2023年12月18日发(作者：段干佳惠)

课时达标训练

一、基础过关

1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )

A．抽签法

B．随机数法

D．分层抽样法 C．系统抽样法

答案 D

解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．

2．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案 B

解析 A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．

3．具有A、B、C三种性质的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取( )

A．12、6、3

C．3、6、12

答案 C

解析 因为A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样，

1∴A种元素抽取的个数为21×＝3，

72B种元素抽取的个数为21×＝6，

74C种元素抽取的个数为21×＝12.

74．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出

B．12、3、6

D．3、12、6

( )

16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是

A．8,8

C．9,7

答案 C

B．10,6

D．12,4

( )

16111解析 抽样比为＝，则一班和二班分别被抽取的人数是54×＝9,42×＝7.

6654＋4265．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法 ( )

①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．

A．②③

答案 D

解析 由于各家庭有明显的差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法．

6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

答案 15

解析 抽取比例与学生比例一致．

设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.

7．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3 000件，4 000件，

8 000件．若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？

解 总体中的个体数N＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，样本容量n＝150，抽样比例为n15011＝＝，所以应该在第1条流水线生产的产品中随机抽取3 000×＝30(件)N15 产品，在第2条流水线生产的产品中随机抽取4 000×＝40(件)产品，在第3条流水1001线生产的产品中随机抽取8 000×＝80(件)产品．这里因为每条流水线所生产的产品100数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法．

二、能力提升

8．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的1两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样100 B．①③ C．③ D．①②③

本，则应抽取高一学生数为

( )

A．8

答案 A

B．11 C．16 D．10

xxxx解析 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋2222800＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.

1009．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽样本的方法是

A．简单随机抽样

B．系统抽样

C．先从中年人中剔除1人，再用分层抽样

D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样

答案 D

解析 总人数为28＋54＋81＝163.样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本．

10．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．

答案 88

解析 在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致2＋3＋5＋1的．所以，样本容量n＝×16＝88.

211．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．

解 (1)系统抽样方法：将200个产品编号1,2，…，200，再将编号分为20段，每段10个编号，第一段为1～10号，…，第20段为191～200号．在第1段用抽签法从中抽取1个，如抽取了6号，再按预先给定规则，通常可用加间隔数10，第二段取16号，第三段取26号…，第20段取196号，这样可得到一个容量为20的样本．

(2)分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20∶200＝1∶10，所以一、二、111三级品中分别抽取的个体数目依次是100×，60×，40×，即10,6,4.将一级品的101010100个产品按00,01,02，…，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…，59编号， ( )

将三级品的40个产品按00,01,02，…，39编号，采用随机数表法，分别抽取10个，6个，4个．这样可得容量为20的一个样本．

12．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.

36解 因为采用系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且是6的n约数，即n又是6的倍数，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的约数，故n只能是4,6,34，综合得n＝6，即样本容量为6.

三、探究与拓展

13．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．

(1)采用哪种抽样方法才能得到比较客观的评价结论？教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数各是什么？

(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？

(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？

解 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．

1202因为样本容量＝120，总体个数＝500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：＝，

7 50012522所以有500×＝8,3 000×＝48，

12512524 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.

125(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤：

①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001,0 002，0 003，…，3 000.

②在随机数表上随机选取一个起始位置．

③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．

(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1,2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，…，62.

从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本；23,85,147,209,271,333,395,457，…，3 929.

2023年12月18日发(作者：段干佳惠)

课时达标训练

一、基础过关

1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )

A．抽签法

B．随机数法

D．分层抽样法 C．系统抽样法

答案 D

解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样．

2．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是

A．从10名同学中抽取3人参加座谈会

B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本

C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案 B

解析 A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．

3．具有A、B、C三种性质的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取( )

A．12、6、3

C．3、6、12

答案 C

解析 因为A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样，

1∴A种元素抽取的个数为21×＝3，

72B种元素抽取的个数为21×＝6，

74C种元素抽取的个数为21×＝12.

74．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出

B．12、3、6

D．3、12、6

( )

16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是

A．8,8

C．9,7

答案 C

B．10,6

D．12,4

( )

16111解析 抽样比为＝，则一班和二班分别被抽取的人数是54×＝9,42×＝7.

6654＋4265．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法 ( )

①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．

A．②③

答案 D

解析 由于各家庭有明显的差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法．

6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

答案 15

解析 抽取比例与学生比例一致．

设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.

7．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3 000件，4 000件，

8 000件．若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？

解 总体中的个体数N＝3 000＋4 000＋8 000＝15 000，样本容量n＝150，抽样比例为n15011＝＝，所以应该在第1条流水线生产的产品中随机抽取3 000×＝30(件)N15 产品，在第2条流水线生产的产品中随机抽取4 000×＝40(件)产品，在第3条流水1001线生产的产品中随机抽取8 000×＝80(件)产品．这里因为每条流水线所生产的产品100数都较多，所以，在每条流水线的产品中抽取样品时，宜采用系统抽样方法．

二、能力提升

8．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的1两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样100 B．①③ C．③ D．①②③

本，则应抽取高一学生数为

( )

A．8

答案 A

B．11 C．16 D．10

xxxx解析 若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋2222800＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.

1009．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽样本的方法是

A．简单随机抽样

B．系统抽样

C．先从中年人中剔除1人，再用分层抽样

D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样

答案 D

解析 总人数为28＋54＋81＝163.样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9，则中年人取12人，青年人取18人，先从老年人中剔除1人，老年人取6人，组成36的样本．

10．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．

答案 88

解析 在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致2＋3＋5＋1的．所以，样本容量n＝×16＝88.

211．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．

解 (1)系统抽样方法：将200个产品编号1,2，…，200，再将编号分为20段，每段10个编号，第一段为1～10号，…，第20段为191～200号．在第1段用抽签法从中抽取1个，如抽取了6号，再按预先给定规则，通常可用加间隔数10，第二段取16号，第三段取26号…，第20段取196号，这样可得到一个容量为20的样本．

(2)分层抽样方法：因为样本容量与总体的个体数的比为20∶200＝1∶10，所以一、二、111三级品中分别抽取的个体数目依次是100×，60×，40×，即10,6,4.将一级品的101010100个产品按00,01,02，…，99编号，将二级品的60个产品按00,01,02，…，59编号， ( )

将三级品的40个产品按00,01,02，…，39编号，采用随机数表法，分别抽取10个，6个，4个．这样可得容量为20的一个样本．

12．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.

36解 因为采用系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且是6的n约数，即n又是6的倍数，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的约数，故n只能是4,6,34，综合得n＝6，即样本容量为6.

三、探究与拓展

13．某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估．

(1)采用哪种抽样方法才能得到比较客观的评价结论？教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数各是什么？

(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？

(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？

解 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样．

1202因为样本容量＝120，总体个数＝500＋3 000＋4 000＝7 500，则抽样比：＝，

7 50012522所以有500×＝8,3 000×＝48，

12512524 000×＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.

125(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤：

①编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001,0 002，0 003，…，3 000.

②在随机数表上随机选取一个起始位置．

③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止．

(3)由于4 000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1,2，…，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，…，62.

从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本；23,85,147,209,271,333,395,457，…，3 929.