2024年1月24日发(作者：始澹)

(完整)YJK软件楼层刚心算法

YJK楼层刚心算法

测试部 徐小童

1.

刚心定义

在强刚假定下，楼层收到外力时会绕一个固定点转动，这个固定点就是刚心,当水平力作用在刚心时，楼层不会产生扭转位移.

2.

刚心计算假定

全层强制刚性楼板假定(忽略洞口、降板等影响），认为楼层内所有节点符合刚性楼板假定，软件采用单层模型计算刚心。

3.

理论推导

刚心的定义是在刚性楼板上的任意一点施加水平力,楼板都绕一个固定点旋转，以下推导过程基于小变形假定。

以上图为例，假设任意形状刚性板,在刚性板上任意取O点作为研究对象，楼层外力的合力在O点上的投θ影为FxO,FyO,MO，并对O点产生位移xO,yO,O，假设刚性楼板围绕A点旋转，即A为刚心。

TT首先考察O点的受力，其平衡方程为：

xOFxO

[KO]yOFyO

θMOO 式错误!未定义书签。

其中[KO]为以O点为参考点的楼层刚度矩阵，则O点位移为:

1

(完整)YJK软件楼层刚心算法

xOFxOFxO1y[K]F[F]F

OOyOOyO

θMMOOO其中[FO]为楼层相对于O点的柔度矩阵

根据刚体运动公式，已知O点位移，则刚体任意一点位移（如A点）为：

式1

xA10△yxOy

y01△xAOθ00θ1OA 式2

10△y其中[Q]01△x为转换矩阵,则有:

100xAxO1yQyAO

θθAO 式错误!未定义书签。

1一个楼层无论以哪个点作为参考点，其作用均相等,则楼层在点O、点A为参考点下的做功一致，有：

xO1WyO2Oθ将式4带入式5并简化得：

TTFxOxA1FyO2yAMθOATFxA

FyAMA 式3

xOyOθOFxOxOFxA1TF(Qy)FyOOyAMθMOOATxOFxOxOFxA1T

yFy(Q)FOyOOyAθMθMOOOAFxOFxAT1F(Q)FyOyAMMOA最终推出点A处的合力公式：

T

FxAFxOTFQFyAyO

MMAO此时考察A点的平衡方程：

式4

2

(完整)YJK软件楼层刚心算法

xAFxAy[F]FAAyA

θMAA将式4、式6带入式7并做整理,得到：

式错误!未定义书签。

xOFxOTyQ[F]QFAOyO

θMOO式8与式2比较，可以得出：

式错误!未定义书签。

[F0]Q[FA]Q

则有:

T 式5

[FA]Q[F0](Q)1Q[F0](Q)T

1T11式6

xAFxA从A点的平衡方程yA[FA]FyA知θ由刚心的定义“刚心处施加A[FA]31FxA[FA]32FyA[FA]33MA，θMAA水品作用不会引起楼板转动”知FxA、FyA不会引起θA的变化，则有：

[FA]31[FA]320

10△y将[Q]01△x带入式10后展开如下：

100FA11FA21FA31FA12FA22FA32FA1310△yFO11FFA2301△xO21001FA33FO31FO12FO22FO321 式7

FO1310△yT 式错误!未定义书签。

FO2301△x001FO33式12可以求出[FA]31、[FA]32，再结合式11,推出以下公式：

[FA]31[FO]31△y[FO]330

[FA]32[FO]32+△x[FO]330其中△xxAxO，△yyAyO，带入式13，即可求出刚心的坐标公式：

式8

xAxO[FO]32/[FO]33

yy[F]/[F]OO31O33A 式错误!未定义书签。

式14即为楼层刚心的求解公式，其中O点的位置可以任意选取，软件选取刚性楼板质心作为O点进行计算的。

3

(完整)YJK软件楼层刚心算法

4.

手算过程

下面以一个实际工程手核楼层的刚心位置。为了计算方便,公式中的柔度矩阵采用软件的计算结果反推，而不是由刚度公式直接求解。

该用户工程为一个框剪结构,Y向剪力墙偏置，第2~6层的刚心偏出结构范围

下面随机取3个点作为O点，分别计算刚心位置。

以O1点为例说明手核过程

软件以单层模型计算楼层刚心，所以将所要计算的楼层拆出来单独计算（本例中为第2标准层）。

由于要求O1点的柔度[FO]31、[FO]32、[FO]33，所以分别在O1点施加Fx、Fy、T（大小随意，只要能计算出精度足够的位移即可)，这里施加Fx=Fy=1kN、T=1kN*m，采用自定义工况进行施加（为了排除其他荷载的影响)。

4

(完整)YJK软件楼层刚心算法

只对恒、活进行计算，采用强刚模型

计算后分别提取O点坐标、自定义工况下O点（1000001号）的转角位移，计算刚心

5

(完整)YJK软件楼层刚心算法

由式14即可计算出刚心位置，下表列出O1、O2、O3计算刚心的过程，（xA,yA） 为计算出刚心A点的坐标。

Fx

1

θFx

—4。44E-10

[F0］31

—4。435E—10

Fy

O1

T

x0

y0

Fx

Fy

O2

T

x0

y0

Fx

Fy

O3

T

x0

y0

1

1

57.56

θFy

θT

—27.48

—7。10E—09

2.79E—10

xA

yA

-2.44E—09

—1.88E—09

2.79E-10

xA

yA

-2。81E-09

6。76E—09

2。79E-10

xA

yA

6

[F0]32

[F0］33

—7。097E—09

2.787E—10

83.03

-29.08

1

1

1

76.26

θFx

θFy

θT

—20.33

[F0］31

［F0]32

［F0]33

-2。437E-09

-1。884E-09

2。787E—10

83。02

-29.08

1

1

1

θFx

θFy

θT

107.26

—19.00

[F0]31

[F0］32

［F0］33

—2。809E-09

6.757E-09

2。787E-10

83.02

-29.08

(完整)YJK软件楼层刚心算法

由上表可以看出，无论以哪个点作为基准点，计算出来的楼层刚心位置都是（83。02,—29.08),且与软件输出的刚心位置一致。

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2024年1月24日发(作者：始澹)

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YJK楼层刚心算法

测试部 徐小童

1.

刚心定义

在强刚假定下，楼层收到外力时会绕一个固定点转动，这个固定点就是刚心,当水平力作用在刚心时，楼层不会产生扭转位移.

2.

刚心计算假定

全层强制刚性楼板假定(忽略洞口、降板等影响），认为楼层内所有节点符合刚性楼板假定，软件采用单层模型计算刚心。

3.

理论推导

刚心的定义是在刚性楼板上的任意一点施加水平力,楼板都绕一个固定点旋转，以下推导过程基于小变形假定。

以上图为例，假设任意形状刚性板,在刚性板上任意取O点作为研究对象，楼层外力的合力在O点上的投θ影为FxO,FyO,MO，并对O点产生位移xO,yO,O，假设刚性楼板围绕A点旋转，即A为刚心。

TT首先考察O点的受力，其平衡方程为：

xOFxO

[KO]yOFyO

θMOO 式错误!未定义书签。

其中[KO]为以O点为参考点的楼层刚度矩阵，则O点位移为:

1

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xOFxOFxO1y[K]F[F]F

OOyOOyO

θMMOOO其中[FO]为楼层相对于O点的柔度矩阵

根据刚体运动公式，已知O点位移，则刚体任意一点位移（如A点）为：

式1

xA10△yxOy

y01△xAOθ00θ1OA 式2

10△y其中[Q]01△x为转换矩阵,则有:

100xAxO1yQyAO

θθAO 式错误!未定义书签。

1一个楼层无论以哪个点作为参考点，其作用均相等,则楼层在点O、点A为参考点下的做功一致，有：

xO1WyO2Oθ将式4带入式5并简化得：

TTFxOxA1FyO2yAMθOATFxA

FyAMA 式3

xOyOθOFxOxOFxA1TF(Qy)FyOOyAMθMOOATxOFxOxOFxA1T

yFy(Q)FOyOOyAθMθMOOOAFxOFxAT1F(Q)FyOyAMMOA最终推出点A处的合力公式：

T

FxAFxOTFQFyAyO

MMAO此时考察A点的平衡方程：

式4

2

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xAFxAy[F]FAAyA

θMAA将式4、式6带入式7并做整理,得到：

式错误!未定义书签。

xOFxOTyQ[F]QFAOyO

θMOO式8与式2比较，可以得出：

式错误!未定义书签。

[F0]Q[FA]Q

则有:

T 式5

[FA]Q[F0](Q)1Q[F0](Q)T

1T11式6

xAFxA从A点的平衡方程yA[FA]FyA知θ由刚心的定义“刚心处施加A[FA]31FxA[FA]32FyA[FA]33MA，θMAA水品作用不会引起楼板转动”知FxA、FyA不会引起θA的变化，则有：

[FA]31[FA]320

10△y将[Q]01△x带入式10后展开如下：

100FA11FA21FA31FA12FA22FA32FA1310△yFO11FFA2301△xO21001FA33FO31FO12FO22FO321 式7

FO1310△yT 式错误!未定义书签。

FO2301△x001FO33式12可以求出[FA]31、[FA]32，再结合式11,推出以下公式：

[FA]31[FO]31△y[FO]330

[FA]32[FO]32+△x[FO]330其中△xxAxO，△yyAyO，带入式13，即可求出刚心的坐标公式：

式8

xAxO[FO]32/[FO]33

yy[F]/[F]OO31O33A 式错误!未定义书签。

式14即为楼层刚心的求解公式，其中O点的位置可以任意选取，软件选取刚性楼板质心作为O点进行计算的。

3

(完整)YJK软件楼层刚心算法

4.

手算过程

下面以一个实际工程手核楼层的刚心位置。为了计算方便,公式中的柔度矩阵采用软件的计算结果反推，而不是由刚度公式直接求解。

该用户工程为一个框剪结构,Y向剪力墙偏置，第2~6层的刚心偏出结构范围

下面随机取3个点作为O点，分别计算刚心位置。

以O1点为例说明手核过程

软件以单层模型计算楼层刚心，所以将所要计算的楼层拆出来单独计算（本例中为第2标准层）。

由于要求O1点的柔度[FO]31、[FO]32、[FO]33，所以分别在O1点施加Fx、Fy、T（大小随意，只要能计算出精度足够的位移即可)，这里施加Fx=Fy=1kN、T=1kN*m，采用自定义工况进行施加（为了排除其他荷载的影响)。

4

(完整)YJK软件楼层刚心算法

只对恒、活进行计算，采用强刚模型

计算后分别提取O点坐标、自定义工况下O点（1000001号）的转角位移，计算刚心

5

(完整)YJK软件楼层刚心算法

由式14即可计算出刚心位置，下表列出O1、O2、O3计算刚心的过程，（xA,yA） 为计算出刚心A点的坐标。

Fx

1

θFx

—4。44E-10

[F0］31

—4。435E—10

Fy

O1

T

x0

y0

Fx

Fy

O2

T

x0

y0

Fx

Fy

O3

T

x0

y0

1

1

57.56

θFy

θT

—27.48

—7。10E—09

2.79E—10

xA

yA

-2.44E—09

—1.88E—09

2.79E-10

xA

yA

-2。81E-09

6。76E—09

2。79E-10

xA

yA

6

[F0]32

[F0］33

—7。097E—09

2.787E—10

83.03

-29.08

1

1

1

76.26

θFx

θFy

θT

—20.33

[F0］31

［F0]32

［F0]33

-2。437E-09

-1。884E-09

2。787E—10

83。02

-29.08

1

1

1

θFx

θFy

θT

107.26

—19.00

[F0]31

[F0］32

［F0］33

—2。809E-09

6.757E-09

2。787E-10

83.02

-29.08

(完整)YJK软件楼层刚心算法

由上表可以看出，无论以哪个点作为基准点，计算出来的楼层刚心位置都是（83。02,—29.08),且与软件输出的刚心位置一致。

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