2023年12月16日发(作者：零飞翔)

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实践教学

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兰州理工大学

计算机与通信学院

2012年春季学期

数学模型与数学软件

课程综合训练

题 目： 手机“套餐”优惠几何

专业班级：

姓 名：

学 号：

指导教师：

成 绩：

摘 要

在问题（一）中，分别用不同的分段函数表述了北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”的资费计算方法，并分析说明了上述套餐方案更适应于哪种用户。在问题（二）中，综合套餐设置专家的有关论述，提出了套餐资费方案评价的七条准则。并根据数据的统计，给出这些准则在套餐方案评价中的权重，以此建立代数模型，给出北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”的加权平均值，对它们进行了定量化的评价和比较，得出了上海“全球通68套餐比北京全球通“畅听99套餐”更优，北京全球通“畅听99套餐”比全球通现行标准资费更优的结果。还根据两个套餐和现行资费标准的设置，建立了两个线性模型，举例计算了两个套餐分别比原方案的优惠值。在问题（三）中，我们分析评价了北京移动全球通“被叫全免费计划方案”，认为该方案是一种退步的方案，此结论与有关权威论文的结论相符。在问题（四）中，根据有关专家的论文，我们提炼出了设计手机资费方案的五个因素，并根据完全竞争与垄断竞争两个不同市场分别建立不同的计量经济模型，根据全国部分全球通套餐数据表，建立统计回归模型，得到了套餐方案运营商的收入降低不超过10%的条件下一个更合理的套餐方案模型，即全球通“49套餐”方案。

关键词：手机资费套餐 分析评价 加权平均 价格弹性 计量经济

1

一、 前言

手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，而手机资费问题一直是人们关心的热点问题。手机“套餐”的花样琳琅满目，面对眼花缭乱的业务套餐，消费者无所适从，同时运营商们有时也并不知道哪些套餐真正符合客户的需求，哪些套餐真正能给运营商自身带来收益。

通过参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球同68套餐”方案，需要分析说明以下四个问题：（1）这两种“套餐”方案的资费计算方法，针对不同通话量需求的用户，说明各种“套餐”方案所适用的用户群；（2）提出我们对各种资费方案的评价准则和方法，并对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较并给出评价；（3）评价“被叫全免费计划”方案；（4）给出设计全球通手机的资费方案的考虑因素，并用数学建模的方法设计一个“套餐”方案。

二、 问题的陈述

2.1 问题的提出

手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化，但2007年1月以来，北京、上海 “手机单向收费方案”等各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目。这就使人们要问：手机“套餐”究竟优惠几何？

现参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型研究以下问题：

（1）考虑北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户。

（2）提出对各种资费方案的评价准则和方法，用于对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。

（3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。又如何评价这个方案，并说明理由。

（4）如果移动公司聘请我们帮助设计一个全球通手机的资费方案，我们会考虑哪些因素？根据我们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，用数学建模方法设计一个我们认为合理的“套餐”方案。

2.2 问题分析

本问题的难点在于对各种资费方案的评价分析及构建套餐模型。资费套餐应包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。移动运营商通过不同层次的资费套餐，可以向用户提供不同口味的消费方案，从而提高用户的满意度。

在问题（1）中，由附件（2）可知北京、上海推出的两种套餐方案以及中国移动公司现行的资费情况，发现前两者都具有不同档次的资费套餐，故我们试图建立分段函数模型对两种资费计算方法进行描述，从适应人群方面考虑我们利用高端、中端、低端客户对价格变动的反应不同这一特点给予说明；问题（2）中，我们考虑中端用户数量庞大，且是话费来源的主体，如果不能确定他们的价格弹性需求，会对移动运营商的收入造成很大影响，所以我们采用价格弹性模型对其进行分析、评价。而在考虑到对各种资2

费套餐的优惠比较方面，我们认为应对该问题进行定量化分析，运用加权平均模型求出三个套餐资费的加权总分，以此对之做比较。问题（3）在评价北京推出的一种新资费套餐标准时，主要针对收费方面，我们将其与北京全球通“畅听99套餐”和北京全球通现行资费标准进行综合比较，并加以一定的文字说明得出对这个资费套餐的评价；问题（4）考虑到资费套餐的设计既要方便用户理解和选择，从而吸引用户积极参与，又要在用户不经意当中实现运营商自己的设计目标。而又在综合考虑个人通话时间、移动运营商现有的普通资费水平、竞争对手的资费水平上等因素的基础上，拟建立计量经济模型对其给予求解。

三、 符号说明

1. ARPU：每用户每月平均创造的收入；

2. MOU：每用户每月平均通话时长；

3. 高端用户：既包括商业人士、白领高管人员、工程师、律师、新闻记者等群体(他们的支付能力较强，通信业务量需求较高，移动性大)，也包括年青科技人员、大学生等时尚一族(他们通信业务量需求并不很高，支付能力也不强，但喜爱玩电脑、常使用手机新业务) ；

4. 中端用户：包括城市每月通信业务量需求一般多在本地移动的月收入低于2 000元的工薪阶层、靠社保的退休职工以及没有收入的中小学生和家庭妇女，他们的支付能力不强，希望每月的信息通信消费在100元左右；还包括乡村的富裕农民、牧民、渔民等；

5. 低端用户：主要包括乡村每月通信业务量需求很低多在本地移动的农民，也包括城市的月收入低于1 000元的打工族。低端市场用户的支付能力很差，只当确有必要时才打电话，必然是冷买冷用。

四、 模型的建立与求解

4.1 问题一的模型：

4.1.1 模型假设

（1）“畅听99套餐“所包含的免费被叫通话是指北京全球通客户在本地接听的所有来话（接听12590*、12586*、13800****00的通话除外），客户漫游至外地的被叫不包含在内。拨打12590*、12586*、12588、13800****00、12530、12121的通话分钟数，不计入主叫免费时间内；

（2）套餐资费过程中，通话时间不足一分钟时按一分钟计费；

（3）所有用户分为高端、中端、低端三类用户；

4.1.2 参数说明

Yi：上海全球通“68套餐”、北京全球通“畅听99套餐”各套餐用户的月总资费（元）（i=1、2）

h0：上海全球通“68套餐”用户IP长途通话时间（分钟）

h1：上海全球通“68套餐”用户月本地通话时间（分钟）

t1：北京全球通“畅听99套餐”用户月本地主叫通话时间（分钟）

t0：北京全球通“畅听99套餐”IP长途通话时间（分钟）

3

：北京全球通“畅听99套餐”GPRS流量费（0.03元/KB）

k：北京全球通“畅听99套餐”用户月所用彩信条数（条）

：中国移动彩信通用价格（0.5元/条）

x0：北京全球通“畅听99套餐”数据业务流量（KB）

4.1.3 模型的建立

参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，我们得出上海、北京各“套餐”方案的资费计算方法，用分段函数表示如下：

对上海移动公司“全球通“68”套餐”方案：

（1）、不考虑长途资费的情况：

(0h1360)68　　　　　　　　　　　　680.18h1360　　　 （360h1694）　　128　　　　　　　　　　 （694h800）1„„„„„„„„„„„(1)

Y11280.16h800　　　（800h1175）11188　　　　　　　　　　　　(1175h11200)1880.13h11200　　　(h11200)（2）、考虑长途资费的情况：

0.3　h0　　　　　　　 (0h1360)68　+　0.3　h0　　 （360h1694）　　680.18h1360　+　128　　+　0.3h0　　　　　　　　 （694h1800）„„„„„„„(2)

Y10.3　h0　　（800h11175）1280.16h1800　+　188　+　0.3　h0　　　　　　　　　 (1175h11200)0.3　h0　　(h11200)1880.13h11200　+　对北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案：

（1）、不考虑数据流量业务的情况：

990.1t0　　　　　　　　　　 (0t1280)　　990.35t12800.1t0　　　 （280t1395）1390.1t　　　　　　　　　　 (395t560)011390.25t15600.1t0　　　（560t1800）„„„„„„„„(3)

Y21990.1t0　　　　　　　　　　（800t11000）1990.2t10000.1t　　　（1000t1500）1012990.1t0　　　　　　　　　　（1500t1２000）2990.15t120000.1t0　　　(t12000)（2）、考虑数据流量业务的情况：

4

990.1t0　　　　　　　　　　 (0t1280，x010240)　　990.35t12800.1t0+(x0-10240) （280t1395,x010240）1390.1t　　　　　　　　　　 (395t560,k25,x10240)0101390.25t15600.1t0　

Y2　+(x0-10240)+(k-25) 　　　　　 （560t1800,k25,x010240）（4）1990.1t　　　　　　　　　　 （800t1000,x102450）0101990.2t110000.1t0+(x0-102450)（1000t11500,x0102450）2990.1t0　　　　　　　　　　 （1500t12000,x0102450）2990.15t20000.1t+(x-102450)(t2000,x102450)100104.1.4 模型的求解

资费套餐应主要针对不同用户群的本地通话费来考虑，因为本地话费是所有用户都会发生的，并且它是话费结构中的主体。

根据上海移动公司“全球通68套餐”方案所列出的分段函数模型，我们运用MATLAB编写程序（一）得到以下图形：

图1 上海用户通话时间与总资费关系图

从上图中可以看出，如把通话时间段分为低端用户、中端用户、高端用户，那么在此种套餐资费中：

A、若每月通话时间低于694分钟，适合用月基本费为68元的方案。

B、若每月通话时间在694到1175分钟之间，适合用月基本费为128元的方案。

C、若每月通话时间高于1175分钟，适合用月基本费为188元的方案。

同理，根据北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案所列的分段函数模型，我们运用MATLAB编写程序（二）得到以下图形：

5

图2 北京用户通话时间与总资费关系图

从上图中可以看出，如把通话时间段分为低端用户、中端用户、高端用户，那么在此种套餐资费中：

A、若每月通话时间低于395分钟，适合用月基本费为99元的方案。

B、若每月通话时间在395到1500分钟之间，适合用月基本费为139元或者199的方案。

C、若每月通话时间高于1500分钟，适合用月基本费为299元的方案。

4.2 问题一的模型：

4.2.1 模型假设

（1）所有用户对通信需求的弹性大小、价格承受能力等是不同的；

（2）在资费套餐设计中，高端用户“按需使用”、低端用户“按额度使用”；

（3）套餐资费过程中，通话时间不足一分钟时按一分钟计费；

4.2.2 参数说明

i： 第i条套餐评价指标的水平分值 (i=1、27)

i： 第i条套餐评价指标的水平分值的权重 (i=1、27)

m： 中国移动全球通、中国移动神州行月本地主叫通话时间（分钟）

n： 中国移动全球通、中国移动神州行IP长途所用的时间（分钟）

Zi： 中国移动全球通、中国移动神州行各套餐用户的月总资费（元）（i=1、2）

Q： 中端用户对各种套餐话费的需求量（分钟）

p： 中端用户对各种套餐话费的价格（元）

p： 中端用户对各种套餐话费的需求弹性

： 中端用户对各种套餐话费的需求量在t时间内的变化率

： 中端用户对各种套餐资费的价格在t时间内的变化率

4.2.3 模型的建立与求解

根据套餐制定专家的几篇论文（见[3]），总结出评价套餐设置七条标准：我们站在运营商的角度考虑，各种资费套餐还应该实现以下的指标：

第一、从企业追求目标来看，实施各种资费套餐方案后，通过激活0次用户和鼓励6

现有用户多打电话，使移动运营商的话费总收入大于实施前的话费总收入。

第二、从客户关系管理来看，通过设置不同资费套餐下的超时惩罚性费率，提高在网用户的稳定性，使不同细分市场下的用户自发地流向移动运营商为其设定的位置；

第三、从调整用户结构来看，利用资费套餐的刚性特点，淘汰一部分0次用户，减缓企业ARPU值和MOU的下降速度。

第四、从客户忠诚度管理来看，实行对大客户倾斜的政策，提高大客户的忠诚度；

第五、从竞争策略的角度来看，通过资费套餐可以提高移动运营商在价格竞争方面的能力；

第六、从市场可操作性来看，成功的资费套餐方案应在提高移动运营商收入的同时，为客户创造足够的额外价值和消费满意。

第七、从资费套餐的实施来看，不仅要求在理论上可行，而且也必须经过市场的检验，即征求用户对资费套餐的意见和态度，了解用户对资费套餐可能的反应，包括理解上的难易程度、优惠的吸引力大小、价格的需求弹性、申请手续的简便性等等，从而推断资费套餐可能的市场前景，并最终判断资费套餐在经济上的可行性和市场价值。如果资费套餐的市场价值过低（参加人数不足），赢利的可能性和增长性较小（赢利不足以抵扣宣传推广费用），也许就需要对资费套餐进行重新调整。因此，实施资费套餐前市场调研是非常必要的。

由以上套餐的七条标准，我们引入以下两个向量：

1,2,3,4,5,6,7水平分值向量：。

T1,2,3,4,5,6,7权重向量是：。

其中1是上述吸引客户的能力水平分值，即第一条标准的水平分值；

2是客户对网户稳定性及区间归档能力分值，即第二条的水平分值；

类推，i是第i条的水平分值 (i=37)。

我们考察了套餐对市场的影响，确定120.10、0.17、0.18、0.10、0.11。

34567分别为0.2、0.14、1,2,3,4,5,6,7

T0.20,0.14,0.10,0.17,0.18,0.10,0.111,2,3,4,5,6,7T

加权总分数学模型（一）：

11223344556677„„„„„„„(5)

我们针对“99套餐”“68套餐”和全球通的套餐设置模式以及相关资料得出“99套餐”的

990.300.400.300.300.250.250.35680.400.250.200.250.350.300.20全0.200.300.450.100.150.200.40

对其进行归一化处理：

7

990.140.180.140.140.120.120.16680.200.130.100.130.180.160.10各套餐加权总分数学模型：

9911223344556677

6811223344556677„„„„„„„(6)

全11223344556677

对其进行加权平均计算，分别得到3个全球通套餐的加权总分分别为：

680.1497

990.1422

全0.1310

根据如上加权平均，说明按照专家公认的七条标准，应该是上海全球通“68套餐”优于北京全球通“畅听99套餐”，北京全球通“畅听99套餐”优于中国移动全球通现行的资费标准。

综上所述，上海全球通“68套餐”方案的优势在于吸引客户的能力强、价格竞争方面的能力较强、市场可操作性较强；

北京全球通“畅听99套餐”方案的优势在于在网用户的稳定性强、大客户的忠诚度较高。

已有不少文章指出（见[3]）所有用户对通信需求的弹性大小、价格承受能力等是不同的，因而资费价格下调对客户通话量和话费支出的影响，主要受制于不同类型客户对通信需求的弹性大小和价格承受能力。即低端、中端、高端用户对价格变动的反应是不同的：

第一、高端用户由于已经实现“按需使用”，因而资费调整对其增加通话量影响较小。

第二、低端用户由于将话费支出固定在月收入的某一个比例上，即“按额度使用”，所以资费政策调整对其话费总支出的影响不大。

第三、中端用户由于具有较大的成长性，是高端资费套餐应积极争取的人群，但如果这个群体总的需求弹性小于1，那么，在这一人群中实行资费套餐，将造成移动运营商总收入的减少。

dpdQ即此我们根据附件（一）数据，计算边际需求dt、边际价格dt导出销量对价格的弹性需求模型为：



全0.110.160.240.060.090.120.22

dQdtdQ„„„„„„„„„„„„„„„„„（7）

dpdpdtEQpdQ„„„„„„„„„„„„„„„„（8）

EpQdp中端用户对各种套餐话费的需求弹性为p，即：

8

dQEQpdQQp„„„„„„„„„„„„（9）

dpEpQdpp1当p，为缺乏弹性，说明中端用户对各种套餐话费的需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时降价将使运营商的总收益减少，提价将使运营商的总收益增加。

1当p，为单位弹性，说明中端用户对各种套餐话费的需求变动的幅度与价格变动的幅度相同，此时提价或者降价对运营商的总收益没有明显影响。

1当p，为富有弹性，说明中端用户对各种套餐话费的需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时降价将使运营商的总收益增加，提价将使运营商的总收益减少。

我们用以上弹性分析映证了[3]中的结论：“中端用户具有较大的成长性，是高端资费套餐应积极争取的人群，但如果这个群体总的需求弹性小于1，那么，在这一人群中实行资费套餐，将造成移动运营商总收入的减少”。 并且以此来参与确定上面加权分值。

以下我们再来比较北京全球通“畅听99套餐”方案、上海“全球通68套餐”方案究竟比全球通、神州行在中国移动现行资费标准中的优惠几何。对于全球通每月份的资费标准中我们只考虑月基本费、本地主被叫通话时间、IP长途费。对此建立模型二：

Z1500.4m(0.40.3)n　　 （10）

对于神州行每月份的资费标准中我们只考虑本地主被叫通话时间、IP长途费。建立模型为：

m(0.60.n　3 )（11）

Z20.6

只考虑用户主叫，对此我们将北京全球通“畅听99套餐”方案、上海“全球通68套餐”方案分别与以上中国移动现行的资费标准（全球通、神州行）在长话与市话相同情况下进行比较：

假设各套餐一个月长话通话时间均为80分钟，市话通话时间均为200分钟，那么各套餐总资费计算如下表：

表1 三种套餐总资费

北京“畅听99” 中国移动全球通 中国移动神州行

107元 186元 192元

上海“68套餐” 中国移动全球通 中国移动神州行

92元 186元 192元

北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”分别相对于中国移动全球通、中国移动神州行优惠多少计算如下表：

表2 北京、上海用户不同套餐总资费

中国移动全球通 中国移动神州行

北京全球通“畅79元 85元

听99套餐”

上海“全球通94元 100元

68套餐”

9

从上面两个表中我们可以初步判定上海“68套餐”相比与其它三种资费套餐更实惠，故站在套餐用户方面来说，该资费方案为最可取。

4.3 问题三的分析与评价：

评价方案与理由的说明

北京移动公司推出所谓的单向收费计划套餐,相比于北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案和北京全球通现行资费标准都有所退步。从三个方面进行分析：

第一方面：假如现在使用的是全球通“畅听99套餐”（99元的月基本费），赠送280分钟的本地免费主叫通话时间，另加免费流量。而“被叫全免计划”为50元的月租，拨打电话是0.4元/分钟。将“被叫全免计划”和全球通“畅听99套餐”相比较：

2800.450162元99元

远远超过99套餐，所以我们认为“被叫全免计划”方案是退步的。

第二方面：用之与中国移动现行的资费标准比较，我们发现单向收费计划套餐在以要求入网用户至少在网一年换取被叫免费，从该方面考虑我们认为单向收费计划套餐与现行的资费标准基本持平。因为中移现行的全球通资费标准月租也是50元，主、被叫当地都为0.4元每分钟；而现推出的单向收费计划套餐虽然是被叫不要钱，但在网一年的费用就与现行标准的被叫一年的费用相差无几；所以我们认为二者基本持平。

第三方面：对于运营商而言，实行单向收费计划套餐，并要求入网用户至少在网一年，主要目的是把消费者锁定，靠牢。从中获得更大的利润，这样做是退步的。其实运营商该以最优的服务来替代用户在网一年，这样才是获得利润最长远的方法，也使用户自愿的锁定，靠牢真正单向的收费计划套餐。

综观以上三个方面所述，我们认为单向收费计划套餐整体是退步的。

4.4 问题四的模型：

4.4.1 模型假设

(1). 每部手机只能办理一种套餐业务；

(2). 套餐资费过程中，通话时间不足一分钟时按一分钟计费；

(3). 各档套餐包含的本地主叫免费通话时间当月有效，不累计到下月；

(4). 只考虑中国移动全球通新套餐本地主叫资费；

4.4.2 参数说明

y: 中国移动全球通新套餐月基本费（元）

x1x2：中国移动全球通新套餐免费通话时间（分钟）

：中国移动全球通新套餐超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）

w:中国移动全球通新套餐用户本地主叫通话时间（分钟）

（i1、25）：计量经济模型回归系数

：随机误差

4.4.3 模型的建立

资费套餐的设计需要考虑的因素：（除了资费套餐本身）

i第一、资费套餐应主要是针对不同用户群的本地通话费来进行设计，因为本地话费是所有用户都会发生的，并且它是话费结构中的主体；

第二、资费套餐的设计应该在一开始主要针对低端用户和高端用户，而不要涉及中10

端用户，因为中端用户数量庞大，且是话费来源的主体，如果不能确定他们的价格需求弹性，会对移动运营商的收入造成很大影响；

第三、资费套餐设计应打破全球通、神州行及地方品牌的界限，实行统一的资费政策，从而为实现各个品牌的重新整合创造条件；

第四、资费套餐也应该结合用户通话时间的分布规律，分别设计忙时和闲时的通话费率，以影响和调节用户的通话行为，实现网络资源的合理利用；

第五、资费套餐的设计应该兼顾当地联通公司的资费套餐和小灵通的资费水平，从而使移动运营商的资费套餐计划更具竞争力。

套餐设计的基本原理：

根据用户通话量的分布，确定几档用户通话量比较集中的通话时间长度点，将这些通话长度点作为套餐的主要构成部分之一：免费通话时长，并规定该时长的月租费。在给定移动资费水平的条件下，由于通话时长与通话费用存在一一对应的关系，也可先确定通话费用比较集中的几个点作为月租费，并规定该费用下的免费通话时长。当然，免费通话时长和超出的通话费率的确定，依赖于移动运营市场的有效程度。

根据设计原理我们对移动通信的市场进行两个方面的考虑：

一、完全竞争的移动通信市场

在完全竞争的移动通信市场中，满足现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的情况下：

套餐资费主要包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。

在完全竞争的移动运营市场上，资费套餐中的月租费是用来支付所赠的免费分钟数成本，运营商的利润源自额外通话费率。但在目前现实的中国移动通信运营市场中，由于存在垄断因素，普通的、现有的资费费率是由国家制定；因此，在资费套餐的费率设计中，依据的标准是现行的资费水平而不是通话成本

套餐资费主要包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。

设移动通话月租费为F元，免费通话时长为G分钟，话费成本为B元/分钟，超出的通话时间是T分钟，超出的移动通话费率是C元/分钟，利润为P元/分钟，那么：

免费通话时长=月租费/话费成本

GF/B„„„„„„„„„„„„„„„（12）

利润=收入 —成本

PCTBT„„„„„„„„„„„„„„（13）

通话时间T与超出的话费率C之间呈反相关关系，我们利用T和C之间的关系建立不同的计量经济模型。假设T和C之间存在以下函数关系：

Tab(1/C)„„„„„„„„„„„„„（14）

把此式代入上式，可得：

P(CB)(ab(1/C))„„„„„„„„„„（15）

并令P对C的导数为零，可得：

CBba„„„„„„„„„„„„„„„（16）

11

利用以上模型，若已知a、b、B值，便可以得出C，即可以确定实现利润最大化下的超出的移动通话费率。

但目前中国移动运营市场处于非完全竞争状态，资费由国家参照市场情况制定。因此，作为一种过渡性质的移动资费套餐，其免费通话时长和超出的通话费率不能按照上述市场模式确定。

二、垄断竞争的移动通信市场

在垄断竞争的移动通信市场中，满足现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的情况下资费套餐的设计遵循二大原则：

（1）、资费套餐必须有其坚实的市场细分基础，即针对不同话费档次的用户推出不同类型的套餐。

（2）、在设计方案时，注意保持几个套餐之间的相互衔接。好的套餐组合会使得任何一个客户在一段时期内只会认为某一个套餐更符合自己的要求，不会在套餐中间转来转去；即以用量换取单位价格的便宜。

资费套餐包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。通过网上查得全国部分城市中移全球通资费套餐数据如下表示：

表3 全国部分城市中移全球通资费套餐数据

月基本费 免费通话时超出套餐部月基本费 免费通话时超出套餐（元） 间（分钟） 分本地主叫（元） 间（分钟） 部分本地资费（元/主叫资费分钟） （元/分钟）

58 150 0.4 300 830 0.36

158 450 0.35 500 1550 0.32

258 800 0.32 800 2900 0.28

358 1200 0.3 1200 5000 0.24

458 1800 0.25 50 0 0.4

99 280 0.35 88 300 0.4

139 560 0.25 128 500 0.4

199 1000 0.2 168 700 0.4

299 2000 0.15 268 1100 0.4

68 180 0.18 388 1700 0.4

128 400 0.16 568 2600 0.4

188 600 0.13 288 3700 0.4

我们研究发现以上三者之间存在着某种关系，即后两者的变化会引起前者变化。故在此引入计量经济模型求解，模型如下：

y01x12x23x1x24x125x22　　　　　（17）

4．4、4、模型的求解

利用MATLAB编写程序（三），得到交互式画面如下图：

12

图3 交互式画面

以及回归系数的估计值：

表4 回归系数的估计值

604.6

3

4615.3

4

0

6

7367.8

1

2

置信区间如下表：

4

5

0

表5 置信区间

0

1131　-78

51987123

4

10

1476832

1

01

2

5

0

故完全二次多项式模型如下：

y604.64615.3x14x26x1x27367.8x12„„„„„„„（18）

根据此模型，我们可以设计出很多全球通套餐类型。比如我们在此随机取出三个套餐类型组合成一种全球通“49”套餐，如下表：

表6 随机全球通“49”套餐

月基本费（元） 免费通话时间（分超出套餐部分本地主钟） 叫资费（元/分钟）

49 150 0.4

89 400 0.4

189 960 0.15

13

即此对随机所设计的全球通“49”套餐从分段方面考虑，式子如下：

49　　　　　　　w150150w250490.4w150　　　　　　250w40089Y„„„„„„„„„„„„（19）

890.4w400400w650189　　　　　　650w9601890.15w960w960根据我们设计的全球通“49”套餐方案所列出的分段函数，我们运用MATLAB编写程序（五）得到以下图形：

图4 新套餐用户通话时间与总资费关系图

从上图中可以看出，若把通话时间段分为低端用户、中端用户、高端用户，那么在此种套餐资费中：

A、 若每月通话时间低于250分钟，适合用月基本费为49元的方案。

B、 若每月通话时间在250到650分钟之间，适合用月基本费为89元的方案。

C、 若每月通话时间高于650分钟，适合用月基本费为299元的方案。

我们所设计的全球通“49”套餐和全球通“畅听99”、“68”套餐方案相比，主要从它们的通话时间和需要的套餐费分析，结果如下：

（1）、当每个月的通话时间最多250分钟，在此以250分钟计算，结果如下表所示：

表7 两种套餐对比A

北京全球通上海全球通新全球通“99”套餐 “68”套餐 “49”套餐

99元 68元 89元

（2）、当每个月的通话时间在250到650分钟之间，在此以400分钟计算，结果如下表所示：

14

表8 两种套餐对比B

北京全球通上海全球通新全球通“99”套餐 “68”套餐 “49”套餐

139元 75.2元 89元

（3）、当每个月的通话时间高于650低于1175分钟或高于1175分钟，在此以915分钟计算，结果如下表所示：

表9两种套餐对比C

北京全球通上海全球通新全球通“99”套餐 “68”套餐 “49”套餐

199元 145.6元 189元

综上分析，我们所设计的全球通“49”套餐相比北京全球通“畅听99”套餐更实惠，但与全球通“68”套餐相比而言则有所退步。因为资费套餐中的月租费是用来支付所赠的免费分钟数资费，运营商的利润源自额外通话费率。在设计中现有的“套餐方案中运营商的收入降低不超过10%，即此我们从北京全球通“畅听99”套餐和上海全球通“68”套餐中的收入在超出后的本地通话资费中的最低通话费率考虑，我们所设计的方案完全符合运营商的收入降低不超过10%。 所以我们的方案是有效可行、进步的。

五、 模型的评价与改进

5.1、模型评价：

模型在较多的评价、分析的同时，给出了明确的数据关系，使评价更加具有说服力。思路清晰，结构简单。问题（一）的模型给出了上海、北京各“套餐”方案的资费计算方法，为分段函数模型，使问题简单化，也使用户 “套餐”的选择更加明确；问题（二）的模型给出各种资费方案的评价准则和方法。并进行了定量化处理及进行了简单的弹性分析，还在通过数据查证、数据收集后，计算了套餐比原有的现行标准资费的优惠值。问题（三）中的套餐两两比较分析方法，充分证实了该种套餐方案的退步。其思路一目了然。问题（四）我们设计了一个全球通“49”套餐，模型设计程序通俗易懂，与现有套餐比，更具有市场竞争力。但模型也存在一些不足，比如：问题（四）中未考虑IP资费、数据业务、漫游情况等，难免会对模型产生误差。

5.2、模型推广：

1、附件（一）中数据指出：2006年中国移动短信业务量4296.7亿条，增长41.0%。据此可以将移动短信业务添加到套餐方案的制定中，使套餐方案更为完善。

2、模型稍加修改，可以运用到银行存款的业务操作中。

15

六、 参考文献

[1] 姜启源, 谢金星, 叶俊, 数学模型(第二版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2003.

[2] 谢云荪, 张志让, 张光澄, 数学实验[M], 北京: 科学出版社，1999.

[3] 百度百科, 神州行大众卡,

/view/ (2012/6/24)

[4] 百度知道, 关于彩信的详细资料

/question/?si=9 (2012/6/24)

[5] 营销评论网 赵先华, 中国移动通信产品价位策略思考

/htmlnews/2006/07/24/884539_ (2012/6/26)

[6] 搜狐网Ann, 全球通“被叫免费计划”在作秀?

/20070524/n250203262_ (2012/6/24)

[7] 随身数码 中国移动, 免费不免费?细看GPRS收费标准

/Article/mobile/news/ (2012/6/26)

[8] 胡良剑, 孙晓君, MATLAB数学实验[M], 北京: 高等教育出版社，2006.

[9] 姜启源, 数学建模[M], 北京: 高等教育出版社，2009.

七、 课程总结

本文是在已有的报告或者文献资料上，根据提供的数据经过分析，得到了大量的理论和具有实际意义的结果；然后在给定的理想的假设条件下给出结论，某些结论在现实生活中可能是难以实现的；再通过切实的结合实际情况，对计算的结果加以修正，然后在放到实践中检验其可能性；虽然最后给出了具体的“套餐”资费，但是并没有给出详细与清晰的数据分析，所以我们的模型还需要理论和实践方面的进一步改进。

这次长达两周的数学建模综合训练在我看来，与其说数学建模是一门课程，倒不如说是对大学所学的许多其它课程的一个综合。它着眼于实际问题，通过一些合理的假设，以建立对现实问题的数学模型，并做出合理的解答。它涉及到许多领域的知识，并有很强的背景性，因此综合性很强，需要将所学的各门课程结合起来并加以运用，才能很好地对问题加以解决。在学习这门课程的过程中，让我最感兴趣的就是其将我们学过的知识真正运用到解决实际问题的过程中，例如运筹学，概率与统计，数学分析，高等代数，数值计算等，尽管有时建出的模型存在这样或那样的问题而可操作性不强，但至少使我知道了怎样将所学的知识运用到实际的问题中，增强了解决实际问题的能力。同时，也增强了我在文献检索等各个方面的能力。

在这里也要感谢数学建模的两位老师，是他们使我在此次数学建模的过程中不断进步，使我学到了很多，并使我成熟了很多。

16

附件

程序一：

clc;clear

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x y

x1=0:360;

x2=360:694;

x3=694:800;

x4=800:1175;

x5=1175:1200;

x6=1200:1500;

y1=68;

y2=68+0.18*(x2-360);

y3=128;

y4=128+0.16*(x4-800);

y5=188;

y6=188+0.13*(x6-1200);

plot(x1,y1)

hold on

plot(x2,y2)

hold on

plot(x3,y3)

hold on

plot(x4,y4)

hold on

plot(x5,y5)

hold on

plot(x6,y6)

xlabel('上海本地通话时间（分）')

ylabel('上海各套餐用户月总资费（元）')

程序二：

clc;clear

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x y

x1=0:280;

x2=280:395;

x3=395:560;

x4=560:800;

x5=800:1000;

x6=1000:1500;

x7=1500:2000;

x8=2000:3000

y1=99;

y2=99+0.35*(x2-280);

y3=139;

17

y4=139+0.25*(x4-560);

y5=199;

y6=199+0.2*(x6-1000);

y7=299;

y8=299+0.15*(x8-2000)

plot(x1,y1)

hold on

plot(x2,y2)

hold on

plot(x3,y3)

hold on

plot(x4,y4)

hold on

plot(x5,y5)

hold on

plot(x6,y6)

hold on

plot(x7,y7)

hold on

plot(x8,y8)

xlabel('北京本地通话时间（分）')

ylabel('北京各套餐用户月总资费（元）')

程序三：

x1=[0.4 0.35 0.32 0.3 0.25 0.35 0.25 0.2 0.15 0.18 0.16 0.13 0.36 0.32 0.28

0.24 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4];

x2=[150 450 800 1200 1800 280 560 1000 2000 180 400 600 830 1550 2900 5000

0 300 500 700 1100 1700 2600 3700];

y=[58 158 258 358 458 99 139 199 299 68 128 188 300 500 800 1200 50 88 128

168 268 388 568 288]';

x=[ones(24,1),x1',x2'];

x(:,1)=[];

rstool(x,y,'purequadratic')

程序四：

x1=[0.4 0.35 0.32 0.3 0.25 0.35 0.25 0.2 0.15 0.18 0.16 0.13 0.36 0.32 0.28

0.24 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4];

x2=[150 450 800 1200 1800 280 560 1000 2000 180 400 600 830 1550 2900 5000

0 300 500 700 1100 1700 2600 3700];

x3=x1.*x2 ;

x4=x1.^2;

x5=x2.^2;

y=[58 158 258 358 458 99 139 199 299 68 128 188 300 500 800 1200 50 88 128

168 268 388 568 288]';

18

x=[ones(24,1),x1',x2',x3',x4',x5'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)

程序五：

clc;clear

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x y

x1=0:150;

x2=150:250;

x3=250:400;

x4=400:650;

x5=650:960;

x6=960:1500;

y1=49;

y2=49+0.4*(x2-150);

y3=89;

y4=89+0.4*(x4-400);

y5=189;

y6=189+0.15*(x6-960);

plot(x1,y1)

hold on

plot(x2,y2)

hold on

plot(x3,y3)

hold on

plot(x4,y4)

hold on

plot(x5,y5)

hold on

plot(x6,y6)

hold on

xlabel('新套餐用户月本地通话时间（分）')

ylabel('新套餐用户月总资费（元）')

19

2023年12月16日发(作者：零飞翔)

*******************

实践教学

*******************

兰州理工大学

计算机与通信学院

2012年春季学期

数学模型与数学软件

课程综合训练

题 目： 手机“套餐”优惠几何

专业班级：

姓 名：

学 号：

指导教师：

成 绩：

摘 要

在问题（一）中，分别用不同的分段函数表述了北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”的资费计算方法，并分析说明了上述套餐方案更适应于哪种用户。在问题（二）中，综合套餐设置专家的有关论述，提出了套餐资费方案评价的七条准则。并根据数据的统计，给出这些准则在套餐方案评价中的权重，以此建立代数模型，给出北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”的加权平均值，对它们进行了定量化的评价和比较，得出了上海“全球通68套餐比北京全球通“畅听99套餐”更优，北京全球通“畅听99套餐”比全球通现行标准资费更优的结果。还根据两个套餐和现行资费标准的设置，建立了两个线性模型，举例计算了两个套餐分别比原方案的优惠值。在问题（三）中，我们分析评价了北京移动全球通“被叫全免费计划方案”，认为该方案是一种退步的方案，此结论与有关权威论文的结论相符。在问题（四）中，根据有关专家的论文，我们提炼出了设计手机资费方案的五个因素，并根据完全竞争与垄断竞争两个不同市场分别建立不同的计量经济模型，根据全国部分全球通套餐数据表，建立统计回归模型，得到了套餐方案运营商的收入降低不超过10%的条件下一个更合理的套餐方案模型，即全球通“49套餐”方案。

关键词：手机资费套餐 分析评价 加权平均 价格弹性 计量经济

1

一、 前言

手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，而手机资费问题一直是人们关心的热点问题。手机“套餐”的花样琳琅满目，面对眼花缭乱的业务套餐，消费者无所适从，同时运营商们有时也并不知道哪些套餐真正符合客户的需求，哪些套餐真正能给运营商自身带来收益。

通过参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球同68套餐”方案，需要分析说明以下四个问题：（1）这两种“套餐”方案的资费计算方法，针对不同通话量需求的用户，说明各种“套餐”方案所适用的用户群；（2）提出我们对各种资费方案的评价准则和方法，并对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较并给出评价；（3）评价“被叫全免费计划”方案；（4）给出设计全球通手机的资费方案的考虑因素，并用数学建模的方法设计一个“套餐”方案。

二、 问题的陈述

2.1 问题的提出

手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化，但2007年1月以来，北京、上海 “手机单向收费方案”等各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目。这就使人们要问：手机“套餐”究竟优惠几何？

现参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案（见附件2），建立数学模型研究以下问题：

（1）考虑北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户。

（2）提出对各种资费方案的评价准则和方法，用于对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。

（3）北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。又如何评价这个方案，并说明理由。

（4）如果移动公司聘请我们帮助设计一个全球通手机的资费方案，我们会考虑哪些因素？根据我们的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下，用数学建模方法设计一个我们认为合理的“套餐”方案。

2.2 问题分析

本问题的难点在于对各种资费方案的评价分析及构建套餐模型。资费套餐应包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。移动运营商通过不同层次的资费套餐，可以向用户提供不同口味的消费方案，从而提高用户的满意度。

在问题（1）中，由附件（2）可知北京、上海推出的两种套餐方案以及中国移动公司现行的资费情况，发现前两者都具有不同档次的资费套餐，故我们试图建立分段函数模型对两种资费计算方法进行描述，从适应人群方面考虑我们利用高端、中端、低端客户对价格变动的反应不同这一特点给予说明；问题（2）中，我们考虑中端用户数量庞大，且是话费来源的主体，如果不能确定他们的价格弹性需求，会对移动运营商的收入造成很大影响，所以我们采用价格弹性模型对其进行分析、评价。而在考虑到对各种资2

费套餐的优惠比较方面，我们认为应对该问题进行定量化分析，运用加权平均模型求出三个套餐资费的加权总分，以此对之做比较。问题（3）在评价北京推出的一种新资费套餐标准时，主要针对收费方面，我们将其与北京全球通“畅听99套餐”和北京全球通现行资费标准进行综合比较，并加以一定的文字说明得出对这个资费套餐的评价；问题（4）考虑到资费套餐的设计既要方便用户理解和选择，从而吸引用户积极参与，又要在用户不经意当中实现运营商自己的设计目标。而又在综合考虑个人通话时间、移动运营商现有的普通资费水平、竞争对手的资费水平上等因素的基础上，拟建立计量经济模型对其给予求解。

三、 符号说明

1. ARPU：每用户每月平均创造的收入；

2. MOU：每用户每月平均通话时长；

3. 高端用户：既包括商业人士、白领高管人员、工程师、律师、新闻记者等群体(他们的支付能力较强，通信业务量需求较高，移动性大)，也包括年青科技人员、大学生等时尚一族(他们通信业务量需求并不很高，支付能力也不强，但喜爱玩电脑、常使用手机新业务) ；

4. 中端用户：包括城市每月通信业务量需求一般多在本地移动的月收入低于2 000元的工薪阶层、靠社保的退休职工以及没有收入的中小学生和家庭妇女，他们的支付能力不强，希望每月的信息通信消费在100元左右；还包括乡村的富裕农民、牧民、渔民等；

5. 低端用户：主要包括乡村每月通信业务量需求很低多在本地移动的农民，也包括城市的月收入低于1 000元的打工族。低端市场用户的支付能力很差，只当确有必要时才打电话，必然是冷买冷用。

四、 模型的建立与求解

4.1 问题一的模型：

4.1.1 模型假设

（1）“畅听99套餐“所包含的免费被叫通话是指北京全球通客户在本地接听的所有来话（接听12590*、12586*、13800****00的通话除外），客户漫游至外地的被叫不包含在内。拨打12590*、12586*、12588、13800****00、12530、12121的通话分钟数，不计入主叫免费时间内；

（2）套餐资费过程中，通话时间不足一分钟时按一分钟计费；

（3）所有用户分为高端、中端、低端三类用户；

4.1.2 参数说明

Yi：上海全球通“68套餐”、北京全球通“畅听99套餐”各套餐用户的月总资费（元）（i=1、2）

h0：上海全球通“68套餐”用户IP长途通话时间（分钟）

h1：上海全球通“68套餐”用户月本地通话时间（分钟）

t1：北京全球通“畅听99套餐”用户月本地主叫通话时间（分钟）

t0：北京全球通“畅听99套餐”IP长途通话时间（分钟）

3

：北京全球通“畅听99套餐”GPRS流量费（0.03元/KB）

k：北京全球通“畅听99套餐”用户月所用彩信条数（条）

：中国移动彩信通用价格（0.5元/条）

x0：北京全球通“畅听99套餐”数据业务流量（KB）

4.1.3 模型的建立

参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，我们得出上海、北京各“套餐”方案的资费计算方法，用分段函数表示如下：

对上海移动公司“全球通“68”套餐”方案：

（1）、不考虑长途资费的情况：

(0h1360)68　　　　　　　　　　　　680.18h1360　　　 （360h1694）　　128　　　　　　　　　　 （694h800）1„„„„„„„„„„„(1)

Y11280.16h800　　　（800h1175）11188　　　　　　　　　　　　(1175h11200)1880.13h11200　　　(h11200)（2）、考虑长途资费的情况：

0.3　h0　　　　　　　 (0h1360)68　+　0.3　h0　　 （360h1694）　　680.18h1360　+　128　　+　0.3h0　　　　　　　　 （694h1800）„„„„„„„(2)

Y10.3　h0　　（800h11175）1280.16h1800　+　188　+　0.3　h0　　　　　　　　　 (1175h11200)0.3　h0　　(h11200)1880.13h11200　+　对北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案：

（1）、不考虑数据流量业务的情况：

990.1t0　　　　　　　　　　 (0t1280)　　990.35t12800.1t0　　　 （280t1395）1390.1t　　　　　　　　　　 (395t560)011390.25t15600.1t0　　　（560t1800）„„„„„„„„(3)

Y21990.1t0　　　　　　　　　　（800t11000）1990.2t10000.1t　　　（1000t1500）1012990.1t0　　　　　　　　　　（1500t1２000）2990.15t120000.1t0　　　(t12000)（2）、考虑数据流量业务的情况：

4

990.1t0　　　　　　　　　　 (0t1280，x010240)　　990.35t12800.1t0+(x0-10240) （280t1395,x010240）1390.1t　　　　　　　　　　 (395t560,k25,x10240)0101390.25t15600.1t0　

Y2　+(x0-10240)+(k-25) 　　　　　 （560t1800,k25,x010240）（4）1990.1t　　　　　　　　　　 （800t1000,x102450）0101990.2t110000.1t0+(x0-102450)（1000t11500,x0102450）2990.1t0　　　　　　　　　　 （1500t12000,x0102450）2990.15t20000.1t+(x-102450)(t2000,x102450)100104.1.4 模型的求解

资费套餐应主要针对不同用户群的本地通话费来考虑，因为本地话费是所有用户都会发生的，并且它是话费结构中的主体。

根据上海移动公司“全球通68套餐”方案所列出的分段函数模型，我们运用MATLAB编写程序（一）得到以下图形：

图1 上海用户通话时间与总资费关系图

从上图中可以看出，如把通话时间段分为低端用户、中端用户、高端用户，那么在此种套餐资费中：

A、若每月通话时间低于694分钟，适合用月基本费为68元的方案。

B、若每月通话时间在694到1175分钟之间，适合用月基本费为128元的方案。

C、若每月通话时间高于1175分钟，适合用月基本费为188元的方案。

同理，根据北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案所列的分段函数模型，我们运用MATLAB编写程序（二）得到以下图形：

5

图2 北京用户通话时间与总资费关系图

从上图中可以看出，如把通话时间段分为低端用户、中端用户、高端用户，那么在此种套餐资费中：

A、若每月通话时间低于395分钟，适合用月基本费为99元的方案。

B、若每月通话时间在395到1500分钟之间，适合用月基本费为139元或者199的方案。

C、若每月通话时间高于1500分钟，适合用月基本费为299元的方案。

4.2 问题一的模型：

4.2.1 模型假设

（1）所有用户对通信需求的弹性大小、价格承受能力等是不同的；

（2）在资费套餐设计中，高端用户“按需使用”、低端用户“按额度使用”；

（3）套餐资费过程中，通话时间不足一分钟时按一分钟计费；

4.2.2 参数说明

i： 第i条套餐评价指标的水平分值 (i=1、27)

i： 第i条套餐评价指标的水平分值的权重 (i=1、27)

m： 中国移动全球通、中国移动神州行月本地主叫通话时间（分钟）

n： 中国移动全球通、中国移动神州行IP长途所用的时间（分钟）

Zi： 中国移动全球通、中国移动神州行各套餐用户的月总资费（元）（i=1、2）

Q： 中端用户对各种套餐话费的需求量（分钟）

p： 中端用户对各种套餐话费的价格（元）

p： 中端用户对各种套餐话费的需求弹性

： 中端用户对各种套餐话费的需求量在t时间内的变化率

： 中端用户对各种套餐资费的价格在t时间内的变化率

4.2.3 模型的建立与求解

根据套餐制定专家的几篇论文（见[3]），总结出评价套餐设置七条标准：我们站在运营商的角度考虑，各种资费套餐还应该实现以下的指标：

第一、从企业追求目标来看，实施各种资费套餐方案后，通过激活0次用户和鼓励6

现有用户多打电话，使移动运营商的话费总收入大于实施前的话费总收入。

第二、从客户关系管理来看，通过设置不同资费套餐下的超时惩罚性费率，提高在网用户的稳定性，使不同细分市场下的用户自发地流向移动运营商为其设定的位置；

第三、从调整用户结构来看，利用资费套餐的刚性特点，淘汰一部分0次用户，减缓企业ARPU值和MOU的下降速度。

第四、从客户忠诚度管理来看，实行对大客户倾斜的政策，提高大客户的忠诚度；

第五、从竞争策略的角度来看，通过资费套餐可以提高移动运营商在价格竞争方面的能力；

第六、从市场可操作性来看，成功的资费套餐方案应在提高移动运营商收入的同时，为客户创造足够的额外价值和消费满意。

第七、从资费套餐的实施来看，不仅要求在理论上可行，而且也必须经过市场的检验，即征求用户对资费套餐的意见和态度，了解用户对资费套餐可能的反应，包括理解上的难易程度、优惠的吸引力大小、价格的需求弹性、申请手续的简便性等等，从而推断资费套餐可能的市场前景，并最终判断资费套餐在经济上的可行性和市场价值。如果资费套餐的市场价值过低（参加人数不足），赢利的可能性和增长性较小（赢利不足以抵扣宣传推广费用），也许就需要对资费套餐进行重新调整。因此，实施资费套餐前市场调研是非常必要的。

由以上套餐的七条标准，我们引入以下两个向量：

1,2,3,4,5,6,7水平分值向量：。

T1,2,3,4,5,6,7权重向量是：。

其中1是上述吸引客户的能力水平分值，即第一条标准的水平分值；

2是客户对网户稳定性及区间归档能力分值，即第二条的水平分值；

类推，i是第i条的水平分值 (i=37)。

我们考察了套餐对市场的影响，确定120.10、0.17、0.18、0.10、0.11。

34567分别为0.2、0.14、1,2,3,4,5,6,7

T0.20,0.14,0.10,0.17,0.18,0.10,0.111,2,3,4,5,6,7T

加权总分数学模型（一）：

11223344556677„„„„„„„(5)

我们针对“99套餐”“68套餐”和全球通的套餐设置模式以及相关资料得出“99套餐”的

990.300.400.300.300.250.250.35680.400.250.200.250.350.300.20全0.200.300.450.100.150.200.40

对其进行归一化处理：

7

990.140.180.140.140.120.120.16680.200.130.100.130.180.160.10各套餐加权总分数学模型：

9911223344556677

6811223344556677„„„„„„„(6)

全11223344556677

对其进行加权平均计算，分别得到3个全球通套餐的加权总分分别为：

680.1497

990.1422

全0.1310

根据如上加权平均，说明按照专家公认的七条标准，应该是上海全球通“68套餐”优于北京全球通“畅听99套餐”，北京全球通“畅听99套餐”优于中国移动全球通现行的资费标准。

综上所述，上海全球通“68套餐”方案的优势在于吸引客户的能力强、价格竞争方面的能力较强、市场可操作性较强；

北京全球通“畅听99套餐”方案的优势在于在网用户的稳定性强、大客户的忠诚度较高。

已有不少文章指出（见[3]）所有用户对通信需求的弹性大小、价格承受能力等是不同的，因而资费价格下调对客户通话量和话费支出的影响，主要受制于不同类型客户对通信需求的弹性大小和价格承受能力。即低端、中端、高端用户对价格变动的反应是不同的：

第一、高端用户由于已经实现“按需使用”，因而资费调整对其增加通话量影响较小。

第二、低端用户由于将话费支出固定在月收入的某一个比例上，即“按额度使用”，所以资费政策调整对其话费总支出的影响不大。

第三、中端用户由于具有较大的成长性，是高端资费套餐应积极争取的人群，但如果这个群体总的需求弹性小于1，那么，在这一人群中实行资费套餐，将造成移动运营商总收入的减少。

dpdQ即此我们根据附件（一）数据，计算边际需求dt、边际价格dt导出销量对价格的弹性需求模型为：



全0.110.160.240.060.090.120.22

dQdtdQ„„„„„„„„„„„„„„„„„（7）

dpdpdtEQpdQ„„„„„„„„„„„„„„„„（8）

EpQdp中端用户对各种套餐话费的需求弹性为p，即：

8

dQEQpdQQp„„„„„„„„„„„„（9）

dpEpQdpp1当p，为缺乏弹性，说明中端用户对各种套餐话费的需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时降价将使运营商的总收益减少，提价将使运营商的总收益增加。

1当p，为单位弹性，说明中端用户对各种套餐话费的需求变动的幅度与价格变动的幅度相同，此时提价或者降价对运营商的总收益没有明显影响。

1当p，为富有弹性，说明中端用户对各种套餐话费的需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时降价将使运营商的总收益增加，提价将使运营商的总收益减少。

我们用以上弹性分析映证了[3]中的结论：“中端用户具有较大的成长性，是高端资费套餐应积极争取的人群，但如果这个群体总的需求弹性小于1，那么，在这一人群中实行资费套餐，将造成移动运营商总收入的减少”。 并且以此来参与确定上面加权分值。

以下我们再来比较北京全球通“畅听99套餐”方案、上海“全球通68套餐”方案究竟比全球通、神州行在中国移动现行资费标准中的优惠几何。对于全球通每月份的资费标准中我们只考虑月基本费、本地主被叫通话时间、IP长途费。对此建立模型二：

Z1500.4m(0.40.3)n　　 （10）

对于神州行每月份的资费标准中我们只考虑本地主被叫通话时间、IP长途费。建立模型为：

m(0.60.n　3 )（11）

Z20.6

只考虑用户主叫，对此我们将北京全球通“畅听99套餐”方案、上海“全球通68套餐”方案分别与以上中国移动现行的资费标准（全球通、神州行）在长话与市话相同情况下进行比较：

假设各套餐一个月长话通话时间均为80分钟，市话通话时间均为200分钟，那么各套餐总资费计算如下表：

表1 三种套餐总资费

北京“畅听99” 中国移动全球通 中国移动神州行

107元 186元 192元

上海“68套餐” 中国移动全球通 中国移动神州行

92元 186元 192元

北京全球通“畅听99套餐”、上海“全球通68套餐”分别相对于中国移动全球通、中国移动神州行优惠多少计算如下表：

表2 北京、上海用户不同套餐总资费

中国移动全球通 中国移动神州行

北京全球通“畅79元 85元

听99套餐”

上海“全球通94元 100元

68套餐”

9

从上面两个表中我们可以初步判定上海“68套餐”相比与其它三种资费套餐更实惠，故站在套餐用户方面来说，该资费方案为最可取。

4.3 问题三的分析与评价：

评价方案与理由的说明

北京移动公司推出所谓的单向收费计划套餐,相比于北京移动公司全球通“畅听99套餐”方案和北京全球通现行资费标准都有所退步。从三个方面进行分析：

第一方面：假如现在使用的是全球通“畅听99套餐”（99元的月基本费），赠送280分钟的本地免费主叫通话时间，另加免费流量。而“被叫全免计划”为50元的月租，拨打电话是0.4元/分钟。将“被叫全免计划”和全球通“畅听99套餐”相比较：

2800.450162元99元

远远超过99套餐，所以我们认为“被叫全免计划”方案是退步的。

第二方面：用之与中国移动现行的资费标准比较，我们发现单向收费计划套餐在以要求入网用户至少在网一年换取被叫免费，从该方面考虑我们认为单向收费计划套餐与现行的资费标准基本持平。因为中移现行的全球通资费标准月租也是50元，主、被叫当地都为0.4元每分钟；而现推出的单向收费计划套餐虽然是被叫不要钱，但在网一年的费用就与现行标准的被叫一年的费用相差无几；所以我们认为二者基本持平。

第三方面：对于运营商而言，实行单向收费计划套餐，并要求入网用户至少在网一年，主要目的是把消费者锁定，靠牢。从中获得更大的利润，这样做是退步的。其实运营商该以最优的服务来替代用户在网一年，这样才是获得利润最长远的方法，也使用户自愿的锁定，靠牢真正单向的收费计划套餐。

综观以上三个方面所述，我们认为单向收费计划套餐整体是退步的。

4.4 问题四的模型：

4.4.1 模型假设

(1). 每部手机只能办理一种套餐业务；

(2). 套餐资费过程中，通话时间不足一分钟时按一分钟计费；

(3). 各档套餐包含的本地主叫免费通话时间当月有效，不累计到下月；

(4). 只考虑中国移动全球通新套餐本地主叫资费；

4.4.2 参数说明

y: 中国移动全球通新套餐月基本费（元）

x1x2：中国移动全球通新套餐免费通话时间（分钟）

：中国移动全球通新套餐超出套餐部分本地主叫资费（元/分钟）

w:中国移动全球通新套餐用户本地主叫通话时间（分钟）

（i1、25）：计量经济模型回归系数

：随机误差

4.4.3 模型的建立

资费套餐的设计需要考虑的因素：（除了资费套餐本身）

i第一、资费套餐应主要是针对不同用户群的本地通话费来进行设计，因为本地话费是所有用户都会发生的，并且它是话费结构中的主体；

第二、资费套餐的设计应该在一开始主要针对低端用户和高端用户，而不要涉及中10

端用户，因为中端用户数量庞大，且是话费来源的主体，如果不能确定他们的价格需求弹性，会对移动运营商的收入造成很大影响；

第三、资费套餐设计应打破全球通、神州行及地方品牌的界限，实行统一的资费政策，从而为实现各个品牌的重新整合创造条件；

第四、资费套餐也应该结合用户通话时间的分布规律，分别设计忙时和闲时的通话费率，以影响和调节用户的通话行为，实现网络资源的合理利用；

第五、资费套餐的设计应该兼顾当地联通公司的资费套餐和小灵通的资费水平，从而使移动运营商的资费套餐计划更具竞争力。

套餐设计的基本原理：

根据用户通话量的分布，确定几档用户通话量比较集中的通话时间长度点，将这些通话长度点作为套餐的主要构成部分之一：免费通话时长，并规定该时长的月租费。在给定移动资费水平的条件下，由于通话时长与通话费用存在一一对应的关系，也可先确定通话费用比较集中的几个点作为月租费，并规定该费用下的免费通话时长。当然，免费通话时长和超出的通话费率的确定，依赖于移动运营市场的有效程度。

根据设计原理我们对移动通信的市场进行两个方面的考虑：

一、完全竞争的移动通信市场

在完全竞争的移动通信市场中，满足现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的情况下：

套餐资费主要包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。

在完全竞争的移动运营市场上，资费套餐中的月租费是用来支付所赠的免费分钟数成本，运营商的利润源自额外通话费率。但在目前现实的中国移动通信运营市场中，由于存在垄断因素，普通的、现有的资费费率是由国家制定；因此，在资费套餐的费率设计中，依据的标准是现行的资费水平而不是通话成本

套餐资费主要包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。

设移动通话月租费为F元，免费通话时长为G分钟，话费成本为B元/分钟，超出的通话时间是T分钟，超出的移动通话费率是C元/分钟，利润为P元/分钟，那么：

免费通话时长=月租费/话费成本

GF/B„„„„„„„„„„„„„„„（12）

利润=收入 —成本

PCTBT„„„„„„„„„„„„„„（13）

通话时间T与超出的话费率C之间呈反相关关系，我们利用T和C之间的关系建立不同的计量经济模型。假设T和C之间存在以下函数关系：

Tab(1/C)„„„„„„„„„„„„„（14）

把此式代入上式，可得：

P(CB)(ab(1/C))„„„„„„„„„„（15）

并令P对C的导数为零，可得：

CBba„„„„„„„„„„„„„„„（16）

11

利用以上模型，若已知a、b、B值，便可以得出C，即可以确定实现利润最大化下的超出的移动通话费率。

但目前中国移动运营市场处于非完全竞争状态，资费由国家参照市场情况制定。因此，作为一种过渡性质的移动资费套餐，其免费通话时长和超出的通话费率不能按照上述市场模式确定。

二、垄断竞争的移动通信市场

在垄断竞争的移动通信市场中，满足现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的情况下资费套餐的设计遵循二大原则：

（1）、资费套餐必须有其坚实的市场细分基础，即针对不同话费档次的用户推出不同类型的套餐。

（2）、在设计方案时，注意保持几个套餐之间的相互衔接。好的套餐组合会使得任何一个客户在一段时期内只会认为某一个套餐更符合自己的要求，不会在套餐中间转来转去；即以用量换取单位价格的便宜。

资费套餐包括三个基本组成部分：移动电话月租费、免费移动通话时间、超出的移动通话费率。通过网上查得全国部分城市中移全球通资费套餐数据如下表示：

表3 全国部分城市中移全球通资费套餐数据

月基本费 免费通话时超出套餐部月基本费 免费通话时超出套餐（元） 间（分钟） 分本地主叫（元） 间（分钟） 部分本地资费（元/主叫资费分钟） （元/分钟）

58 150 0.4 300 830 0.36

158 450 0.35 500 1550 0.32

258 800 0.32 800 2900 0.28

358 1200 0.3 1200 5000 0.24

458 1800 0.25 50 0 0.4

99 280 0.35 88 300 0.4

139 560 0.25 128 500 0.4

199 1000 0.2 168 700 0.4

299 2000 0.15 268 1100 0.4

68 180 0.18 388 1700 0.4

128 400 0.16 568 2600 0.4

188 600 0.13 288 3700 0.4

我们研究发现以上三者之间存在着某种关系，即后两者的变化会引起前者变化。故在此引入计量经济模型求解，模型如下：

y01x12x23x1x24x125x22　　　　　（17）

4．4、4、模型的求解

利用MATLAB编写程序（三），得到交互式画面如下图：

12

图3 交互式画面

以及回归系数的估计值：

表4 回归系数的估计值

604.6

3

4615.3

4

0

6

7367.8

1

2

置信区间如下表：

4

5

0

表5 置信区间

0

1131　-78

51987123

4

10

1476832

1

01

2

5

0

故完全二次多项式模型如下：

y604.64615.3x14x26x1x27367.8x12„„„„„„„（18）

根据此模型，我们可以设计出很多全球通套餐类型。比如我们在此随机取出三个套餐类型组合成一种全球通“49”套餐，如下表：

表6 随机全球通“49”套餐

月基本费（元） 免费通话时间（分超出套餐部分本地主钟） 叫资费（元/分钟）

49 150 0.4

89 400 0.4

189 960 0.15

13

即此对随机所设计的全球通“49”套餐从分段方面考虑，式子如下：

49　　　　　　　w150150w250490.4w150　　　　　　250w40089Y„„„„„„„„„„„„（19）

890.4w400400w650189　　　　　　650w9601890.15w960w960根据我们设计的全球通“49”套餐方案所列出的分段函数，我们运用MATLAB编写程序（五）得到以下图形：

图4 新套餐用户通话时间与总资费关系图

从上图中可以看出，若把通话时间段分为低端用户、中端用户、高端用户，那么在此种套餐资费中：

A、 若每月通话时间低于250分钟，适合用月基本费为49元的方案。

B、 若每月通话时间在250到650分钟之间，适合用月基本费为89元的方案。

C、 若每月通话时间高于650分钟，适合用月基本费为299元的方案。

我们所设计的全球通“49”套餐和全球通“畅听99”、“68”套餐方案相比，主要从它们的通话时间和需要的套餐费分析，结果如下：

（1）、当每个月的通话时间最多250分钟，在此以250分钟计算，结果如下表所示：

表7 两种套餐对比A

北京全球通上海全球通新全球通“99”套餐 “68”套餐 “49”套餐

99元 68元 89元

（2）、当每个月的通话时间在250到650分钟之间，在此以400分钟计算，结果如下表所示：

14

表8 两种套餐对比B

北京全球通上海全球通新全球通“99”套餐 “68”套餐 “49”套餐

139元 75.2元 89元

（3）、当每个月的通话时间高于650低于1175分钟或高于1175分钟，在此以915分钟计算，结果如下表所示：

表9两种套餐对比C

北京全球通上海全球通新全球通“99”套餐 “68”套餐 “49”套餐

199元 145.6元 189元

综上分析，我们所设计的全球通“49”套餐相比北京全球通“畅听99”套餐更实惠，但与全球通“68”套餐相比而言则有所退步。因为资费套餐中的月租费是用来支付所赠的免费分钟数资费，运营商的利润源自额外通话费率。在设计中现有的“套餐方案中运营商的收入降低不超过10%，即此我们从北京全球通“畅听99”套餐和上海全球通“68”套餐中的收入在超出后的本地通话资费中的最低通话费率考虑，我们所设计的方案完全符合运营商的收入降低不超过10%。 所以我们的方案是有效可行、进步的。

五、 模型的评价与改进

5.1、模型评价：

模型在较多的评价、分析的同时，给出了明确的数据关系，使评价更加具有说服力。思路清晰，结构简单。问题（一）的模型给出了上海、北京各“套餐”方案的资费计算方法，为分段函数模型，使问题简单化，也使用户 “套餐”的选择更加明确；问题（二）的模型给出各种资费方案的评价准则和方法。并进行了定量化处理及进行了简单的弹性分析，还在通过数据查证、数据收集后，计算了套餐比原有的现行标准资费的优惠值。问题（三）中的套餐两两比较分析方法，充分证实了该种套餐方案的退步。其思路一目了然。问题（四）我们设计了一个全球通“49”套餐，模型设计程序通俗易懂，与现有套餐比，更具有市场竞争力。但模型也存在一些不足，比如：问题（四）中未考虑IP资费、数据业务、漫游情况等，难免会对模型产生误差。

5.2、模型推广：

1、附件（一）中数据指出：2006年中国移动短信业务量4296.7亿条，增长41.0%。据此可以将移动短信业务添加到套餐方案的制定中，使套餐方案更为完善。

2、模型稍加修改，可以运用到银行存款的业务操作中。

15

六、 参考文献

[1] 姜启源, 谢金星, 叶俊, 数学模型(第二版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2003.

[2] 谢云荪, 张志让, 张光澄, 数学实验[M], 北京: 科学出版社，1999.

[3] 百度百科, 神州行大众卡,

/view/ (2012/6/24)

[4] 百度知道, 关于彩信的详细资料

/question/?si=9 (2012/6/24)

[5] 营销评论网 赵先华, 中国移动通信产品价位策略思考

/htmlnews/2006/07/24/884539_ (2012/6/26)

[6] 搜狐网Ann, 全球通“被叫免费计划”在作秀?

/20070524/n250203262_ (2012/6/24)

[7] 随身数码 中国移动, 免费不免费?细看GPRS收费标准

/Article/mobile/news/ (2012/6/26)

[8] 胡良剑, 孙晓君, MATLAB数学实验[M], 北京: 高等教育出版社，2006.

[9] 姜启源, 数学建模[M], 北京: 高等教育出版社，2009.

七、 课程总结

本文是在已有的报告或者文献资料上，根据提供的数据经过分析，得到了大量的理论和具有实际意义的结果；然后在给定的理想的假设条件下给出结论，某些结论在现实生活中可能是难以实现的；再通过切实的结合实际情况，对计算的结果加以修正，然后在放到实践中检验其可能性；虽然最后给出了具体的“套餐”资费，但是并没有给出详细与清晰的数据分析，所以我们的模型还需要理论和实践方面的进一步改进。

这次长达两周的数学建模综合训练在我看来，与其说数学建模是一门课程，倒不如说是对大学所学的许多其它课程的一个综合。它着眼于实际问题，通过一些合理的假设，以建立对现实问题的数学模型，并做出合理的解答。它涉及到许多领域的知识，并有很强的背景性，因此综合性很强，需要将所学的各门课程结合起来并加以运用，才能很好地对问题加以解决。在学习这门课程的过程中，让我最感兴趣的就是其将我们学过的知识真正运用到解决实际问题的过程中，例如运筹学，概率与统计，数学分析，高等代数，数值计算等，尽管有时建出的模型存在这样或那样的问题而可操作性不强，但至少使我知道了怎样将所学的知识运用到实际的问题中，增强了解决实际问题的能力。同时，也增强了我在文献检索等各个方面的能力。

在这里也要感谢数学建模的两位老师，是他们使我在此次数学建模的过程中不断进步，使我学到了很多，并使我成熟了很多。

16

附件

程序一：

clc;clear

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x y

x1=0:360;

x2=360:694;

x3=694:800;

x4=800:1175;

x5=1175:1200;

x6=1200:1500;

y1=68;

y2=68+0.18*(x2-360);

y3=128;

y4=128+0.16*(x4-800);

y5=188;

y6=188+0.13*(x6-1200);

plot(x1,y1)

hold on

plot(x2,y2)

hold on

plot(x3,y3)

hold on

plot(x4,y4)

hold on

plot(x5,y5)

hold on

plot(x6,y6)

xlabel('上海本地通话时间（分）')

ylabel('上海各套餐用户月总资费（元）')

程序二：

clc;clear

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x y

x1=0:280;

x2=280:395;

x3=395:560;

x4=560:800;

x5=800:1000;

x6=1000:1500;

x7=1500:2000;

x8=2000:3000

y1=99;

y2=99+0.35*(x2-280);

y3=139;

17

y4=139+0.25*(x4-560);

y5=199;

y6=199+0.2*(x6-1000);

y7=299;

y8=299+0.15*(x8-2000)

plot(x1,y1)

hold on

plot(x2,y2)

hold on

plot(x3,y3)

hold on

plot(x4,y4)

hold on

plot(x5,y5)

hold on

plot(x6,y6)

hold on

plot(x7,y7)

hold on

plot(x8,y8)

xlabel('北京本地通话时间（分）')

ylabel('北京各套餐用户月总资费（元）')

程序三：

x1=[0.4 0.35 0.32 0.3 0.25 0.35 0.25 0.2 0.15 0.18 0.16 0.13 0.36 0.32 0.28

0.24 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4];

x2=[150 450 800 1200 1800 280 560 1000 2000 180 400 600 830 1550 2900 5000

0 300 500 700 1100 1700 2600 3700];

y=[58 158 258 358 458 99 139 199 299 68 128 188 300 500 800 1200 50 88 128

168 268 388 568 288]';

x=[ones(24,1),x1',x2'];

x(:,1)=[];

rstool(x,y,'purequadratic')

程序四：

x1=[0.4 0.35 0.32 0.3 0.25 0.35 0.25 0.2 0.15 0.18 0.16 0.13 0.36 0.32 0.28

0.24 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4];

x2=[150 450 800 1200 1800 280 560 1000 2000 180 400 600 830 1550 2900 5000

0 300 500 700 1100 1700 2600 3700];

x3=x1.*x2 ;

x4=x1.^2;

x5=x2.^2;

y=[58 158 258 358 458 99 139 199 299 68 128 188 300 500 800 1200 50 88 128

168 268 388 568 288]';

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x=[ones(24,1),x1',x2',x3',x4',x5'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)

程序五：

clc;clear

syms x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 y5 y6 x y

x1=0:150;

x2=150:250;

x3=250:400;

x4=400:650;

x5=650:960;

x6=960:1500;

y1=49;

y2=49+0.4*(x2-150);

y3=89;

y4=89+0.4*(x4-400);

y5=189;

y6=189+0.15*(x6-960);

plot(x1,y1)

hold on

plot(x2,y2)

hold on

plot(x3,y3)

hold on

plot(x4,y4)

hold on

plot(x5,y5)

hold on

plot(x6,y6)

hold on

xlabel('新套餐用户月本地通话时间（分）')

ylabel('新套餐用户月总资费（元）')

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