2023年12月17日发(作者：房琛瑞)

3.3 函数的应用(一)

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点(略)

一、选择题

1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )

A.200副

C.600副

答案 D

解析 由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.

2.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计( )

A.280元

C.340元

答案 D

解析 由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40，1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元).

3.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的个数是( )

B.320元

D.360元

B.400副

D.800副

①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是

2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.

A.1

C.3

答案 C

解析 由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”在2010～2011年最陡.故②正确 ，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故选C.

4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，若已知x年后的设备维护总费用为x(x＋1)元，则为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )

A.10

C.13

答案 A

解析 设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）100＝x＋xx＋1.5(x∈N＋)，由均值不等式得y＝x100100x·x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝x，即x＝10时取等号，所以 B.11

D.21

B.2

D.4

100＋x＋1.5≥2选A.

5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )

A.3.50分钟 B.3.75分钟

C.4.00分钟

答案 B

D.4.25分钟

解析 根据图像，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数0.7＝9a＋3b＋c，a＝－0.2，关系式，得0.8＝16a＋4b＋c，解得b＝1.5，

0.5＝25a＋5b＋c，c＝－2.115213∴p＝－0.2t＋1.5t－2.0＝－5t－4＋16.

215当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.

4二、填空题

6.已知生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.

答案 50

解析 设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.

7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：

销售单价/元

日均销售量/桶

6

480

7

440

8

400

9

360

10

320

11

280

12

240

请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.

答案 11.5

解析 根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，则日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0

y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0

当x＝－520＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就2×（－40）可获得最大的利润.

8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过

8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

答案 9

解析 设出租车行驶x km时，付费y元，

9，0

8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x>8，由y＝22.6，解得x＝9.

三、解答题

9.某市居民生活用水收费标准如下：

用水量x/t

不超过2 t部分

超过2 t不超过4 t部分

超过4 t部分

每吨收费标准/元

m

3

n

已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？

(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.

解

mx，0≤x≤2，(1)由题设可得y＝2m＋3（x－2），2

2m＋6＋n（x－4），x>4.当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，

2m＋6＋4n＝33，m＝1.5，代入得解得

2m＋6＋2n＝21，n＝6.1.5x，0≤x≤2，∴y关于x的函数解析式为y＝3x－3，2

6x－15，x>4.(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.

∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.

∴该用户最多可以用6.5 t水.

10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计

15 000元.

(1)写出每人需交费用y元关于人数x的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解 (1)当0

900，0

1 200－10x，30

当30

900x－15 000，0

2－10x＋1 200x－15 000，30

所以x＝30时，Smax＝12 000；

当30

－10(x－60)2＋21 000，

即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.

所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润.

11.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋12xx，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为15010b吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )

A.a＝45，b＝－30

C.a＝－30，b＝45

答案 A

解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，

B.a＝30，b＝－45

D.a＝－45，b＝－30

x1则y＝xQ－P＝xa＋b－1 000＋5x＋10x2

112＝b－10x＋(a－5)x－1 000(x>0).

由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.

a－5－11＝150，a＝45，2b－10所以解得

b＝－30.150a＋b＝40，12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为______.

答案 15，12

x24－y解析 由题干图知x，y满足关系式20＝，

24－84即y＝24－5x，

44矩形的面积S＝xy＝x24－5x＝－5(x－15)2＋180，故x＝15，y＝12时，S取最大值.

13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.

(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；

(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

解 (1)当0

当100

p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

60，0

62－0.02x，100

当0

当100

y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

20x，0

222x－0.02x，100

y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.

显然6 050>2 000.

∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.

14.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最少为________元.

答案 40 48

解析 设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，

又当v＝10时，k·102＝6，解得k＝0.06，

所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，

10匀速行驶10海里所用的时间为v小时，

10109602故总费用为W＝vy＝v(0.06v＋96)＝0.6v＋v

≥29600.6v·v＝48，

960当且仅当0.6v＝v，即v＝40时等号成立.

故总费用最少时轮船的速度为40海里/时，总费用最少为48元.

2023年12月17日发(作者：房琛瑞)

3.3 函数的应用(一)

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点(略)

一、选择题

1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )

A.200副

C.600副

答案 D

解析 由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.

2.端午节期间，某商场为吸引顾客，实行买100送20活动，即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物.如果你有1 460元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计( )

A.280元

C.340元

答案 D

解析 由题意可知，1 460＝1 400＋20＋40，1 400元现金可送280元购物券，把280元购物券当作现金加上20元现金可送60元购物券，再把60元购物券当作现金加上40元现金可获送20元购物券，所以最多可获赠购物券280＋60＋20＝360(元).

3.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的个数是( )

B.320元

D.360元

B.400副

D.800副

①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是

2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善.

A.1

C.3

答案 C

解析 由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确.“生活费收入指数”在2010～2011年最陡.故②正确 ，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确.故选C.

4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，若已知x年后的设备维护总费用为x(x＋1)元，则为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )

A.10

C.13

答案 A

解析 设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）100＝x＋xx＋1.5(x∈N＋)，由均值不等式得y＝x100100x·x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝x，即x＝10时取等号，所以 B.11

D.21

B.2

D.4

100＋x＋1.5≥2选A.

5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )

A.3.50分钟 B.3.75分钟

C.4.00分钟

答案 B

D.4.25分钟

解析 根据图像，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数0.7＝9a＋3b＋c，a＝－0.2，关系式，得0.8＝16a＋4b＋c，解得b＝1.5，

0.5＝25a＋5b＋c，c＝－2.115213∴p＝－0.2t＋1.5t－2.0＝－5t－4＋16.

215当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.

4二、填空题

6.已知生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为________台.

答案 50

解析 设生产x台，获得利润f(x)万元，则f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大.

7.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：

销售单价/元

日均销售量/桶

6

480

7

440

8

400

9

360

10

320

11

280

12

240

请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.

答案 11.5

解析 根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，则日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0

y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0

当x＝－520＝6.5时，y有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就2×（－40）可获得最大的利润.

8.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过

8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

答案 9

解析 设出租车行驶x km时，付费y元，

9，0

8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x>8，由y＝22.6，解得x＝9.

三、解答题

9.某市居民生活用水收费标准如下：

用水量x/t

不超过2 t部分

超过2 t不超过4 t部分

超过4 t部分

每吨收费标准/元

m

3

n

已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.

(1)写出y关于x的函数解析式；

(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？

(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少水.

解

mx，0≤x≤2，(1)由题设可得y＝2m＋3（x－2），2

2m＋6＋n（x－4），x>4.当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，

2m＋6＋4n＝33，m＝1.5，代入得解得

2m＋6＋2n＝21，n＝6.1.5x，0≤x≤2，∴y关于x的函数解析式为y＝3x－3，2

6x－15，x>4.(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5.

∴该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.

∴该用户最多可以用6.5 t水.

10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计

15 000元.

(1)写出每人需交费用y元关于人数x的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解 (1)当0

900，0

1 200－10x，30

当30

900x－15 000，0

2－10x＋1 200x－15 000，30

所以x＝30时，Smax＝12 000；

当30

－10(x－60)2＋21 000，

即x＝60时，Smax＝21 000>12 000.

所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润.

11.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋12xx，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为15010b吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )

A.a＝45，b＝－30

C.a＝－30，b＝45

答案 A

解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，

B.a＝30，b＝－45

D.a＝－45，b＝－30

x1则y＝xQ－P＝xa＋b－1 000＋5x＋10x2

112＝b－10x＋(a－5)x－1 000(x>0).

由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.

a－5－11＝150，a＝45，2b－10所以解得

b＝－30.150a＋b＝40，12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应分别为______.

答案 15，12

x24－y解析 由题干图知x，y满足关系式20＝，

24－84即y＝24－5x，

44矩形的面积S＝xy＝x24－5x＝－5(x－15)2＋180，故x＝15，y＝12时，S取最大值.

13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.

(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；

(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

解 (1)当0

当100

p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

60，0

62－0.02x，100

当0

当100

y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

20x，0

222x－0.02x，100

y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.

显然6 050>2 000.

∴当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元.

14.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速率v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最少为________元.

答案 40 48

解析 设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，

又当v＝10时，k·102＝6，解得k＝0.06，

所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，

10匀速行驶10海里所用的时间为v小时，

10109602故总费用为W＝vy＝v(0.06v＋96)＝0.6v＋v

≥29600.6v·v＝48，

960当且仅当0.6v＝v，即v＝40时等号成立.

故总费用最少时轮船的速度为40海里/时，总费用最少为48元.