C不全为零），点Px0,y0,z0，试写出点P到面的距离公式（不要求证明）0，B4，0，CD4，AB//CD，AB与CD的距离为6.19．如图，等腰梯形ABCD中，A4，5

(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程;(2)已知直线x2ym0与圆E相交于M，N两点，若MAN60，求实数m的值.20．某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过kGB(一种流量计算单位)的部分按0.8元/GB收费，超过kGB的部分按2元/GB收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为31.(1)求表中的n;(2)若k为整数，依据本次调查为使85%以上用户在该月的流量价格为0.8元/GB，则k至少定为多少?(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在20,30和30,40两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知20,30组用户平均年龄为30，方差为36，流量在30,40组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.6

21．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，AD//BC，侧面PAB面ABCD，PAABAD2，BC4，E为PD的中点.(1)求证：面PBC面PDC；(2)若二面角PADB的大小为60，求BE与面PBC所成角的正弦值；(3)若平面PDC与平面PAB所成的锐二面角大小为60，求四棱锥PABCD的体积.22．如图，在平面直角坐标系中，P为直线y4上一动点，圆O:x2y24与x轴的交点分别为M,N点，圆O与y轴的交点分别为S,T点.(1)若△MTP为等腰三角形，求P点坐标;(2)若直线PT,PS分别交圆O于A,B两点.①求证：直线AB过定点，并求出定点坐标;②求四边形ASBT面积的最大值.7

2023年12月16日发(作者：诸葛闵)

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z的共轭复数为z，若复数z满足iz12i，则下列说法正确的是（A．z的虚部为iC．z5B．z对应的点在第二象限D．z2i））2．如图，在四边形ABCD中，DC2AB,BE2EC，设DCa，DAb，则DE等于（51A．ab6251C．ab6321B．ab322r1rD．a+b333．已知直线l1:2xy0，直线l2:xay30，若l1//l2，则l1与l2的距离为（A．455）B．355C．755D．655222224．若圆C1:x2xy4y40与圆C2:(x2)(y2)r(r0)恰有一条公切线，则r（）A．4B．6C．4或6D．8）5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（A．若mn，m，n，则B．若m//n，m//，n//，则//C．若mn，m//，，则nD．若m//n，m，，则n//，先后抛掷两次，将得到的点数分别记6．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）a2m3,n1b，1,1的夹角为，则为钝角的概率是（为m，n，记向量A．）518B．13C．13361D．1136

7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为平行四边形，EF//面ABCD，记该刍甍的体积为V1，三棱锥EABD的体积为V2，AB=a，EFb，若V22b，则（V15a）A．1B．21C．13D．238．锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足ccosBb1cosC且ABC的面积S1，则acbabc的取值范围是（A．424,4）B．4,424D．4,4343424,C．3二、多选题9．近日，华为在美国商务部长雷蒙多访问中国之际发布了备受瞩目的新款手机Mate60pro，该手机采用了自主国产芯片麒麟9000s，这标志着华为成功冲破了美国的限制和封锁.芯片的突破，鼓舞了中国全社会.现甲，乙两人准备各买一部手机，购买华为手机的概率分别为0.8，0.9，购买黑色手机的概率分别为0.7，0.5，若甲，乙两人购买哪款手机互相独立，则（）A．甲，乙两人恰有一人购买华为手机的概率为0.26B．甲购买了华为手机，但不是黑色的概率为0.24C．甲，乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3D．甲，乙至少有一人购买黑色华为手机的概率为0.75810．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a3（A．若三角形ABC的面积为13，则sinBsinC22π3）B．若ABC仅有一解，则b0,3C．若bc3a，则ABC为直角三角形32

D．若BC边上的中线AD长为11，则三角形ABC的面积为3211．圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理，经过圆内一点引两条弦被这点所分成的两线段长的积相等，已知圆的半径为5，点P是圆O内的一定点，且OP3，过点P引两条弦AC，BD，则下列说法正确的是（）A．PAPC为定值B．OBOD的取值范围为25,7C．当ACBD时，如图以O为原点，OP为x轴，则AB中点M的轨迹方程为x2y23x80D．当ACBD时，四边形ABCD面积的最大值为4012．已知四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（）3

A．侧棱CC1上一点E，满足C1E1，则A1B//平面AD1EC1C3B．若E为CC1的中点，过A，D1，E的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3:51C．DABB1DCDA12D．设DB1与面AD1C的交点为O，则DO2OB11三、填空题13．若直线l过点0,2且在两坐标轴上的截距之差为3，则直线l的一般式方程为.14．已知向量ax,1,2，b1,y,1，c2,4,2，若a，b，c互不共线，且a，b，c共面，则x可以为.15．已知直线l:mxy3m10与圆x2y24交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB2，则梯形ABDC面积为.16．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，A1D11，AB2，M为D1B上一动点，N为AB上一动点，则2A1M2MN的最小值为.4

四、解答题17．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC90，AA1AB.(1)D为棱BC上一点，证明：AB1A1D(2)在棱B1C1中是否存在一点E，使得AB1//面A1EC，若存在，指出E点位置，并证明.若不存在，说明理由.18．（1）写出点Px0,y0到直线l:AxByC0（A,B不全为零）的距离公式;（2）当Px0,y0不在直线l上，证明Px0,y0到直线l:AxByC0AB0距离公式.（3）在空间解析几何中，若平面的方程为：AxByCzD0（A,B,C不全为零），点Px0,y0,z0，试写出点P到面的距离公式（不要求证明）0，B4，0，CD4，AB//CD，AB与CD的距离为6.19．如图，等腰梯形ABCD中，A4，5

(1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程;(2)已知直线x2ym0与圆E相交于M，N两点，若MAN60，求实数m的值.20．某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过kGB(一种流量计算单位)的部分按0.8元/GB收费，超过kGB的部分按2元/GB收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图.已知用户月使用流量的中位数为31.(1)求表中的n;(2)若k为整数，依据本次调查为使85%以上用户在该月的流量价格为0.8元/GB，则k至少定为多少?(3)为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在20,30和30,40两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知20,30组用户平均年龄为30，方差为36，流量在30,40组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差.6

21．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD，AD//BC，侧面PAB面ABCD，PAABAD2，BC4，E为PD的中点.(1)求证：面PBC面PDC；(2)若二面角PADB的大小为60，求BE与面PBC所成角的正弦值；(3)若平面PDC与平面PAB所成的锐二面角大小为60，求四棱锥PABCD的体积.22．如图，在平面直角坐标系中，P为直线y4上一动点，圆O:x2y24与x轴的交点分别为M,N点，圆O与y轴的交点分别为S,T点.(1)若△MTP为等腰三角形，求P点坐标;(2)若直线PT,PS分别交圆O于A,B两点.①求证：直线AB过定点，并求出定点坐标;②求四边形ASBT面积的最大值.7