2024年2月1日发(作者：茆奇思)

数学试题

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A0,1,2，集合B1,0,1，则AB=

` A．0,1

2．下列选项不正确的是

B．1 C

．1,0,1

D．1,0,1,2

11 C．A．sinxcosx B．cosxsinx D．2xxA．11 B．5

2x21x

3．已知函数fx是奇函数，当x0时，fx2xx2，则f2f1=

C．8 D．5

4．命题“x0(0,)，x012x0”的否定为

A．x(0,)，x212x

C．x(,0)，x212x

B．x(0,)，x212x

D．x,0，x212x

5．设xR，则“x24x0”是“x21”的

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

6．学校要邀请9位家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为__________种．

A．140 B．98 C．84 D．49

7．已知可导函数fx的导函数为fx，f02022，若对任意的xR,都有fxfx，则不等式fx2022ex的解集为

A．

．

D．0,

20222022,0 B． C．

,,22ee328．已知函数fxax3x1，若fx有且只有一个零点x0，且x00，则实数a的取值范围是

A．,2 B．2,0 C．2, D．0,2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设a,b,c,d是实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是

A．c2cd

10．在2xB．acbd C．acbd D．cd0

abx的展开式中，下列说法正确的是

1

6

A．所有二项式系数之和为26

C．所有项的系数的和为36

B．第4项的二项式系数最大

D．x3的系数是4

11．已知定义在R上的函数yfx满足条件fx3fx，且函数23yfx为

奇函数，下列有关命题的说法正确的是

4A．f(x)为周期函数

C．f(x)为R上的单调函数

B．f(x)为R上的偶函数

D．f(x)的图象关于点

3,0对称

4x11|log5(1x)|，x12．函数f(x)，则关于的方程f(x2)a(aR)的实数根个数2x(x2)2，x1可能为

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题后的横线上)

13．曲线ylnx1在0,0处的切线方程为________．

14．已知a1，则a15．已知a4的最小值为________________．

a12，b33，c66，则a,b,c的大小关系是_____________．

1x31,x016．已知函数fx2，若存在实数abc，满足lnx,x0fafbfc，则afabfbcfc的最大值是________________．

四、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分)

化简求值：

（1）272e10231415216

（2）lg5lg20lg

18．(本小题满分12分)

1lg25

42

第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施，某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：

满意情况

满意

不满意

合计

年龄

50岁以下

95

120

50岁或50岁以上

25

合计

200

（1）完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；

（2）依据小概率值0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关．

附：



x

20.10

2.706

0.05

3.841

20.025

5.024

0.01

6.635

0.001

10.828

nadbc，其中nabcd．

abcdacbd

19．(本小题满分12分)

有三个条件：

①函数f(x)在x1处取得极小值2；②f(x)在x1处取得极大值6；

③函数fx的极大值为6，极小值为2．

这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题．

题目：已知函数fxx3axba0，并且_____．

3（1）求fx的解析式；

（2）当x3,1时，求函数fx的最值．

20．(本小题满分12分)

已知函数yfx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx2x．

2（1）求函数fx的解析式；

（2）若x0，fxmx1，求m的取值范围．

21．(本小题满分12分)

3

为了促进学生加强体育锻炼，提升身体素质，某校决定举行羽毛球单打比赛，甲和乙进入了决赛，决赛采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且每局比赛结果互不影响．

（1）求决赛只比赛三局就结束的概率；

（2）假设比赛规定：每局胜者得2分，负者得1分．

①求甲得5分的概率；

②设甲的分数为，求随机变量的分布列和数学期望．

22．(本小题满分12分)

已知函数fxalnxx．

（1）讨论fx在0,1上的单调性；

（2）若fx在x1处取得极值，证明：fxxex0．

4

2021—2022学年第二学期高二期末考试数学答案

1-5 DCBAC 6-8 DBC

13.xy0 14.

5

17.（1）75

（2）1

18.（1）

满意情况

满意

不满意

合计

年龄

50岁以下

95

25

120

50岁或50岁以上

55

25

80

合计

150

50

200

11. ABD 12. BCD

15.

bac 16.2e212

.................................................5分

................................................10分

本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为1503.................................................6分

2004（2）零假设为H0:本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.

根据列联表中的数据，计算可得

nadbc20095252555252.7783.841，

abcdacbd12080150509222根据小概率值0.05的独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关...................12f10a12分19.若选①：（1）易知fx3x3a，由得，

f12b4经验证，上述解满足题意，所以fxx3x4.

3f10a1若选②：（1）易知fx3x3a，由得，

f16b42经验证，上述解满足题意，所以fxx3x4.

3若选③：（1）易知fx3x3a，令fx3x3a022得xa，

则fx,fx随x的变化情况如下表所示：

5

x

fx

fx

,a



单调递增

a

a,a

a

a,

0

极大值



单调递减

0

极小值



单调递增

3a3aab6a1得，

3b4a3aab2经验证，上述解满足题意，所以fxx3x4.................................................6分

3（2）fxx3x4，fx3x3，令fx3x30，得x1，

322则fx,fx随x的变化情况如下表所示：

x

fx

fx

3

3,1



单调递增

1

1,1



单调递增

1

0

极大值6

0

2

14

所以fxmin14，fxmax6................................................................................12分

20. 【答案】（1）函数yfx是定义在R上的奇函数,可得x0时，f00；

当x0时，fxx2x；当x0时，x0，

2fxfxx22xx22x；

x22x,x0所以fx0,x0.................................................6分

x22x,x0x22x11（2）若x0，fxmx1，即mx2在x0时成立，

xx即1mx2，xmax由x0，x0，x112x2220，所以m0，即m的取值范围是,0xx..................................................................12分

6

21.【解答】解：（1）设甲连胜三局的概率为P1，乙连胜三局的概率为P2，

33则比赛三局就结束的概率PP1P20.60.40.28；................................................4分

31)0.630.40.2592；............6分 （2）①甲得5分的情况为：3胜1负，故概率为(C4②由题意可知，可取3，1，1，4，5，6，

所以P(3)0.430.064，P(1)30.430.60.1152，

P(1)60.430.620.13824，P(4)60.630.420.20736，

P(5)0.2592，P(6)0.630.216，

所以分布列如下：



P

故数学期望为

3

1

0.1152

1

0.13824

4

0.20736

5

0.2592

6

0.216 0.064

E()30.06410.115210.1382440.2073650.259260.2163.25248．

................12分

22.【解答】解：（1）fx1alnx，

x2当a1时，在x0,1上，fx0恒成立，fx单调递减；

当a1时，令fx0，解得xea1，

当x0,e当xea1时，fx0，fx单调递减；

a1a1,1时，fx0，fx单调递增，

综上，当a1时，fx在0,1单调递减；当a1时，fx在0,e单调递减，在ea1,1单调递增.

..................................................5分

二、因为f(x)在x1处取得极值，又fx即f11alnx，则f10，

2x1aln10，解得a1，

217

当a1时，fxlnx，当x0,1时，fx0，fx单调递减；

2x当x1,时，fx0，fx单调递增，

所以x1是函数的极值，因此a1；......................................................7分

x2exlnx11lnxx2x，则f(x)xe，令g(x)xelnx1，

f(x)xxg(x)2xexx2exg(x)，

1，易知g(x)在0,上单调递增，当x0时，x155e811g()e220，则x00,，使得g(x0)0即ex02244x0x022，

则当x0,x0时，gx0，gx单调递减；

当xx0,时，gx0，gx单调递增，所以gxgx011lnx01，

x02令hx减，

1111lnx1，x0,，hx0，所以hx单调递2x2x2x231hxhln20，所以gx0，所以fxxex0..............................12分

528

2024年2月1日发(作者：茆奇思)

数学试题

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A0,1,2，集合B1,0,1，则AB=

` A．0,1

2．下列选项不正确的是

B．1 C

．1,0,1

D．1,0,1,2

11 C．A．sinxcosx B．cosxsinx D．2xxA．11 B．5

2x21x

3．已知函数fx是奇函数，当x0时，fx2xx2，则f2f1=

C．8 D．5

4．命题“x0(0,)，x012x0”的否定为

A．x(0,)，x212x

C．x(,0)，x212x

B．x(0,)，x212x

D．x,0，x212x

5．设xR，则“x24x0”是“x21”的

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

6．学校要邀请9位家长中的6人参加一个座谈会，其中甲、乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为__________种．

A．140 B．98 C．84 D．49

7．已知可导函数fx的导函数为fx，f02022，若对任意的xR,都有fxfx，则不等式fx2022ex的解集为

A．

．

D．0,

20222022,0 B． C．

,,22ee328．已知函数fxax3x1，若fx有且只有一个零点x0，且x00，则实数a的取值范围是

A．,2 B．2,0 C．2, D．0,2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设a,b,c,d是实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是

A．c2cd

10．在2xB．acbd C．acbd D．cd0

abx的展开式中，下列说法正确的是

1

6

A．所有二项式系数之和为26

C．所有项的系数的和为36

B．第4项的二项式系数最大

D．x3的系数是4

11．已知定义在R上的函数yfx满足条件fx3fx，且函数23yfx为

奇函数，下列有关命题的说法正确的是

4A．f(x)为周期函数

C．f(x)为R上的单调函数

B．f(x)为R上的偶函数

D．f(x)的图象关于点

3,0对称

4x11|log5(1x)|，x12．函数f(x)，则关于的方程f(x2)a(aR)的实数根个数2x(x2)2，x1可能为

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题后的横线上)

13．曲线ylnx1在0,0处的切线方程为________．

14．已知a1，则a15．已知a4的最小值为________________．

a12，b33，c66，则a,b,c的大小关系是_____________．

1x31,x016．已知函数fx2，若存在实数abc，满足lnx,x0fafbfc，则afabfbcfc的最大值是________________．

四、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分)

化简求值：

（1）272e10231415216

（2）lg5lg20lg

18．(本小题满分12分)

1lg25

42

第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施，某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：

满意情况

满意

不满意

合计

年龄

50岁以下

95

120

50岁或50岁以上

25

合计

200

（1）完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；

（2）依据小概率值0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关．

附：



x

20.10

2.706

0.05

3.841

20.025

5.024

0.01

6.635

0.001

10.828

nadbc，其中nabcd．

abcdacbd

19．(本小题满分12分)

有三个条件：

①函数f(x)在x1处取得极小值2；②f(x)在x1处取得极大值6；

③函数fx的极大值为6，极小值为2．

这三个条件中，请任意选择一个填在下面的横线上（只要填写序号），并解答本题．

题目：已知函数fxx3axba0，并且_____．

3（1）求fx的解析式；

（2）当x3,1时，求函数fx的最值．

20．(本小题满分12分)

已知函数yfx是定义在R上的奇函数，当x0时，fxx2x．

2（1）求函数fx的解析式；

（2）若x0，fxmx1，求m的取值范围．

21．(本小题满分12分)

3

为了促进学生加强体育锻炼，提升身体素质，某校决定举行羽毛球单打比赛，甲和乙进入了决赛，决赛采用五局三胜制（有一方先胜三局即赢得比赛，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且每局比赛结果互不影响．

（1）求决赛只比赛三局就结束的概率；

（2）假设比赛规定：每局胜者得2分，负者得1分．

①求甲得5分的概率；

②设甲的分数为，求随机变量的分布列和数学期望．

22．(本小题满分12分)

已知函数fxalnxx．

（1）讨论fx在0,1上的单调性；

（2）若fx在x1处取得极值，证明：fxxex0．

4

2021—2022学年第二学期高二期末考试数学答案

1-5 DCBAC 6-8 DBC

13.xy0 14.

5

17.（1）75

（2）1

18.（1）

满意情况

满意

不满意

合计

年龄

50岁以下

95

25

120

50岁或50岁以上

55

25

80

合计

150

50

200

11. ABD 12. BCD

15.

bac 16.2e212

.................................................5分

................................................10分

本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为1503.................................................6分

2004（2）零假设为H0:本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.

根据列联表中的数据，计算可得

nadbc20095252555252.7783.841，

abcdacbd12080150509222根据小概率值0.05的独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关...................12f10a12分19.若选①：（1）易知fx3x3a，由得，

f12b4经验证，上述解满足题意，所以fxx3x4.

3f10a1若选②：（1）易知fx3x3a，由得，

f16b42经验证，上述解满足题意，所以fxx3x4.

3若选③：（1）易知fx3x3a，令fx3x3a022得xa，

则fx,fx随x的变化情况如下表所示：

5

x

fx

fx

,a



单调递增

a

a,a

a

a,

0

极大值



单调递减

0

极小值



单调递增

3a3aab6a1得，

3b4a3aab2经验证，上述解满足题意，所以fxx3x4.................................................6分

3（2）fxx3x4，fx3x3，令fx3x30，得x1，

322则fx,fx随x的变化情况如下表所示：

x

fx

fx

3

3,1



单调递增

1

1,1



单调递增

1

0

极大值6

0

2

14

所以fxmin14，fxmax6................................................................................12分

20. 【答案】（1）函数yfx是定义在R上的奇函数,可得x0时，f00；

当x0时，fxx2x；当x0时，x0，

2fxfxx22xx22x；

x22x,x0所以fx0,x0.................................................6分

x22x,x0x22x11（2）若x0，fxmx1，即mx2在x0时成立，

xx即1mx2，xmax由x0，x0，x112x2220，所以m0，即m的取值范围是,0xx..................................................................12分

6

21.【解答】解：（1）设甲连胜三局的概率为P1，乙连胜三局的概率为P2，

33则比赛三局就结束的概率PP1P20.60.40.28；................................................4分

31)0.630.40.2592；............6分 （2）①甲得5分的情况为：3胜1负，故概率为(C4②由题意可知，可取3，1，1，4，5，6，

所以P(3)0.430.064，P(1)30.430.60.1152，

P(1)60.430.620.13824，P(4)60.630.420.20736，

P(5)0.2592，P(6)0.630.216，

所以分布列如下：



P

故数学期望为

3

1

0.1152

1

0.13824

4

0.20736

5

0.2592

6

0.216 0.064

E()30.06410.115210.1382440.2073650.259260.2163.25248．

................12分

22.【解答】解：（1）fx1alnx，

x2当a1时，在x0,1上，fx0恒成立，fx单调递减；

当a1时，令fx0，解得xea1，

当x0,e当xea1时，fx0，fx单调递减；

a1a1,1时，fx0，fx单调递增，

综上，当a1时，fx在0,1单调递减；当a1时，fx在0,e单调递减，在ea1,1单调递增.

..................................................5分

二、因为f(x)在x1处取得极值，又fx即f11alnx，则f10，

2x1aln10，解得a1，

217

当a1时，fxlnx，当x0,1时，fx0，fx单调递减；

2x当x1,时，fx0，fx单调递增，

所以x1是函数的极值，因此a1；......................................................7分

x2exlnx11lnxx2x，则f(x)xe，令g(x)xelnx1，

f(x)xxg(x)2xexx2exg(x)，

1，易知g(x)在0,上单调递增，当x0时，x155e811g()e220，则x00,，使得g(x0)0即ex02244x0x022，

则当x0,x0时，gx0，gx单调递减；

当xx0,时，gx0，gx单调递增，所以gxgx011lnx01，

x02令hx减，

1111lnx1，x0,，hx0，所以hx单调递2x2x2x231hxhln20，所以gx0，所以fxxex0..............................12分

528