2024年3月11日发(作者：来问儿)
第二章 域 和 环
１畅基本概念：域、子域、扩域、域的特征、素域．环、子环、理想、商环、同态、同
构、同态基本定理．整环、极大理想．
２畅商环的应用例子：爱森斯坦判别法的证明（整数环上多项式性质的证明）
可化归到整数环的剩余类域上．
３畅新域或新环的构造：复数域（作为实数域Ｒ上使ｘ
２
＋１＝０有根的最小扩
域）；二元域；集合Ｓ在域Ｆ上生成的扩域；商环、剩余类环Ｆ［ｘ］／（ｆ（ｘ））（包括
构造Ｆ上添加任意不可约多项式ｆ（ｘ）的一个根的扩域）、Ｚ／（ｎ）（包括构造ｐ
个元素的域）；理想的和、积；环的直和；整环的分式域．
４畅域扩张的初步知识：代数扩张、有限扩张、单代数扩张、单超越扩张．
集合Ｓ在Ｆ上生成的扩域的三种刻画：
橙ｔ∈Ｎ（自然数），橙α
１
，α
２
，…，α
ｔ
∈Ｓ，
ｆ
１
（α
１
，α
２
，…，α
ｔ
）
橙ｆ
ｉ
（ｘ
１
，ｘ
２
，…，ｘ
ｔ
）∈Ｆ［ｘ
１
，ｘ
２
，…，ｘ
ｔ
］，ｉ＝１，２．
Ｆ（Ｓ）＝
ｆ
２
（α
１
，α
２
，…，α
ｔ
）
ｆ
２
（α
１
，α
２
，…，α
ｔ
）≠０
＝由Ｆ及Ｓ的元尽可能地多次作加减乘除所得的元素的集合
＝含Ｆ及Ｓ的最小的域．
单扩张的构造：
ｆ
１
（α）
橙ｆ
１
（ｘ），ｆ
２
（ｘ）∈Ｆ［ｘ］，ｆ
２
（α）≠０
．
Ｆ（α）＝
ｆ
２
（α）
若α为Ｆ上代数元，ｆ（ｘ）是以α为根的Ｆ上不可约多项式（α的极小多项式），
其次数为ｎ，则Ｆ（α）是Ｆ上ｎ维线性空间，而１，α，…，α
ｎ－１
是它的一组基．
扩张次数［Ｅ：Ｆ］及性质：对域扩张Ｅ车Ｈ车Ｆ有［Ｅ：Ｆ］＝［Ｅ：Ｈ］［Ｈ：Ｆ］．
５畅域的应用举例：（１）二元域用于纠错码．（２）域的扩张次数的性质用于否
定三大几何作图难题（给出了用圆规直尺作图作出的量满足的条件）．
６畅中国剩余定理．
１畅这一章讲域、环的基本概念．主要是讲各种造新域和新环的方法，环是为
·４８·
域起铺垫的作用．本章的内容充分体现总导引第一点中的思想．
２畅体会造二元域的数学背景及如何用于构造纠一个错的码．思考一下能纠
错的关键之点在哪里，随便指定一个矩阵Ｈ是否能起到纠错的作用？
３畅体会对圆规直尺作图问题进行分析中的几个步骤：（１）用解析几何知识
分析出能用圆规直尺作图作出的量（长度）满足的方程；（２）用扩域的语言表达
上述作出的量所在的范围；（３）用扩张次数的性质来表达作出的量满足的条件．
４畅这一章中我们充分地应用了引论章§２末尾的定理．即用了一般域上线
性方程组、矩阵运算、线性空间、多项式等理论的大量性质．促进读者巩固高等代
数的知识．
５畅与其它近世代数教材相比，本书中域的内容（包括下一章的有限域的内
容）放到整环的因式分解唯一性理论之前，并且替代它而成为教材的核心部分．
内容也改变很多，加入纠错码的例子和三大几何作图难题的讨论这些应用内容，
而舍去了可分扩张及分裂域等内容．由于目标明确（参看总导引第一条）且有应
用内容，增加了学习的生动性．
（１）造一个码长１３，容量为２的能纠一个错的码集合．
（２）证明上面的码一般不能纠两个错．（举例：考察码子Ｘ＝（０，０，０，０，０，０，
ＴＴ
０，０，０，０，０，０，０）错了两位成为Ｙ＝（１，１，０，０，０，０，０，０，０，０，０，０，０）．能否用
书中所述的译码方法由Ｙ恢复成Ｘ？
９
§１ 域的例子，复数域及二元域的构造，
对纠一个错的码的应用
以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．
倡１畅令
ａｂ
Ｃ
０
＝
ａ，ｂ∈Ｒ，
－ｂａ
则（１）Ｃ
０
对矩阵的加法和乘法成为域．
ａ０
（２）Ｃ
０
中Ｒ
０
＝
ａ∈Ｒ是同构于Ｒ的子域．
０ａ
·４９·
2024年3月11日发(作者：来问儿)
第二章 域 和 环
１畅基本概念：域、子域、扩域、域的特征、素域．环、子环、理想、商环、同态、同
构、同态基本定理．整环、极大理想．
２畅商环的应用例子：爱森斯坦判别法的证明（整数环上多项式性质的证明）
可化归到整数环的剩余类域上．
３畅新域或新环的构造：复数域（作为实数域Ｒ上使ｘ
２
＋１＝０有根的最小扩
域）；二元域；集合Ｓ在域Ｆ上生成的扩域；商环、剩余类环Ｆ［ｘ］／（ｆ（ｘ））（包括
构造Ｆ上添加任意不可约多项式ｆ（ｘ）的一个根的扩域）、Ｚ／（ｎ）（包括构造ｐ
个元素的域）；理想的和、积；环的直和；整环的分式域．
４畅域扩张的初步知识：代数扩张、有限扩张、单代数扩张、单超越扩张．
集合Ｓ在Ｆ上生成的扩域的三种刻画：
橙ｔ∈Ｎ（自然数），橙α
１
，α
２
，…，α
ｔ
∈Ｓ，
ｆ
１
（α
１
，α
２
，…，α
ｔ
）
橙ｆ
ｉ
（ｘ
１
，ｘ
２
，…，ｘ
ｔ
）∈Ｆ［ｘ
１
，ｘ
２
，…，ｘ
ｔ
］，ｉ＝１，２．
Ｆ（Ｓ）＝
ｆ
２
（α
１
，α
２
，…，α
ｔ
）
ｆ
２
（α
１
，α
２
，…，α
ｔ
）≠０
＝由Ｆ及Ｓ的元尽可能地多次作加减乘除所得的元素的集合
＝含Ｆ及Ｓ的最小的域．
单扩张的构造：
ｆ
１
（α）
橙ｆ
１
（ｘ），ｆ
２
（ｘ）∈Ｆ［ｘ］，ｆ
２
（α）≠０
．
Ｆ（α）＝
ｆ
２
（α）
若α为Ｆ上代数元，ｆ（ｘ）是以α为根的Ｆ上不可约多项式（α的极小多项式），
其次数为ｎ，则Ｆ（α）是Ｆ上ｎ维线性空间，而１，α，…，α
ｎ－１
是它的一组基．
扩张次数［Ｅ：Ｆ］及性质：对域扩张Ｅ车Ｈ车Ｆ有［Ｅ：Ｆ］＝［Ｅ：Ｈ］［Ｈ：Ｆ］．
５畅域的应用举例：（１）二元域用于纠错码．（２）域的扩张次数的性质用于否
定三大几何作图难题（给出了用圆规直尺作图作出的量满足的条件）．
６畅中国剩余定理．
１畅这一章讲域、环的基本概念．主要是讲各种造新域和新环的方法，环是为
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域起铺垫的作用．本章的内容充分体现总导引第一点中的思想．
２畅体会造二元域的数学背景及如何用于构造纠一个错的码．思考一下能纠
错的关键之点在哪里，随便指定一个矩阵Ｈ是否能起到纠错的作用？
３畅体会对圆规直尺作图问题进行分析中的几个步骤：（１）用解析几何知识
分析出能用圆规直尺作图作出的量（长度）满足的方程；（２）用扩域的语言表达
上述作出的量所在的范围；（３）用扩张次数的性质来表达作出的量满足的条件．
４畅这一章中我们充分地应用了引论章§２末尾的定理．即用了一般域上线
性方程组、矩阵运算、线性空间、多项式等理论的大量性质．促进读者巩固高等代
数的知识．
５畅与其它近世代数教材相比，本书中域的内容（包括下一章的有限域的内
容）放到整环的因式分解唯一性理论之前，并且替代它而成为教材的核心部分．
内容也改变很多，加入纠错码的例子和三大几何作图难题的讨论这些应用内容，
而舍去了可分扩张及分裂域等内容．由于目标明确（参看总导引第一条）且有应
用内容，增加了学习的生动性．
（１）造一个码长１３，容量为２的能纠一个错的码集合．
（２）证明上面的码一般不能纠两个错．（举例：考察码子Ｘ＝（０，０，０，０，０，０，
ＴＴ
０，０，０，０，０，０，０）错了两位成为Ｙ＝（１，１，０，０，０，０，０，０，０，０，０，０，０）．能否用
书中所述的译码方法由Ｙ恢复成Ｘ？
９
§１ 域的例子，复数域及二元域的构造，
对纠一个错的码的应用
以下习题中打倡者为必作题，其余为选作题．
倡１畅令
ａｂ
Ｃ
０
＝
ａ，ｂ∈Ｒ，
－ｂａ
则（１）Ｃ
０
对矩阵的加法和乘法成为域．
ａ０
（２）Ｃ
０
中Ｒ
０
＝
ａ∈Ｒ是同构于Ｒ的子域．
０ａ
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