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2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题

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2024年2月17日发(作者:类梦华)

2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题

1、两个子空间的直和

例:设V1和V2分别是齐次方程组x1x2...xn0和x1x2...xn的解空间,证明VV1V2。

证明:因方程组x1x2...xn0和x1x2...xn,只有零解,故V1V20,从而V1V2=V1V2,且V1V2是V的子空间,即V1V2≤V。

又V1的维数是n-1,V2的维数是1

故V1V2的维数是n维,所以V1V2V。

注:任给一个V的子空间V1,可以找到子空间V2使得:VV1V2

此式称为V的一个直和分解,V1,V2称为互补空间

2、 线性空间中线性变换的象空间与核

例题1:证明:线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间

证明:

因为V非空,所以T(V非空)x,yV,Px,yV,xVTxTyT(xy)TV()TxT(x)TV()

故是T(V)是V的线性子空间因为所以非空因为0keTr(所以)kTe非空r()Ty0,0x,ykeTr(),P则Tx

于是T(xy)TxTy0故,xyT(x)Tx故,xkeTr()因此kerT(是)的线性子空间。VkTer()

例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数

dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)

证明:设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s即可

取ker(T)的一组基x1,x2,...,xs再添加n-s个向量

将这组向量扩充为V的一组基x1,x2,...,xs,ys1,ys2,...,ys2,

对xVx1x1x22...sxssys1...1ynn

则Tx1Tx1Tx22...sTxssTy1s...1Tyn

s1Tys1...nTynT(V)Span{Tys1,Tys1,...,Tys1} 现在只需证明Tys1,Tys2,...,Tyn线性无关。

设ks1Tys1ks2Tys2...knTyn0

则:T(ks1ys1ks2ys2...knyn)=0

故ks1Tys1ks2Tys2...knTynker(T)

于是ks1ys1ks2ys2...knyn可由x1,x2,...,xs线性表示

即ks1ys1ks2ys2...knynl1x1l2x2...lsxs

故有l1x1l2x2...lsxsks1ys1ks2ys2...knyn0

因x1,x2,...,xs,ys1,...,yn是V的一组基,

所以l1l2...ks1...kn0

因此Tys1,Tys2,...,Tyn线性无关

3、过渡矩阵 线性变换在给定基下的矩阵

n例题:已知3中的线性变换T在基1-1,1,1,21,0,-1,30,1,1

TTT101下的矩阵是110

121求T在基e1(1,0,0)T,e2(0,1,0)T,e3(0,0,1)T下的矩阵。

解:设基1,2,3到e1,e2,e3的过度矩阵为Q

则e1,e2,e31,2,3Q

100110即:010101Q

001111110111所以Q101011

1111011

所以T在基e1,e2,e3下的矩阵B为

1

BQ11101210

Q1110110111111

112220302011111001121101

4、定理:内积空间中必存在标准正交基(施密特正交化)

例:设e1,e2,e3,e4,e5是5中的一组标准正交基VSpan1,2,3

其中1e1e5,2e1e2e4,32e1e2e3

求V的一组标准正交基

解:设k11k22k330,即有

k1k22k3e1k2k3e2k3e3k2e4k1e50

因为e1,e2,e3,e4,e5线性无关,故k1k2k30

因此1,2,3线性无关,所以1,2,3是V的一组基。

现将其化为标准正交基,首先将其正交化

2,13,13,2取11e1e5,221,3312

,,,1111222e1e2e4e1e2e4,e1e5eee1e5,e1e515

11e1e2e412e1e5=2e1e2e42e512e1e2e3,12e1e2e3,e1e52e1e2e42e532e1e2e3e1e51112e1e2e41e1e5,e1e52e5,2e1e2e42e52e1e2e322e1e5e1e2e3e5

再将其单位化

123

11223311,122,212e1e5110(e12e22e4e5)

312e1e2e3e53,35、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定

例1:设是n维欧氏空间V中的单位向量,定义V中的变换T为Txx2,x。证明T为正交变换

证明:x,yV,

T(xy)(xy)2(,xy)(xy)2[(x,)(y,)]

[x2(x,)]y[2(y,)T]x

TyT(x)x2(,x)x2(,x)x[2(x,)]Tx 故T是V的线性变换

xVTx(Tx,Tx)x(2(x,x),x2(,))

2(x,x)x,2(x,)(x2(x,),)x(2(x,),2(,))2(x,x)2(x,x)(,)x2(x,)(,x)4(,)(,2(x,x)2(x,)2x(2,)x42(,)

)(x,x)x 故Tx22x,所以T是正交变换

2例2证明:n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何xn都有Axx

证明:""(必要性) 注:酉矩阵AAAAE

n 若A是酉矩阵,则对x有Ax22HH(Ax,Ax)(Ax)H(Ax)

2

Ax(xHAH)AxxH(AHA)xxHExxHx(x,x)x

则Axx

""(充分性)

取中的一组标准正交基

ne1(1,0,...,0)T,e2(0,1,...,0)T,...,en(0,0,...,1)T,

则存在唯一的线性变换T,使得T在基e1,e2,...,en下的矩阵是A

即:T(e1,e2,...,en)(e1,e2,...,en)A(证明T是正交变换)

xn,x(x1,x2,...,xn)TT(e1,e2,...,en)x(e1,e2,...,en)AxTxAx又Axx,故Txx因此T是正交变换,从而A是酉矩阵。

6、矩阵A的约当标准形(初等因子和不变因子)

211例题:求矩阵A212都的约当标准形、不变因子、初等因子。

112解:

1112211r3EA212r2121212112001112r1,r3(2)r12c1,c3(2)c1r0122c012201243012430013r2,c32c2,(1)c3r01000(1)2 故A的不变因子是1,1,(1)2

初等因子是1,1

2因1对应的约当块1

11对应的约当块101

2

100110故A的约当标准形为J011或J010

001001求约当标准形的步骤:

①写出A的特征矩阵EA

②求出EA的全部初等因子

③写出每个初等因子对应的约当块

④写出约当标准形

7、凯莱-哈密顿定理

11432例题:设A25,证明:B2A2A19A29A36E

为可逆矩阵并将B1表示为A的多项式。

证明:A的特征多项式为fEA由凯莱-哈密顿定理得:

121267

5fAA26A7E0。{fEA,则fA0}因241231922936225267121故B2A12A19A29A36E2A5fAAEAE。26因为B140,所以B可逆。4322将ABE代入fAA26A7E0中得:(BE)26(BE)7EB28B14E0B28B14E114B(B8E)E11故B114(B8E)14(A7E)

8、线性空间的范数

没有例子就把定义搬上了

定义:设V是数域P上的线性空间,如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应,记为x且满足下列的性质

1>正定性:当x0时,x0

2>齐次性:对P,xx

3>三角不等式:x,yV,xyxy

称为x的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间

其他重要例题

例题1:

设x1,x2,...,xn是数域P上的线性空间V的一组向量,则由他们的所有线性组合构成的集合S1x12x2...nxn|iP,i1,2,...,n是V的子空间。

证明:显然S非空,P

22...kxnnS

k1x1kx

l1x1lx22...lxnnS

(k1l1)x1(k2l2)x2...(knln)xnS ((kili)P)

(k1)x1(k2)x2...(kn)xnS

故S是V的子空间称S为由x1,x2,...,xn生成的子空间

记作SSpanx1,x2,...,xn

SSpanx1,x2,...,xn

①x1,x2,...,xn的一个最大线性无关组就是Spanx1,x2,...,xn的一组基

②Spanx1,x2,...,xn的维数 = 秩(x1,x2,...,xn)

例题2:

在n维的向量空间n中,对向量x(1,2,...,n)T,y(1,2,...,n)T

定义x,y1122...nnyHx其中yH表示y的共轭转置

则x,y为n中的内积

11y22

yH1,2,...,n

nn

1Hyx1,2,...,n2

ny,x验证:①1122...nn

1122...nn(x,y)②xy,z 令z(1,2,...,n)T

xy11,2,2...,nn

xy,z111222...nnn1122...nn1122...nn(x,z)(y,z)

③x,x1122...nn

12...n0

222 且x,x012...n0

12...nx0

222

2024年2月17日发(作者:类梦华)

2011年合工大工程硕士《矩阵理论》考试范围与重要习题

1、两个子空间的直和

例:设V1和V2分别是齐次方程组x1x2...xn0和x1x2...xn的解空间,证明VV1V2。

证明:因方程组x1x2...xn0和x1x2...xn,只有零解,故V1V20,从而V1V2=V1V2,且V1V2是V的子空间,即V1V2≤V。

又V1的维数是n-1,V2的维数是1

故V1V2的维数是n维,所以V1V2V。

注:任给一个V的子空间V1,可以找到子空间V2使得:VV1V2

此式称为V的一个直和分解,V1,V2称为互补空间

2、 线性空间中线性变换的象空间与核

例题1:证明:线性空间V的线性变换T的象空间和核都是V的子空间

证明:

因为V非空,所以T(V非空)x,yV,Px,yV,xVTxTyT(xy)TV()TxT(x)TV()

故是T(V)是V的线性子空间因为所以非空因为0keTr(所以)kTe非空r()Ty0,0x,ykeTr(),P则Tx

于是T(xy)TxTy0故,xyT(x)Tx故,xkeTr()因此kerT(是)的线性子空间。VkTer()

例题2:线性空间V中的线性变化T的象空间和核的维数之和等于V的维数

dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)

证明:设dim(V)=n dim(ker(T))=s 只需证明dim(T(V))=n-s即可

取ker(T)的一组基x1,x2,...,xs再添加n-s个向量

将这组向量扩充为V的一组基x1,x2,...,xs,ys1,ys2,...,ys2,

对xVx1x1x22...sxssys1...1ynn

则Tx1Tx1Tx22...sTxssTy1s...1Tyn

s1Tys1...nTynT(V)Span{Tys1,Tys1,...,Tys1} 现在只需证明Tys1,Tys2,...,Tyn线性无关。

设ks1Tys1ks2Tys2...knTyn0

则:T(ks1ys1ks2ys2...knyn)=0

故ks1Tys1ks2Tys2...knTynker(T)

于是ks1ys1ks2ys2...knyn可由x1,x2,...,xs线性表示

即ks1ys1ks2ys2...knynl1x1l2x2...lsxs

故有l1x1l2x2...lsxsks1ys1ks2ys2...knyn0

因x1,x2,...,xs,ys1,...,yn是V的一组基,

所以l1l2...ks1...kn0

因此Tys1,Tys2,...,Tyn线性无关

3、过渡矩阵 线性变换在给定基下的矩阵

n例题:已知3中的线性变换T在基1-1,1,1,21,0,-1,30,1,1

TTT101下的矩阵是110

121求T在基e1(1,0,0)T,e2(0,1,0)T,e3(0,0,1)T下的矩阵。

解:设基1,2,3到e1,e2,e3的过度矩阵为Q

则e1,e2,e31,2,3Q

100110即:010101Q

001111110111所以Q101011

1111011

所以T在基e1,e2,e3下的矩阵B为

1

BQ11101210

Q1110110111111

112220302011111001121101

4、定理:内积空间中必存在标准正交基(施密特正交化)

例:设e1,e2,e3,e4,e5是5中的一组标准正交基VSpan1,2,3

其中1e1e5,2e1e2e4,32e1e2e3

求V的一组标准正交基

解:设k11k22k330,即有

k1k22k3e1k2k3e2k3e3k2e4k1e50

因为e1,e2,e3,e4,e5线性无关,故k1k2k30

因此1,2,3线性无关,所以1,2,3是V的一组基。

现将其化为标准正交基,首先将其正交化

2,13,13,2取11e1e5,221,3312

,,,1111222e1e2e4e1e2e4,e1e5eee1e5,e1e515

11e1e2e412e1e5=2e1e2e42e512e1e2e3,12e1e2e3,e1e52e1e2e42e532e1e2e3e1e51112e1e2e41e1e5,e1e52e5,2e1e2e42e52e1e2e322e1e5e1e2e3e5

再将其单位化

123

11223311,122,212e1e5110(e12e22e4e5)

312e1e2e3e53,35、正交矩阵与酉矩阵的性质与判定

例1:设是n维欧氏空间V中的单位向量,定义V中的变换T为Txx2,x。证明T为正交变换

证明:x,yV,

T(xy)(xy)2(,xy)(xy)2[(x,)(y,)]

[x2(x,)]y[2(y,)T]x

TyT(x)x2(,x)x2(,x)x[2(x,)]Tx 故T是V的线性变换

xVTx(Tx,Tx)x(2(x,x),x2(,))

2(x,x)x,2(x,)(x2(x,),)x(2(x,),2(,))2(x,x)2(x,x)(,)x2(x,)(,x)4(,)(,2(x,x)2(x,)2x(2,)x42(,)

)(x,x)x 故Tx22x,所以T是正交变换

2例2证明:n阶的方阵A为酉矩阵的充要条件是对任何xn都有Axx

证明:""(必要性) 注:酉矩阵AAAAE

n 若A是酉矩阵,则对x有Ax22HH(Ax,Ax)(Ax)H(Ax)

2

Ax(xHAH)AxxH(AHA)xxHExxHx(x,x)x

则Axx

""(充分性)

取中的一组标准正交基

ne1(1,0,...,0)T,e2(0,1,...,0)T,...,en(0,0,...,1)T,

则存在唯一的线性变换T,使得T在基e1,e2,...,en下的矩阵是A

即:T(e1,e2,...,en)(e1,e2,...,en)A(证明T是正交变换)

xn,x(x1,x2,...,xn)TT(e1,e2,...,en)x(e1,e2,...,en)AxTxAx又Axx,故Txx因此T是正交变换,从而A是酉矩阵。

6、矩阵A的约当标准形(初等因子和不变因子)

211例题:求矩阵A212都的约当标准形、不变因子、初等因子。

112解:

1112211r3EA212r2121212112001112r1,r3(2)r12c1,c3(2)c1r0122c012201243012430013r2,c32c2,(1)c3r01000(1)2 故A的不变因子是1,1,(1)2

初等因子是1,1

2因1对应的约当块1

11对应的约当块101

2

100110故A的约当标准形为J011或J010

001001求约当标准形的步骤:

①写出A的特征矩阵EA

②求出EA的全部初等因子

③写出每个初等因子对应的约当块

④写出约当标准形

7、凯莱-哈密顿定理

11432例题:设A25,证明:B2A2A19A29A36E

为可逆矩阵并将B1表示为A的多项式。

证明:A的特征多项式为fEA由凯莱-哈密顿定理得:

121267

5fAA26A7E0。{fEA,则fA0}因241231922936225267121故B2A12A19A29A36E2A5fAAEAE。26因为B140,所以B可逆。4322将ABE代入fAA26A7E0中得:(BE)26(BE)7EB28B14E0B28B14E114B(B8E)E11故B114(B8E)14(A7E)

8、线性空间的范数

没有例子就把定义搬上了

定义:设V是数域P上的线性空间,如果对V中的任意向量V都有一个非负实数与之对应,记为x且满足下列的性质

1>正定性:当x0时,x0

2>齐次性:对P,xx

3>三角不等式:x,yV,xyxy

称为x的x范数并称定义了范数的线性空间为赋范空间

其他重要例题

例题1:

设x1,x2,...,xn是数域P上的线性空间V的一组向量,则由他们的所有线性组合构成的集合S1x12x2...nxn|iP,i1,2,...,n是V的子空间。

证明:显然S非空,P

22...kxnnS

k1x1kx

l1x1lx22...lxnnS

(k1l1)x1(k2l2)x2...(knln)xnS ((kili)P)

(k1)x1(k2)x2...(kn)xnS

故S是V的子空间称S为由x1,x2,...,xn生成的子空间

记作SSpanx1,x2,...,xn

SSpanx1,x2,...,xn

①x1,x2,...,xn的一个最大线性无关组就是Spanx1,x2,...,xn的一组基

②Spanx1,x2,...,xn的维数 = 秩(x1,x2,...,xn)

例题2:

在n维的向量空间n中,对向量x(1,2,...,n)T,y(1,2,...,n)T

定义x,y1122...nnyHx其中yH表示y的共轭转置

则x,y为n中的内积

11y22

yH1,2,...,n

nn

1Hyx1,2,...,n2

ny,x验证:①1122...nn

1122...nn(x,y)②xy,z 令z(1,2,...,n)T

xy11,2,2...,nn

xy,z111222...nnn1122...nn1122...nn(x,z)(y,z)

③x,x1122...nn

12...n0

222 且x,x012...n0

12...nx0

222

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