2023年12月16日发(作者：母邦)

手机套餐问题的一个数学模型

402160

“套餐”方案，建立数学模型，解决一些简单问题．问题中的各种方案的选择、比较，是为了在手机资费便宜这一方面支出最少，而拨打分钟数相同．另外，根据对不同人群( 通话量需求的不同) 的分析，得到各种“套餐”方案适用的范围．

( 1) 本地通话资费( 元／分钟)

本地通话资费包含本地主叫资费和本地被

叫资费两种．

重庆永川区重庆文理学院数学与计算机科学系

伟 蒋小玲 冉迎春 赵清贵 李景国

杨

随着信息时代的到来，手机在人们日常工作、社交、经营等社会活动中的作用越来越重 要．近年来我国通信业务量飞速增长，手机的功劳更是功不可没．手机资费问题也越来越受到 人们的关注，并且对原有的各种资费方案越来 越质疑．2007年1月以来上海、北京、广东等地 相继推出的手机“套餐”琳琅满目，让人眼花缭乱，人们不能理性分辨手机“套餐”究竟优惠在何处．

现根据中国移动公司现行的资费标准和北

京的全球通“畅听99套餐”与上海的“全球通68

套餐”方案[ 4] ，通过建立数学模型来分析：按照通话需求量不同的用户，说明两种“套餐”方案适应于哪种类型的用户．

一、模型中的符号说明及简化假设

1．符号说明

z_表 示 用 户 一 个 月 本 地 主 叫 分 钟 数

y——表示用户一个月本地主叫国内工P长

途(加17951) 的分钟数

s f ——表示用户月基本费为i 的一个月的

总话费用( i =99 ，139，199，299，68，128， 188)

2．简化假设

( 1) 用户选择业务是理性的；

( 2) 不考虑手机卡卡费，停机保号，优惠时间通话等费用；

( 3) 可以利用由附表l 中数据得到的平均

月本地通话时长和长途通话时长来代替套餐中的月本地通话时长和长途通话时长；

二、模型分析与建立

1.

模型分析

本问题主要研究的是手机资费的问题，这个问题一直足人们关注的焦点．对此，本文根中国移动公司现行的资费标准以及各种手机

( 2) 长途资费( 元／分钟)

长途资费包含两个方面：普通的直拨国内、

国际、港澳台长途以及伊的国内、国际、港澳台长途．由于全球通、神州行、动感地带、北京全球通“畅听99套餐”以及上海“全球通68套餐”方

案的长途资费不同，针对不同类型进行不同计算．

( 3) 各种套餐方案的资费计算方法

由于不同方案的的资费标准不同，将对各

种方案的不同点进行细致的分析，得到具体计

算方法．最后比较各种方案的优劣，对设计新的方案指明方向．综合考虑以上情况及其相关资 料，最终用数学模型的方法解决怎样使用“套 餐”更优惠的问题．

2.

模型建立

2．1

北京的全球通“畅听99套餐”分析

( 模型I )

由本套餐方案中可知：方案中的不同档次的套餐业务( 漫游资费、国际长途资费) 都是依照移动公司现行资费标准，其影响力度一样，所以在建模型时同时舍去．方案中的数据业务相当于是赠送，赠送GPRS流量与彩信的多少是影响用户选择业务档次的一个因素，但考虑到 GPRs

流量与彩信对绝大多数用户来说用不上许多，所以把此因素当成次要因素，不影响模型的建立．

由方案显示的信息可列函数知下：

f 月基本费+长途费用 ( 套餐范围内)

s 一<月基本费+长途费用+超出后主叫本地费用

【 ( 超出套餐后)

即：

f 月基本费+o．1y ( 套餐范围内)

s一<月基本费+o．b+超出分钟数×本地主叫资费

【 ( 超出套餐后)

北京的全球通“畅听99套餐”各资费方案的计算方法可以分别表示如下：

f O．1了+99 O≤z+y≤280

曲9

2{o．1y+( z十y一280) ×o．35+99

( 1 )

【

z +y>280

f o．1y+139 o≤z+y≤560

s 139

2

( 2 )

【

z +y>560

f o．1y+199 o≤z+y≤1000

5199

2

(3)

【

z十y>l ooo

f O．1y+299 0≤z+y≤2000

靶99

2

(4)

【 z+y>200 0

上一忌( 是≥O)

Z

f O．1y+99

O≤( 惫+1) y≤280

印9一．{o．b+[( 忌+1) y一280] ×o．35+99( 5)

L

@+1) y>280

f O．1y+1 39

O≤( 忌 +1) j ，≤560

s 139=

( 6 )

【

( 志+1) y>560

f 0．1 y+199

O≤( 忌+1) y≤1000

s1鲫一≮o．1j ，+( z+y—1000) ×o．2+199

( 7 )

【

Q+1) y>1000

f O．1 y+299

O≤Q+1) y≤2000

跚=<0．1y+o+y一2000) ×0．15+299

( 8 )

【

Q+1) y>2000

在MATLAB7．o软件中运行如下程序：

[ z ，了] ==s ol ve ( 乡一o．092*

z’，’99+o．

1*y+0．35*( z+y一280) 一139+0．1*y’，

叠， j ，’ ) ；

Ji edi anl =∥z( z十y)

[ z ，y] =sol ve( 乡一o．092*z’，’139+o．

1*y+O．25*( z+y 一

560) =199+O．1+y’，

叠，y’) ；

Ji e di an 2=∥z ( z+y)

[ z ，y] 一sol ve( 乡==o．092*z ’，’199+o．

1*y+O．20*( z+y一1000) 一299+O．1*y ’，

■

，y’) ；

J i edi an3 一 ／i z( z +y)

运算结果为( 保留整数) ：

J i edi anl =394

J i edi an2=800

Ji edi a n3—1500

由结果可以用二三交点把主叫分钟数分成四

①结果说明

由结果可以看出，月基本费为99元的套餐394分钟的用户．月基139元的套餐适合每月主叫分钟数在394800分钟的用户．月基本费为199元 的套800分钟到1500 分钟的299元的套餐适合每月主叫分1500分钟的用户．

②套餐优点以及适用人群分析

该套餐适用人群：高端商务人士月消费比GPRS流量基本都能满足其利PDA收发邮件的工作需求．月

100元以上，通话对象以本地通话为主的用99元或者139元的畅听套餐．由 于高的99元的档次比较划算．

③为用户选用本套餐支招

用户根据自己主叫时间的长短不同，可选择、139、199、299元等不同档次的业务，其中最高o．15元／分钟收取，o．35元／分钟； 若要打长途，最好17951拨打国内( 不含港澳台)长

O．1元／分钟收取．本套餐主

要 出差外( 漫游费) 太多， 则不易选

2．2

上海移动公司的“全球通68套餐”方案( 模型Ⅱ)

从上海移动公司的“全球通68套餐”方案

适合每月主叫分钟数在低于本费为分钟到餐适合每月主叫分钟数在用户．月基本费为钟数在高于较高，并且附送的用智能手机或者话费在户可以选择本套餐对市话、长话都有要求，对整体话费不用户，选择月基本费为99一档的套餐本地主叫市话费按最低一档为加拨途，伊长途资费仅是要充分考虑自己本地主叫时间长短，如果地的时间较长，超出话费用．分析

堕王芸唑一厶

o．5元／分钟

一个月的话费模型为：

通话分钟数不超出套餐分钟数时，总话费s

一月基本费+o．5× 2y．超出套餐分钟数时，总话费

5一月基本费+( 超出后主叫国内长途费用

+超出后主叫本地费用)

即总话费s一月基本费+(超出后的主叫分钟数×超出后本地通话费) +y

所以模型写为：

f 月基本费+y

( 套餐范围内)

s =<月基本费+( 超出后的主叫分钟数×超出后

【本地通话费) +y ( 超出套餐后)

f 68+y

0≤2z+2y≤360

即：‰一{68+o．18( 2z+2y一360) +y

( 9)

【

2z+2y>360

f 128+j ，

O≤2z+2y≤800

s⋯。=<128+o．16( 2z+2y一800) +y

( 10)

【

2z+2y>800

f 188+y

O≤2z+2y≤1200

s 188

2{ 188+o▲13( 2z+2y—1200) +y

( 11)

【

2z+2y>1200

利用模型I 中的思想，同时利用模型I 中的忌值，用程序[ z ，y] 一sol

ve( ≯=o．092*z ’，

’68+y+O．18*( 2*z+2*y一360) 一128+

y’，2，y’) ；

J i edi anl ：=／i z( 2*( z+y))

[ z，y] 一s ol ve( ≯一o． 092*z’，’128+y+

O．16*( 2*z+2*y一800) =188+y’，■，j ，’) ；

Ji edi a nl 一丘z( 2*( z+y) )

可以算出两个交点的分钟数为： Ji edi anl =

693，Ji edi an2—1175 ．

所求得的结果意义表述：月基本费为68元的套餐适合每月通话需求量( 包括主叫、接听)

低于693分钟的用户．月基本费为128元的套餐适合每月通话需求量在693分钟到1175分钟的用户．月基本费为188元的套餐适合每月通话需求量在高于1175分钟的用户．

三、模型的评价

1.

模型的优点

( 1) 本文模型中对通话每分钟资费求平均值，这样大大的简化了计算．

( 2) 本文充分的利用了题目所给的材料，并

对材料进行了有效的筛选，运用合理的方法处理，从而使得模型更有说服力．

( 3) 本文采取的方法均为初等方法，但所得结果相当令人满意，使模型便于在现实生活中得到应用．

2.

模型的缺点：

由于缺少详细的必要数据，在计算本地通话时间和长途通话时间时，本文大部分取平均值来代替，肯定会产生误差．

四、结语

本文利用初等数学方法对实际问题建立数学模型，对各种手机套餐作深入细致的比较，充分体现初等数学方法在解决实际问题中的应

用．通过模型的建立使消费者消费趋于理性，获得最大限度的优惠．

参考文献：

[ 1] 朱蕾．合理设计资费套餐[ J] ，中国电信业， 总第

208期： 2006，10．

[ 2] 谢萌，李帮义．关于移动通信资费套餐设计中的可研究性问题的探讨[ J] ，集团经济研究，总第208期：10月上旬刊，2006．

[ 3] 姜启源。谢金星，叶俊．数学模型第三版[ M] ， 北

京：高等教育出版社，2003．

[ 4] 2007年全国大学生数学建模竞赛题目．

2023年12月16日发(作者：母邦)

手机套餐问题的一个数学模型

402160

“套餐”方案，建立数学模型，解决一些简单问题．问题中的各种方案的选择、比较，是为了在手机资费便宜这一方面支出最少，而拨打分钟数相同．另外，根据对不同人群( 通话量需求的不同) 的分析，得到各种“套餐”方案适用的范围．

( 1) 本地通话资费( 元／分钟)

本地通话资费包含本地主叫资费和本地被

叫资费两种．

重庆永川区重庆文理学院数学与计算机科学系

伟 蒋小玲 冉迎春 赵清贵 李景国

杨

随着信息时代的到来，手机在人们日常工作、社交、经营等社会活动中的作用越来越重 要．近年来我国通信业务量飞速增长，手机的功劳更是功不可没．手机资费问题也越来越受到 人们的关注，并且对原有的各种资费方案越来 越质疑．2007年1月以来上海、北京、广东等地 相继推出的手机“套餐”琳琅满目，让人眼花缭乱，人们不能理性分辨手机“套餐”究竟优惠在何处．

现根据中国移动公司现行的资费标准和北

京的全球通“畅听99套餐”与上海的“全球通68

套餐”方案[ 4] ，通过建立数学模型来分析：按照通话需求量不同的用户，说明两种“套餐”方案适应于哪种类型的用户．

一、模型中的符号说明及简化假设

1．符号说明

z_表 示 用 户 一 个 月 本 地 主 叫 分 钟 数

y——表示用户一个月本地主叫国内工P长

途(加17951) 的分钟数

s f ——表示用户月基本费为i 的一个月的

总话费用( i =99 ，139，199，299，68，128， 188)

2．简化假设

( 1) 用户选择业务是理性的；

( 2) 不考虑手机卡卡费，停机保号，优惠时间通话等费用；

( 3) 可以利用由附表l 中数据得到的平均

月本地通话时长和长途通话时长来代替套餐中的月本地通话时长和长途通话时长；

二、模型分析与建立

1.

模型分析

本问题主要研究的是手机资费的问题，这个问题一直足人们关注的焦点．对此，本文根中国移动公司现行的资费标准以及各种手机

( 2) 长途资费( 元／分钟)

长途资费包含两个方面：普通的直拨国内、

国际、港澳台长途以及伊的国内、国际、港澳台长途．由于全球通、神州行、动感地带、北京全球通“畅听99套餐”以及上海“全球通68套餐”方

案的长途资费不同，针对不同类型进行不同计算．

( 3) 各种套餐方案的资费计算方法

由于不同方案的的资费标准不同，将对各

种方案的不同点进行细致的分析，得到具体计

算方法．最后比较各种方案的优劣，对设计新的方案指明方向．综合考虑以上情况及其相关资 料，最终用数学模型的方法解决怎样使用“套 餐”更优惠的问题．

2.

模型建立

2．1

北京的全球通“畅听99套餐”分析

( 模型I )

由本套餐方案中可知：方案中的不同档次的套餐业务( 漫游资费、国际长途资费) 都是依照移动公司现行资费标准，其影响力度一样，所以在建模型时同时舍去．方案中的数据业务相当于是赠送，赠送GPRS流量与彩信的多少是影响用户选择业务档次的一个因素，但考虑到 GPRs

流量与彩信对绝大多数用户来说用不上许多，所以把此因素当成次要因素，不影响模型的建立．

由方案显示的信息可列函数知下：

f 月基本费+长途费用 ( 套餐范围内)

s 一<月基本费+长途费用+超出后主叫本地费用

【 ( 超出套餐后)

即：

f 月基本费+o．1y ( 套餐范围内)

s一<月基本费+o．b+超出分钟数×本地主叫资费

【 ( 超出套餐后)

北京的全球通“畅听99套餐”各资费方案的计算方法可以分别表示如下：

f O．1了+99 O≤z+y≤280

曲9

2{o．1y+( z十y一280) ×o．35+99

( 1 )

【

z +y>280

f o．1y+139 o≤z+y≤560

s 139

2

( 2 )

【

z +y>560

f o．1y+199 o≤z+y≤1000

5199

2

(3)

【

z十y>l ooo

f O．1y+299 0≤z+y≤2000

靶99

2

(4)

【 z+y>200 0

上一忌( 是≥O)

Z

f O．1y+99

O≤( 惫+1) y≤280

印9一．{o．b+[( 忌+1) y一280] ×o．35+99( 5)

L

@+1) y>280

f O．1y+1 39

O≤( 忌 +1) j ，≤560

s 139=

( 6 )

【

( 志+1) y>560

f 0．1 y+199

O≤( 忌+1) y≤1000

s1鲫一≮o．1j ，+( z+y—1000) ×o．2+199

( 7 )

【

Q+1) y>1000

f O．1 y+299

O≤Q+1) y≤2000

跚=<0．1y+o+y一2000) ×0．15+299

( 8 )

【

Q+1) y>2000

在MATLAB7．o软件中运行如下程序：

[ z ，了] ==s ol ve ( 乡一o．092*

z’，’99+o．

1*y+0．35*( z+y一280) 一139+0．1*y’，

叠， j ，’ ) ；

Ji edi anl =∥z( z十y)

[ z ，y] =sol ve( 乡一o．092*z’，’139+o．

1*y+O．25*( z+y 一

560) =199+O．1+y’，

叠，y’) ；

Ji e di an 2=∥z ( z+y)

[ z ，y] 一sol ve( 乡==o．092*z ’，’199+o．

1*y+O．20*( z+y一1000) 一299+O．1*y ’，

■

，y’) ；

J i edi an3 一 ／i z( z +y)

运算结果为( 保留整数) ：

J i edi anl =394

J i edi an2=800

Ji edi a n3—1500

由结果可以用二三交点把主叫分钟数分成四

①结果说明

由结果可以看出，月基本费为99元的套餐394分钟的用户．月基139元的套餐适合每月主叫分钟数在394800分钟的用户．月基本费为199元 的套800分钟到1500 分钟的299元的套餐适合每月主叫分1500分钟的用户．

②套餐优点以及适用人群分析

该套餐适用人群：高端商务人士月消费比GPRS流量基本都能满足其利PDA收发邮件的工作需求．月

100元以上，通话对象以本地通话为主的用99元或者139元的畅听套餐．由 于高的99元的档次比较划算．

③为用户选用本套餐支招

用户根据自己主叫时间的长短不同，可选择、139、199、299元等不同档次的业务，其中最高o．15元／分钟收取，o．35元／分钟； 若要打长途，最好17951拨打国内( 不含港澳台)长

O．1元／分钟收取．本套餐主

要 出差外( 漫游费) 太多， 则不易选

2．2

上海移动公司的“全球通68套餐”方案( 模型Ⅱ)

从上海移动公司的“全球通68套餐”方案

适合每月主叫分钟数在低于本费为分钟到餐适合每月主叫分钟数在用户．月基本费为钟数在高于较高，并且附送的用智能手机或者话费在户可以选择本套餐对市话、长话都有要求，对整体话费不用户，选择月基本费为99一档的套餐本地主叫市话费按最低一档为加拨途，伊长途资费仅是要充分考虑自己本地主叫时间长短，如果地的时间较长，超出话费用．分析

堕王芸唑一厶

o．5元／分钟

一个月的话费模型为：

通话分钟数不超出套餐分钟数时，总话费s

一月基本费+o．5× 2y．超出套餐分钟数时，总话费

5一月基本费+( 超出后主叫国内长途费用

+超出后主叫本地费用)

即总话费s一月基本费+(超出后的主叫分钟数×超出后本地通话费) +y

所以模型写为：

f 月基本费+y

( 套餐范围内)

s =<月基本费+( 超出后的主叫分钟数×超出后

【本地通话费) +y ( 超出套餐后)

f 68+y

0≤2z+2y≤360

即：‰一{68+o．18( 2z+2y一360) +y

( 9)

【

2z+2y>360

f 128+j ，

O≤2z+2y≤800

s⋯。=<128+o．16( 2z+2y一800) +y

( 10)

【

2z+2y>800

f 188+y

O≤2z+2y≤1200

s 188

2{ 188+o▲13( 2z+2y—1200) +y

( 11)

【

2z+2y>1200

利用模型I 中的思想，同时利用模型I 中的忌值，用程序[ z ，y] 一sol

ve( ≯=o．092*z ’，

’68+y+O．18*( 2*z+2*y一360) 一128+

y’，2，y’) ；

J i edi anl ：=／i z( 2*( z+y))

[ z，y] 一s ol ve( ≯一o． 092*z’，’128+y+

O．16*( 2*z+2*y一800) =188+y’，■，j ，’) ；

Ji edi a nl 一丘z( 2*( z+y) )

可以算出两个交点的分钟数为： Ji edi anl =

693，Ji edi an2—1175 ．

所求得的结果意义表述：月基本费为68元的套餐适合每月通话需求量( 包括主叫、接听)

低于693分钟的用户．月基本费为128元的套餐适合每月通话需求量在693分钟到1175分钟的用户．月基本费为188元的套餐适合每月通话需求量在高于1175分钟的用户．

三、模型的评价

1.

模型的优点

( 1) 本文模型中对通话每分钟资费求平均值，这样大大的简化了计算．

( 2) 本文充分的利用了题目所给的材料，并

对材料进行了有效的筛选，运用合理的方法处理，从而使得模型更有说服力．

( 3) 本文采取的方法均为初等方法，但所得结果相当令人满意，使模型便于在现实生活中得到应用．

2.

模型的缺点：

由于缺少详细的必要数据，在计算本地通话时间和长途通话时间时，本文大部分取平均值来代替，肯定会产生误差．

四、结语

本文利用初等数学方法对实际问题建立数学模型，对各种手机套餐作深入细致的比较，充分体现初等数学方法在解决实际问题中的应

用．通过模型的建立使消费者消费趋于理性，获得最大限度的优惠．

参考文献：

[ 1] 朱蕾．合理设计资费套餐[ J] ，中国电信业， 总第

208期： 2006，10．

[ 2] 谢萌，李帮义．关于移动通信资费套餐设计中的可研究性问题的探讨[ J] ，集团经济研究，总第208期：10月上旬刊，2006．

[ 3] 姜启源。谢金星，叶俊．数学模型第三版[ M] ， 北

京：高等教育出版社，2003．

[ 4] 2007年全国大学生数学建模竞赛题目．