2024年2月13日发(作者：彭南莲)
。
一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量、颜色、价格、外形、实用、品牌等因素。比较中意的手机有诺基亚N73、摩托罗拉E8、索爱W890i，但不知道购买哪一款好，请你建立数学模型给他一个好的建议。
解：首先对考虑的准则排序：考虑到学生的身份首先考虑的是质量，一部手机只要质量好就行了，其次是价格，作为学生没有经济来源，我们要考虑价格不能太高，接着是实用，一部手机在质量好价格合理的条件下，我们接下来看重的是手机的实用程度，在考虑以上因素之后，就选择品牌、颜色和外形。显然品牌优先于颜色和外形，而颜色和外形并不是我们要考虑的重要因素，因此我们对准则层排序：质量>价格>实用>品牌>颜色>=外形
排完序后我们建立层次结构模型：
购买手机
质量
诺基亚摩托罗拉E8 索爱W890i
方案层
颜色 价格 外形 实用 品牌
准则层
决策层
N73
接着建立成对比矩阵：
A =
1.0000 7.0000 3.0000 8.0000 4.0000 7.0000
-可编辑修改-
。
1/7 1.0000 1/7 3.0000 1/5 1/3
1/3 7.0000 1.0000 6.0000 3.0000 5.0000
1/8 1/3 1/6 1.0000 1/7 1/5
0.2500 5.0000 0.3333 7.0000 1.0000 3.0000
1/7 3.0000 1/5 5.0000 1/3 1.0000
矩阵A的特征根和与特征根对应的特征向量分别为矩阵D与V，如下：
对特征根进行一致性检验。首先非负实特征根对应的特征根是6.5412，则特征根6.5412其对应的特征向量为所求。查表得当N=6时RI=1.24，从而CI=（λ- 6）/(6 -1)=0.10824,
CR=CI/RI=0.10824/1.24<0.1,一致性检验通过。将特征根6.5412所对应的特征向量归一化，得到C =
0.4410
0.0428
0.2612
-可编辑修改-
。
0.0271
0.1504
0.0774
接着我们进入层次结构层的准则层，根据淘宝网以及互联网的数据显示，对于质量(一下简称诺基亚N73为N73，摩托罗拉E8为E8，索爱W890i为w890),N73>W890>E8,
颜色：E8>w890>N73,价格：N73>E8>W890,外形：W890>E8>N73,实用：N73>W890>E8,品牌：
N73>W890>E8
构造准则层的关于质量、颜色、价格、外形、实用、品牌的成对比矩阵B1、B2、B3、B4、B5、B6，找出各个矩阵的非负特征向量以及对应的特征根，
B1 =
1.0000 5.0000 3.0000
1/5 1.0000 1/3
1/3 3.0000 1.0000
B1的特征向量以及对应的特征根为：
V =
0.9161 0.9161 0.9161
0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i
0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217i
-可编辑修改-
。
D =
3.0385 0 0
0 -0.0193 + 0.3415i 0
0 0 -0.0193 - 0.3415i
查表得当N=3时RI=0.58,取非负特征向量对应的特征根3.0385从而CI=（λ-3）/（3-1）=
0.01925，CR=CI/CR=0.01925/0.58<0.1,一致性检验通过。
将3.0385对应的特征向量归一化，得到
A =
0.6370
0.1047
0.2583
B2 =
1.0000 1/6 1/3
6.0000 1.0000 5.0000
3.0000 1/5 1.0000
B2的特征向量以及对应的特征根为：
V =
-可编辑修改-
。
0.1177 -0.0588 - 0.1019i -0.0588 + 0.1019i
0.9584 0.9584 0.9584
0.2601 -0.1301 + 0.2253i -0.1301 - 0.2253i
D =
3.0940 0 0
0 -0.0470 + 0.5373i 0
0 0 -0.0470 - 0.5373i
对非负实特征根3.0940进行一致性检验：（3.0940-3）/2=0.047，0.047/0.58<0.1,一致性检验通过。将其对应的特征向量归一化，得到
B =
0.0881
0.7172
0.1947
B3 =
1.0000 5.0000 7.0000
1/ 5 1.0000 3.0000
-可编辑修改-
。
1/ 7 1/ 3 1.0000
B3的特征向量以及对应的特征根为：
V =
0.9628 0.9628 0.9628
0.2483 -0.1241 + 0.2150i -0.1241 - 0.2150i
0.1067 -0.0533 - 0.0924i -0.0533 + 0.0924i
D =
3.0649 0 0
0 -0.0324 + 0.4448i 0
0 0 -0.0324 - 0.4448i
对非负实向量对应的特征根3.0649进行一致性检验：（3.0649-3）/2=0.03245
0.03245/0.58<0.1,一致性检验通过，对特征向量归一化，得到
C =
0.7306
0.1884
-可编辑修改-
。
0.0810
B4 =
1.0000 1/ 5 1/ 8
5.0000 1.0000 1/ 3
8.0000 3.0000 1.0000
V =
0.0933 0.0467 + 0.0808i 0.0467 - 0.0808i
0.3785 0.1893 - 0.3278i 0.1893 + 0.3278i
0.9209 -0.9209 -0.9209
D =
3.0441 0 0
0 -0.0220 + 0.3656i 0
0 0 -0.0220 - 0.3656i
对特征根3.0441进行一致性检验，发现通过检验。从而将特征根3.0441对应的特征向量归一化，得到
D =
-可编辑修改-
。
0.0670
0.2718
0.6612
B5 =
1.0000 7.0000 3.0000
1/ 7 1.0000 1/ 3
1/ 3 3.0000 1.0000
V =
0.9331 0.9331 0.9331
0.1226 -0.0613 - 0.1062i -0.0613 + 0.1062i
0.3382 -0.1691 + 0.2929i -0.1691 - 0.2929i
D =
3.0070 0 0
0 -0.0035 + 0.1453i 0
0 0 -0.0035 - 0.1453i
对非负实特征向量对应的实特征根进行一致性检验，发现3.0070通过一致性检验，从而-可编辑修改-
。
对其所对应的特征向量归一化，得到
E =
0.6694
0.0879
0.2426
B6=
1 6 4
1/6 1 1/3
1/4 3 1
B6对应的特征向量和特征根为
V =
0.9463 -0.9463 -0.9463
0.1252 0.0626 + 0.1084i 0.0626 - 0.1084i
0.2981 0.1490 - 0.2581i 0.1490 + 0.2581i
D =
3.0536 0 0
-可编辑修改-
。
0 -0.0268 + 0.4038i 0
0 0 -0.0268 - 0.4038i
将非负实特征向量对应的实特征根进行一致性检验，得知一致性检验通过，从而将对应的特征向量归一化，得到
F =
0.6909
0.0914
0.2176
从决策层得到的特征向量为（0.4410 0.0428 0.2312 0.0271 0.1504
0.0774）’
k
ω
1
0.6370
0.1047
0.2583
λ
CI
3.0385
0.033
2
0.0881
0.7172
0.1947
3.0940
0.081
3
0.7306
0.1884
0.0810
3.0649
0.056
4
0.0670
0.2718
0.6612
3.0441
0.038
5
0.6694
0.0879
0.2426
3.0070
0.006
6
0.6909
0.0914
0.2176
3.0536
0.046
0.441∗0.637+0.0428∗0.0881+0.2612∗0.7306+0.0271∗0.067+0.1504∗0.6694+0.0774∗0.6909=0.63149
0.441∗0.1047+0.0428∗0.7172+0.2612∗0.1884+0.0271∗0.2718+0.1504∗0.0879+0.0774∗0.0914=0.153739
0.441∗0.2583+0.0428∗0.1947+0.2612∗0.081+0.0271∗0.6612+0.1504∗0.2426+0.0774∗0.2176=0.214648
由此课件诺基亚N73所占权重为0.63149，摩托罗拉E8所占权重为0.153739，索爱W890i-可编辑修改-
。
所占权重为0.214648，所以从各手机所占权重看应该考虑购买诺基亚N73.
-可编辑修改-
。
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-可编辑修改-
2024年2月13日发(作者：彭南莲)
。
一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量、颜色、价格、外形、实用、品牌等因素。比较中意的手机有诺基亚N73、摩托罗拉E8、索爱W890i，但不知道购买哪一款好，请你建立数学模型给他一个好的建议。
解：首先对考虑的准则排序：考虑到学生的身份首先考虑的是质量，一部手机只要质量好就行了，其次是价格，作为学生没有经济来源，我们要考虑价格不能太高，接着是实用，一部手机在质量好价格合理的条件下，我们接下来看重的是手机的实用程度，在考虑以上因素之后，就选择品牌、颜色和外形。显然品牌优先于颜色和外形，而颜色和外形并不是我们要考虑的重要因素，因此我们对准则层排序：质量>价格>实用>品牌>颜色>=外形
排完序后我们建立层次结构模型：
购买手机
质量
诺基亚摩托罗拉E8 索爱W890i
方案层
颜色 价格 外形 实用 品牌
准则层
决策层
N73
接着建立成对比矩阵：
A =
1.0000 7.0000 3.0000 8.0000 4.0000 7.0000
-可编辑修改-
。
1/7 1.0000 1/7 3.0000 1/5 1/3
1/3 7.0000 1.0000 6.0000 3.0000 5.0000
1/8 1/3 1/6 1.0000 1/7 1/5
0.2500 5.0000 0.3333 7.0000 1.0000 3.0000
1/7 3.0000 1/5 5.0000 1/3 1.0000
矩阵A的特征根和与特征根对应的特征向量分别为矩阵D与V，如下：
对特征根进行一致性检验。首先非负实特征根对应的特征根是6.5412，则特征根6.5412其对应的特征向量为所求。查表得当N=6时RI=1.24，从而CI=（λ- 6）/(6 -1)=0.10824,
CR=CI/RI=0.10824/1.24<0.1,一致性检验通过。将特征根6.5412所对应的特征向量归一化，得到C =
0.4410
0.0428
0.2612
-可编辑修改-
。
0.0271
0.1504
0.0774
接着我们进入层次结构层的准则层，根据淘宝网以及互联网的数据显示，对于质量(一下简称诺基亚N73为N73，摩托罗拉E8为E8，索爱W890i为w890),N73>W890>E8,
颜色：E8>w890>N73,价格：N73>E8>W890,外形：W890>E8>N73,实用：N73>W890>E8,品牌：
N73>W890>E8
构造准则层的关于质量、颜色、价格、外形、实用、品牌的成对比矩阵B1、B2、B3、B4、B5、B6，找出各个矩阵的非负特征向量以及对应的特征根，
B1 =
1.0000 5.0000 3.0000
1/5 1.0000 1/3
1/3 3.0000 1.0000
B1的特征向量以及对应的特征根为：
V =
0.9161 0.9161 0.9161
0.1506 -0.0753 - 0.1304i -0.0753 + 0.1304i
0.3715 -0.1857 + 0.3217i -0.1857 - 0.3217i
-可编辑修改-
。
D =
3.0385 0 0
0 -0.0193 + 0.3415i 0
0 0 -0.0193 - 0.3415i
查表得当N=3时RI=0.58,取非负特征向量对应的特征根3.0385从而CI=（λ-3）/（3-1）=
0.01925，CR=CI/CR=0.01925/0.58<0.1,一致性检验通过。
将3.0385对应的特征向量归一化，得到
A =
0.6370
0.1047
0.2583
B2 =
1.0000 1/6 1/3
6.0000 1.0000 5.0000
3.0000 1/5 1.0000
B2的特征向量以及对应的特征根为：
V =
-可编辑修改-
。
0.1177 -0.0588 - 0.1019i -0.0588 + 0.1019i
0.9584 0.9584 0.9584
0.2601 -0.1301 + 0.2253i -0.1301 - 0.2253i
D =
3.0940 0 0
0 -0.0470 + 0.5373i 0
0 0 -0.0470 - 0.5373i
对非负实特征根3.0940进行一致性检验：（3.0940-3）/2=0.047，0.047/0.58<0.1,一致性检验通过。将其对应的特征向量归一化，得到
B =
0.0881
0.7172
0.1947
B3 =
1.0000 5.0000 7.0000
1/ 5 1.0000 3.0000
-可编辑修改-
。
1/ 7 1/ 3 1.0000
B3的特征向量以及对应的特征根为：
V =
0.9628 0.9628 0.9628
0.2483 -0.1241 + 0.2150i -0.1241 - 0.2150i
0.1067 -0.0533 - 0.0924i -0.0533 + 0.0924i
D =
3.0649 0 0
0 -0.0324 + 0.4448i 0
0 0 -0.0324 - 0.4448i
对非负实向量对应的特征根3.0649进行一致性检验：（3.0649-3）/2=0.03245
0.03245/0.58<0.1,一致性检验通过，对特征向量归一化，得到
C =
0.7306
0.1884
-可编辑修改-
。
0.0810
B4 =
1.0000 1/ 5 1/ 8
5.0000 1.0000 1/ 3
8.0000 3.0000 1.0000
V =
0.0933 0.0467 + 0.0808i 0.0467 - 0.0808i
0.3785 0.1893 - 0.3278i 0.1893 + 0.3278i
0.9209 -0.9209 -0.9209
D =
3.0441 0 0
0 -0.0220 + 0.3656i 0
0 0 -0.0220 - 0.3656i
对特征根3.0441进行一致性检验，发现通过检验。从而将特征根3.0441对应的特征向量归一化，得到
D =
-可编辑修改-
。
0.0670
0.2718
0.6612
B5 =
1.0000 7.0000 3.0000
1/ 7 1.0000 1/ 3
1/ 3 3.0000 1.0000
V =
0.9331 0.9331 0.9331
0.1226 -0.0613 - 0.1062i -0.0613 + 0.1062i
0.3382 -0.1691 + 0.2929i -0.1691 - 0.2929i
D =
3.0070 0 0
0 -0.0035 + 0.1453i 0
0 0 -0.0035 - 0.1453i
对非负实特征向量对应的实特征根进行一致性检验，发现3.0070通过一致性检验，从而-可编辑修改-
。
对其所对应的特征向量归一化，得到
E =
0.6694
0.0879
0.2426
B6=
1 6 4
1/6 1 1/3
1/4 3 1
B6对应的特征向量和特征根为
V =
0.9463 -0.9463 -0.9463
0.1252 0.0626 + 0.1084i 0.0626 - 0.1084i
0.2981 0.1490 - 0.2581i 0.1490 + 0.2581i
D =
3.0536 0 0
-可编辑修改-
。
0 -0.0268 + 0.4038i 0
0 0 -0.0268 - 0.4038i
将非负实特征向量对应的实特征根进行一致性检验，得知一致性检验通过，从而将对应的特征向量归一化，得到
F =
0.6909
0.0914
0.2176
从决策层得到的特征向量为（0.4410 0.0428 0.2312 0.0271 0.1504
0.0774）’
k
ω
1
0.6370
0.1047
0.2583
λ
CI
3.0385
0.033
2
0.0881
0.7172
0.1947
3.0940
0.081
3
0.7306
0.1884
0.0810
3.0649
0.056
4
0.0670
0.2718
0.6612
3.0441
0.038
5
0.6694
0.0879
0.2426
3.0070
0.006
6
0.6909
0.0914
0.2176
3.0536
0.046
0.441∗0.637+0.0428∗0.0881+0.2612∗0.7306+0.0271∗0.067+0.1504∗0.6694+0.0774∗0.6909=0.63149
0.441∗0.1047+0.0428∗0.7172+0.2612∗0.1884+0.0271∗0.2718+0.1504∗0.0879+0.0774∗0.0914=0.153739
0.441∗0.2583+0.0428∗0.1947+0.2612∗0.081+0.0271∗0.6612+0.1504∗0.2426+0.0774∗0.2176=0.214648
由此课件诺基亚N73所占权重为0.63149，摩托罗拉E8所占权重为0.153739，索爱W890i-可编辑修改-
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所占权重为0.214648，所以从各手机所占权重看应该考虑购买诺基亚N73.
-可编辑修改-
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