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课时作业24:§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

IT圈 admin 2023-12-18 47浏览 0评论

2023年12月18日发(作者：臧清一)

§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

1．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关．观察下列各图，其中两个分类变量相关关系最强的是( )

答案 D

2．在利用随机变量K2来判断两个变量X和Y之间是否有关系时，下列说法正确的是( )

A．K2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．K2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．K2越小，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．K2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

答案 B

解析 K2越大，无关的概率越小，有关的概率越大，X与Y有关系的可信度越大．

3．给出下列实际问题：

①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤经常去网吧与青少年的犯罪是否有关系．

其中用独立性检验可以解决的问题有( )

A．①②③

C．②③④⑤

答案 B

解析 ①③都不是判断两个分类变量间的关系，故错误；②④⑤都是研究两个分类变量之间是否有关系，可以用独立性检验解决．

4．利用独立性检验来考察两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X与Y有关系”的可信程度．如果K2≥5.024，那么就有把握认为“X与Y有关系”的百分比为( )

B．②④⑤

D．①②③④⑤

P(K2≥k0)

0.50

0.455

0.05

3.841

0.40

0.708

0.025

5.024

0.25

1.323

0.010

6.635

0.15

2.072

0.005

7.879

0.10

2.706

0.001

10.828

A.25% B．75% C．2.5% D．97.5%

答案 D

解析 k＝5.024对应的0.025是“X和Y有关系”不可信的程度，因此两个分类变量有关系的可信程度约为97.5%.

5．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表，则下列说法正确的是( )

学习成绩优秀

学习成绩不优秀

总计

A.有99%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用智能手机对学习有影响

D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用智能手机对学习无影响

答案 C

解析 K2的观测值30×5×5－7×132k＝≈2.801>2.706，

18×12×12×18使用智能手机

不使用智能手机

总计

所以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为使用智能手机对学习有影响．

6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：

专业

性别

男

女

为了判断选该课的学生主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2＝非统计专业

统计专业

50×13×20－10×72≈4.844，因为K2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么23×27×20×30这种判断出错的可能性最大为________．

答案 5%

解析因为K2>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.

7．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：

男婴

女婴

总计

那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.

答案 47 92 88 82 53

晚上

白天

总计

180

98＋D＝180，解析由列联表知识得A＋35＝D，E＋35＝C，B＋C＝180，B＝92，解得C＝88，D＝82，E＝53.A＝47，45＋E＝98，

8．假设两个分类变量X与Y，它们的取值分别为{x1，x2}，{y1，y2}，其2×2列联表为

总计

对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组是________．(填序号)

①a＝8，b＝7，c＝6，d＝5；

②a＝8，b＝6，c＝5，d＝7；

③a＝8，b＝5，c＝7，d＝6；

④a＝5，b＝6，c＝8，d＝7.

a＋c

b＋d

总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

答案 ②

解析 |ad－bc|越大，K2越大，X与Y有关的可能性越大，计算得②中|ad－bc|最大．

9．在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：

分数段

午休考生人数

不午休考生人数

(1)根据上述表格完成列联表：

午休

不午休

总计

(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？

解 (1)根据题表中数据可以得到列联表如下：

午休

不午休

总计

8046513(2)计算可知，午休的考生及格率为P1＝＝，不午休的考生及格率为P2＝＝，则180920040P1>P2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．

10．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的题目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用等高条形图和独立性检验的方法判断．

解建立性别与态度的2×2列联表如下：

肯定否定总计

及格人数

145

不及格人数

100

135

235

总计

180

200

380

及格人数

不及格人数

总计

17 51 67 15 30 17 3

29～39

40～49 50～59 60～69

47 30 21

70～79

80～89

90～100

男生

女生

总计

126

110

170

根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22＝0.2，女生中作肯定态度11022的频率为≈0.37.作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定60态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．

根据列联表中的数据得到K2的观测值

170×22×38－22×882k＝≈5.622>5.024.

110×60×44×126因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系．

11.如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )

A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的比例约为80%

C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生中不喜欢理科的比例约为60%

答案 C

解析由题图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．

12．根据下面的列联表得到如下四个判断：

患肝病

未患肝病

总计

①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．

其中正确命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 C

解析由列联表中数据可求得随机变量K2992×700×32－60×2002的观测值k＝760×232×900×92嗜酒

700

200

900

不嗜酒

总计

760

232

992

≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.

13．有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，

其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为( )

A．8

C．8或9

答案 C

解析根据公式，得K2的观测值

65×[a30＋a－15－a20－a]2k＝

20×45×15×5013×13a－602＝>3.841，根据a>5且15－a>5，

20×45×3×2a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．

14.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )

表1

B．9

D．6或8

15－a

20－a

30＋a

成绩

性别

男

女

总计

不及格

及格

总计

表2

视力

性别

男

女

总计

表3

智商

性别

男

女

总计

表4

阅读量

性别

男

女

总计

A.成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量

答案 D

解析 K2＝nad－bc2，经检验表4中K2最大，故阅读量与性别有关联的可能a＋bc＋da＋cb＋d丰富

不丰富

总计

偏高

正常

总计

好

不好

总计

性最大．

15．2019年英超联赛期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢利物浦

队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：

高于40岁

不高于40岁

总计

3若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢利物浦队的人的概率为，则有超过5________的把握认为年龄与利物浦队的被喜欢程度有关．

附：K2＝nad－bc2.

a＋bc＋da＋cb＋d0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

不喜欢利物浦队

喜欢利物浦队

总计

100

P(K2≥k0)

答案 95%

解析设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢利物浦队的人”为事件A，由已知得P(A)＝q＋353＝，

1005所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.

K2的观测值100×25×35－25×15225k＝＝≈4.167>3.841.

640×60×50×50故有超过95%的把握认为年龄与利物浦队的被喜欢程度有关．

16．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：小时)的样本数据．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附：

P(K2≥k0)

K2＝nad－bc2.

a＋bc＋da＋cb＋d0.100

2.706

0.050

3.841

0.010

6.635

0.005

7.879

4 500解 (1)由分层抽样可得300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

15 000(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

每周平均体育运动时间不超过4小时

每周平均体育运动时间超过4小时

总计

结合列联表可算得K2的观测值

300×45×60－30×1652k＝≈4.762>3.841.

75×225×210×90所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

男生

165

210

女生

总计

225

300

2023年12月18日发(作者：臧清一)

§3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

1．用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关．观察下列各图，其中两个分类变量相关关系最强的是( )

答案 D

2．在利用随机变量K2来判断两个变量X和Y之间是否有关系时，下列说法正确的是( )

A．K2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．K2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．K2越小，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．K2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

答案 B

解析 K2越大，无关的概率越小，有关的概率越大，X与Y有关系的可信度越大．

3．给出下列实际问题：

其中用独立性检验可以解决的问题有( )

A．①②③

C．②③④⑤

答案 B

解析 ①③都不是判断两个分类变量间的关系，故错误；②④⑤都是研究两个分类变量之间是否有关系，可以用独立性检验解决．

B．②④⑤

D．①②③④⑤

P(K2≥k0)

0.50

0.455

0.05

3.841

0.40

0.708

0.025

5.024

0.25

1.323

0.010

6.635

0.15

2.072

0.005

7.879

0.10

2.706

0.001

10.828

A.25% B．75% C．2.5% D．97.5%

答案 D

解析 k＝5.024对应的0.025是“X和Y有关系”不可信的程度，因此两个分类变量有关系的可信程度约为97.5%.

5．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表，则下列说法正确的是( )

学习成绩优秀

学习成绩不优秀

总计

A.有99%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用智能手机对学习有影响

D．在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为使用智能手机对学习无影响

答案 C

解析 K2的观测值30×5×5－7×132k＝≈2.801>2.706，

18×12×12×18使用智能手机

不使用智能手机

总计

所以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为使用智能手机对学习有影响．

6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：

专业

性别

男

女

为了判断选该课的学生主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到K2＝非统计专业

统计专业

50×13×20－10×72≈4.844，因为K2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么23×27×20×30这种判断出错的可能性最大为________．

答案 5%

解析因为K2>3.841，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性为5%.

7．下表是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：

男婴

女婴

总计

那么，A＝________，B＝________，C＝________，D＝________，E＝________.

答案 47 92 88 82 53

晚上

白天

总计

180

98＋D＝180，解析由列联表知识得A＋35＝D，E＋35＝C，B＋C＝180，B＝92，解得C＝88，D＝82，E＝53.A＝47，45＋E＝98，

8．假设两个分类变量X与Y，它们的取值分别为{x1，x2}，{y1，y2}，其2×2列联表为

总计

对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组是________．(填序号)

①a＝8，b＝7，c＝6，d＝5；

②a＝8，b＝6，c＝5，d＝7；

③a＝8，b＝5，c＝7，d＝6；

④a＝5，b＝6，c＝8，d＝7.

a＋c

b＋d

总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

答案 ②

解析 |ad－bc|越大，K2越大，X与Y有关的可能性越大，计算得②中|ad－bc|最大．

分数段

午休考生人数

不午休考生人数

(1)根据上述表格完成列联表：

午休

不午休

总计

(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？

解 (1)根据题表中数据可以得到列联表如下：

午休

不午休

总计

解建立性别与态度的2×2列联表如下：

肯定否定总计

及格人数

145

不及格人数

100

135

235

总计

180

200

380

及格人数

不及格人数

总计

17 51 67 15 30 17 3

29～39

40～49 50～59 60～69

47 30 21

70～79

80～89

90～100

男生

女生

总计

126

110

170

根据列联表中的数据得到K2的观测值

170×22×38－22×882k＝≈5.622>5.024.

110×60×44×126因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系．

11.如图是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )

A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的比例约为80%

C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生中不喜欢理科的比例约为60%

答案 C

解析由题图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．

12．根据下面的列联表得到如下四个判断：

患肝病

未患肝病

总计

其中正确命题的个数为( )

A．0 B．1 C．2 D．3

答案 C

解析由列联表中数据可求得随机变量K2992×700×32－60×2002的观测值k＝760×232×900×92嗜酒

700

200

900

不嗜酒

总计

760

232

992

13．有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，

其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为( )

A．8

C．8或9

答案 C

解析根据公式，得K2的观测值

65×[a30＋a－15－a20－a]2k＝

20×45×15×5013×13a－602＝>3.841，根据a>5且15－a>5，

20×45×3×2a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．

表1

B．9

D．6或8

15－a

20－a

30＋a

成绩

性别

男

女

总计

不及格

及格

总计

表2

视力

性别

男

女

总计

表3

智商

性别

男

女

总计

表4

阅读量

性别

男

女

总计

A.成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量

答案 D

解析 K2＝nad－bc2，经检验表4中K2最大，故阅读量与性别有关联的可能a＋bc＋da＋cb＋d丰富

不丰富

总计

偏高

正常

总计

好

不好

总计

性最大．

15．2019年英超联赛期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢利物浦

队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：

高于40岁

不高于40岁

总计

3若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢利物浦队的人的概率为，则有超过5________的把握认为年龄与利物浦队的被喜欢程度有关．

附：K2＝nad－bc2.

a＋bc＋da＋cb＋d0.15

2.072

0.10

2.706

0.05

3.841

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

不喜欢利物浦队

喜欢利物浦队

总计

100

P(K2≥k0)

答案 95%

解析设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢利物浦队的人”为事件A，由已知得P(A)＝q＋353＝，

1005所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.

K2的观测值100×25×35－25×15225k＝＝≈4.167>3.841.

640×60×50×50故有超过95%的把握认为年龄与利物浦队的被喜欢程度有关．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

附：

P(K2≥k0)

K2＝nad－bc2.

a＋bc＋da＋cb＋d0.100

2.706

0.050

3.841

0.010

6.635

0.005

7.879

4 500解 (1)由分层抽样可得300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

每周平均体育运动时间不超过4小时

每周平均体育运动时间超过4小时

总计

结合列联表可算得K2的观测值

300×45×60－30×1652k＝≈4.762>3.841.

75×225×210×90所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

男生

165

210

女生

总计

225

300