2024年3月13日发(作者：何海白)

※圆与方程

同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度

再来学习圆的一些性质.

1.圆的要素：

在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆

的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.

2.圆的定义：

描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭

曲线叫做圆.

描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

如图所示：

O

为定点（圆心），

P

为动点

根据点到点距离公式(xa)

2





yb



r

2

我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.

3.圆的标准方程：



xa



2





yb



2

r

2

(r＞0)

圆心(a,b)，半径r

单位圆：我们把圆心为(0,0)半径r1的圆x

2

y

2

1称为单位圆.

理解：

所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心

和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个

点

(a,b)

.现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.

1

4.圆的一般方程：

一般方程：x

2

y

2

DxEyF0

圆的判别式：DE-4F＞0

DE

圆心（，）

22

r

D

2

E

2

-4F

2

22

圆成立的条件很重要:

D

2

E

2

4F＞0

理解：x

2

与y

2

的系数相同且0，也没有xy项.

D

2

E

2

D

2

E

2

-4F

一般方程：xyDxEyF0(x)(y)

224

①D

2

E

2

-4F＞0表示圆

DE

②D

2

E

2

-4F0表示点(,)

22

③D

2

E

2

-4F＜0图像不存在

22

配方

圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.

5.圆的参数方程：（一般用于求最值）

xa

2

yb

2

r



xa



2





yb



2

r

2

(r＞0)

等号左右两边同除以

()()1

2

rr



xa

cos







xrcos



a



r





圆的参数方程



(



为参数，







0.2





ybyrsin



b





sin







r

2

例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般

方程化为标准方程.

例：x

2

(y2)

2

1

一般方程：x

2

y

2

4y30

圆心(0,2)，r1





xcos





ysin



2









0,2





(1)x

2

y

2

4x6y0

(3)(x2)

2

(y1)

2

2

(5)(x1)

2

(y1)

2

2

(2)x

2

y

2

2x2y0

(4)x

2

(y

3

3

)

2



1

3

(6)x

2

xy

2

y0

3

例2：

方程xy4mx2y5m0表示圆，则m的取值范围是

.

例3：写出下列圆的方程

22

(1)圆心(2,1),半径长是2.

(2)圆心(0,m),半径长是1.

(3)圆心(a,b),半径长是a.

(4)圆心在x轴,半径长是1.

(5)圆心在直线2xy10上,且与y轴相切的圆.

(6)圆直径的两个端点分别为(2,3),(0,2)

(7)求过A(0,5),B(1,2),C(3,4)三个点圆的方程.

(8)求圆心在x2y30上,且过点(2,3),B(2,5)的圆的标准方程.

4

※点、线、圆的位置关系

类型一：点与圆位置关系

点(x

0

,y

0

)

(1)点在圆上



x

0

a



(y

0

b)

2

r

2

或x

0

y

0

Dx

0

Ey

0

F0(dr)

222

222

(2)点在圆内



x

0

a



(y

0

b)

2

＜r

2

或x

0

y

0

Dx

0

Ey

0

F＜0(d＜r)

222

(3)点在圆外



x

0

a



(y

0

b)

2

＞r

2

或x

0

y

0

Dx

0

Ey

0

F＞0(d＞r)

例1：直线ykx1与圆x

2

y

2

xay10始终存在公共点,求a的取值范围.

例2：一束光线从点

A(1,1)

出发

x

轴反射，到达圆

C:(x2)(y3)1

上一点的最短

距离是多少？

22

(x2)

2

(y3)

2

1

，圆

C

2

：(x3)

2

(y4)

2

9

，

M、N

分别是圆

例3：

已知圆

C

1

：

C

1

、C

2

上的动点，

P

是

x

轴上的动点，则

PMPN

的最小值为？

22

例4：

若点

M(5a1,a)

在圆

(x1)y26

的内部，则实数

a

的取值范围是？

5

类型二：线与圆位置关系

1：图形表示与判断方法

关系

图 像

几 何 法

联立方程

直线与圆交点个数

判别式法

22

例1：

直线

ykx2

与圆

xy1

没有公共点，求

k

的取值范围？

相交

相切

相离

d＜r

方程组两个解

两个公共点

dr

方程组一个解

一个公共点

d＞r

方程组无解

没有公共点

＞0

0

＜0

222

例2：

不论

k

为何实数，直线

ykx1

与圆

xy2axa2a40

恒有交点，则实

数

a

的取值范围是？

22

例3：

若圆

(x1)y4

关于直线

x2y2m0

对称，则实数

m

的值为？

6

类型三：圆与圆位置关系

关系

图 像

几 何 法

d＞r

1

r

2

d

为圆心距

公切线

位置

关系

四条

外离

外切

相交

内切 内含

dr

1

r

2

r

1

r

2

＜d＜r

1

r

2

三条

两条

dr

1

r

2

一条

0d＜r

1

r

2

无

几个结论

(1)经过圆



xa



2





yb



2

r

2

上一点

P(x

0

,y

0

)

的切线方程为

(xa)(x

0

a)(yb)(y

0

b)r

2

.

(掌握)

(2)已知圆

xyr

的切线的斜率为

k

，则圆的切线方程为

ykxrk

2

1

.（了解）

(3)切点弦方程：

2

过圆



xa







yb



r

外一点

P(x

0

,y

0

)

引圆的两条切线，切点分别为

A、B

，则过

22

222

A、B

的直线方程为

(xa)(x

0

a)(yb)(y

0

b)r

2

(掌握)

7

(4)圆与圆公共弦方程：

圆O

1

：x

2

y

2

D

1

xE

1

yF

1

0与圆O

2

：x

2

y

2

D

2

xE

2

yF

2

0

若两圆相交，则有一条公共弦，该直线方程为：

(D

1

D

2

)x



E

1

E

2



yF

1

F

2

0

(5)弦长公式

AB2r

2

d

2

1k

2





a

(其中k为斜率，a为平方项的系数)

（6）半圆、直线、射线、点

y9x

2

x(x

2

y

2

2y)0

x

2

x

2

y

2

40

22

x14y

2



xy1



xy40

y2x

2



2

8

总 结 ※ 题 型

类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

(x1)y1

，求过点

P(2,2)

与圆

O

相切的切线方程． 1.已知圆

O：

2.两圆

C

1

：xyD

1

xE

1

yF

1

0

与

C

2

：xyD

2

xE

2

yF

2

0

相交于

A

、

2222

22

B

两点，求它们的公共弦

AB

所在直线的方程．

3.过圆

xy1

外一点

M(2,3)

，作这个圆的两条切线

MA

、

MB

，切点分别是

A

、

B

，

求直线

AB

的方程。

练习：

1.求过点

M(3,1)

，且与圆

(x1)y5

相切的直线

l

的方程

2.过坐标原点且与圆

x

2

y

2

4x2y

3.已知直线

5x12ya0

与圆

x2xy0

相切，则

a

的值为 .

22

22

22

5

0

相切的直线的方程为

2

9

类型二：弦长、弧长

1.求直线

l:3xy60

被圆

C:xy2x4y0

截得的弦

AB

的长

2.直线

3xy230

截圆

xy4

得的劣弧所对的圆心角为

3.求两圆

xyxy20

和

xy5

的公共弦长

2222

22

22

类型三：直线与圆的位置关系

1.若直线

yxm

与曲线

y

2.圆

(x3)(y3)9

上到直线

3x4y110

的距离为1的点有 个

22

4x

2

有且只有一个公共点，实数

m

的取值范围

10

3.直线

xy1

与圆

xy2ay0(a0)

没有公共点，则

a

的取值范围是

4.若直线

ykx2

与圆

(x2)(y3)1

有两个不同的交点，则

k

的取值范围

是 .

5.圆

xy2x4y30

上到直线

xy10

的距离为

2

的点共有 ．

22

22

22

4



作直线

l

，直线

l

与圆

C：

6.过点

P



3，



x1







y2



4

有公共点,求直线的斜率取

22

值范围.

类型四：圆与圆的位置关系

1.圆

C

1

:xy2x6y260

与圆

C

2

:xy4x2y40

的位置关系

2.圆

xy2x0

和圆

xy4y0

的公切线共有 条.

11

2222

2222

类型五：圆中的对称问题

1.圆

xy2x6y90

关于直线

2xy50

对称的圆的方程是

2.圆

xy2x6y90

关于

P(1,1)

对称的圆的方程是

22

22

类型六：圆中的最值问题

1.圆

xy4x4y100

上的点到直线

xy140

的最大距离与最小距离的差

是

2.已知圆

O

1

：(x3)(y4)1

，

P(x,y)

为圆

O

上的动点，求

dxy

的最大、最

小值．

3.已知圆

O

2

：

求

(x2)y1

，

P(x,y)

为圆上任一点．

的最大、最小值．

4.已知

A(2,0)

，

B(2,0)

，点

P

在圆

(x3)(y4)4

上运动，则

PAPB

的最

小值是 .

22

22

22

2222

22

y2

的最大、最小值，求

x2y

x1

12

练习：

1.已知点

P(x,y)

在圆

x

2

(y1)

2

1

上运动.

（1）求

y1

的最大值与最小值；（2）求

2xy

的最大值与最小值.

x2

类型七：轨迹问题

1.已知点

M

与两个定点

O(0,0)

，

A(3,0)

的距离的比为

2.已知线段

AB

的端点

B

的坐标是（4，3），端点

A

在圆

(x1)y4

上运动，求线

段

AB

的中点

M

的轨迹方程.（中线坐标公式——相关点法）

练习：

1.由动点

P

向圆

xy1

引两条切线

PA

、

PB

，切点分别为

A

、

B

，

APB

=60

0

，则

动点

P

的轨迹方程是

13

22

22

1

，求点

M

的轨迹方程.（定义法）

2

类型八：圆的综合应用

1.已知圆

xyx6ym0

与直线

x2y30

相交于

P

、

Q

两点，

O

为原点，且

22

OPOQ

，求实数

m

的值．

2.已知对于圆

x(y1)1

上任一点

P(x,y)

，不等式

xym0

恒成立，求实数

m

的取值范围．

22

14

※ 过 手 训 练

1．求圆心在直线

2xy3

上,且与两坐标轴相切的圆的方程 .

2．求过点

A(2,4)

向圆

xy4

所引的切线方程 .

22

3．圆

xy4x0

在点

P(1,3)

处的切线方程为 .

22

4．已知圆

C

的半径为

2

，圆心在

x

轴的正半轴上，直线

3x4y40

与圆

C

相切，则圆

C

的方程为 .

5．若直线

xy2

被圆

(xa)y4

所截得的弦长为

22

,则实数

a

的值为 .

6．若

P(2,1)

为圆

(x1)y25

的弦

AB

的中点，则直线

AB

的方程是 .

7．直线

x2y30

与圆

(x2)(y3)9

交于

E、F

两点，则

EOF

（

O

是原点）

的面积为 .

15

22

22

22

8.求圆心在直线

3xy0

上，与

x

轴相切，且被直线

xy0

截得的弦长为

2

的方程.

7

的圆

9．方程

x(xy4)0与x(xy4)0

表示的曲线是（ ）

222222

A.

都表示一条直线和一个圆

B.

前者是一条直线或一个圆，后者是两个点

C.

都表示两个点

D.

前者是两个点，后者是一直线和一个圆

10.方程

y

25x

2

表示的曲线是 ( )

A

.一条射线

B.

一个圆

C.

两条射线

D.

半个圆

11．方程



xy1



x

2

y

2

40

所表示的图形是 （ ）

A

．一条直线及一个圆

B.

两个点

C.

一条射线及一个圆

D.

两条射线及一个圆

12.若直线

yxb

与曲线

y34xx

2

有公共点，则

b

的取值范围是 .

13.点

P(x,y)

在圆

xy4

上，则

14.已知

xy4x2y40

，则

xy

的最大值为____________

2222

22

y4

的最大值是

x4

16

15.设点

M(x

0

,y

0

)

为圆

xyr

上一点，如何求过点

M

的圆的切线方程.

16.设点

M(x

0

,y

0

)

为圆

(xa)(yb)r

上一点，如何求过点

M

的圆的切线方程.

17.已知动点

M

到点

A(2,0)

的距离是它到点

B(8,0)

的距离的一半，求:（1）动点

M

的轨

迹方程；（2）若

N

为线段

AM

的中点，试求点

N

的轨迹．

222

222

17

18．点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点

，并说明理由.

，是否存在实数使得

19．如图，圆：

（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；

（Ⅱ）已知

圆：

，圆与x轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与

=？若存在，求出

．

相交于两点A,B．问：是否存在实数a，使得

实数a的值，若不存在，请说明理由．

18

20．已知以点

交与两点，是

为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相

的中点，直线与直线相交于点。

（1）求圆的方程；

（2）当

（3）

21．已知过点，且斜率为的直线与圆相交于两点.

时，求直线的方程；

是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

为定值；

19

2024年3月13日发(作者：何海白)

※圆与方程

同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度

再来学习圆的一些性质.

1.圆的要素：

在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆

的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.

2.圆的定义：

描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭

曲线叫做圆.

描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

如图所示：

O

为定点（圆心），

P

为动点

根据点到点距离公式(xa)

2





yb



r

2

我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.

3.圆的标准方程：



xa



2





yb



2

r

2

(r＞0)

圆心(a,b)，半径r

单位圆：我们把圆心为(0,0)半径r1的圆x

2

y

2

1称为单位圆.

理解：

所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心

和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个

点

(a,b)

.现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.

1

4.圆的一般方程：

一般方程：x

2

y

2

DxEyF0

圆的判别式：DE-4F＞0

DE

圆心（，）

22

r

D

2

E

2

-4F

2

22

圆成立的条件很重要:

D

2

E

2

4F＞0

理解：x

2

与y

2

的系数相同且0，也没有xy项.

D

2

E

2

D

2

E

2

-4F

一般方程：xyDxEyF0(x)(y)

224

①D

2

E

2

-4F＞0表示圆

DE

②D

2

E

2

-4F0表示点(,)

22

③D

2

E

2

-4F＜0图像不存在

22

配方

圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.

5.圆的参数方程：（一般用于求最值）

xa

2

yb

2

r



xa



2





yb



2

r

2

(r＞0)

等号左右两边同除以

()()1

2

rr



xa

cos







xrcos



a



r





圆的参数方程



(



为参数，







0.2





ybyrsin



b





sin







r

2

例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般

方程化为标准方程.

例：x

2

(y2)

2

1

一般方程：x

2

y

2

4y30

圆心(0,2)，r1





xcos





ysin



2









0,2





(1)x

2

y

2

4x6y0

(3)(x2)

2

(y1)

2

2

(5)(x1)

2

(y1)

2

2

(2)x

2

y

2

2x2y0

(4)x

2

(y

3

3

)

2



1

3

(6)x

2

xy

2

y0

3

例2：

方程xy4mx2y5m0表示圆，则m的取值范围是

.

例3：写出下列圆的方程

22

(1)圆心(2,1),半径长是2.

(2)圆心(0,m),半径长是1.

(3)圆心(a,b),半径长是a.

(4)圆心在x轴,半径长是1.

(5)圆心在直线2xy10上,且与y轴相切的圆.

(6)圆直径的两个端点分别为(2,3),(0,2)

(7)求过A(0,5),B(1,2),C(3,4)三个点圆的方程.

(8)求圆心在x2y30上,且过点(2,3),B(2,5)的圆的标准方程.

4

※点、线、圆的位置关系

类型一：点与圆位置关系

点(x

0

,y

0

)

(1)点在圆上



x

0

a



(y

0

b)

2

r

2

或x

0

y

0

Dx

0

Ey

0

F0(dr)

222

222

(2)点在圆内



x

0

a



(y

0

b)

2

＜r

2

或x

0

y

0

Dx

0

Ey

0

F＜0(d＜r)

222

(3)点在圆外



x

0

a



(y

0

b)

2

＞r

2

或x

0

y

0

Dx

0

Ey

0

F＞0(d＞r)

例1：直线ykx1与圆x

2

y

2

xay10始终存在公共点,求a的取值范围.

例2：一束光线从点

A(1,1)

出发

x

轴反射，到达圆

C:(x2)(y3)1

上一点的最短

距离是多少？

22

(x2)

2

(y3)

2

1

，圆

C

2

：(x3)

2

(y4)

2

9

，

M、N

分别是圆

例3：

已知圆

C

1

：

C

1

、C

2

上的动点，

P

是

x

轴上的动点，则

PMPN

的最小值为？

22

例4：

若点

M(5a1,a)

在圆

(x1)y26

的内部，则实数

a

的取值范围是？

5

类型二：线与圆位置关系

1：图形表示与判断方法

关系

图 像

几 何 法

联立方程

直线与圆交点个数

判别式法

22

例1：

直线

ykx2

与圆

xy1

没有公共点，求

k

的取值范围？

相交

相切

相离

d＜r

方程组两个解

两个公共点

dr

方程组一个解

一个公共点

d＞r

方程组无解

没有公共点

＞0

0

＜0

222

例2：

不论

k

为何实数，直线

ykx1

与圆

xy2axa2a40

恒有交点，则实

数

a

的取值范围是？

22

例3：

若圆

(x1)y4

关于直线

x2y2m0

对称，则实数

m

的值为？

6

类型三：圆与圆位置关系

关系

图 像

几 何 法

d＞r

1

r

2

d

为圆心距

公切线

位置

关系

四条

外离

外切

相交

内切 内含

dr

1

r

2

r

1

r

2

＜d＜r

1

r

2

三条

两条

dr

1

r

2

一条

0d＜r

1

r

2

无

几个结论

(1)经过圆



xa



2





yb



2

r

2

上一点

P(x

0

,y

0

)

的切线方程为

(xa)(x

0

a)(yb)(y

0

b)r

2

.

(掌握)

(2)已知圆

xyr

的切线的斜率为

k

，则圆的切线方程为

ykxrk

2

1

.（了解）

(3)切点弦方程：

2

过圆



xa







yb



r

外一点

P(x

0

,y

0

)

引圆的两条切线，切点分别为

A、B

，则过

22

222

A、B

的直线方程为

(xa)(x

0

a)(yb)(y

0

b)r

2

(掌握)

7

(4)圆与圆公共弦方程：

圆O

1

：x

2

y

2

D

1

xE

1

yF

1

0与圆O

2

：x

2

y

2

D

2

xE

2

yF

2

0

若两圆相交，则有一条公共弦，该直线方程为：

(D

1

D

2

)x



E

1

E

2



yF

1

F

2

0

(5)弦长公式

AB2r

2

d

2

1k

2





a

(其中k为斜率，a为平方项的系数)

（6）半圆、直线、射线、点

y9x

2

x(x

2

y

2

2y)0

x

2

x

2

y

2

40

22

x14y

2



xy1



xy40

y2x

2



2

8

总 结 ※ 题 型

类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

(x1)y1

，求过点

P(2,2)

与圆

O

相切的切线方程． 1.已知圆

O：

2.两圆

C

1

：xyD

1

xE

1

yF

1

0

与

C

2

：xyD

2

xE

2

yF

2

0

相交于

A

、

2222

22

B

两点，求它们的公共弦

AB

所在直线的方程．

3.过圆

xy1

外一点

M(2,3)

，作这个圆的两条切线

MA

、

MB

，切点分别是

A

、

B

，

求直线

AB

的方程。

练习：

1.求过点

M(3,1)

，且与圆

(x1)y5

相切的直线

l

的方程

2.过坐标原点且与圆

x

2

y

2

4x2y

3.已知直线

5x12ya0

与圆

x2xy0

相切，则

a

的值为 .

22

22

22

5

0

相切的直线的方程为

2

9

类型二：弦长、弧长

1.求直线

l:3xy60

被圆

C:xy2x4y0

截得的弦

AB

的长

2.直线

3xy230

截圆

xy4

得的劣弧所对的圆心角为

3.求两圆

xyxy20

和

xy5

的公共弦长

2222

22

22

类型三：直线与圆的位置关系

1.若直线

yxm

与曲线

y

2.圆

(x3)(y3)9

上到直线

3x4y110

的距离为1的点有 个

22

4x

2

有且只有一个公共点，实数

m

的取值范围

10

3.直线

xy1

与圆

xy2ay0(a0)

没有公共点，则

a

的取值范围是

4.若直线

ykx2

与圆

(x2)(y3)1

有两个不同的交点，则

k

的取值范围

是 .

5.圆

xy2x4y30

上到直线

xy10

的距离为

2

的点共有 ．

22

22

22

4



作直线

l

，直线

l

与圆

C：

6.过点

P



3，



x1







y2



4

有公共点,求直线的斜率取

22

值范围.

类型四：圆与圆的位置关系

1.圆

C

1

:xy2x6y260

与圆

C

2

:xy4x2y40

的位置关系

2.圆

xy2x0

和圆

xy4y0

的公切线共有 条.

11

2222

2222

类型五：圆中的对称问题

1.圆

xy2x6y90

关于直线

2xy50

对称的圆的方程是

2.圆

xy2x6y90

关于

P(1,1)

对称的圆的方程是

22

22

类型六：圆中的最值问题

1.圆

xy4x4y100

上的点到直线

xy140

的最大距离与最小距离的差

是

2.已知圆

O

1

：(x3)(y4)1

，

P(x,y)

为圆

O

上的动点，求

dxy

的最大、最

小值．

3.已知圆

O

2

：

求

(x2)y1

，

P(x,y)

为圆上任一点．

的最大、最小值．

4.已知

A(2,0)

，

B(2,0)

，点

P

在圆

(x3)(y4)4

上运动，则

PAPB

的最

小值是 .

22

22

22

2222

22

y2

的最大、最小值，求

x2y

x1

12

练习：

1.已知点

P(x,y)

在圆

x

2

(y1)

2

1

上运动.

（1）求

y1

的最大值与最小值；（2）求

2xy

的最大值与最小值.

x2

类型七：轨迹问题

1.已知点

M

与两个定点

O(0,0)

，

A(3,0)

的距离的比为

2.已知线段

AB

的端点

B

的坐标是（4，3），端点

A

在圆

(x1)y4

上运动，求线

段

AB

的中点

M

的轨迹方程.（中线坐标公式——相关点法）

练习：

1.由动点

P

向圆

xy1

引两条切线

PA

、

PB

，切点分别为

A

、

B

，

APB

=60

0

，则

动点

P

的轨迹方程是

13

22

22

1

，求点

M

的轨迹方程.（定义法）

2

类型八：圆的综合应用

1.已知圆

xyx6ym0

与直线

x2y30

相交于

P

、

Q

两点，

O

为原点，且

22

OPOQ

，求实数

m

的值．

2.已知对于圆

x(y1)1

上任一点

P(x,y)

，不等式

xym0

恒成立，求实数

m

的取值范围．

22

14

※ 过 手 训 练

1．求圆心在直线

2xy3

上,且与两坐标轴相切的圆的方程 .

2．求过点

A(2,4)

向圆

xy4

所引的切线方程 .

22

3．圆

xy4x0

在点

P(1,3)

处的切线方程为 .

22

4．已知圆

C

的半径为

2

，圆心在

x

轴的正半轴上，直线

3x4y40

与圆

C

相切，则圆

C

的方程为 .

5．若直线

xy2

被圆

(xa)y4

所截得的弦长为

22

,则实数

a

的值为 .

6．若

P(2,1)

为圆

(x1)y25

的弦

AB

的中点，则直线

AB

的方程是 .

7．直线

x2y30

与圆

(x2)(y3)9

交于

E、F

两点，则

EOF

（

O

是原点）

的面积为 .

15

22

22

22

8.求圆心在直线

3xy0

上，与

x

轴相切，且被直线

xy0

截得的弦长为

2

的方程.

7

的圆

9．方程

x(xy4)0与x(xy4)0

表示的曲线是（ ）

222222

A.

都表示一条直线和一个圆

B.

前者是一条直线或一个圆，后者是两个点

C.

都表示两个点

D.

前者是两个点，后者是一直线和一个圆

10.方程

y

25x

2

表示的曲线是 ( )

A

.一条射线

B.

一个圆

C.

两条射线

D.

半个圆

11．方程



xy1



x

2

y

2

40

所表示的图形是 （ ）

A

．一条直线及一个圆

B.

两个点

C.

一条射线及一个圆

D.

两条射线及一个圆

12.若直线

yxb

与曲线

y34xx

2

有公共点，则

b

的取值范围是 .

13.点

P(x,y)

在圆

xy4

上，则

14.已知

xy4x2y40

，则

xy

的最大值为____________

2222

22

y4

的最大值是

x4

16

15.设点

M(x

0

,y

0

)

为圆

xyr

上一点，如何求过点

M

的圆的切线方程.

16.设点

M(x

0

,y

0

)

为圆

(xa)(yb)r

上一点，如何求过点

M

的圆的切线方程.

17.已知动点

M

到点

A(2,0)

的距离是它到点

B(8,0)

的距离的一半，求:（1）动点

M

的轨

迹方程；（2）若

N

为线段

AM

的中点，试求点

N

的轨迹．

222

222

17

18．点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点

，并说明理由.

，是否存在实数使得

19．如图，圆：

（Ⅰ）若圆C与x轴相切，求圆C的方程；

（Ⅱ）已知

圆：

，圆与x轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与

=？若存在，求出

．

相交于两点A,B．问：是否存在实数a，使得

实数a的值，若不存在，请说明理由．

18

20．已知以点

交与两点，是

为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相

的中点，直线与直线相交于点。

（1）求圆的方程；

（2）当

（3）

21．已知过点，且斜率为的直线与圆相交于两点.

时，求直线的方程；

是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

为定值；

19