2024年1月4日发(作者：亓云英)
三星、四星模型
1．如右图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（M>> m1，M>> m2）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb=1∶k；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，则 （ ）
A．a、b距离最近的次数为k次
B．a、b距离最近的次数为k+1次
C．a、b、c共线的次数为2k
D．a、b、c共线的次数为2k-2
2．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?
3．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比T1T2.
1．D
【解析】在b转动一周过程中，a、b距离最远的次数为k-1次，a、b距离最近的次数为k-1次，故a、b、c共线的次数为2k-2，选项D正确。
2．
1 / 3
R35GmR4π2R5Gm (1)
12()3R(2)5
1 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:
Gm22RF1=Gm2F2(2R)2
F1+F2=mv2/R
5GmR运动星体的线速度:v =2R
2πR周期为T,则有T=v
R3T=4π5Gm
(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为
R′=r/2cos30
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：
Gm222F合=rcos30°
4π22F合=mTR′
12()3所以r=5R
1T1(4-2)(3-3)=43．T2
2 / 3
a
O
a
O
r
对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有
m2m2422Gcos30+G2=m2a2aT1(3a)
2(3-3)a3T=Gm解得
21①
②
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2024年1月4日发(作者：亓云英)
三星、四星模型
1．如右图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（M>> m1，M>> m2）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb=1∶k；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，则 （ ）
A．a、b距离最近的次数为k次
B．a、b距离最近的次数为k+1次
C．a、b、c共线的次数为2k
D．a、b、c共线的次数为2k-2
2．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?
3．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比T1T2.
1．D
【解析】在b转动一周过程中，a、b距离最远的次数为k-1次，a、b距离最近的次数为k-1次，故a、b、c共线的次数为2k-2，选项D正确。
2．
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R35GmR4π2R5Gm (1)
12()3R(2)5
1 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:
Gm22RF1=Gm2F2(2R)2
F1+F2=mv2/R
5GmR运动星体的线速度:v =2R
2πR周期为T,则有T=v
R3T=4π5Gm
(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为
R′=r/2cos30
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：
Gm222F合=rcos30°
4π22F合=mTR′
12()3所以r=5R
1T1(4-2)(3-3)=43．T2
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a
O
a
O
r
对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有
m2m2422Gcos30+G2=m2a2aT1(3a)
2(3-3)a3T=Gm解得
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