2024年2月21日发(作者：丑武)

利用层次分析法解决买手机方案的选择

摘要

选择问题，利用层次分析法进行了详细的讨论。根据实际情况以及使模型简化的原则，这里只解决了四个目标层、五个准则层的模型。但目标层和准则层需根据实际情况来分析，且利用层次分析法可以解决大部分方案选择的问题，如就业、旅游目的地、买电脑等很实际的问题。也就是说，层次分析法可以广泛的应用于我们的社会生活中，且方法简便易操作，是一种定性和定量结合的系统化层次化的分析方法，它特别适用于那些难以完全定量分析的复杂问题，尤其是选择方案的最优决策问题。

一、 问题重述

一名同学想换一部新手机，目前他比较感兴趣的有如下四种机型：NOKIA

5230、HTC desire、魅族 M9、IPHONE 4。但是他在这几个机型中拿不定主意，但是他考虑了价位、配置、质量、外观、售后这五个方面。请你利用层次分析法确定可供选择的手机的优先顺序。

二、 问题的分析

对于这类问题，普遍可以利用层次分析法（AHP）对所有方案进行优先排序。本问题首先分析内在因素间的联系与结构，并把这种结构划分为三层即可，即目标层，准则层，方案层。把各层间诸要素的联系用线表示出来，接着是同层因素之间对上层因素重要性进行评价，并利用“两两比较法”建立比较矩阵，求的权系数，再进行一致性检验，如通过，则求得的权重系数可以被接受，否则，应重新评判。再进行单层权重评判的基础上，再进行层次间重要性组合权重系数的计算。

最后求出各个方案所占的权重，即可确定手机的优先顺序。

三、 模型假设

1、各型号手机在最近一段时间价格都非常平稳，没有很明显的波动；

2、不考虑除价位、配置、质量、外观、售后外的其他因素，即仅以此五个准则来确定方案；

3、家庭条件完全可以满足这位同学在手机上的需求，即不会出现负担不起某手机价格的情况，但仍然要求价格尽可能合适。

4、确定评价指标：由购买者评价价位，配置，外观，质量，售后服务等五个指标对于购买决定的影响大小，采用1-9级相对重要性作为尺度的方法。

Ci/Cj 相同重要 稍微重要 明显重要 强烈重要 绝对重要 介于两级之间

1 3 5 7 9 2,4,6,8

四、 模型的建立和求解

1、 模型的建立

（1） 建立层次结构模型

本文题意很明确，各层次的要素也很明确。将有关各因素按照不同的属性从上到下分为三个层次：最上层为目标层：最终要选的手机型号；中间层为准则层：价位、配置、质量、外观、售后；最下层为方案层：NOKIA 5230、HTC desire、魅族 M9、IPHONE 4。根据分析可画出如下的层次结构图：

手 机

价位配置外观质量售后

NOKIA

5230

2.构造对比矩阵

根据对以上四种产品的五种评价指标的实际情况的调查，首先对五种指标之间的相对重要性进行比较，然后针对于每种具体的指标，根据四种手机在该指标上的优劣进行，比较得出以下的比较矩阵：

五种评价指标相对重要性（准则层）的比较矩阵：其中Cij表示第i项指标与第j项指标的重要性之比，1-5项分别为价位，配置，质量，外观，售后服务质量：

HTC

desire

魅族

M9

IPHONE

4

13

1375717151911315131

731~（a）利用和法求上述比较矩阵的最大特征根和特征向量：ijCijCi1nij=

0.0610.1840.020.4290.3060.0350.1050.0210.5240.3150.120.20.040.360.280.0430.1120.0710.0620.031

0.560.6420.1870.2120.08（b）对按行求和得~~j1n~ij0.3390.6720.174

2.5151.3（c）将归一化i~i~0.06780.1344n~*T0.0348 ，=

(1,2,````````n)

0.503i10.26即为近似特征向量。

1n(Aw)i（d）计算ni1wi，5.24，作为最大特征根的近似值。

5.245（e）一致性检验：CI==0.06

51

随机一致性指标RI

n 1 2 3 4 5 6

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24

CI因此一致性比率CR==0.053<0.1,因此可认为比较矩阵的不一致程度在容许RI范围之内，可用其特征向量作为权向量。

3、组合权向量

通过对手机网站收集的资料分析，得出方案层中4种手机在各评价指标中的优势比例，用同样的方法构造出方案层对准则层每一个准则的成对比较矩阵。设他们分别为B1、B2、B3、B4，则：

13B1241114211B2331

1214232

113B3421311222B43

311214234

11121B5313211212332211

11

这里矩阵Bk(k1,2,3,4,5)中的元素bij是方案（手机的款式）Pi与Pj对于准则Ck（价位，配置等）得优越性的比较尺度

由比较矩阵Bk计算出权向量wk，最大特征根k和一致性指标CIk，结果列(3)(k)入下表

k

(3)wk

k

CIK

1

0.0950

0.2577

0.1813

0.4662

4.12

0.04

2

0.4778

0.2842

0.1395

0.0984

4.05

0.017

3

0.0960

0.2771

0.4658

0.1610

4.04

0.013

4

0.1610

0.2772

0.4658

0.0960

4.03

0.01

5

0.4547

0.2630

0.1411

0.1411

4.1

0.003

通过上表可以看出，由于n=4时随即一致性指标RI=0.90，因此上表的CIk均通过一致性检验。

综上可得，方案1在目标中的组合权重应为方案1在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即：0.06780.0950.13440.47780.03480.0960.5030.16100.260.45470.2732

同理可以算出方案2、方案3、方案4在目标中的组合权重分别为0.5811、0.3180和0.1350.于是组合权向量

(0.2732,0.5811,0.3180,0.1350)T

结果表明方案2所占的权重远远大于其他方案，故应选方案2即HTC desire作为最优方案。

模型的推广

利用层次分析法分析的因素其中每项所占的比例是相同的，在模型的推广过程中，其中不同的因素所占权重是不相同的，所以在综合考虑过程中应该首先将因素加权，求得适合自己的加权比，乘以加权系数。这样，就可以根据自己的需求算的适合自己的手机。具体求的加权系数的方法有：极致线性模式，均值标准差模式，对数logistic模式以及模糊量化模式等方式。

参考文献

姜启源，谢金星 《数学模型》 高等教育出版社 2010.6 224-233

刘来福，黄海洋《数学模型与数学建模》北京师范大学出版社 2009年02月159-168

熊启才《数学模型方法及应用》重庆大学出版社 2005年03月56-72

赵东方《数学模型与计算》科学出版社 2007年02月 42-50

2024年2月21日发(作者：丑武)

利用层次分析法解决买手机方案的选择

摘要

选择问题，利用层次分析法进行了详细的讨论。根据实际情况以及使模型简化的原则，这里只解决了四个目标层、五个准则层的模型。但目标层和准则层需根据实际情况来分析，且利用层次分析法可以解决大部分方案选择的问题，如就业、旅游目的地、买电脑等很实际的问题。也就是说，层次分析法可以广泛的应用于我们的社会生活中，且方法简便易操作，是一种定性和定量结合的系统化层次化的分析方法，它特别适用于那些难以完全定量分析的复杂问题，尤其是选择方案的最优决策问题。

一、 问题重述

一名同学想换一部新手机，目前他比较感兴趣的有如下四种机型：NOKIA

5230、HTC desire、魅族 M9、IPHONE 4。但是他在这几个机型中拿不定主意，但是他考虑了价位、配置、质量、外观、售后这五个方面。请你利用层次分析法确定可供选择的手机的优先顺序。

二、 问题的分析

对于这类问题，普遍可以利用层次分析法（AHP）对所有方案进行优先排序。本问题首先分析内在因素间的联系与结构，并把这种结构划分为三层即可，即目标层，准则层，方案层。把各层间诸要素的联系用线表示出来，接着是同层因素之间对上层因素重要性进行评价，并利用“两两比较法”建立比较矩阵，求的权系数，再进行一致性检验，如通过，则求得的权重系数可以被接受，否则，应重新评判。再进行单层权重评判的基础上，再进行层次间重要性组合权重系数的计算。

最后求出各个方案所占的权重，即可确定手机的优先顺序。

三、 模型假设

1、各型号手机在最近一段时间价格都非常平稳，没有很明显的波动；

2、不考虑除价位、配置、质量、外观、售后外的其他因素，即仅以此五个准则来确定方案；

3、家庭条件完全可以满足这位同学在手机上的需求，即不会出现负担不起某手机价格的情况，但仍然要求价格尽可能合适。

4、确定评价指标：由购买者评价价位，配置，外观，质量，售后服务等五个指标对于购买决定的影响大小，采用1-9级相对重要性作为尺度的方法。

Ci/Cj 相同重要 稍微重要 明显重要 强烈重要 绝对重要 介于两级之间

1 3 5 7 9 2,4,6,8

四、 模型的建立和求解

1、 模型的建立

（1） 建立层次结构模型

本文题意很明确，各层次的要素也很明确。将有关各因素按照不同的属性从上到下分为三个层次：最上层为目标层：最终要选的手机型号；中间层为准则层：价位、配置、质量、外观、售后；最下层为方案层：NOKIA 5230、HTC desire、魅族 M9、IPHONE 4。根据分析可画出如下的层次结构图：

手 机

价位配置外观质量售后

NOKIA

5230

2.构造对比矩阵

根据对以上四种产品的五种评价指标的实际情况的调查，首先对五种指标之间的相对重要性进行比较，然后针对于每种具体的指标，根据四种手机在该指标上的优劣进行，比较得出以下的比较矩阵：

五种评价指标相对重要性（准则层）的比较矩阵：其中Cij表示第i项指标与第j项指标的重要性之比，1-5项分别为价位，配置，质量，外观，售后服务质量：

HTC

desire

魅族

M9

IPHONE

4

13

1375717151911315131

731~（a）利用和法求上述比较矩阵的最大特征根和特征向量：ijCijCi1nij=

0.0610.1840.020.4290.3060.0350.1050.0210.5240.3150.120.20.040.360.280.0430.1120.0710.0620.031

0.560.6420.1870.2120.08（b）对按行求和得~~j1n~ij0.3390.6720.174

2.5151.3（c）将归一化i~i~0.06780.1344n~*T0.0348 ，=

(1,2,````````n)

0.503i10.26即为近似特征向量。

1n(Aw)i（d）计算ni1wi，5.24，作为最大特征根的近似值。

5.245（e）一致性检验：CI==0.06

51

随机一致性指标RI

n 1 2 3 4 5 6

RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24

CI因此一致性比率CR==0.053<0.1,因此可认为比较矩阵的不一致程度在容许RI范围之内，可用其特征向量作为权向量。

3、组合权向量

通过对手机网站收集的资料分析，得出方案层中4种手机在各评价指标中的优势比例，用同样的方法构造出方案层对准则层每一个准则的成对比较矩阵。设他们分别为B1、B2、B3、B4，则：

13B1241114211B2331

1214232

113B3421311222B43

311214234

11121B5313211212332211

11

这里矩阵Bk(k1,2,3,4,5)中的元素bij是方案（手机的款式）Pi与Pj对于准则Ck（价位，配置等）得优越性的比较尺度

由比较矩阵Bk计算出权向量wk，最大特征根k和一致性指标CIk，结果列(3)(k)入下表

k

(3)wk

k

CIK

1

0.0950

0.2577

0.1813

0.4662

4.12

0.04

2

0.4778

0.2842

0.1395

0.0984

4.05

0.017

3

0.0960

0.2771

0.4658

0.1610

4.04

0.013

4

0.1610

0.2772

0.4658

0.0960

4.03

0.01

5

0.4547

0.2630

0.1411

0.1411

4.1

0.003

通过上表可以看出，由于n=4时随即一致性指标RI=0.90，因此上表的CIk均通过一致性检验。

综上可得，方案1在目标中的组合权重应为方案1在各准则中的权重与相应准则对于目标的权重的两两乘积之和，即：0.06780.0950.13440.47780.03480.0960.5030.16100.260.45470.2732

同理可以算出方案2、方案3、方案4在目标中的组合权重分别为0.5811、0.3180和0.1350.于是组合权向量

(0.2732,0.5811,0.3180,0.1350)T

结果表明方案2所占的权重远远大于其他方案，故应选方案2即HTC desire作为最优方案。

模型的推广

利用层次分析法分析的因素其中每项所占的比例是相同的，在模型的推广过程中，其中不同的因素所占权重是不相同的，所以在综合考虑过程中应该首先将因素加权，求得适合自己的加权比，乘以加权系数。这样，就可以根据自己的需求算的适合自己的手机。具体求的加权系数的方法有：极致线性模式，均值标准差模式，对数logistic模式以及模糊量化模式等方式。

参考文献

姜启源，谢金星 《数学模型》 高等教育出版社 2010.6 224-233

刘来福，黄海洋《数学模型与数学建模》北京师范大学出版社 2009年02月159-168

熊启才《数学模型方法及应用》重庆大学出版社 2005年03月56-72

赵东方《数学模型与计算》科学出版社 2007年02月 42-50