2024年2月19日发(作者：天鹏煊)
直线内插法
一、基本原理
在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn 上的函数值yi =f(xi)(i=0,1,…,n) ，或者f(x)的函数表达式已知,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
“直线内插法”又称“数学内插法”，其原理是：若A(x1, y1),B(x2,y2)为两点，则点P（x,y)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为x在x1, x2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”，数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。A、B、P三点共线，则(y-y1)/(x-x1)＝（y2-y1)/(x2-x1)=直线斜率，变换即得所求y=（y2-y1)* (x-x1)/(x2-x1)+ y1。
二、实际应用
直线内插法
投标人报价
Pmin ：最低有效投标报价
M Pmin＝价格分= KC
Pmax ：最高有效投标报价
M Pmax：自行设定
P：其他有效投标报价
MP＝KC+k*（P-Pmin）
价格得分
（一）、确定有效投标报价。依据正态分布算法，计算均值μ和方差σ2，选取[0，μ+2σ]作为有效报价区间(详见三：正态分布)；假设应标报价依次为P1,P2,…,Pn，则μ=average(ΣPi)，σ2=Σ（Pi-μ）2/n(i=0,1,…,n)。
（二）、确定Pmin、Pmax、M Pmin。原则上选取有效报价区间(0，μ+2σ]的最低值Pmin作为最优值，M Pmin=KC（按百分计）。
（三）、计算直线斜率k=(M Pmax-M Pmin)/(Pmax-Pmin)。
（四）、计算P。（可参见“直线内插法实例演示.xls”）
价格分
M Pmin(KC)
A
B
C
Pmin P Pmax
报价
M P
M Pmax
三、正态分布
一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
几个重要的概率面积比例
横轴区间 概率
（μ-σ，μ+σ） 68.27%
（μ-1.96σ，μ+1.96σ） 95.00%
（μ-2σ，μ+2σ） 95.44%
[0，μ+2σ] 97.72%
（μ-2.58σ，μ+2.58σ） 99.00%
（μ-3σ，μ+3σ） 99.73%
四、实例演示
某设备评标，共计6家供应商应标，详细报价见下表：
应标厂商 设备报价(元)
A 100
B 110
C 120
D 1000
E 90
F 115
（一）、验证报价是否有效
μ = average(ΣPi)=(100+110+120+1000+90+115)/6=255.83
σ2=Σ（Pi-μ）2/n
=[(100-μ)2+(110-μ)2+(120-μ)2+(1000-μ)2+(90-μ)2+(115-μ)2]/6=110853.47
σ=
332.95
μ+2σ=255.83+2*332.95=921.73
验证报价的有效性：
报价在[0, 921.73]内的视为有效报价，D厂家报价1000不在[0, 921.73]之内，视为无效值即不合理高价。
应标厂商 设备报价(元) 是否有效
A 100 TRUE
B 110 TRUE
C 120 TRUE
D 1000 FALSE
E 90 TRUE
F 115 TRUE
依据有效报价表重新计算
有效报价表
应标厂商 设备报价(元)
A 100
B 110
C 120
E 90
F 115
μ = average(ΣPi)=(100+110+120+90+115)/5=107.00
σ2=Σ（Pi-μ）2/n
=[(100-μ)2+(110-μ)2+(120-μ)2++(90-μ)2+(115-μ)2]/6=116.00
σ=
10.77
μ+2σ=107.00+2*10.77=128.54
验证报价的有效性：
应标厂商 设备报价(元) 是否有效
A 100 TRUE
B 110 TRUE
C 120 TRUE
E 90 TRUE
F 115 TRUE
结论：A、B、C、E、F的报价均为有效报价。
（二）、价格评分
确定KC和M Pmax：KC和M Pmax由评标小组依据设备类型一同确定。假定本设备的KC=30，M Pmax=20。
依据直线内插法计算可得：
应标厂商 设备报价(元) 是否有效 价格分
A 100 TRUE 26.67
B 110 TRUE 23.33
C 120 TRUE 20.00
E 90 TRUE 30.00
F 115 TRUE 21.67
2024年2月19日发(作者：天鹏煊)
直线内插法
一、基本原理
在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn 上的函数值yi =f(xi)(i=0,1,…,n) ，或者f(x)的函数表达式已知,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
“直线内插法”又称“数学内插法”，其原理是：若A(x1, y1),B(x2,y2)为两点，则点P（x,y)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为x在x1, x2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”，数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。
上述公式易得。A、B、P三点共线，则(y-y1)/(x-x1)＝（y2-y1)/(x2-x1)=直线斜率，变换即得所求y=（y2-y1)* (x-x1)/(x2-x1)+ y1。
二、实际应用
直线内插法
投标人报价
Pmin ：最低有效投标报价
M Pmin＝价格分= KC
Pmax ：最高有效投标报价
M Pmax：自行设定
P：其他有效投标报价
MP＝KC+k*（P-Pmin）
价格得分
（一）、确定有效投标报价。依据正态分布算法，计算均值μ和方差σ2，选取[0，μ+2σ]作为有效报价区间(详见三：正态分布)；假设应标报价依次为P1,P2,…,Pn，则μ=average(ΣPi)，σ2=Σ（Pi-μ）2/n(i=0,1,…,n)。
（二）、确定Pmin、Pmax、M Pmin。原则上选取有效报价区间(0，μ+2σ]的最低值Pmin作为最优值，M Pmin=KC（按百分计）。
（三）、计算直线斜率k=(M Pmax-M Pmin)/(Pmax-Pmin)。
（四）、计算P。（可参见“直线内插法实例演示.xls”）
价格分
M Pmin(KC)
A
B
C
Pmin P Pmax
报价
M P
M Pmax
三、正态分布
一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
几个重要的概率面积比例
横轴区间 概率
（μ-σ，μ+σ） 68.27%
（μ-1.96σ，μ+1.96σ） 95.00%
（μ-2σ，μ+2σ） 95.44%
[0，μ+2σ] 97.72%
（μ-2.58σ，μ+2.58σ） 99.00%
（μ-3σ，μ+3σ） 99.73%
四、实例演示
某设备评标，共计6家供应商应标，详细报价见下表：
应标厂商 设备报价(元)
A 100
B 110
C 120
D 1000
E 90
F 115
（一）、验证报价是否有效
μ = average(ΣPi)=(100+110+120+1000+90+115)/6=255.83
σ2=Σ（Pi-μ）2/n
=[(100-μ)2+(110-μ)2+(120-μ)2+(1000-μ)2+(90-μ)2+(115-μ)2]/6=110853.47
σ=
332.95
μ+2σ=255.83+2*332.95=921.73
验证报价的有效性：
报价在[0, 921.73]内的视为有效报价，D厂家报价1000不在[0, 921.73]之内，视为无效值即不合理高价。
应标厂商 设备报价(元) 是否有效
A 100 TRUE
B 110 TRUE
C 120 TRUE
D 1000 FALSE
E 90 TRUE
F 115 TRUE
依据有效报价表重新计算
有效报价表
应标厂商 设备报价(元)
A 100
B 110
C 120
E 90
F 115
μ = average(ΣPi)=(100+110+120+90+115)/5=107.00
σ2=Σ（Pi-μ）2/n
=[(100-μ)2+(110-μ)2+(120-μ)2++(90-μ)2+(115-μ)2]/6=116.00
σ=
10.77
μ+2σ=107.00+2*10.77=128.54
验证报价的有效性：
应标厂商 设备报价(元) 是否有效
A 100 TRUE
B 110 TRUE
C 120 TRUE
E 90 TRUE
F 115 TRUE
结论：A、B、C、E、F的报价均为有效报价。
（二）、价格评分
确定KC和M Pmax：KC和M Pmax由评标小组依据设备类型一同确定。假定本设备的KC=30，M Pmax=20。
依据直线内插法计算可得：
应标厂商 设备报价(元) 是否有效 价格分
A 100 TRUE 26.67
B 110 TRUE 23.33
C 120 TRUE 20.00
E 90 TRUE 30.00
F 115 TRUE 21.67