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苹果与盘子排列组合笔记富爸整理(2)
2024年1月24日发(作者：南臻)
一、把8个相同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子必须放，共有___种不同的放法?
如果把如果要将8个相同元素分给3个盘子, 每个盘子至少1个,那么我们可以将苹果排成一排，8个苹果会形成7个空隙（两个苹果之间形成一个相邻的空隙）。假设你手里有两块板，将这两块版插入到7个空隙的两个里，每个空隙只能插一块板，这就
是插板法，具体的插法有
种。
下图用圆圈表示苹果，箭头所示为可以插板的空隙。
注意到这种方法实际上就是相同对象的进行分组后再进行分配过程。比如，如果插板后为125，那么就是默认第一个盘子1个，第二个盘子2个，第三个盘子5个；如果插板的结果是215，那么就是默认第一个盘子2个，第二个盘子1个，第三个盘子5个；上述结果虽然分组相同，但分配对象不同，结果也不一样，暗含了排列的过程。
二、把8个相同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
解法一：从插板法的角度看待这个问题，因为每个盘子可放也可不放，那么我们可以将8个苹果排成一排，在插第一块板的时候，我们可以在8个苹果形成的9个空隙里插；也就是说一排苹果的两头也可以插板了，如果插在两头，就意味着有一个盘子是空的。插完第一块插板后，算上插板在内，可以形成10个空隙，第二块板可以插在10个空隙中的任何一个。这样结果就是 。但是二块插板实际上是无序的，所以要除以2， .
步骤一：
步骤二：
解法二：选板法：因为每个盘子可放也可不放，那么我们也可以将8个苹果和2块插板随意排成一排，两块插板形成的三个分区里的苹果数量就是三个盘子里的数量，如果两块插板相邻，或者在一头，那么就会有空盘出现。因为苹果和插板都是无区别的，
我们可以看做从10个位置里挑两个放插板（所以叫选板法），也就是
解法三：还是插板法：第一种方法的插板法，我们突破的常规插板法的方法，放宽到两头的空隙都可以插，这样就可以形成分组有0个元素的情况。这里，我们改变一下思路，因为要分配给3个对象，我们就加上三个苹果，然后只能在苹果之间的空隙里插板，也就是在11个苹果形成的10个空隙里插板，对苹果进行分组后，每组至少大于等
于1，最后每组减掉1，这样也可以形成分组为0的情况。
三、把8个相同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法?
解法一：
如果把如果要将n个相同元素分给m个人, 每人至少1个, 那么可用m-1块隔板插入一排n个相同元素间的一个空隙中, 就可分成m份, 各份元素个数分别对应于相应各个人应分配的个数（插板法）。注意到这种方法是m个不同的分配对象是有区别的，插板的过程是有序排列的过程，而本题三个分配对象是相同的。因此我们先把3个盘子看成不同的，所以最后再进行消序。
1、我们先把这些苹果分成3份，放到不同的盘子里，那么根据插板法，就有
2、然后我们需要消序了，但是这里有个陷阱，也就是不同的分组法，其出现频率是不一样的，比如116这一分组有三种有序分组：116,161,611，类似的有224,332；而例如125却有六种有序分组（
），如125,152,215,251,512,521。
如果我们把116,224,332分别再补上三种有序排列，也就是加上3×3，那么消序过程就简单了，直接除以6就可以了。
最后的结果是
3、另外一种做法，我们先把116，224，332出现的9种情况减掉，再进行消序，消序好后加上去掉的三种。
最后的结果是
解法二：
也可以向每个盘子放一个，然后用选板法对剩下的5个苹果分配（详细解释看下一题），也就是把5个相同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子可放也可不放。我们相对将5个苹果分到三个不同的盘子（分配），然后进行消序，变成分组问题。
005,113,221，分别有三种有序排列，其他均有6种。
最后的结果是
四、把8个相同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
如果把如果要将n个相同元素分给m个人, 每人可以分到0个（不分到）, 那么可以看成用m-1块隔板与n个相同元素放到m-1+n个位置上, 隔板之间的元素就是分给每个人的数量，这样就可分成m份,如果隔板之间没有元素，那么就有人没有分配到东西（选板法）。注意到这种方法是m个不同的分配对象是有区别的，插板的过程是有序排列的过程，而本题三个分配对象是相同的。因此我们先把3个盘子看成不同的，所以最后再进行消序。
1、我们先把这些苹果分成3份，放到不同的盘子里，盘子中可以不放，那么根据
选板法，就有
2、然后我们需要消序了，但是这里有个陷阱，也就是不同的分组法，其出现频率是不一样的，比如116这一分组有三种有序分组：116,161,611，类似的有008， 224, 332，
440；而例如125却有六种有序分组（
），如125, 152, 215, 251, 512, 521。
如果我们把008，116， 224, 332， 440分别再补上三种有序排列，也就是加上3×5，那么消序过程就简单了，直接除以6就可以了。
最后的结果是
3、另外一种做法，我们先把008，116， 224, 332， 440出现的15种情况减掉，再进行消序，消序好后加上去掉的5种。
最后的结果是
五、把8个不同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
用乘法原理来做，第一个苹果有三个盘子可以选择来放入，第二个苹果也有三个选择，那么8个苹果的选择就是
种。
六、把8个不同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法?
1、看成每个盘子可放可不放，用乘法原理来做，第一个苹果有三个盘子可以选择来放入，第二个苹果也有三个选择，那么8个苹果的选择就是
种。
2、减去有空盘的情况。
如果空一个，可以空任意一个，那么就有3种选择，然后问题转变为把8个不同的苹果放到2个不同的盘子里，每个盘子可放也可不放，这种情况有
种；注意这里会出现有两个空盘的情况，后面需要加回来；这里的出现两个空盘次数是这么算的：首先我们空了一个，那么下面空那个有两种选择，所以空两个盘子的情况共有
如果空两个盘子，那么8个苹果只能放到一个盘子里，有3种选择。
3、最后的结果是
七、把8个不同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
1、用乘法原理来做，第一个苹果有三个盘子可以选择来放入，第二个苹果也有三个选择，那么8个苹果的选择就是
种。
2、下面就是消序过程了，在这里我们需要考虑是不是每种分配都有
种。这里只有一种情况只有三种分配，那就是两个盘子是空的情况，分别是800,080,008。其他的有两个数量相同的情况，因为苹果是互不相同的，都是有6种分配方案的。
3、结果是
八、把8个不同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法?
这个题目是第六题和第七题的结合，第六题消序就可以了。
结果是
九、把8个不同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子的最大容量是3个苹果，共有_____不同的放法?
盘子最大容量是3个的排列只有322,232,223
过程就是先从8个里选3个，再从5个里选3个，最后2个就没得选了。这只是一种排列，共有
种排列方法。
结果是
解法都是来自群里的牛爸奥数群的牛妈牛爸，富爸整理。
2024年1月24日发(作者：南臻)
一、把8个相同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子必须放，共有___种不同的放法?
如果把如果要将8个相同元素分给3个盘子, 每个盘子至少1个,那么我们可以将苹果排成一排，8个苹果会形成7个空隙（两个苹果之间形成一个相邻的空隙）。假设你手里有两块板，将这两块版插入到7个空隙的两个里，每个空隙只能插一块板，这就
是插板法，具体的插法有
种。
下图用圆圈表示苹果，箭头所示为可以插板的空隙。
注意到这种方法实际上就是相同对象的进行分组后再进行分配过程。比如，如果插板后为125，那么就是默认第一个盘子1个，第二个盘子2个，第三个盘子5个；如果插板的结果是215，那么就是默认第一个盘子2个，第二个盘子1个，第三个盘子5个；上述结果虽然分组相同，但分配对象不同，结果也不一样，暗含了排列的过程。
二、把8个相同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
解法一：从插板法的角度看待这个问题，因为每个盘子可放也可不放，那么我们可以将8个苹果排成一排，在插第一块板的时候，我们可以在8个苹果形成的9个空隙里插；也就是说一排苹果的两头也可以插板了，如果插在两头，就意味着有一个盘子是空的。插完第一块插板后，算上插板在内，可以形成10个空隙，第二块板可以插在10个空隙中的任何一个。这样结果就是 。但是二块插板实际上是无序的，所以要除以2， .
步骤一：
步骤二：
解法二：选板法：因为每个盘子可放也可不放，那么我们也可以将8个苹果和2块插板随意排成一排，两块插板形成的三个分区里的苹果数量就是三个盘子里的数量，如果两块插板相邻，或者在一头，那么就会有空盘出现。因为苹果和插板都是无区别的，
我们可以看做从10个位置里挑两个放插板（所以叫选板法），也就是
解法三：还是插板法：第一种方法的插板法，我们突破的常规插板法的方法，放宽到两头的空隙都可以插，这样就可以形成分组有0个元素的情况。这里，我们改变一下思路，因为要分配给3个对象，我们就加上三个苹果，然后只能在苹果之间的空隙里插板，也就是在11个苹果形成的10个空隙里插板，对苹果进行分组后，每组至少大于等
于1，最后每组减掉1，这样也可以形成分组为0的情况。
三、把8个相同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法?
解法一：
如果把如果要将n个相同元素分给m个人, 每人至少1个, 那么可用m-1块隔板插入一排n个相同元素间的一个空隙中, 就可分成m份, 各份元素个数分别对应于相应各个人应分配的个数（插板法）。注意到这种方法是m个不同的分配对象是有区别的，插板的过程是有序排列的过程，而本题三个分配对象是相同的。因此我们先把3个盘子看成不同的，所以最后再进行消序。
1、我们先把这些苹果分成3份，放到不同的盘子里，那么根据插板法，就有
2、然后我们需要消序了，但是这里有个陷阱，也就是不同的分组法，其出现频率是不一样的，比如116这一分组有三种有序分组：116,161,611，类似的有224,332；而例如125却有六种有序分组（
），如125,152,215,251,512,521。
如果我们把116,224,332分别再补上三种有序排列，也就是加上3×3，那么消序过程就简单了，直接除以6就可以了。
最后的结果是
3、另外一种做法，我们先把116，224，332出现的9种情况减掉，再进行消序，消序好后加上去掉的三种。
最后的结果是
解法二：
也可以向每个盘子放一个，然后用选板法对剩下的5个苹果分配（详细解释看下一题），也就是把5个相同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子可放也可不放。我们相对将5个苹果分到三个不同的盘子（分配），然后进行消序，变成分组问题。
005,113,221，分别有三种有序排列，其他均有6种。
最后的结果是
四、把8个相同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
如果把如果要将n个相同元素分给m个人, 每人可以分到0个（不分到）, 那么可以看成用m-1块隔板与n个相同元素放到m-1+n个位置上, 隔板之间的元素就是分给每个人的数量，这样就可分成m份,如果隔板之间没有元素，那么就有人没有分配到东西（选板法）。注意到这种方法是m个不同的分配对象是有区别的，插板的过程是有序排列的过程，而本题三个分配对象是相同的。因此我们先把3个盘子看成不同的，所以最后再进行消序。
1、我们先把这些苹果分成3份，放到不同的盘子里，盘子中可以不放，那么根据
选板法，就有
2、然后我们需要消序了，但是这里有个陷阱，也就是不同的分组法，其出现频率是不一样的，比如116这一分组有三种有序分组：116,161,611，类似的有008， 224, 332，
440；而例如125却有六种有序分组（
），如125, 152, 215, 251, 512, 521。
如果我们把008，116， 224, 332， 440分别再补上三种有序排列，也就是加上3×5，那么消序过程就简单了，直接除以6就可以了。
最后的结果是
3、另外一种做法，我们先把008，116， 224, 332， 440出现的15种情况减掉，再进行消序，消序好后加上去掉的5种。
最后的结果是
五、把8个不同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
用乘法原理来做，第一个苹果有三个盘子可以选择来放入，第二个苹果也有三个选择，那么8个苹果的选择就是
种。
六、把8个不同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法?
1、看成每个盘子可放可不放，用乘法原理来做，第一个苹果有三个盘子可以选择来放入，第二个苹果也有三个选择，那么8个苹果的选择就是
种。
2、减去有空盘的情况。
如果空一个，可以空任意一个，那么就有3种选择，然后问题转变为把8个不同的苹果放到2个不同的盘子里，每个盘子可放也可不放，这种情况有
种；注意这里会出现有两个空盘的情况，后面需要加回来；这里的出现两个空盘次数是这么算的：首先我们空了一个，那么下面空那个有两种选择，所以空两个盘子的情况共有
如果空两个盘子，那么8个苹果只能放到一个盘子里，有3种选择。
3、最后的结果是
七、把8个不同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子可放也可不放，共有_____种不同的放法?
1、用乘法原理来做，第一个苹果有三个盘子可以选择来放入，第二个苹果也有三个选择，那么8个苹果的选择就是
种。
2、下面就是消序过程了，在这里我们需要考虑是不是每种分配都有
种。这里只有一种情况只有三种分配，那就是两个盘子是空的情况，分别是800,080,008。其他的有两个数量相同的情况，因为苹果是互不相同的，都是有6种分配方案的。
3、结果是
八、把8个不同的苹果放到3个相同的盘子里，每个盘子必须放，共有_____种不同的放法?
这个题目是第六题和第七题的结合，第六题消序就可以了。
结果是
九、把8个不同的苹果放到3个不同的盘子里，每个盘子的最大容量是3个苹果，共有_____不同的放法?
盘子最大容量是3个的排列只有322,232,223
过程就是先从8个里选3个，再从5个里选3个，最后2个就没得选了。这只是一种排列，共有
种排列方法。
结果是
解法都是来自群里的牛爸奥数群的牛妈牛爸，富爸整理。