2024年3月15日发(作者：酒淑哲)
VAR模型、协整和VEC模型
1. VAR（向量自回归）模型定义
2. VAR模型的特点
3. VAR模型稳定的条件
4. VAR模型的分解
5. VAR模型滞后期的选择
6. 脉冲响应函数和方差分解
7. 格兰杰（Granger）非因果性检验
8. VAR模型与协整
9. VAR模型中协整向量的估计与检验
10. 案例分析
1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive
model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论
为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内
生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关
系。
1. VAR（向量自回归）模型定义
以两个变量y
1t
，y
2t
滞后1期的VAR模型为例，
y
1, t
= c
1
+
11.1
y
1, t-1
+
12.1
y
2, t-1
+ u
1t
y
2, t
= c
2
+
21.1
y
1, t-1
+
22.1
y
2, t-1
+ u
2t
其中u
1 t
, u
2 t
IID (0,
2
), Cov(u
1 t
, u
2 t
) = 0。写成矩阵形式是，
y
1t
c
1
11.1
y
=
+
2t
c
2
21.1
12.1
22.1
y
1,t1
u
1t
y
+
2,t1
u
2t
y
1t
u
1t
c
1
11.1
12.1
, c =
,
1
=
, u
t
=
u
,
设
Y
t
=
y
22.1
2t
2t
21.1
c
2
则，
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+ u
t
(1.3)
含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+
2
Y
t-2
+ … +
k
Y
t-k
+ u
t
, u
t
IID (0,
)
其中，
Y
t
= (y
1, t
y
2, t
… y
N, t
)'， c = (c
1
c
2
… c
N
)'
12.j
22.j
1N.j
2N.j
NN.j
11.j
21.j
j
=
N1.j
N2.j
, j = 1, 2, …, k
u
t
= (u
1 t
u
2,t
… u
N t
)',
不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u
t
是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数
估计量都具有一致性。
2. VAR模型的特点
（1）不以严格的经济理论为依据。
（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。
（3）VAR模型对参数不施加零约束。
（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。
（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。
（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。
（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内
生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也
可以作为外生变量加入VAR模型。
附：
120
PHO
100
PHOhat
100
120
PHOPHOF
80
80
60
60
40
40
20
868788
20
868788
图1 油价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值
3. VAR模型平稳（稳定）的条件
对于VAR(1)，
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+ u
t
模型稳定的条件是特征方程 |
1
-
I |=0的根都在单位圆以内，或相反的特
征方程|I–L
1
|= 0的根都要在单位圆以外。
对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)
模型形式。
Y
t
= C + A Y
t -1
+ U
t
模型稳定的条件是特征方程 |A-
I| =0的根都在单位圆以内，或其相反的
特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。
与单变量时间序列的情况类似，我们可以来考察VAR（p）的单位根
的存在性。为了说明这个问题，首先让我们来看一个二元时间序列的VAR
（1）模型。
y
1,t
11
12
y
1,t1
1,t
y
y
2,t
21
22
2,t1
2,t
即有
y
1,t
11
12
y
1,t1
1,t
y
y
2,t
21
22
2,t1
2,t
1
11
B
12
B
y
1,t
1,t
y
B
B
1
2,t2,t
2122
1
11
z
12
z
Φ
(z)
1
21
z
22
z
|Φ(z)|
1
11
z
21
z
12
z
1
22
z
|Φ(z)|
1
11
z
1
22
z
21
12
z
1
11
z
2
1(
11
22
)z(
11
22
21
12
)z0
当
2
|
Φ
(z)|
21
z
12
z
0
的根在单位圆上，则该序列是
1
22
z
非平稳的。
所以作为一个多变量的时间序列，其平稳的充分必要条件是
Φ(B)0
根在单位圆之外。
附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+
2
Y
t-2
+ … +
k
Y
t-k
+ u
t
再配上如下等式，
Y
t -1
= Y
t -1
Y
t -2
=
Y
t -2
…
Y
t-k+1
=
Y
t-k+1
把以上k个等式写成分块矩阵形式，
Y
t
Y
t1
Y
t2
Y
tk1
NK1
Π
1
c
I
0
0
0
=
+
0
0
NK1
Π
2
0
I
0
Π
k1
0
0
I
Π
k
0
0
0
NKNK
Y
t1
Y
t2
Y
t3
Y
tk
NK1
+
u
t
0
0
0
NK1
其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为
Y
t
= C + A Y
t -1
+ U
t
附：
VAR模型的特征根
4. VAR模型的分解
以VAR(1)模型
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+ u
t
为例，用递推的方法最终可把Y
t
分解为三部分：
i
Π
1
i0
t1
Y
t
= (I +
1
+
1
+ … +
1
) c +
1
Y
0
+
2
t
-1
t
u
t-i
= (I-
1
)c +
1
Y
0
+
-1t
i
Π
1
i0
t1
u
t-i
5. VAR模型滞后期的选择
从原则上讲，我们应该从VAR模型的自相关函数和偏自相关函数的
特征来考虑模型的识别问题，但是从实用的角度讲，要在多元情况下把
ACF和PACF很直观的讲清楚，是一件不容易的事情，所以，在实际应
用中，采用逐步升阶的方法，找出最恰当的模型阶数。
假定我们已经估计了几个VAR(p)模型，阶数从1到k。现在我们可以
来研究这些模型的残差的估计值。我们知道对一个AR模型来说，无谓的
升阶，达到了非常小的残差，是以牺牲自由度为代价的。使二者达到一个
最佳的平衡点的一个有用的标准就是Akaike和Schwarz信息准则函数，
当然还有其它准则，我们一并列在下面。
1． 用F统计量选择k值。F统计量定义为，
(SSE
r
SSE
u
)/m
F
SSE
u
/(Tk)
F
( m , T – k )
2． 用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为，
2
2
LR = - 2 (log L
(k)
- log L
(k+1)
)
(N)
3． 用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。
logL
2k
+AIC = -2
T
T
4．
用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。
logL
klogT
+SC =-2
T
T
5．
用Hannan-Quinn信息准则选择k值。
logLLn(LnT)
HQ22k
TT
附：
选择k值
评价结果是建立VAR(2)模型。
例 在Eviews中VAR的估计的相关操作
1、 选择Quick/Estimate VAR
2、在Lag intervals对话框中键入方程右边滞后期数1 2
1 2表示在方程的右边所有的变量均滞后两期。 键入1 2 4 5 9 9
的意思是所有方程右边的变量滞后期数为：1 2 4 5 9。
3、键入内生或外生变量名在适当的编辑框
endogenous：内生变量框
exogenous：外生变量框
4、选择模型类型（Var specification）
Unrestricted VAR （无约束向量自回归）
Vector Error Correction（向量误差校正）
5、在Include intercept选择是否包含常数项
6. VAR模型的脉冲响应函数和方差分解
(1)脉冲响应函数:
在实际应用中，由于VAR是非理论模型，它无需对变量做任何先验性约束，因
此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是
分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种
分析方法称为脉冲响应函数分析。其基本思想可以通过两变量的VAR(2)来说明。
x
t
11.1
x
t1
11.2
x
t2
12.1
z
t1
12.2
z
t2
1t
z
t
21.1
x
t1
21.2
x
t2
22.1
z
t1
22.2
z
t2
2t
t1,...,T(6.5.1)
假定误差项满足，
E(
it
)0,t
E(
it
is
)0
假定该系统从0期开始活动，且设
i1,2
t
ts
var(
t
)E(
t
t
/
)
x
1
x
2
z
1
z
2
0
第0期误差项
10
1,
20
0
，其后冲击均为零，即
1t
2t
0
t1,2,....
，
称此为第0期给x以脉冲，下面讨论
x
t
,z
t
的响应。
（1）
t0
时，
x
0
11.1
x
1
11.2
x
2
12.1
z
1
12.2
z
2
10
z
x
x
z
z
21.1121.2222.1122.2220
0
有，
x
0
1
z
0
0
（2）
t1
x
1
11.1
x
0
11.2
x
1
12.1
z
0
12.2
z
1
11
z
x
x
z
z
21.1021.2122.1022.2121
1
有，
x
1
11.1
z
1
21.1
（3）
t2
x
2
11.1
x
1
11.2
x
0
12.1
z
1
12.2
z
0
12
z
x
x
z
z
21.1121.2022.1122.2022
2
有，
x
2
11.1
11.1
11.2
12.1
21.1
z
2
21.1
11.1
21.2
22.1
21.1
（4）以此类推，可以分别得到，
x
0,
x
1
,x
2
,x
3
......
。
称为由
x
的脉冲引起的
x
的响应函数；
z
0,
z
1
,z
2
,z
3
......
。
称为由
x
的脉冲引起的
z
的响应函数；
Y
t+s
= U
t+s
+
1
U
t+s -1
+
2
U
t+s -2
+ …+
s
U
t
+ …
对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。
Y
ts
s
=
U
t
s
中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第
j个变量y
j t
对应的误差项u
j t
在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量y
it
在
t + s期造成的影响。
把
s
中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数
y
i,
ts
u
j
t
, s = 1, 2, 3, …
称作脉冲响应函数（impulse-response function），脉冲响应函数描述了其它变量在t
期以及以前各期保持不变的前提下，y
i, t+s
对 u
j, t
时一次冲击的响应过程。
(2)方差分解
脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击对模型中内生变量
所带来的影响，而方差分析是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化的贡献度，
进一步评价不同冲击结构的重要性。因此方差分解给出对VAR模型中的变量产生影
响的每个随机误差项的相对重要性的信息，基本思路：
VAR中第i个变量可以分解成：
y
it
c
ij.0
jt
c
ij.1
j,t1
c
ij.2
j,t2
......
j1
k
由此可以计算出相对方差贡献率，
c
ij.q
2
jj
k
RVC
ji
()
q0
c
ij.q
q0
2
jj
var(y
it
)
2
c
ij.q
jj
j1
q0
RVC
ji
是根据第j个变量基于冲击的方差对
y
i
的方差的相对贡献度来观测来
自第j个变量的冲击对第i个变量的影响。
RVC
ji
具有如下性质：
①、
0RVC
ji
1
②、
RVC
ji
1
j1
k
如果
RVC
ji
较大，意味着第j个变量对第i个变量的影响大；反之则相反。
附：脉冲响应函数
图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应
附：方差分解
图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解
7. 格兰杰（Granger）非因果性检验
格兰杰非因果性：如果由
y
t
和
x
t
滞后值所决定的
y
t
的条件分布与仅由
y
t
滞后值
所决定的条件分布相同，即
( y
t
y
t -1
, …, x
t -1
, …) = ( y
t
y
t -1
, …)
则称
x
t
-1
对
y
t
存在格兰杰非因果性。
格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上
x
t
的滞后变量后对
y
t
的预测精度不存在显着性改善，则称
x
t
-1
对
y
t
存在格兰杰非因果性关系。
为简便，通常总是把
x
t
-1
对
y
t
存在非因果关系表述为
x
t
（去掉下标-1）对
y
t
存
在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。
检验式（VAR模型方程之一）是
y
t
i
y
ti
i
x
ti
u
1t
i1i1
kk
H
0
:
1
=
2
= …=
k
= 0。检验可用
F
统计量完成。
(
SSE
r
SSE
u
)k
F
SSE
u
(TkN)
F
(
k
,
T
-
k N
)
注意：滞后期
k
的选取是任意的。（1）以
x
t
和
y
t
为例，如果
x
t
-1
对
y
t
存在显著性
影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果
x
t
-1
对
y
t
不存在显著性影响，则应
该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。
附：格兰杰非因果性检验结果
8. VAR模型与协整
一个简单的例子。为了说明多维变量的协整关系，我们以一个一阶自回归过程
y
t
δ
Φ
1
y
t1
e
t
Δy
t
δ
(Φ
1
I)y
t1
e
t
e
t
~IN
n
(0,Σ)
e
t
~IN
n
(0,Σ)
为例讨论有关的问题。模型的等价形式为：
Δy
t
其中
(Φ
1
当
Π
δΠy
t1
e
t
e
t
~IN
n
(0,Σ)
I)Π
。
0
，则
ΦΙ
，即
Rank(Π
nn
)0
。容易得到
y
t
所有分量均为I（1），且没
有协整关系；
当Rank（
Π
nn
）=n，对方程
Δy
t
δ(Φ
1
I)y
t1
e
t
，因为其左边是平稳的
序列，右边也应该是平稳序列，
Π
nn
是满秩矩阵，故
Π
1
Δy
t
可见
y
t
本身就是平稳序列。
Π
1
δy
t1
Π
1
e
t
当
rank(Π
nn
)
使
kn
，根据线性代数的结论，有
nk
阶列满秩矩阵
α
和
β
，
Π
有
β
y
t1
包含
k
个协整关系。
αβ
Δy
t
δα
(
βy
t1
)
e
t
e
t
~IN
n
(0,Σ)
该模型成为误差校正模型，我们看到模型在用
βy
t1
进行校正。
总结起来有三种情形：
系数矩阵
Π
的秩为
k
时，
y
t
的分量间存在有
k
个协整组合，有
nk
个组合
仍为I(1);
系数矩阵
Π
的秩为n时，
y
t
为I(0)向量;
系数矩阵的
Π
秩为0时，
y
t
为I(1)向量，且不存在任何协整关系。至此，我
们已经发现，讨论多重协整关系的问题，归于讨论
Π
的秩。
（张晓峒版）如果VAR模型
Y
t
=
1
Y
t-1
+
2
Y
t-1
+ … +
k
Y
t-k
+ u
t
, u
t
IID (0,
)
的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。
Y
t
=
1
*
Y
t-1
+
2
*
Y
t-2
+ … +
k
*
Y
t-k
+ u
t
* （新）
然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最
好的选择。
向量误差修正模型（VEC）的表达式是
Y
t
= (
1
+
2
+…+
k
- I ) Y
t -1
- (
2
+
3
+…+
k
)
Y
t-1
- (
3
+…+
k
)
Y
t-2
-…-
k
Y
t - (k-1)
+u
t
令
j
= -
i
, j = 1, 2, …, k-1，
ij1
k
= -
0
- I =
i
- I =
1
+
2
+ … +
k
– I
i1
k
则上式写为
Y
t
=
Y
t-1
+
1
Y
t-1
+
2
Y
t-2
+ … +
k-1
Y
t-(k-1)
+ u
t
根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是
A
†
(L)
Y
t
=
' Y
t-1
+ d (L) u
t
其中A
†
(L) 是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子
表示的多项式矩阵。
Y
t-k
有如下三种可能。
1．当Y
t
的分量不存在协整关系，
的特征根为零，
= 0。
2．若rank (
) = N（满秩），保证
Y
t-k
平稳的唯一一种可能是Y
t
I(0)。
3．当Y
t
I(1)，若保证
Y
t-k
平稳，只有一种可能，即Y
t
的分量存在协整关系。
例1：
11
21
N1
Y
t-
1
=
'Y
t-
1
=
Nr
Nr
1r
2r
11
r1
1N
rN
rN
y
1,t1
y
2,t1
y
N,t1
N1
=
11
(
11
y
1,t1
...
1N
y
N,t1
)
N1
(
11
y
1,t1
...
1N
y
N,t1
)
1r
(
r1
y
1,t1
...
rN
y
N,t1
)
Nr
(
r1
y
1,t1
...
rN
y
N,t1
)
N1
例2：设三个变量的VAR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系），
y
1,t
y
2,t
=
y
3,t
1/21/4
1/85/8
3/8
1/4
0
11/8
0
11/4
y
1,t1
u
1t
y
2,t1
+
u
2t
y
3,t1
u
3t
代数形式是
y
1, t
= - (1/2) [y
1, t-1
- (1/8) y
2 t-1
] + (1/4) [y
2, t-1
- (1/4) y
3 t-1
] + u
1 t
y
2, t
= (1/8) [y
1, t-1
- (1/8) y
2 t-1
]– (5/8) [y
2, t-1
- (1/4) y
3 t-1
] + u
2 t
y
3, t
= (1/4) [y
1, t-1
- (1/8) y
2 t-1
] + (3/8) [y
2, t-1
- (1/4) y
3 t-1
] + u
3 t
9. VAR模型中协整向量的估计与检验
(张晓峒版)
检验协整关系的零假设是
H
0
: rk(
) r 或
=
'
统计量是
ˆ
ˆ
LR = - 2 (logL()
r
- logL()
u
)
= - T [
ir1
log
(1-
i
) ], r = 0, 1, …, N - 1
N
LR统计量在零假设 0 r N 或“存在N - r个单位根”成立条件下
不服从
2
分布。Johansen证明LR统计量渐近服从如下分布。
'1
111
W(i)dW(i)'W(i)W(i)'diW(i)dW(i)'
tr
000
其中tr (·) 表示迹，W(i) 是N-r维的Wiener过程。上述统计量也称作迹
统计量。右单端检验。
上述 LR检验，H
0
: rk(
) r，是一个连续检验过程。
例： N = 3 的VAR模型的3个特征根分别是
1
= 0.9,
2
= 0.5,
3
=
0.04。样本容量T = 100，练习协整向量个数的检验过程。
表 协整检验过程
N - r 特征值
3
2
1
0.90
0.50
0.04
迹统计量 5%水平临界值
303.6 >
73.30 >
4.082 <
34.91
19.96
9.24
零假设
r = rk(
) = 0
r = rk(
) 1
r = rk(
) 2
N
注：LR = - T [
ir1
log
(1-
i
) ]。
结论是该VAR模型中存在2个协整向量。
附：
计算过程。
首先检验r = 0。
LR = - T [
ir1
log
(1-
i
) ] = - 100
log(1
i
)
= -100 [log(0.1)+ log(0.5)+ log(0.96)]
i1
N
3
= -100 (-2.302-0.693-0.04) = 303.6 > 34.91（临界值）
接着检验r = 1。
LR = - 100
log(1
i
)
= -100 [log(0.5)+ log(0.96)]
i2
3
= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 > 19.96（临界值）
接着检验r = 2。
LR = - 100 Ln (1-
3
) = -100 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 < 9.24（临界值）
因为r 1已经被拒绝，但r 2未能被拒绝，所以结论是该VAR模型中存在2个协整向
量。
例：
输出结果
说明3个变量之间存在一个协整关系。
附：说明
(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR模型中不存在协整向量（含有
N个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR < 临界值），说明N个变量间不
存在协整关系。检验到此终止。不能建立VEC模型。如果r = 0被拒绝（LR >
临界值），则应继续进行下面的检验。
(2) r 1。意即在VAR模型中存在1个协整向量（含有N-1个单位根）。
如果r 1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r 1被拒绝，
则应进一步作如下检验。
……
(3) r N –1。意即在VAR模型中存在N –1个协整向量（含有1个单位
根）。如果r N –1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r
N –1被拒绝，说明r =N。
在检验过程中，比如r r*-1已经被拒绝，但r r*不能被拒绝，则结
论是VAR模型中存在r*个协整向量。
（4）协整检验过程中的每一步检验都属于右单端检验。
（谢小燕版）
（一）Johansen检验的思路
第一步，拟合模型
Δy
t
μΓ
1
Δy
t1
Γ
2
Δy
t2
Γ
p1
Δy
tp1
v
t
ˆ
t
，
ν
ˆ
t
含有
y
的信息。 这里约束了
Π0
。模型的残差项记为
ν
t1
第二步，拟合模型
y
t1
κΞ
1
Δy
t1
Ξ
2
Δy
t2
Ξ
p1
Δy
t
t
p1
u
t
ˆ
t
，
u
ˆ
t
含有
y
的信息。 模型的残差项记为
u
实质上，两个辅助回归模型的残差项分别从
Δy
t
和
y
t1
排除了
Δy
t1
,
Δy
t2
,,
Δy
tp1
的影响，使我们的注意力集中到了
Δy
t
和
y
t1
的关系上。
ˆ
t
（含有
Δy
的信息）和
ν
ˆ
t
（含有
y
t1
的 接下来的问题是是否可以分别在
u
t
信息）中各自找出一个线性组合，构成一对变量（这对变量是，且该
对线性组合具有最大的相关性，类推找出所有可能的，相关性次强的
ˆ
t
方的成员对应的系数则构成
y
t
中的 线性组合对。这些线性组合对中的
ν
协整变量的结构（或协整变量的系数），显著相关的线性组合对的个数
即为协整变量的个数
1
。
(二)Johansen检验
Johansen检验这不是单独的一个检验，而是一系列的检验，检验协整
变量的个数为几。从
k
（1）提出假设
0
开始，
k
是协整变量的个数。
ˆ
t
中有
k
对典型变量相关性显著；
ˆ
t
和
u
H
0
:
至多存在
k
个协整关系，即在
ν
ˆ
t
中有
k
对以上的典型变量相关性显
ˆ
t
和
u
H
1
:
有大于
k
个协整关系,即在
ν
著;
（2）构造检验的统计量
检验的统计量为：
Q
r
T
log(1
i
)
ik1
n
ˆ
和
u
ˆ
中典型相关系数的平方。 其中
i
是
ν
tt
1
多元统计分析中典型相关分析法。
（3）Johansen检验的实施
检验有几个协整变量和协整变量的结构。为了检验变量间的协整关
系和协整变量的个数，操作如下图，首先在下拉式菜单中选择协整检验的
选项，如(*)图17。再选择检验式的形式图(**)。
图* 协整检验
图** 选择协整检验式
Johansen检验要求，协整方程有5种，上面的对话框左侧：
序列y或协整方程中无确定趋势项或无截距项；
序列y无截距项且协整方程只有截距项；
序列y或协整方程中只有截距项；
序列y无趋势项和在协整方程既有截距项也有趋势项；
序列y有线性趋势且在协整方程既有截距项也有趋势项.
输出结果如下表。
表 协整检验的结果
Date: 07/15/06 Time: 22:45
Sample: 1955 1988
Included observations: 32
Test assumption: Linear deterministic trend in the data
Series: LY1 LY2 LY3 LY4 LY5
Lags interval: 1 to 1
Eigenvalue
Likelihood
Ratio
5 Percent
Critical
1 Percent
Critical
Hypothesized
No. of CE(s)
Value
0.673781
0.520657
0.372611
0.294853
0.115972
89.41854
53.57257
30.04173
15.12372
3.944545
68.52
47.21
29.68
15.41
3.76
Value
76.07
54.46
35.65
20.04
6.65
None **
At most 1 *
At most 2 *
At most 3
At most 4 *
*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level
L.R. test indicates 3 cointegrating equation(s) at 5% significance level
Unnormalized Cointegrating Coefficients:
LY1
-1.772497
-1.787311
1.746643
-0.753075
0.822507
LY2
0.474616
1.201567
0.341621
0.323333
-1.222749
LY3
2.107603
-0.741407
-0.643429
-0.183253
-0.163635
LY4
-3.009948
-1.764639
-0.588860
-0.232808
1.593490
LY5
1.006424
1.626055
0.115909
0.826739
0.343754
C
-2.926526
Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s)
LY1
1.000000
Log
likelihood
LY2
-0.267767
(0.10287)
217.0823
LY3
-1.189059
(0.24139)
LY4
1.698140
(0.27219)
LY5
-0.567800
(0.10789)
Normalized Cointegrating Coefficients: 2 Cointegrating Equation(s)
LY1
1.000000
0.000000
Log
likelihood
LY2
0.000000
1.000000
228.8478
LY3
-2.250753
(0.74172)
-3.964990
(1.64145)
LY4
2.168675
(0.71088)
1.757253
(1.57321)
LY5
-0.341427
(0.22812)
0.845412
(0.50484)
C
-2.307264
2.312686
C
-2.773445
1.491450
Normalized Cointegrating Coefficients: 3 Cointegrating Equation(s)
LY1
1.000000
0.000000
LY2
0.000000
1.000000
LY3
0.000000
0.000000
LY4
-0.244359
(0.16665)
-2.493616
LY5
-0.136126
(0.22844)
1.207076
0.000000
Log
likelihood
0.000000
236.3068
1.000000
(0.31011)
-1.072101
(0.12288)
(0.42508)
0.091214
(0.16844)
-0.207122
Normalized Cointegrating Coefficients: 4 Cointegrating Equation(s)
LY2
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
241.8964
LY3
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
LY4
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
LY5
0.307903
(1.76814)
5.738259
(16.5079)
2.039343
(7.14159)
1.817113
(6.59522)
C
-6.526467
-36.80706
-16.67311
-15.35862
LY1
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Log
likelihood
从结果可以看出，协整变量的个数是3个。没有正规化的系数矩阵：
-1.772497
β
-1.787311
1.746643
0.474616
1.201567
0.341621
2.107603
-0.741407
-0.643429
-3.009948
-1.764639
-0.588860
1.006424
1.626055
正规化的系数
用初等变换，
0.115909
矩阵：
0
1
β
0 1
0 0
0
0
1
-0.244359
-2.493616
-1.072101
-0.136126
1.207076
0.091214
-2.773445
1.491450
-0.207122
案例分析：
英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992) 。
祥见Journal of Econometrics（计量经济学杂志）第53卷，211-244页。
1．购买力平价和利率平价
同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存在套利问题。但是
当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用P
t
表示国内商品价格，P
t
*
表示国外同类商品价格，E
t
表示购买力平价，则有
E
t
= P
t
/ P
t
*
即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是
LnE
t
= Ln P
t
- LnP
t
*
3个变量的长期均衡关系是
Ln P
t
- LnP
t
* - LnE
t
= u
1t
其中u
t
表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处
有u
t
= 0。
下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联
系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一
样的。分别用R
t
，R
t
*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定
汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证
R
t
- R
t
* = E
(t)
(E
t+1
) - E
t
= u
2t
其中E
t
表示名义汇率（货币的购买力平价）。E
(t)
(E
t+1
)表示t期对t+1期
汇率的期望。u
2t
是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持R
t
，R
t
*相
等称为利率平价。
2．协整关系的预分析
如果用
Y
t
= (LnP
t
LnP
t
* LnE
t
R
t
R
t
*)'
表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。
1
= (1 -1 -1 0 0)'
2
= (0 0 0 1 -1)'
1
表示购买力平价协整向量，
2
表示利率平价协整向量。
3．估计协整向量个数r。
用P
t
表示英国商品综合批发价格指数。P
t
*表示进口商品综合批发价
格指数。E
t
表示英国实际汇率。R
t
表示三个月的金融债券利率。R
t
*表示三
个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。
通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以
在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据
空间）。
2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），
为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成
的。用石油价格调整批发价格指数，再次估计2阶VAR模型。VAR模型
残差序列的诊断检验结果见表1。
表1 VAR模型残差的诊断检验
方程 内生变量 标准差 偏度 峰度-3 JB统计量 序列相关检验，
LM
(20)
1 LnP
t
0.007 0.29 1.27 4.84 6.09 (<31.41)
2
3
4
5
LnP
t
*
LnE
t
R
t
R
t
*
0.007
0.030
0.011
0.28
0.30
0.58
2.16
0.17
0.25
3.76 0.013 -0.51
(<5.99)
12.44
(>5.99)
0.95
(<5.99)
3.55
(<5.99)
37.95
(>5.99)
9.59 (<31.41)
13.54 (<31.41)
9.11 (<31.41)
16.41 (<31.41)
注：
2
0.05 (2)
= 5.99,
2
0.05 (20)
= 31.41
序列相关检验结果显示5个方程的随机误差序列都不存在自相关。但
R
t
和R
t
*仍表现为非正态性。这是由于它们的弱外生性造成的。
在上述2阶VAR模型基础上进行协整检验（见表2）。结果显示协整
向量个数r = 2。
表2 协整向量个数r的检验
H
0
r =0
r 1
r 2
r 3
r 4
H
1
r 1
r 2
r 3
r 4
r5
特征根
0.407
0.285
0.254
0.102
0.083
迹统计量
80.75 >
49.42 >
29.26 <
11.67 <
5.19 >
协整检验临界值，
=0.05
68.52
47.21
29.68
15.14
3.76
4．协整向量估计结果的分析与解释
非约束的5个协整参数向量和5个调整参数向量见表3。
i
和
i
的顺序
（从左至右）与特征根的大小顺序相对应。根据上面的协整向量个数检验
结果（r = 2），说明
1
和
2
是协整向量，
1
和
2
是调整向量。
表3 协整参数与调整参数的估计
内生
变量
LnP
t
LnP
t
*
LnE
t
R
t
R
t
*
1
1.00
-0.91
-0.93
-3.38
-1.89
协整参数向量的估计
2
3
4
5
0.03 0.36 1.00 1.00
0.03 -0.46 -2.40 -1.45
-0.10 0.41 1.12 -0.48
1.00 1.00 -0.41 2.28
-0.93 -1.03 2.98 0.76
调整参数向量的估计
方程
1
2
3
4
5
LnP
t
-0.07 0.04 -0.01 0.00 -0.01
LnP
t
* -0.02 0.00 -0.04 0.01 0.01
LnE
t
0.10 -0.01 -0.15 -0.04 -0.05
R
t
0.03 -0.15 0.03 0.01 -0.02
R
t
* 0.06 0.29 0.01 0.03 -0.01
对于购买力平价的协整向量希望LnP
t
*与LnE
t
系数的符号相同，且都与
LnP
t
的符号相反。观察
1
和
2
，显然
1
是购买力平价的协整向量。对于利
率平价，希望R
t
与R
t
*系数的符号相反，显然
2
是利率平价的协整向量。
1
和
2
是标准化后的协整向量。对于
1
，取变量LnP
t
相应的系数为1；对
于
2
，取变量R
t
的相应系数为1。
10 建立VEC模型
建立VEC模型的步骤是
（1）检验变量间是否存在协整关系。
从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选
Cointegration Test功能，得如下对话框：其中有5种选择。①协整空间无
常数项、无时间趋势项；②协整空间有常数项、无时间趋势项，数据空间
无常数项；③协整空间有常数项、无时间趋势项；④协整空间有常数项、
有时间趋势项，数据空间无时间趋势项；⑤协整空间有常数项、有时间趋
势项，数据空间有时间趋势项。⑥上述5种情形总览。根据变量的实际情
况作出选择。
（2）当检验结果是变量存在协整关系时，就可以估计VEC模型。
EViews命令是点击Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对话框：
在VAR设定（VAR Specification）对话框中点击VEC估计（Vector Error
Correction），如下图，
点击OK，得如下对话框：其中协整式（Cointegration equation）中的选择
应该与前述协整检验中的选择保持一致。点击OK，
问题：
（1）若对协整式（Cointegration equation）中的选择前后不一致可以
否？要慎重。
（2）写VEC表达式。
（3）解释经济意义。
2024年3月15日发(作者：酒淑哲)
VAR模型、协整和VEC模型
1. VAR（向量自回归）模型定义
2. VAR模型的特点
3. VAR模型稳定的条件
4. VAR模型的分解
5. VAR模型滞后期的选择
6. 脉冲响应函数和方差分解
7. 格兰杰（Granger）非因果性检验
8. VAR模型与协整
9. VAR模型中协整向量的估计与检验
10. 案例分析
1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive
model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论
为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内
生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关
系。
1. VAR（向量自回归）模型定义
以两个变量y
1t
，y
2t
滞后1期的VAR模型为例，
y
1, t
= c
1
+
11.1
y
1, t-1
+
12.1
y
2, t-1
+ u
1t
y
2, t
= c
2
+
21.1
y
1, t-1
+
22.1
y
2, t-1
+ u
2t
其中u
1 t
, u
2 t
IID (0,
2
), Cov(u
1 t
, u
2 t
) = 0。写成矩阵形式是，
y
1t
c
1
11.1
y
=
+
2t
c
2
21.1
12.1
22.1
y
1,t1
u
1t
y
+
2,t1
u
2t
y
1t
u
1t
c
1
11.1
12.1
, c =
,
1
=
, u
t
=
u
,
设
Y
t
=
y
22.1
2t
2t
21.1
c
2
则，
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+ u
t
(1.3)
含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+
2
Y
t-2
+ … +
k
Y
t-k
+ u
t
, u
t
IID (0,
)
其中，
Y
t
= (y
1, t
y
2, t
… y
N, t
)'， c = (c
1
c
2
… c
N
)'
12.j
22.j
1N.j
2N.j
NN.j
11.j
21.j
j
=
N1.j
N2.j
, j = 1, 2, …, k
u
t
= (u
1 t
u
2,t
… u
N t
)',
不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u
t
是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数
估计量都具有一致性。
2. VAR模型的特点
（1）不以严格的经济理论为依据。
（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。
（3）VAR模型对参数不施加零约束。
（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。
（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。
（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。
（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内
生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也
可以作为外生变量加入VAR模型。
附：
120
PHO
100
PHOhat
100
120
PHOPHOF
80
80
60
60
40
40
20
868788
20
868788
图1 油价与静态拟合值 图2 油价与静态拟合值
3. VAR模型平稳（稳定）的条件
对于VAR(1)，
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+ u
t
模型稳定的条件是特征方程 |
1
-
I |=0的根都在单位圆以内，或相反的特
征方程|I–L
1
|= 0的根都要在单位圆以外。
对于k>1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)
模型形式。
Y
t
= C + A Y
t -1
+ U
t
模型稳定的条件是特征方程 |A-
I| =0的根都在单位圆以内，或其相反的
特征方程 |I-LA|=0的全部根都在单位圆以外。
与单变量时间序列的情况类似，我们可以来考察VAR（p）的单位根
的存在性。为了说明这个问题，首先让我们来看一个二元时间序列的VAR
（1）模型。
y
1,t
11
12
y
1,t1
1,t
y
y
2,t
21
22
2,t1
2,t
即有
y
1,t
11
12
y
1,t1
1,t
y
y
2,t
21
22
2,t1
2,t
1
11
B
12
B
y
1,t
1,t
y
B
B
1
2,t2,t
2122
1
11
z
12
z
Φ
(z)
1
21
z
22
z
|Φ(z)|
1
11
z
21
z
12
z
1
22
z
|Φ(z)|
1
11
z
1
22
z
21
12
z
1
11
z
2
1(
11
22
)z(
11
22
21
12
)z0
当
2
|
Φ
(z)|
21
z
12
z
0
的根在单位圆上，则该序列是
1
22
z
非平稳的。
所以作为一个多变量的时间序列，其平稳的充分必要条件是
Φ(B)0
根在单位圆之外。
附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+
2
Y
t-2
+ … +
k
Y
t-k
+ u
t
再配上如下等式，
Y
t -1
= Y
t -1
Y
t -2
=
Y
t -2
…
Y
t-k+1
=
Y
t-k+1
把以上k个等式写成分块矩阵形式，
Y
t
Y
t1
Y
t2
Y
tk1
NK1
Π
1
c
I
0
0
0
=
+
0
0
NK1
Π
2
0
I
0
Π
k1
0
0
I
Π
k
0
0
0
NKNK
Y
t1
Y
t2
Y
t3
Y
tk
NK1
+
u
t
0
0
0
NK1
其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为
Y
t
= C + A Y
t -1
+ U
t
附：
VAR模型的特征根
4. VAR模型的分解
以VAR(1)模型
Y
t
= c +
1
Y
t-1
+ u
t
为例，用递推的方法最终可把Y
t
分解为三部分：
i
Π
1
i0
t1
Y
t
= (I +
1
+
1
+ … +
1
) c +
1
Y
0
+
2
t
-1
t
u
t-i
= (I-
1
)c +
1
Y
0
+
-1t
i
Π
1
i0
t1
u
t-i
5. VAR模型滞后期的选择
从原则上讲，我们应该从VAR模型的自相关函数和偏自相关函数的
特征来考虑模型的识别问题，但是从实用的角度讲，要在多元情况下把
ACF和PACF很直观的讲清楚，是一件不容易的事情，所以，在实际应
用中，采用逐步升阶的方法，找出最恰当的模型阶数。
假定我们已经估计了几个VAR(p)模型，阶数从1到k。现在我们可以
来研究这些模型的残差的估计值。我们知道对一个AR模型来说，无谓的
升阶，达到了非常小的残差，是以牺牲自由度为代价的。使二者达到一个
最佳的平衡点的一个有用的标准就是Akaike和Schwarz信息准则函数，
当然还有其它准则，我们一并列在下面。
1． 用F统计量选择k值。F统计量定义为，
(SSE
r
SSE
u
)/m
F
SSE
u
/(Tk)
F
( m , T – k )
2． 用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为，
2
2
LR = - 2 (log L
(k)
- log L
(k+1)
)
(N)
3． 用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。
logL
2k
+AIC = -2
T
T
4．
用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。
logL
klogT
+SC =-2
T
T
5．
用Hannan-Quinn信息准则选择k值。
logLLn(LnT)
HQ22k
TT
附：
选择k值
评价结果是建立VAR(2)模型。
例 在Eviews中VAR的估计的相关操作
1、 选择Quick/Estimate VAR
2、在Lag intervals对话框中键入方程右边滞后期数1 2
1 2表示在方程的右边所有的变量均滞后两期。 键入1 2 4 5 9 9
的意思是所有方程右边的变量滞后期数为：1 2 4 5 9。
3、键入内生或外生变量名在适当的编辑框
endogenous：内生变量框
exogenous：外生变量框
4、选择模型类型（Var specification）
Unrestricted VAR （无约束向量自回归）
Vector Error Correction（向量误差校正）
5、在Include intercept选择是否包含常数项
6. VAR模型的脉冲响应函数和方差分解
(1)脉冲响应函数:
在实际应用中，由于VAR是非理论模型，它无需对变量做任何先验性约束，因
此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是
分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种
分析方法称为脉冲响应函数分析。其基本思想可以通过两变量的VAR(2)来说明。
x
t
11.1
x
t1
11.2
x
t2
12.1
z
t1
12.2
z
t2
1t
z
t
21.1
x
t1
21.2
x
t2
22.1
z
t1
22.2
z
t2
2t
t1,...,T(6.5.1)
假定误差项满足，
E(
it
)0,t
E(
it
is
)0
假定该系统从0期开始活动，且设
i1,2
t
ts
var(
t
)E(
t
t
/
)
x
1
x
2
z
1
z
2
0
第0期误差项
10
1,
20
0
，其后冲击均为零，即
1t
2t
0
t1,2,....
，
称此为第0期给x以脉冲，下面讨论
x
t
,z
t
的响应。
（1）
t0
时，
x
0
11.1
x
1
11.2
x
2
12.1
z
1
12.2
z
2
10
z
x
x
z
z
21.1121.2222.1122.2220
0
有，
x
0
1
z
0
0
（2）
t1
x
1
11.1
x
0
11.2
x
1
12.1
z
0
12.2
z
1
11
z
x
x
z
z
21.1021.2122.1022.2121
1
有，
x
1
11.1
z
1
21.1
（3）
t2
x
2
11.1
x
1
11.2
x
0
12.1
z
1
12.2
z
0
12
z
x
x
z
z
21.1121.2022.1122.2022
2
有，
x
2
11.1
11.1
11.2
12.1
21.1
z
2
21.1
11.1
21.2
22.1
21.1
（4）以此类推，可以分别得到，
x
0,
x
1
,x
2
,x
3
......
。
称为由
x
的脉冲引起的
x
的响应函数；
z
0,
z
1
,z
2
,z
3
......
。
称为由
x
的脉冲引起的
z
的响应函数；
Y
t+s
= U
t+s
+
1
U
t+s -1
+
2
U
t+s -2
+ …+
s
U
t
+ …
对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA(∞)过程。
Y
ts
s
=
U
t
s
中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第
j个变量y
j t
对应的误差项u
j t
在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量y
it
在
t + s期造成的影响。
把
s
中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数
y
i,
ts
u
j
t
, s = 1, 2, 3, …
称作脉冲响应函数（impulse-response function），脉冲响应函数描述了其它变量在t
期以及以前各期保持不变的前提下，y
i, t+s
对 u
j, t
时一次冲击的响应过程。
(2)方差分解
脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击对模型中内生变量
所带来的影响，而方差分析是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化的贡献度，
进一步评价不同冲击结构的重要性。因此方差分解给出对VAR模型中的变量产生影
响的每个随机误差项的相对重要性的信息，基本思路：
VAR中第i个变量可以分解成：
y
it
c
ij.0
jt
c
ij.1
j,t1
c
ij.2
j,t2
......
j1
k
由此可以计算出相对方差贡献率，
c
ij.q
2
jj
k
RVC
ji
()
q0
c
ij.q
q0
2
jj
var(y
it
)
2
c
ij.q
jj
j1
q0
RVC
ji
是根据第j个变量基于冲击的方差对
y
i
的方差的相对贡献度来观测来
自第j个变量的冲击对第i个变量的影响。
RVC
ji
具有如下性质：
①、
0RVC
ji
1
②、
RVC
ji
1
j1
k
如果
RVC
ji
较大，意味着第j个变量对第i个变量的影响大；反之则相反。
附：脉冲响应函数
图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应
附：方差分解
图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解
7. 格兰杰（Granger）非因果性检验
格兰杰非因果性：如果由
y
t
和
x
t
滞后值所决定的
y
t
的条件分布与仅由
y
t
滞后值
所决定的条件分布相同，即
( y
t
y
t -1
, …, x
t -1
, …) = ( y
t
y
t -1
, …)
则称
x
t
-1
对
y
t
存在格兰杰非因果性。
格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上
x
t
的滞后变量后对
y
t
的预测精度不存在显着性改善，则称
x
t
-1
对
y
t
存在格兰杰非因果性关系。
为简便，通常总是把
x
t
-1
对
y
t
存在非因果关系表述为
x
t
（去掉下标-1）对
y
t
存
在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。
检验式（VAR模型方程之一）是
y
t
i
y
ti
i
x
ti
u
1t
i1i1
kk
H
0
:
1
=
2
= …=
k
= 0。检验可用
F
统计量完成。
(
SSE
r
SSE
u
)k
F
SSE
u
(TkN)
F
(
k
,
T
-
k N
)
注意：滞后期
k
的选取是任意的。（1）以
x
t
和
y
t
为例，如果
x
t
-1
对
y
t
存在显著性
影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果
x
t
-1
对
y
t
不存在显著性影响，则应
该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。
附：格兰杰非因果性检验结果
8. VAR模型与协整
一个简单的例子。为了说明多维变量的协整关系，我们以一个一阶自回归过程
y
t
δ
Φ
1
y
t1
e
t
Δy
t
δ
(Φ
1
I)y
t1
e
t
e
t
~IN
n
(0,Σ)
e
t
~IN
n
(0,Σ)
为例讨论有关的问题。模型的等价形式为：
Δy
t
其中
(Φ
1
当
Π
δΠy
t1
e
t
e
t
~IN
n
(0,Σ)
I)Π
。
0
，则
ΦΙ
，即
Rank(Π
nn
)0
。容易得到
y
t
所有分量均为I（1），且没
有协整关系；
当Rank（
Π
nn
）=n，对方程
Δy
t
δ(Φ
1
I)y
t1
e
t
，因为其左边是平稳的
序列，右边也应该是平稳序列，
Π
nn
是满秩矩阵，故
Π
1
Δy
t
可见
y
t
本身就是平稳序列。
Π
1
δy
t1
Π
1
e
t
当
rank(Π
nn
)
使
kn
，根据线性代数的结论，有
nk
阶列满秩矩阵
α
和
β
，
Π
有
β
y
t1
包含
k
个协整关系。
αβ
Δy
t
δα
(
βy
t1
)
e
t
e
t
~IN
n
(0,Σ)
该模型成为误差校正模型，我们看到模型在用
βy
t1
进行校正。
总结起来有三种情形：
系数矩阵
Π
的秩为
k
时，
y
t
的分量间存在有
k
个协整组合，有
nk
个组合
仍为I(1);
系数矩阵
Π
的秩为n时，
y
t
为I(0)向量;
系数矩阵的
Π
秩为0时，
y
t
为I(1)向量，且不存在任何协整关系。至此，我
们已经发现，讨论多重协整关系的问题，归于讨论
Π
的秩。
（张晓峒版）如果VAR模型
Y
t
=
1
Y
t-1
+
2
Y
t-1
+ … +
k
Y
t-k
+ u
t
, u
t
IID (0,
)
的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。
Y
t
=
1
*
Y
t-1
+
2
*
Y
t-2
+ … +
k
*
Y
t-k
+ u
t
* （新）
然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最
好的选择。
向量误差修正模型（VEC）的表达式是
Y
t
= (
1
+
2
+…+
k
- I ) Y
t -1
- (
2
+
3
+…+
k
)
Y
t-1
- (
3
+…+
k
)
Y
t-2
-…-
k
Y
t - (k-1)
+u
t
令
j
= -
i
, j = 1, 2, …, k-1，
ij1
k
= -
0
- I =
i
- I =
1
+
2
+ … +
k
– I
i1
k
则上式写为
Y
t
=
Y
t-1
+
1
Y
t-1
+
2
Y
t-2
+ … +
k-1
Y
t-(k-1)
+ u
t
根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是
A
†
(L)
Y
t
=
' Y
t-1
+ d (L) u
t
其中A
†
(L) 是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子
表示的多项式矩阵。
Y
t-k
有如下三种可能。
1．当Y
t
的分量不存在协整关系，
的特征根为零，
= 0。
2．若rank (
) = N（满秩），保证
Y
t-k
平稳的唯一一种可能是Y
t
I(0)。
3．当Y
t
I(1)，若保证
Y
t-k
平稳，只有一种可能，即Y
t
的分量存在协整关系。
例1：
11
21
N1
Y
t-
1
=
'Y
t-
1
=
Nr
Nr
1r
2r
11
r1
1N
rN
rN
y
1,t1
y
2,t1
y
N,t1
N1
=
11
(
11
y
1,t1
...
1N
y
N,t1
)
N1
(
11
y
1,t1
...
1N
y
N,t1
)
1r
(
r1
y
1,t1
...
rN
y
N,t1
)
Nr
(
r1
y
1,t1
...
rN
y
N,t1
)
N1
例2：设三个变量的VAR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系），
y
1,t
y
2,t
=
y
3,t
1/21/4
1/85/8
3/8
1/4
0
11/8
0
11/4
y
1,t1
u
1t
y
2,t1
+
u
2t
y
3,t1
u
3t
代数形式是
y
1, t
= - (1/2) [y
1, t-1
- (1/8) y
2 t-1
] + (1/4) [y
2, t-1
- (1/4) y
3 t-1
] + u
1 t
y
2, t
= (1/8) [y
1, t-1
- (1/8) y
2 t-1
]– (5/8) [y
2, t-1
- (1/4) y
3 t-1
] + u
2 t
y
3, t
= (1/4) [y
1, t-1
- (1/8) y
2 t-1
] + (3/8) [y
2, t-1
- (1/4) y
3 t-1
] + u
3 t
9. VAR模型中协整向量的估计与检验
(张晓峒版)
检验协整关系的零假设是
H
0
: rk(
) r 或
=
'
统计量是
ˆ
ˆ
LR = - 2 (logL()
r
- logL()
u
)
= - T [
ir1
log
(1-
i
) ], r = 0, 1, …, N - 1
N
LR统计量在零假设 0 r N 或“存在N - r个单位根”成立条件下
不服从
2
分布。Johansen证明LR统计量渐近服从如下分布。
'1
111
W(i)dW(i)'W(i)W(i)'diW(i)dW(i)'
tr
000
其中tr (·) 表示迹，W(i) 是N-r维的Wiener过程。上述统计量也称作迹
统计量。右单端检验。
上述 LR检验，H
0
: rk(
) r，是一个连续检验过程。
例： N = 3 的VAR模型的3个特征根分别是
1
= 0.9,
2
= 0.5,
3
=
0.04。样本容量T = 100，练习协整向量个数的检验过程。
表 协整检验过程
N - r 特征值
3
2
1
0.90
0.50
0.04
迹统计量 5%水平临界值
303.6 >
73.30 >
4.082 <
34.91
19.96
9.24
零假设
r = rk(
) = 0
r = rk(
) 1
r = rk(
) 2
N
注：LR = - T [
ir1
log
(1-
i
) ]。
结论是该VAR模型中存在2个协整向量。
附：
计算过程。
首先检验r = 0。
LR = - T [
ir1
log
(1-
i
) ] = - 100
log(1
i
)
= -100 [log(0.1)+ log(0.5)+ log(0.96)]
i1
N
3
= -100 (-2.302-0.693-0.04) = 303.6 > 34.91（临界值）
接着检验r = 1。
LR = - 100
log(1
i
)
= -100 [log(0.5)+ log(0.96)]
i2
3
= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 > 19.96（临界值）
接着检验r = 2。
LR = - 100 Ln (1-
3
) = -100 log(0.96)= -100 (-0.04) = 4.082 < 9.24（临界值）
因为r 1已经被拒绝，但r 2未能被拒绝，所以结论是该VAR模型中存在2个协整向
量。
例：
输出结果
说明3个变量之间存在一个协整关系。
附：说明
(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR模型中不存在协整向量（含有
N个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR < 临界值），说明N个变量间不
存在协整关系。检验到此终止。不能建立VEC模型。如果r = 0被拒绝（LR >
临界值），则应继续进行下面的检验。
(2) r 1。意即在VAR模型中存在1个协整向量（含有N-1个单位根）。
如果r 1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r 1被拒绝，
则应进一步作如下检验。
……
(3) r N –1。意即在VAR模型中存在N –1个协整向量（含有1个单位
根）。如果r N –1不能被拒绝（LR < 临界值），检验到此终止。如果r
N –1被拒绝，说明r =N。
在检验过程中，比如r r*-1已经被拒绝，但r r*不能被拒绝，则结
论是VAR模型中存在r*个协整向量。
（4）协整检验过程中的每一步检验都属于右单端检验。
（谢小燕版）
（一）Johansen检验的思路
第一步，拟合模型
Δy
t
μΓ
1
Δy
t1
Γ
2
Δy
t2
Γ
p1
Δy
tp1
v
t
ˆ
t
，
ν
ˆ
t
含有
y
的信息。 这里约束了
Π0
。模型的残差项记为
ν
t1
第二步，拟合模型
y
t1
κΞ
1
Δy
t1
Ξ
2
Δy
t2
Ξ
p1
Δy
t
t
p1
u
t
ˆ
t
，
u
ˆ
t
含有
y
的信息。 模型的残差项记为
u
实质上，两个辅助回归模型的残差项分别从
Δy
t
和
y
t1
排除了
Δy
t1
,
Δy
t2
,,
Δy
tp1
的影响，使我们的注意力集中到了
Δy
t
和
y
t1
的关系上。
ˆ
t
（含有
Δy
的信息）和
ν
ˆ
t
（含有
y
t1
的 接下来的问题是是否可以分别在
u
t
信息）中各自找出一个线性组合，构成一对变量（这对变量是，且该
对线性组合具有最大的相关性，类推找出所有可能的，相关性次强的
ˆ
t
方的成员对应的系数则构成
y
t
中的 线性组合对。这些线性组合对中的
ν
协整变量的结构（或协整变量的系数），显著相关的线性组合对的个数
即为协整变量的个数
1
。
(二)Johansen检验
Johansen检验这不是单独的一个检验，而是一系列的检验，检验协整
变量的个数为几。从
k
（1）提出假设
0
开始，
k
是协整变量的个数。
ˆ
t
中有
k
对典型变量相关性显著；
ˆ
t
和
u
H
0
:
至多存在
k
个协整关系，即在
ν
ˆ
t
中有
k
对以上的典型变量相关性显
ˆ
t
和
u
H
1
:
有大于
k
个协整关系,即在
ν
著;
（2）构造检验的统计量
检验的统计量为：
Q
r
T
log(1
i
)
ik1
n
ˆ
和
u
ˆ
中典型相关系数的平方。 其中
i
是
ν
tt
1
多元统计分析中典型相关分析法。
（3）Johansen检验的实施
检验有几个协整变量和协整变量的结构。为了检验变量间的协整关
系和协整变量的个数，操作如下图，首先在下拉式菜单中选择协整检验的
选项，如(*)图17。再选择检验式的形式图(**)。
图* 协整检验
图** 选择协整检验式
Johansen检验要求，协整方程有5种，上面的对话框左侧：
序列y或协整方程中无确定趋势项或无截距项；
序列y无截距项且协整方程只有截距项；
序列y或协整方程中只有截距项；
序列y无趋势项和在协整方程既有截距项也有趋势项；
序列y有线性趋势且在协整方程既有截距项也有趋势项.
输出结果如下表。
表 协整检验的结果
Date: 07/15/06 Time: 22:45
Sample: 1955 1988
Included observations: 32
Test assumption: Linear deterministic trend in the data
Series: LY1 LY2 LY3 LY4 LY5
Lags interval: 1 to 1
Eigenvalue
Likelihood
Ratio
5 Percent
Critical
1 Percent
Critical
Hypothesized
No. of CE(s)
Value
0.673781
0.520657
0.372611
0.294853
0.115972
89.41854
53.57257
30.04173
15.12372
3.944545
68.52
47.21
29.68
15.41
3.76
Value
76.07
54.46
35.65
20.04
6.65
None **
At most 1 *
At most 2 *
At most 3
At most 4 *
*(**) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level
L.R. test indicates 3 cointegrating equation(s) at 5% significance level
Unnormalized Cointegrating Coefficients:
LY1
-1.772497
-1.787311
1.746643
-0.753075
0.822507
LY2
0.474616
1.201567
0.341621
0.323333
-1.222749
LY3
2.107603
-0.741407
-0.643429
-0.183253
-0.163635
LY4
-3.009948
-1.764639
-0.588860
-0.232808
1.593490
LY5
1.006424
1.626055
0.115909
0.826739
0.343754
C
-2.926526
Normalized Cointegrating Coefficients: 1 Cointegrating Equation(s)
LY1
1.000000
Log
likelihood
LY2
-0.267767
(0.10287)
217.0823
LY3
-1.189059
(0.24139)
LY4
1.698140
(0.27219)
LY5
-0.567800
(0.10789)
Normalized Cointegrating Coefficients: 2 Cointegrating Equation(s)
LY1
1.000000
0.000000
Log
likelihood
LY2
0.000000
1.000000
228.8478
LY3
-2.250753
(0.74172)
-3.964990
(1.64145)
LY4
2.168675
(0.71088)
1.757253
(1.57321)
LY5
-0.341427
(0.22812)
0.845412
(0.50484)
C
-2.307264
2.312686
C
-2.773445
1.491450
Normalized Cointegrating Coefficients: 3 Cointegrating Equation(s)
LY1
1.000000
0.000000
LY2
0.000000
1.000000
LY3
0.000000
0.000000
LY4
-0.244359
(0.16665)
-2.493616
LY5
-0.136126
(0.22844)
1.207076
0.000000
Log
likelihood
0.000000
236.3068
1.000000
(0.31011)
-1.072101
(0.12288)
(0.42508)
0.091214
(0.16844)
-0.207122
Normalized Cointegrating Coefficients: 4 Cointegrating Equation(s)
LY2
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
241.8964
LY3
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
LY4
0.000000
0.000000
0.000000
1.000000
LY5
0.307903
(1.76814)
5.738259
(16.5079)
2.039343
(7.14159)
1.817113
(6.59522)
C
-6.526467
-36.80706
-16.67311
-15.35862
LY1
1.000000
0.000000
0.000000
0.000000
Log
likelihood
从结果可以看出，协整变量的个数是3个。没有正规化的系数矩阵：
-1.772497
β
-1.787311
1.746643
0.474616
1.201567
0.341621
2.107603
-0.741407
-0.643429
-3.009948
-1.764639
-0.588860
1.006424
1.626055
正规化的系数
用初等变换，
0.115909
矩阵：
0
1
β
0 1
0 0
0
0
1
-0.244359
-2.493616
-1.072101
-0.136126
1.207076
0.091214
-2.773445
1.491450
-0.207122
案例分析：
英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992) 。
祥见Journal of Econometrics（计量经济学杂志）第53卷，211-244页。
1．购买力平价和利率平价
同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存在套利问题。但是
当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用P
t
表示国内商品价格，P
t
*
表示国外同类商品价格，E
t
表示购买力平价，则有
E
t
= P
t
/ P
t
*
即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是
LnE
t
= Ln P
t
- LnP
t
*
3个变量的长期均衡关系是
Ln P
t
- LnP
t
* - LnE
t
= u
1t
其中u
t
表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处
有u
t
= 0。
下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联
系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一
样的。分别用R
t
，R
t
*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定
汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证
R
t
- R
t
* = E
(t)
(E
t+1
) - E
t
= u
2t
其中E
t
表示名义汇率（货币的购买力平价）。E
(t)
(E
t+1
)表示t期对t+1期
汇率的期望。u
2t
是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持R
t
，R
t
*相
等称为利率平价。
2．协整关系的预分析
如果用
Y
t
= (LnP
t
LnP
t
* LnE
t
R
t
R
t
*)'
表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。
1
= (1 -1 -1 0 0)'
2
= (0 0 0 1 -1)'
1
表示购买力平价协整向量，
2
表示利率平价协整向量。
3．估计协整向量个数r。
用P
t
表示英国商品综合批发价格指数。P
t
*表示进口商品综合批发价
格指数。E
t
表示英国实际汇率。R
t
表示三个月的金融债券利率。R
t
*表示三
个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。
通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以
在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据
空间）。
2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），
为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成
的。用石油价格调整批发价格指数，再次估计2阶VAR模型。VAR模型
残差序列的诊断检验结果见表1。
表1 VAR模型残差的诊断检验
方程 内生变量 标准差 偏度 峰度-3 JB统计量 序列相关检验，
LM
(20)
1 LnP
t
0.007 0.29 1.27 4.84 6.09 (<31.41)
2
3
4
5
LnP
t
*
LnE
t
R
t
R
t
*
0.007
0.030
0.011
0.28
0.30
0.58
2.16
0.17
0.25
3.76 0.013 -0.51
(<5.99)
12.44
(>5.99)
0.95
(<5.99)
3.55
(<5.99)
37.95
(>5.99)
9.59 (<31.41)
13.54 (<31.41)
9.11 (<31.41)
16.41 (<31.41)
注：
2
0.05 (2)
= 5.99,
2
0.05 (20)
= 31.41
序列相关检验结果显示5个方程的随机误差序列都不存在自相关。但
R
t
和R
t
*仍表现为非正态性。这是由于它们的弱外生性造成的。
在上述2阶VAR模型基础上进行协整检验（见表2）。结果显示协整
向量个数r = 2。
表2 协整向量个数r的检验
H
0
r =0
r 1
r 2
r 3
r 4
H
1
r 1
r 2
r 3
r 4
r5
特征根
0.407
0.285
0.254
0.102
0.083
迹统计量
80.75 >
49.42 >
29.26 <
11.67 <
5.19 >
协整检验临界值，
=0.05
68.52
47.21
29.68
15.14
3.76
4．协整向量估计结果的分析与解释
非约束的5个协整参数向量和5个调整参数向量见表3。
i
和
i
的顺序
（从左至右）与特征根的大小顺序相对应。根据上面的协整向量个数检验
结果（r = 2），说明
1
和
2
是协整向量，
1
和
2
是调整向量。
表3 协整参数与调整参数的估计
内生
变量
LnP
t
LnP
t
*
LnE
t
R
t
R
t
*
1
1.00
-0.91
-0.93
-3.38
-1.89
协整参数向量的估计
2
3
4
5
0.03 0.36 1.00 1.00
0.03 -0.46 -2.40 -1.45
-0.10 0.41 1.12 -0.48
1.00 1.00 -0.41 2.28
-0.93 -1.03 2.98 0.76
调整参数向量的估计
方程
1
2
3
4
5
LnP
t
-0.07 0.04 -0.01 0.00 -0.01
LnP
t
* -0.02 0.00 -0.04 0.01 0.01
LnE
t
0.10 -0.01 -0.15 -0.04 -0.05
R
t
0.03 -0.15 0.03 0.01 -0.02
R
t
* 0.06 0.29 0.01 0.03 -0.01
对于购买力平价的协整向量希望LnP
t
*与LnE
t
系数的符号相同，且都与
LnP
t
的符号相反。观察
1
和
2
，显然
1
是购买力平价的协整向量。对于利
率平价，希望R
t
与R
t
*系数的符号相反，显然
2
是利率平价的协整向量。
1
和
2
是标准化后的协整向量。对于
1
，取变量LnP
t
相应的系数为1；对
于
2
，取变量R
t
的相应系数为1。
10 建立VEC模型
建立VEC模型的步骤是
（1）检验变量间是否存在协整关系。
从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选
Cointegration Test功能，得如下对话框：其中有5种选择。①协整空间无
常数项、无时间趋势项；②协整空间有常数项、无时间趋势项，数据空间
无常数项；③协整空间有常数项、无时间趋势项；④协整空间有常数项、
有时间趋势项，数据空间无时间趋势项；⑤协整空间有常数项、有时间趋
势项，数据空间有时间趋势项。⑥上述5种情形总览。根据变量的实际情
况作出选择。
（2）当检验结果是变量存在协整关系时，就可以估计VEC模型。
EViews命令是点击Quick键，选Estimate VAR功能，得如下对话框：
在VAR设定（VAR Specification）对话框中点击VEC估计（Vector Error
Correction），如下图，
点击OK，得如下对话框：其中协整式（Cointegration equation）中的选择
应该与前述协整检验中的选择保持一致。点击OK，
问题：
（1）若对协整式（Cointegration equation）中的选择前后不一致可以
否？要慎重。
（2）写VEC表达式。
（3）解释经济意义。