2024年3月15日发(作者：成旭彬)
2020
年邵阳市中考数学试卷
一、选择题
1
．
2020
的倒数是（ ）
A
．﹣
2020
B
．
2020
C
．
D
．﹣
2
．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．
2020
年
6
月
23
日，中国第
55
颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北
斗导航系统全面建成．据统计：
2019
年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达
3450
亿元，较
2018
年增长
14.4%
．其中，
3450
亿元用科学记数法表示为（ ）
A
．
3.45
×
10
10
元
C
．
3.45
×
10
8
元
B
．
3.45
×
10
9
元
D
．
3.45
×
10
11
元
4
．设方程
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
的两根分别是
x
1
，
x
2
，则
x
1
+
x
2
的值为（ ）
A
．
3
B
．﹣
C
．
D
．﹣
2
5
．已知正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图象过点（
2
，
3
），把正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图
象平移，使它过点（
1
，﹣
1
），则平移后的函数图象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
6
．下列计算正确的是（ ）
A
．
5+
＝
8
B
．（﹣
2
a
2
b
）
3
＝﹣
6
a
2
b
3
D
．＝
a
﹣
2
C
．（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
b
2
7
．如图，四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
，
B
，
D
，
F
在同一条直线上，请添加一个条
件使得△
ABE
≌△
CDF
，下列不正确的是（ ）
A
．
AE
＝
CF
B
．∠
AEB
＝∠
CFD
C
．∠
EAB
＝∠
FCD
D
．
BE
＝
DF
8
．已知
a
+
b
＞
0
，
ab
＞
0
，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是
（ ）
A
．（
a
，
b
）
B
．（﹣
a
，
b
）
C
．（﹣
a
，﹣
b
）
D
．（
a
，﹣
b
）
9
．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的
面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为
5
m
，宽为
4
m
的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次
数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成
了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A
．
6
m
2
B
．
7
m
2
C
．
8
m
2
D
．
9
m
2
10
．将一张矩形纸片
ABCD
按如图所示操作：
（
1
）将
DA
沿
DP
向内折叠，使点
A
落在点
A
1
处，
（
2
）将
DP
沿
DA
1
向内继续折叠，使点
P
落在点
P
1
处，折痕与边
AB
交于点
M
．
若
P
1
M
⊥
AB
，则∠
DP
1
M
的大小是（ ）
A
．
135
°
B
．
120
°
C
．
112.5
°
D
．
115
°
二、填空题（本大题有
8
个小题，每小题
3
分，共
24
分）
11
．因式分解：
2
x
2
﹣
18
＝
．
12
．如图，已知点
A
在反比例函数
y
＝（
k
≠
0
）的图象上，过点
A
作
AB
⊥
y
轴于点
B
，
△
OAB
的面积是
2
．则
k
的值是
．
13
．据统计：
2019
年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生
91.3
万人次，全市没有一名学
生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下
是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
9
；
乙：
6
，
8
，
7
，
7
，
8
，
9
，
10
，
7
，
9
，
9
．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看，
学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
14
．如图，线段
AB
＝
10
cm
，用尺规作图法按如下步骤作图．
（
1
）过点
B
作
AB
的垂线，并在垂线上取
BC
＝
AB
；
（
2
）连接
AC
，以点
C
为圆心，
CB
为半径画弧，交
AC
于点
E
；
AE
为半径画弧，（
3
）以点
A
为圆心，交
AB
于点
D
．即点
D
为线段
AB
的黄金分割点．则
线段
AD
的长度约为
cm
．（结果保留两位小数，参考数据：
1.732
，＝
2.236
）
＝
1.414
，＝
15
．在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的
3
个实数相乘都得到同样的结果，则
2
个空
格的实数之积为
．
3
1
2
3
6
16
．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云
阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864
平方步，它的宽比长少
12
步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为
x
步，则
依题意列方程为
．
17
．如图①是山东舰航徽的构图，采用航母
45
度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首
艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为
10
π
的弧，若该弧所在的扇形是高为
12
的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长
AB
为
．
18
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，斜边
AB
＝，过点
C
作
CF
∥
AB
，以
AB
为
边作菱形
ABEF
，若∠
F
＝
30
°，则
Rt
△
ABC
的面积
为
．
三、解答题（本大题有
8
个小题，第
19
～
25
题每题
8
分，第
26
是
10
分，共
66
分．解答
应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19
．计算：（﹣
1
）
2020
+
（）
﹣
1
+|
﹣
1+
20
．已知：
|
m
﹣
1|+
＝
0
，
|
﹣
2sin60
°．
（
1
）求
m
，
n
的值；
（
2
）先化简，再求值：
m
（
m
﹣
3
n
）
+
（
m
+2
n
）
2
﹣
4
n
2
．
21
．如图，在等腰△
ABC
中，
AB
＝
AC
，点
D
是
BC
上一点，以
BD
为直径的⊙
O
过点
A
，
连接
AD
，∠
CAD
＝∠
C
．
（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AC
＝
4
，求⊙
O
的半径．
22
．
2019
年
12
月
23
日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资
水犬木塘水库，将于
2020
年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如
图所示，
AB
，
BC
表示需铺设的干渠引水管道，经测量，
A
，
B
，
C
所处位置的海拔
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
分别为
62
m
，
100
m
，
200
m
．若管道
AB
与水平线
AA
2
的夹角为
30
°，管道
BC
与水平线
BB
2
夹角为
45
°，求管道
AB
和
BC
的总长度（结果保留根号）．
23
．“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解
和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查
（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题：
xx
学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
A
B
C
D
学习时间（小时）
0
＜
t
≤
1
1
＜
t
≤
3
3
＜
t
≤
5
t
＞
5
（
1
）本次接受问卷调查的学生共有
人；
（
2
）请补全图①中的条形统计图；
（
3
）图②中，
D
选项所对应的扇形圆心角为
度；
（
4
）若该校共有
1500
名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网
络学习时间在
C
选项的有多少人？
24
．
2020
年
5
月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，
小丹准备购进
A
、
B
两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知
2
台
A
型风扇和
5
台
B
型风扇进价共
100
元，
3
台
A
型风扇和
2
台
B
型风扇进价共
62
元．
（
1
）求
A
型风扇、
B
型风扇进货的单价各是多少元？
（
2
）小丹准备购进这两种风扇共
100
台，根据市场调查发现，
A
型风扇销售情况比
B
型风扇好，小丹准备多购进
A
型风扇，但数量不超过
B
型风扇数量的
3
倍，购进
A
、
B
两种风扇的总金额不超过
1170
元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25
．已知：如图①，将一块
45
°角的直角三角板
DEF
与正方形
ABCD
的一角重合，连接
AF
，
CE
，点
M
是
CE
的中点，连接
DM
．
（
1
）请你猜想
AF
与
DM
的数量关系是
．
（
2
）如图②，把正方形
ABCD
绕着点
D
顺时针旋转α角（
0
°＜α＜
90
°）．
①
AF
与
DM
的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温
馨提示：延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
）
②求证：
AF
⊥
DM
；
③若旋转角α＝
45
°，且∠
EDM
＝
2
∠
MDC
，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
y
轴的交点分别为
C
26
．
0
）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD
的边
BC
与
x
轴、（
8
，，
B
（
0
，
6
），
CD
＝
5
，抛物线
y
＝
ax
2
﹣
x
+
c
（
a
≠
0
）过
B
，
C
两点，动点
M
从点
D
开
始以每秒
5
个单位长度的速度沿
D
→
A
→
B
→
C
的方向运动到达
C
点后停止运动．动点
N
从点
O
以每秒
4
个单位长度的速度沿
OC
方向运动，到达
C
点后，立即返回，向
CO
方
向运动，到达
O
点后，又立即返回，依此在线段
OC
上反复运动，当点
M
停止运动时，
点
N
也停止运动，设运动时间为
t
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）求点
D
的坐标；
（
3
）当点
M
，
N
同时开始运动时，若以点
M
，
D
，
C
为顶点的三角形与以点
B
，
O
，
N
为顶点的三角形相似，求
t
的值；
（
4
）过点
D
与
x
轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点
Q
，将线段
BA
沿过点
B
的直
线翻折，点
A
的对称点为
A
'
，求
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题有
10
个小题，每小题
3
分，共
30
分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1
．
2020
的倒数是（ ）
A
．﹣
2020
B
．
2020
C
．
D
．﹣
【分析】根据倒数的定义求解即可
解：∵
2020
×
∴
2020
的倒数是
故选：
C
．
2
．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
＝
1
，
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
形解答即可．
解：
A
、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B
、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C
、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D
、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：
A
．
3
．
2020
年
6
月
23
日，中国第
55
颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北
斗导航系统全面建成．据统计：
2019
年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达
3450
亿元，较
2018
年增长
14.4%
．其中，
3450
亿元用科学记数法表示为（ ）
A
．
3.45
×
10
10
元
C
．
3.45
×
10
8
元
B
．
3.45
×
10
9
元
D
．
3.45
×
10
11
元
【分析】科学记数法的表示形式为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看把原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值≥
10
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．
解：根据科学记数法的表示形式为
a
×
10
n
，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数，则
3450
亿＝
345000000000
＝
3.45
×
10
11
．
故选：
D
．
4
．设方程
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
的两根分别是
x
1
，
x
2
，则
x
1
+
x
2
的值为（ ）
A
．
3
B
．﹣
C
．
D
．﹣
2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系
数的值，代入公式求解即可．
解：由
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
可知，其二次项系数
a
＝
1
，一次项系数
b
＝﹣
3
，
由根与系数的关系：
x
1
+
x
2
＝
故选：
A
．
5
．已知正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图象过点（
2
，
3
），把正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图
象平移，使它过点（
1
，﹣
1
），则平移后的函数图象大致是（ ）
，
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（
1
，﹣
1
）求出一次函数解析
式，即可求解．
解：把点（
2
，
3
）代入
y
＝
kx
（
k
≠
0
）得
2
k
＝
3
，
解得，
∴正比例函数解析式为，
，
，
设正比例函数平移后函数解析式为
把点（
1
，﹣
1
）代入
∴，
，
得
∴平移后函数解析式为
故函数图象大致为：
．
故选：
D
．
6
．下列计算正确的是（ ）
A
．
5+
＝
8
B
．（﹣
2
a
2
b
）
3
＝﹣
6
a
2
b
3
D
．＝
a
﹣
2
C
．（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
b
2
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
解：
A
.
，故
A
选项错误；
B
．（﹣
2
a
2
b
）
3
＝（﹣
2
）
3
（
a
2
）
3
b
3
＝﹣
8
a
6
b
3
，故
B
选项错误；
C
．（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
2
ab
+
b
2
，故
C
选项错误；
D
.
故选：
D
．
7
．如图，四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
，
B
，
D
，
F
在同一条直线上，请添加一个条
件使得△
ABE
≌△
CDF
，下列不正确的是（ ）
，故
D
选项正确．
A
．
AE
＝
CF
B
．∠
AEB
＝∠
CFD
C
．∠
EAB
＝∠
FCD
D
．
BE
＝
DF
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
解：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
AB
＝
CD
，
AB
∥
CD
，
∴∠
ABD
＝∠
BDC
，
∵∠
ABE
+
∠
ABD
＝∠
BDC
+
∠
CDF
，
∴∠
ABE
＝∠
CDF
，
A
．若添加
AE
＝
CF
，则无法证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
A
符合题意；
B
．
若添加∠
AEB
＝∠
CFD
，运用
AAS
可以证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
B
不符合题意；
C
．
若添加∠
EAB
＝∠
FCD
，运用
ASA
可以证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
C
不符合题意；
D
．若添加
BE
＝
DF
，运用
SAS
可以证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
D
不符合题意．
故选：
A
．
8
．已知
a
+
b
＞
0
，
ab
＞
0
，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是
（ ）
A
．（
a
，
b
）
B
．（﹣
a
，
b
）
C
．（﹣
a
，﹣
b
）
D
．（
a
，﹣
b
）
【分析】因为
ab
＞
0
，所以
a
、
b
同号，又
a
+
b
＞
0
，所以
a
＞
0
，
b
＞
0
，观察图形判断出
小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
解：∵
a
+
b
＞
0
，
ab
＞
0
，∴
a
＞
0
，
b
＞
0
．
A
、（
a
，
b
）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B
、（﹣
a
，
b
）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C
、（﹣
a
，﹣
b
）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D
、（
a
，﹣
b
）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：
B
．
9
．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的
面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为
5
m
，宽为
4
m
的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次
数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成
了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A
．
6
m
2
B
．
7
m
2
C
．
8
m
2
D
．
9
m
2
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为
x
，根据几何概率知识求解不
规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
解：假设不规则图案面积为
x
，
由已知得：长方形面积为
20
，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件
A
实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件
A
发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为
0.35
，
综上有：
故选：
B
．
10
．将一张矩形纸片
ABCD
按如图所示操作：
（
1
）将
DA
沿
DP
向内折叠，使点
A
落在点
A
1
处，
（
2
）将
DP
沿
DA
1
向内继续折叠，使点
P
落在点
P
1
处，折痕与边
AB
交于点
M
．
若
P
1
M
⊥
AB
，则∠
DP
1
M
的大小是（ ）
，解得
x
＝
7
．
A
．
135
°
B
．
120
°
C
．
112.5
°
D
．
115
°
【分析】由折叠前后对应角相等且∠
P
1
MA
＝
90
°可先求出∠
DMP
1
＝∠
DMA
＝
45
°，进
一步求出∠
ADM
＝
45
°，再由折叠可求出∠
MDP
1
＝∠
ADP
＝∠
PDM
＝
22.5
°，最后在
△
DP
1
M
中由三角形内角和定理即可求解．
解：∵折叠，且∠
P
1
MA
＝
90
°，
∴∠
DMP
1
＝∠
DMA
＝
45
°，即∠
ADM
＝
45
°，
∵折叠，
∴∠
MDP
1
＝∠
ADP
＝∠
PDM
＝∠
ADM
＝
22.5
°，
∴在△
DP
1
M
中，∠
DP
1
M
＝
180
°﹣
45
°﹣
22.5
°＝
112.5
°，
故选：
C
．
二、填空题（本大题有
8
个小题，每小题
3
分，共
24
分）
11
．因式分解：
2
x
2
﹣
18
＝
2
（
x
+3
）（
x
﹣
3
） ．
【分析】提公因式
2
，再运用平方差公式分解．
解：
2
x
2
﹣
18
＝
2
（
x
2
﹣
9
）＝
2
（
x
+3
）（
x
﹣
3
），
故答案为：
2
（
x
+3
）（
x
﹣
3
）．
12
．如图，已知点
A
在反比例函数
y
＝（
k
≠
0
）的图象上，过点
A
作
AB
⊥
y
轴于点
B
，
△
OAB
的面积是
2
．则
k
的值是
4
．
【分析】根据△
OAB
的面积等于
2
，即可得到线段
OB
与线段
AB
的乘积，进而得到
A
点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出
k
值．
解：设点
A
的坐标为（
x
A
，
y
A
），
AB
⊥
y
，
由题意可知：
∴
y
A
•
x
A
＝
4
，
又点
A
在反比例函数图象上，
故有
k
＝
x
A
•
y
A
＝
4
．
故答案为：
4
．
13
．据统计：
2019
年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生
91.3
万人次，全市没有一名学
生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下
是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
9
；
乙：
6
，
8
，
7
，
7
，
8
，
9
，
10
，
7
，
9
，
9
．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 甲 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教
的时间更稳定．
解：甲的“送教上门”时间的平均数为：
乙的“送教上门”时间的平均数为：
甲的方差：
乙的方差：
因为，
，
，
，
，
，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
14
．如图，线段
AB
＝
10
cm
，用尺规作图法按如下步骤作图．
（
1
）过点
B
作
AB
的垂线，并在垂线上取
BC
＝
AB
；
（
2
）连接
AC
，以点
C
为圆心，
CB
为半径画弧，交
AC
于点
E
；
AE
为半径画弧，（
3
）以点
A
为圆心，交
AB
于点
D
．即点
D
为线段
AB
的黄金分割点．则
线段
AD
的长度约为
6.18
cm
．（结果保留两位小数，参考数据：
1.732
，＝
2.236
）
＝
1.414
，＝
【分析】根据作图得△
ABC
为直角三角形，
CE
＝
BC
＝
AB
＝
5
cm
，
AE
＝
AD
，根据勾股
定理求出
AC
，再求出
AE
，即可求出
AD
．
解：由作图得△
ABC
为直角三角形，
CE
＝
BC
＝
AB
＝
5
cm
，
AE
＝
AD
，
∴
AC
＝
∴
AE
＝
AC
﹣
CE
＝
5
∴
故答案为：
6.18
．
15
．在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的
3
个实数相乘都得到同样的结果，则
2
个空
格的实数之积为
3
1
2
3
6
，然后中间一行的三个数相乘以及
．
cm
．
cm
，
cm
，
【分析】先将表格中最上一行的
3
个数相乘得到
最后一行的三个数相等都是，即可求解．
解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：
设第二行中间数为
x
，则
设第三行第一个数为
y
，则
∴
2
个空格的实数之积为
故答案为：．
．
，解得
，解得
，
，
，
16
．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云
阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864
平方步，它的宽比长少
12
步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为
x
步，则
依题意列方程为
x
（
x
+12
）＝
864
．
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（
x
+12
），再利用矩形的面
积公式即可得出关于
x
的一元二次方程，此题得解．
解：∵矩形的宽为
x
，且宽比长少
12
，
∴矩形的长为（
x
+12
）．
依题意，得：
x
（
x
+12
）＝
864
．
故答案为：
x
（
x
+12
）＝
864
．
17
．如图①是山东舰航徽的构图，采用航母
45
度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首
艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为
10
π
的弧，若该弧所在的扇形是高为
12
的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长
AB
为
13
．
【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线
AB
的长．
解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝
10
π，
∴
OB
＝，
，
在
Rt
△
AOB
中，
AB
＝
所以该圆锥的母线长
AB
为
13
．
故答案为：
13
．
18
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，斜边
AB
＝
边作菱形
，过点
C
作
CF
∥
AB
，以
AB
为
Rt
△
ABC
的面积为
ABEF
，若∠
F
＝
30
°，则
．
【分析】先利用直角三角形中
30
°角的性质求出
HE
的长度，然后利用平行线间的距离
处处相等，可得
CG
的长度，即可求出直角三角形
ABC
面积．
解：如图，分别过点
E
、
C
作
EH
、
CG
垂直
AB
，垂足为点
H
、
G
，
∵根据题意四边形
ABEF
为菱形，
∴
AB
＝
BE
＝，
又∵∠
ABE
＝
30
°
∴在
RT
△
BHE
中，
EH
＝
根据题意，
AB
∥
CF
，
根据平行线间的距离处处相等，
∴
HE
＝
CG
＝，
．
，
∴
Rt
△
ABC
的面积为
故答案为：．
三、解答题（本大题有
8
个小题，第
19
～
25
题每题
8
分，第
26
是
10
分，共
66
分．解答
应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19
．计算：（﹣
1
）
2020
+
（）
﹣
1
+|
﹣
1+|
﹣
2sin60
°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三
角函数值计算即可求出值．
解：原式＝
1+2+
（
＝
1+2+
＝
2
．
20
．已知：
|
m
﹣
1|+
＝
0
，
﹣
1
﹣
﹣
1
）﹣
2
×
（
1
）求
m
，
n
的值；
（
2
）先化简，再求值：
m
（
m
﹣
3
n
）
+
（
m
+2
n
）
2
﹣
4
n
2
．
【分析】（
1
）
m
＝
1
，
n
＝﹣
2
；
（
2
）
2
m
2
+
mn
；
0
．
解：（
1
）根据非负数得：
m
﹣
1
＝
0
且
n
+2
＝
0
，
解得：
m
＝
1
，
n
＝﹣
2
，
（
2
）原式＝
m
2
﹣
3
mn
+
m
2
+4
mn
+4
n
2
﹣
4
n
2
＝
2
m
2
+
mn
，
当
m
＝
1
，
n
＝﹣
2
，原式＝
2
×
1+1
×（﹣
2
）＝
0
．
21
．如图，在等腰△
ABC
中，
AB
＝
AC
，点
D
是
BC
上一点，以
BD
为直径的⊙
O
过点
A
，
连接
AD
，∠
CAD
＝∠
C
．
（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AC
＝
4
，求⊙
O
的半径．
【分析】（
1
）连接
OA
，由圆的性质可得
OA
＝
OB
，即∠
OBA
＝∠
OAB
；再由
AB
＝
AC
，
即∠
OBA
＝∠
C
，再结合∠
CAD
＝∠
C
，可得∠
OAB
＝∠
CAD
，然后由∠
BAD
＝
90
°说明
∠
OAC
＝
90
°即可完成证明；
（
2
）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．
【解答】（
1
）证明：如图：连接
OA
，
∵
OA
＝
OB
，
∴∠
OBA
＝∠
OAB
，
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
OBA
＝∠
C
，
∴∠
OAB
＝∠
C
，
∵∠
CAD
＝∠
C
，
∴∠
OAB
＝∠
CAD
，
∵
BD
是直径，
∴∠
BAD
＝
90
°，
∵∠
OAC
＝∠
BAD
﹣∠
OAB
+
∠
CAD
＝
90
°，
∴
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）解：由（
1
）可知
AC
是⊙
O
的切线，
∴∠
OAC
＝
90
°，∠
AOD
＝
2
∠
B
，
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
B
＝∠
C
，
∴∠
AOC
+
∠
C
＝
2
∠
B
+
∠
C
＝
3
∠
C
＝
90
°，
∴∠
B
＝∠
C
＝
30
°，
在
Rt
△
ABD
中，
BD
＝
∴
OB
＝，
．
＝＝，
∴⊙
O
的半径为
22
．
2019
年
12
月
23
日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资
水犬木塘水库，将于
2020
年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如
图所示，
AB
，
BC
表示需铺设的干渠引水管道，经测量，
A
，
B
，
C
所处位置的海拔
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
分别为
62
m
，
100
m
，
200
m
．若管道
AB
与水平线
AA
2
的夹角为
30
°，管道
BC
与水平线
BB
2
夹角为
45
°，求管道
AB
和
BC
的总长度（结果保留根号）．
【分析】先根据题意得到
BO
，
CB
2
的长，在
Rt
△
ABO
中，由三角函数可得
AB
的长度，
在
Rt
△
BCB
2
中，由三角函数可得
BC
的长度，再相加即可得到答案．
解：根据题意知，四边形
AA
1
B
1
O
和四边形
BB
1
C
1
B
2
均为矩形，
∴
OB
1
＝
AA
1
＝
62
m
，
B
2
C
1
＝
BB
1
＝
100
m
，
∴
BO
＝
BB
1
﹣
OB
1
＝
100
﹣
62
＝
38
m
，
CB
2
＝
CC
1
﹣
B
2
C
1
＝
200
﹣
100
＝
100
m
，
在
Rt
△
AOB
中，∠
AOB
＝
90
°，∠
BAO
＝
30
°，
BO
＝
38
m
，
∴
AB
＝
2
BO
＝
2
×
38
＝
76
m
；
在
Rt
△
CBB
2
中，∠
CB
2
B
＝
90
°，∠
CBB
2
＝
45
°，
CB
2
＝
100
m
，
∴
∴
，
，
．
即管道
AB
和
BC
的总长度为：
23
．“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解
和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查
（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题：
xx
学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
A
B
C
D
学习时间（小时）
0
＜
t
≤
1
1
＜
t
≤
3
3
＜
t
≤
5
t
＞
5
（
1
）本次接受问卷调查的学生共有
100
人；
（
2
）请补全图①中的条形统计图；
（
3
）图②中，
D
选项所对应的扇形圆心角为
18
度；
（
4
）若该校共有
1500
名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网
络学习时间在
C
选项的有多少人？
【分析】（
1
）根据选
A
的有
50
人，占
15%
，从而求得本次接受问卷调查的学生总数；
（
2
）根据各组人数之和等于数据总数求得选
B
的人数，从而可以将条形统计图补充完
整；
（
3
）用
360
°乘以
D
选项所占百分比可得所对应扇形圆心角的度数；
（
4
）利用样本估计总体，用
1500
乘以样本中学习时间在
C
选项的人数所占的百分比即
可．
解：（
1
）
15
÷
15%
＝
100
（人）．
故答案为：
100
；
（
2
）如图，选
B
的人数：
100
﹣
40
﹣
15
﹣
5
＝
40
（人）．
条形图补充如下：
（
3
）图②中，
D
选项所对应的扇形圆心角为：
360
o
×
故答案为：
18
；
（
4
）
1500
×＝
600
（人）．
＝
18
o
．
故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在
C
选项的有
600
人．
24
．
2020
年
5
月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，
小丹准备购进
A
、
B
两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知
2
台
A
型风扇和
5
台
B
型风扇进价共
100
元，
3
台
A
型风扇和
2
台
B
型风扇进价共
62
元．
（
1
）求
A
型风扇、
B
型风扇进货的单价各是多少元？
（
2
）小丹准备购进这两种风扇共
100
台，根据市场调查发现，
A
型风扇销售情况比
B
型风扇好，小丹准备多购进
A
型风扇，但数量不超过
B
型风扇数量的
3
倍，购进
A
、
B
两种风扇的总金额不超过
1170
元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
【分析】（
1
）设
A
型风扇进货的单价是
x
元，
B
型风扇进货的单价是
y
元，根据“
2
台
A
型风扇和
5
台
B
型风扇进价共
100
元，
3
台
A
型风扇和
2
台
B
型风扇进价共
62
元”，
即可得出关于
x
，
y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（
2
）设购进
A
型风扇
m
台，则购进
B
型风扇（
100
﹣
m
）台，根据“购进
A
型风扇不超
过
B
型风扇数量的
3
倍，购进
A
、
B
两种风扇的总金额不超过
1170
元”，即可得出关于
m
的一元一次不等式组，解之即可得出
m
的取值范围，再结合
m
为正整数即可得出各进
货方案．
解：（
1
）设
A
型风扇进货的单价是
x
元，
B
型风扇进货的单价是
y
元，
依题意，得：
解得：．
，
答：
A
型风扇进货的单价是
10
元，
B
型风扇进货的单价是
16
元；
（
2
）设购进
A
型风扇
m
台，则购进
B
型风扇（
100
﹣
m
）台，
依题意，得：
解得：
71
≤
m
≤
75
，
又∵
m
为正整数，
∴
m
可以取
72
、
73
、
74
、
75
，
∴小丹共有
4
种进货方案，方案
1
：购进
A
型风扇
72
台，
B
型风扇
28
台；方案
2
：购进
A
型风扇
73
台，
B
型风扇
27
台；方案
3
：购进
A
型风扇
74
台，
B
型风扇
26
台；方案
4
：
购进
A
型风扇
75
台，
B
型风扇
25
台．
25
．已知：如图①，将一块
45
°角的直角三角板
DEF
与正方形
ABCD
的一角重合，连接
AF
，
CE
，点
M
是
CE
的中点，连接
DM
．
（
1
）请你猜想
AF
与
DM
的数量关系是
AF
＝
2
DM
．
（
2
）如图②，把正方形
ABCD
绕着点
D
顺时针旋转α角（
0
°＜α＜
90
°）．
①
AF
与
DM
的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温
馨提示：延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
）
②求证：
AF
⊥
DM
；
③若旋转角α＝
45
°，且∠
EDM
＝
2
∠
MDC
，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
，
【分析】（
1
）根据题意合理猜想即可；
（
2
）①延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
，先证明△
MNC
≌△
MDE
，再证明△
ADF
≌△
DCN
，得到
AF
＝
DN
，故可得到
AF
＝
2
DM
；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠
AFD
＝∠
EDM
＝
30
°，可设
AG
＝
k
，得到
DG
，
AD
，
FG
，
ED
的长，
故可求解．
解：（
1
）猜想
AF
与
DM
的数量关系是
AF
＝
2
DM
，
理由：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
CD
＝
AD
，∠
ADC
＝
90
°，
在△
ADF
和△
CDE
中，
，
∴△
ADF
≌△
CDE
（
SAS
），
∴
AF
＝
CE
，
∵
M
是
CE
的中点，
∴
CE
＝
2
DM
，
∴
AF
＝
2
DM
，
故答案为：
AF
＝
2
DM
；
（
2
）①
AF
＝
2
DM
仍然成立，
理由如下：延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
，
∵
M
是
CE
中点，
∴
CM
＝
EM
，
又∠
CMN
＝∠
EMD
，
∴△
MNC
≌△
MDE
（
SAS
），
∴
CN
＝
DE
＝
DF
，∠
MNC
＝∠
MDE
，
∴
CN
∥
DE
，
又
AD
∥
BC
∴∠
NCB
＝∠
EDA
，
∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
AD
＝
DC
，∠
BCD
＝
90
°＝∠
EDF
，
∴∠
ADF
＝∠
DCN
，
∴△
ADF
≌△
DCN
（
SAS
），
∴
AF
＝
DN
，
∴
AF
＝
2
DM
；
②∵△
ADF
≌△
DCN
，
∴∠
NDC
＝∠
FAD
，
∵∠
CDA
＝
90
°，
∴∠
NDC
+
∠
NDA
＝
90
°，
∴∠
FAD
+
∠
NDA
＝
90
°，
∴
AF
⊥
DM
；
③∵α＝
45
°，
∴∠
EDC
＝
90
°﹣
45
°＝
45
°
∵∠
EDM
＝
2
∠
MDC
，
∴∠
EDM
＝∠
EDC
＝
30
°，
∴∠
AFD
＝
30
°，
过
A
点作
AG
⊥
FD
的延长线于
G
点，∴∠
ADG
＝
90
°﹣
45
°＝
45
°，
∴△
ADG
是等腰直角三角形，
设
AG
＝
k
，则
DG
＝
k
，
AD
＝
AG
÷
sin45
°＝
FG
＝
AG
÷
tan30
°＝
∴
FD
＝
ED
＝
故＝
k
﹣
k
，
．
k
，
k
，
y
轴的交点分别为
C
26
．
0
）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD
的边
BC
与
x
轴、（
8
，，
B
（
0
，
6
），
CD
＝
5
，抛物线
y
＝
ax
2
﹣
x
+
c
（
a
≠
0
）过
B
，
C
两点，动点
M
从点
D
开
始以每秒
5
个单位长度的速度沿
D
→
A
→
B
→
C
的方向运动到达
C
点后停止运动．动点
N
从点
O
以每秒
4
个单位长度的速度沿
OC
方向运动，到达
C
点后，立即返回，向
CO
方
向运动，到达
O
点后，又立即返回，依此在线段
OC
上反复运动，当点
M
停止运动时，
点
N
也停止运动，设运动时间为
t
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）求点
D
的坐标；
（
3
）当点
M
，
N
同时开始运动时，若以点
M
，
D
，
C
为顶点的三角形与以点
B
，
O
，
N
为顶点的三角形相似，求
t
的值；
（
4
）过点
D
与
x
轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点
Q
，将线段
BA
沿过点
B
的直
线翻折，点
A
的对称点为
A
'
，求
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值．
【分析】（
1
）将
C
（
8
，
0
），
B
（
0
，
6
）代入计算即可；
（
2
）作
DE
⊥
x
于点
E
，证明△
BOC
～△
CED
，可得
CE
，
DE
长度，进而得到点
D
的坐
标；
（
3
）分为点
M
在
AD
，
BC
上两种情况讨论，当点
M
在
AD
上时，分为△
BON
～△
CDM
和△
BON
～△
MDC
两种情况讨论；当点
M
在
BC
上时，分为△
BON
～△
MCD
和△
BON
～
△
DCM
两种情况讨论；
（
4
）作点
D
关于
x
轴的对称
F
，连接
QF
，可得
QN
+
DN
的最小值；连接
BQ
减去
BA
'
可得
A
'
Q
的最小值，综上可得
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值．
解：（
1
）将
C
（
8
，
0
），
B
（
0
，
6
）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（
2
）如答图
1
，作
DE
⊥
x
于点
E
，
∵
C
（
8
，
0
），
B
（
0
，
6
），
∴
OC
＝
8
，
OB
＝
6
．
∴
BC
＝
10
．
∵∠
BOC
＝∠
BCD
＝∠
DEC
，
∴△
BOC
～△
CED
．
∴．
∴
CE
＝
3
，
DE
＝
4
．
∴
OE
＝
OC
+
CE
＝
11
．
∴
D
（
11
，
4
）．
（
3
）若点
M
在
DA
上运动时，
DM
＝
5
t
，
ON
＝
4
t
，
当△
BON
～△
CDM
，则
当△
BON
～△
MDC
，则
，即
，即
不成立，舍去；
，解得：；
若点
M
在
BC
上运动时，
CM
＝
25
﹣
5
t
．
当△
BON
～△
MCD
，则
∴．
，即，
当
3
＜
t
≤
4
时，
ON
＝
16
﹣
4
t
．
∴，
解得（舍去）．
当
4
＜
t
≤
5
时，
ON
＝
4
t
﹣
16
∴，无解；
，即，
当△
BON
～△
DCM
，则
∴
ON
＝
30
﹣
6
t
；
当
3
＜
t
≤
4
时，
ON
＝
16
﹣
4
t
，
∴
30
﹣
6
t
＝
16
﹣
4
t
，
解得
t
＝
7
（舍去）；
当
4
＜
t
≤
5
时，
ON
＝
4
t
﹣
16
，
∴
30
﹣
6
t
＝
4
t
﹣
16
，
解得．
综上所示：当
时，△
BON
～△
MDC
；时，△
BON
～△
DCM
；
（
4
）如答图
2
，作点
D
关于
x
轴的对称点
F
，连接
QF
交
x
轴于点
N
，
∵点
D
（
11
，
4
），
∴点
F
（
11
，﹣
4
）．
由
∴点
Q
（
5
，
4
）．
∴
∴．
．
得对称轴为
x
＝
5
，
故
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值为
．
2024年3月15日发(作者：成旭彬)
2020
年邵阳市中考数学试卷
一、选择题
1
．
2020
的倒数是（ ）
A
．﹣
2020
B
．
2020
C
．
D
．﹣
2
．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．
2020
年
6
月
23
日，中国第
55
颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北
斗导航系统全面建成．据统计：
2019
年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达
3450
亿元，较
2018
年增长
14.4%
．其中，
3450
亿元用科学记数法表示为（ ）
A
．
3.45
×
10
10
元
C
．
3.45
×
10
8
元
B
．
3.45
×
10
9
元
D
．
3.45
×
10
11
元
4
．设方程
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
的两根分别是
x
1
，
x
2
，则
x
1
+
x
2
的值为（ ）
A
．
3
B
．﹣
C
．
D
．﹣
2
5
．已知正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图象过点（
2
，
3
），把正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图
象平移，使它过点（
1
，﹣
1
），则平移后的函数图象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
6
．下列计算正确的是（ ）
A
．
5+
＝
8
B
．（﹣
2
a
2
b
）
3
＝﹣
6
a
2
b
3
D
．＝
a
﹣
2
C
．（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
b
2
7
．如图，四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
，
B
，
D
，
F
在同一条直线上，请添加一个条
件使得△
ABE
≌△
CDF
，下列不正确的是（ ）
A
．
AE
＝
CF
B
．∠
AEB
＝∠
CFD
C
．∠
EAB
＝∠
FCD
D
．
BE
＝
DF
8
．已知
a
+
b
＞
0
，
ab
＞
0
，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是
（ ）
A
．（
a
，
b
）
B
．（﹣
a
，
b
）
C
．（﹣
a
，﹣
b
）
D
．（
a
，﹣
b
）
9
．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的
面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为
5
m
，宽为
4
m
的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次
数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成
了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A
．
6
m
2
B
．
7
m
2
C
．
8
m
2
D
．
9
m
2
10
．将一张矩形纸片
ABCD
按如图所示操作：
（
1
）将
DA
沿
DP
向内折叠，使点
A
落在点
A
1
处，
（
2
）将
DP
沿
DA
1
向内继续折叠，使点
P
落在点
P
1
处，折痕与边
AB
交于点
M
．
若
P
1
M
⊥
AB
，则∠
DP
1
M
的大小是（ ）
A
．
135
°
B
．
120
°
C
．
112.5
°
D
．
115
°
二、填空题（本大题有
8
个小题，每小题
3
分，共
24
分）
11
．因式分解：
2
x
2
﹣
18
＝
．
12
．如图，已知点
A
在反比例函数
y
＝（
k
≠
0
）的图象上，过点
A
作
AB
⊥
y
轴于点
B
，
△
OAB
的面积是
2
．则
k
的值是
．
13
．据统计：
2019
年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生
91.3
万人次，全市没有一名学
生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下
是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
9
；
乙：
6
，
8
，
7
，
7
，
8
，
9
，
10
，
7
，
9
，
9
．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看，
学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
14
．如图，线段
AB
＝
10
cm
，用尺规作图法按如下步骤作图．
（
1
）过点
B
作
AB
的垂线，并在垂线上取
BC
＝
AB
；
（
2
）连接
AC
，以点
C
为圆心，
CB
为半径画弧，交
AC
于点
E
；
AE
为半径画弧，（
3
）以点
A
为圆心，交
AB
于点
D
．即点
D
为线段
AB
的黄金分割点．则
线段
AD
的长度约为
cm
．（结果保留两位小数，参考数据：
1.732
，＝
2.236
）
＝
1.414
，＝
15
．在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的
3
个实数相乘都得到同样的结果，则
2
个空
格的实数之积为
．
3
1
2
3
6
16
．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云
阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864
平方步，它的宽比长少
12
步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为
x
步，则
依题意列方程为
．
17
．如图①是山东舰航徽的构图，采用航母
45
度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首
艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为
10
π
的弧，若该弧所在的扇形是高为
12
的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长
AB
为
．
18
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，斜边
AB
＝，过点
C
作
CF
∥
AB
，以
AB
为
边作菱形
ABEF
，若∠
F
＝
30
°，则
Rt
△
ABC
的面积
为
．
三、解答题（本大题有
8
个小题，第
19
～
25
题每题
8
分，第
26
是
10
分，共
66
分．解答
应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19
．计算：（﹣
1
）
2020
+
（）
﹣
1
+|
﹣
1+
20
．已知：
|
m
﹣
1|+
＝
0
，
|
﹣
2sin60
°．
（
1
）求
m
，
n
的值；
（
2
）先化简，再求值：
m
（
m
﹣
3
n
）
+
（
m
+2
n
）
2
﹣
4
n
2
．
21
．如图，在等腰△
ABC
中，
AB
＝
AC
，点
D
是
BC
上一点，以
BD
为直径的⊙
O
过点
A
，
连接
AD
，∠
CAD
＝∠
C
．
（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AC
＝
4
，求⊙
O
的半径．
22
．
2019
年
12
月
23
日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资
水犬木塘水库，将于
2020
年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如
图所示，
AB
，
BC
表示需铺设的干渠引水管道，经测量，
A
，
B
，
C
所处位置的海拔
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
分别为
62
m
，
100
m
，
200
m
．若管道
AB
与水平线
AA
2
的夹角为
30
°，管道
BC
与水平线
BB
2
夹角为
45
°，求管道
AB
和
BC
的总长度（结果保留根号）．
23
．“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解
和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查
（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题：
xx
学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
A
B
C
D
学习时间（小时）
0
＜
t
≤
1
1
＜
t
≤
3
3
＜
t
≤
5
t
＞
5
（
1
）本次接受问卷调查的学生共有
人；
（
2
）请补全图①中的条形统计图；
（
3
）图②中，
D
选项所对应的扇形圆心角为
度；
（
4
）若该校共有
1500
名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网
络学习时间在
C
选项的有多少人？
24
．
2020
年
5
月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，
小丹准备购进
A
、
B
两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知
2
台
A
型风扇和
5
台
B
型风扇进价共
100
元，
3
台
A
型风扇和
2
台
B
型风扇进价共
62
元．
（
1
）求
A
型风扇、
B
型风扇进货的单价各是多少元？
（
2
）小丹准备购进这两种风扇共
100
台，根据市场调查发现，
A
型风扇销售情况比
B
型风扇好，小丹准备多购进
A
型风扇，但数量不超过
B
型风扇数量的
3
倍，购进
A
、
B
两种风扇的总金额不超过
1170
元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
25
．已知：如图①，将一块
45
°角的直角三角板
DEF
与正方形
ABCD
的一角重合，连接
AF
，
CE
，点
M
是
CE
的中点，连接
DM
．
（
1
）请你猜想
AF
与
DM
的数量关系是
．
（
2
）如图②，把正方形
ABCD
绕着点
D
顺时针旋转α角（
0
°＜α＜
90
°）．
①
AF
与
DM
的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温
馨提示：延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
）
②求证：
AF
⊥
DM
；
③若旋转角α＝
45
°，且∠
EDM
＝
2
∠
MDC
，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
y
轴的交点分别为
C
26
．
0
）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD
的边
BC
与
x
轴、（
8
，，
B
（
0
，
6
），
CD
＝
5
，抛物线
y
＝
ax
2
﹣
x
+
c
（
a
≠
0
）过
B
，
C
两点，动点
M
从点
D
开
始以每秒
5
个单位长度的速度沿
D
→
A
→
B
→
C
的方向运动到达
C
点后停止运动．动点
N
从点
O
以每秒
4
个单位长度的速度沿
OC
方向运动，到达
C
点后，立即返回，向
CO
方
向运动，到达
O
点后，又立即返回，依此在线段
OC
上反复运动，当点
M
停止运动时，
点
N
也停止运动，设运动时间为
t
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）求点
D
的坐标；
（
3
）当点
M
，
N
同时开始运动时，若以点
M
，
D
，
C
为顶点的三角形与以点
B
，
O
，
N
为顶点的三角形相似，求
t
的值；
（
4
）过点
D
与
x
轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点
Q
，将线段
BA
沿过点
B
的直
线翻折，点
A
的对称点为
A
'
，求
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题有
10
个小题，每小题
3
分，共
30
分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1
．
2020
的倒数是（ ）
A
．﹣
2020
B
．
2020
C
．
D
．﹣
【分析】根据倒数的定义求解即可
解：∵
2020
×
∴
2020
的倒数是
故选：
C
．
2
．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（ ）
＝
1
，
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
形解答即可．
解：
A
、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
B
、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；
C
、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D
、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；
故选：
A
．
3
．
2020
年
6
月
23
日，中国第
55
颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北
斗导航系统全面建成．据统计：
2019
年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达
3450
亿元，较
2018
年增长
14.4%
．其中，
3450
亿元用科学记数法表示为（ ）
A
．
3.45
×
10
10
元
C
．
3.45
×
10
8
元
B
．
3.45
×
10
9
元
D
．
3.45
×
10
11
元
【分析】科学记数法的表示形式为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看把原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值≥
10
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．
解：根据科学记数法的表示形式为
a
×
10
n
，其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，
n
为整数，则
3450
亿＝
345000000000
＝
3.45
×
10
11
．
故选：
D
．
4
．设方程
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
的两根分别是
x
1
，
x
2
，则
x
1
+
x
2
的值为（ ）
A
．
3
B
．﹣
C
．
D
．﹣
2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系
数的值，代入公式求解即可．
解：由
x
2
﹣
3
x
+2
＝
0
可知，其二次项系数
a
＝
1
，一次项系数
b
＝﹣
3
，
由根与系数的关系：
x
1
+
x
2
＝
故选：
A
．
5
．已知正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图象过点（
2
，
3
），把正比例函数
y
＝
kx
（
k
≠
0
）的图
象平移，使它过点（
1
，﹣
1
），则平移后的函数图象大致是（ ）
，
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（
1
，﹣
1
）求出一次函数解析
式，即可求解．
解：把点（
2
，
3
）代入
y
＝
kx
（
k
≠
0
）得
2
k
＝
3
，
解得，
∴正比例函数解析式为，
，
，
设正比例函数平移后函数解析式为
把点（
1
，﹣
1
）代入
∴，
，
得
∴平移后函数解析式为
故函数图象大致为：
．
故选：
D
．
6
．下列计算正确的是（ ）
A
．
5+
＝
8
B
．（﹣
2
a
2
b
）
3
＝﹣
6
a
2
b
3
D
．＝
a
﹣
2
C
．（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
b
2
【分析】分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．
解：
A
.
，故
A
选项错误；
B
．（﹣
2
a
2
b
）
3
＝（﹣
2
）
3
（
a
2
）
3
b
3
＝﹣
8
a
6
b
3
，故
B
选项错误；
C
．（
a
﹣
b
）
2
＝
a
2
﹣
2
ab
+
b
2
，故
C
选项错误；
D
.
故选：
D
．
7
．如图，四边形
ABCD
是平行四边形，点
E
，
B
，
D
，
F
在同一条直线上，请添加一个条
件使得△
ABE
≌△
CDF
，下列不正确的是（ ）
，故
D
选项正确．
A
．
AE
＝
CF
B
．∠
AEB
＝∠
CFD
C
．∠
EAB
＝∠
FCD
D
．
BE
＝
DF
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．
解：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
AB
＝
CD
，
AB
∥
CD
，
∴∠
ABD
＝∠
BDC
，
∵∠
ABE
+
∠
ABD
＝∠
BDC
+
∠
CDF
，
∴∠
ABE
＝∠
CDF
，
A
．若添加
AE
＝
CF
，则无法证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
A
符合题意；
B
．
若添加∠
AEB
＝∠
CFD
，运用
AAS
可以证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
B
不符合题意；
C
．
若添加∠
EAB
＝∠
FCD
，运用
ASA
可以证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
C
不符合题意；
D
．若添加
BE
＝
DF
，运用
SAS
可以证明△
ABE
≌△
CDF
，故选项
D
不符合题意．
故选：
A
．
8
．已知
a
+
b
＞
0
，
ab
＞
0
，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是
（ ）
A
．（
a
，
b
）
B
．（﹣
a
，
b
）
C
．（﹣
a
，﹣
b
）
D
．（
a
，﹣
b
）
【分析】因为
ab
＞
0
，所以
a
、
b
同号，又
a
+
b
＞
0
，所以
a
＞
0
，
b
＞
0
，观察图形判断出
小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．
解：∵
a
+
b
＞
0
，
ab
＞
0
，∴
a
＞
0
，
b
＞
0
．
A
、（
a
，
b
）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
B
、（﹣
a
，
b
）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；
C
、（﹣
a
，﹣
b
）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
D
、（
a
，﹣
b
）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；
故选：
B
．
9
．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的
面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为
5
m
，宽为
4
m
的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次
数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成
了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A
．
6
m
2
B
．
7
m
2
C
．
8
m
2
D
．
9
m
2
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为
x
，根据几何概率知识求解不
规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
解：假设不规则图案面积为
x
，
由已知得：长方形面积为
20
，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件
A
实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件
A
发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为
0.35
，
综上有：
故选：
B
．
10
．将一张矩形纸片
ABCD
按如图所示操作：
（
1
）将
DA
沿
DP
向内折叠，使点
A
落在点
A
1
处，
（
2
）将
DP
沿
DA
1
向内继续折叠，使点
P
落在点
P
1
处，折痕与边
AB
交于点
M
．
若
P
1
M
⊥
AB
，则∠
DP
1
M
的大小是（ ）
，解得
x
＝
7
．
A
．
135
°
B
．
120
°
C
．
112.5
°
D
．
115
°
【分析】由折叠前后对应角相等且∠
P
1
MA
＝
90
°可先求出∠
DMP
1
＝∠
DMA
＝
45
°，进
一步求出∠
ADM
＝
45
°，再由折叠可求出∠
MDP
1
＝∠
ADP
＝∠
PDM
＝
22.5
°，最后在
△
DP
1
M
中由三角形内角和定理即可求解．
解：∵折叠，且∠
P
1
MA
＝
90
°，
∴∠
DMP
1
＝∠
DMA
＝
45
°，即∠
ADM
＝
45
°，
∵折叠，
∴∠
MDP
1
＝∠
ADP
＝∠
PDM
＝∠
ADM
＝
22.5
°，
∴在△
DP
1
M
中，∠
DP
1
M
＝
180
°﹣
45
°﹣
22.5
°＝
112.5
°，
故选：
C
．
二、填空题（本大题有
8
个小题，每小题
3
分，共
24
分）
11
．因式分解：
2
x
2
﹣
18
＝
2
（
x
+3
）（
x
﹣
3
） ．
【分析】提公因式
2
，再运用平方差公式分解．
解：
2
x
2
﹣
18
＝
2
（
x
2
﹣
9
）＝
2
（
x
+3
）（
x
﹣
3
），
故答案为：
2
（
x
+3
）（
x
﹣
3
）．
12
．如图，已知点
A
在反比例函数
y
＝（
k
≠
0
）的图象上，过点
A
作
AB
⊥
y
轴于点
B
，
△
OAB
的面积是
2
．则
k
的值是
4
．
【分析】根据△
OAB
的面积等于
2
，即可得到线段
OB
与线段
AB
的乘积，进而得到
A
点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出
k
值．
解：设点
A
的坐标为（
x
A
，
y
A
），
AB
⊥
y
，
由题意可知：
∴
y
A
•
x
A
＝
4
，
又点
A
在反比例函数图象上，
故有
k
＝
x
A
•
y
A
＝
4
．
故答案为：
4
．
13
．据统计：
2019
年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生
91.3
万人次，全市没有一名学
生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下
是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
8
，
8
，
9
，
7
，
9
；
乙：
6
，
8
，
7
，
7
，
8
，
9
，
10
，
7
，
9
，
9
．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 甲 学生每周接受送教的时间更稳定．（填
“甲”或“乙”）
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教
的时间更稳定．
解：甲的“送教上门”时间的平均数为：
乙的“送教上门”时间的平均数为：
甲的方差：
乙的方差：
因为，
，
，
，
，
，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
14
．如图，线段
AB
＝
10
cm
，用尺规作图法按如下步骤作图．
（
1
）过点
B
作
AB
的垂线，并在垂线上取
BC
＝
AB
；
（
2
）连接
AC
，以点
C
为圆心，
CB
为半径画弧，交
AC
于点
E
；
AE
为半径画弧，（
3
）以点
A
为圆心，交
AB
于点
D
．即点
D
为线段
AB
的黄金分割点．则
线段
AD
的长度约为
6.18
cm
．（结果保留两位小数，参考数据：
1.732
，＝
2.236
）
＝
1.414
，＝
【分析】根据作图得△
ABC
为直角三角形，
CE
＝
BC
＝
AB
＝
5
cm
，
AE
＝
AD
，根据勾股
定理求出
AC
，再求出
AE
，即可求出
AD
．
解：由作图得△
ABC
为直角三角形，
CE
＝
BC
＝
AB
＝
5
cm
，
AE
＝
AD
，
∴
AC
＝
∴
AE
＝
AC
﹣
CE
＝
5
∴
故答案为：
6.18
．
15
．在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的
3
个实数相乘都得到同样的结果，则
2
个空
格的实数之积为
3
1
2
3
6
，然后中间一行的三个数相乘以及
．
cm
．
cm
，
cm
，
【分析】先将表格中最上一行的
3
个数相乘得到
最后一行的三个数相等都是，即可求解．
解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：
设第二行中间数为
x
，则
设第三行第一个数为
y
，则
∴
2
个空格的实数之积为
故答案为：．
．
，解得
，解得
，
，
，
16
．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云
阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为
864
平方步，它的宽比长少
12
步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为
x
步，则
依题意列方程为
x
（
x
+12
）＝
864
．
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（
x
+12
），再利用矩形的面
积公式即可得出关于
x
的一元二次方程，此题得解．
解：∵矩形的宽为
x
，且宽比长少
12
，
∴矩形的长为（
x
+12
）．
依题意，得：
x
（
x
+12
）＝
864
．
故答案为：
x
（
x
+12
）＝
864
．
17
．如图①是山东舰航徽的构图，采用航母
45
度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首
艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为
10
π
的弧，若该弧所在的扇形是高为
12
的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长
AB
为
13
．
【分析】由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线
AB
的长．
解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝
10
π，
∴
OB
＝，
，
在
Rt
△
AOB
中，
AB
＝
所以该圆锥的母线长
AB
为
13
．
故答案为：
13
．
18
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，斜边
AB
＝
边作菱形
，过点
C
作
CF
∥
AB
，以
AB
为
Rt
△
ABC
的面积为
ABEF
，若∠
F
＝
30
°，则
．
【分析】先利用直角三角形中
30
°角的性质求出
HE
的长度，然后利用平行线间的距离
处处相等，可得
CG
的长度，即可求出直角三角形
ABC
面积．
解：如图，分别过点
E
、
C
作
EH
、
CG
垂直
AB
，垂足为点
H
、
G
，
∵根据题意四边形
ABEF
为菱形，
∴
AB
＝
BE
＝，
又∵∠
ABE
＝
30
°
∴在
RT
△
BHE
中，
EH
＝
根据题意，
AB
∥
CF
，
根据平行线间的距离处处相等，
∴
HE
＝
CG
＝，
．
，
∴
Rt
△
ABC
的面积为
故答案为：．
三、解答题（本大题有
8
个小题，第
19
～
25
题每题
8
分，第
26
是
10
分，共
66
分．解答
应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
19
．计算：（﹣
1
）
2020
+
（）
﹣
1
+|
﹣
1+|
﹣
2sin60
°．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三
角函数值计算即可求出值．
解：原式＝
1+2+
（
＝
1+2+
＝
2
．
20
．已知：
|
m
﹣
1|+
＝
0
，
﹣
1
﹣
﹣
1
）﹣
2
×
（
1
）求
m
，
n
的值；
（
2
）先化简，再求值：
m
（
m
﹣
3
n
）
+
（
m
+2
n
）
2
﹣
4
n
2
．
【分析】（
1
）
m
＝
1
，
n
＝﹣
2
；
（
2
）
2
m
2
+
mn
；
0
．
解：（
1
）根据非负数得：
m
﹣
1
＝
0
且
n
+2
＝
0
，
解得：
m
＝
1
，
n
＝﹣
2
，
（
2
）原式＝
m
2
﹣
3
mn
+
m
2
+4
mn
+4
n
2
﹣
4
n
2
＝
2
m
2
+
mn
，
当
m
＝
1
，
n
＝﹣
2
，原式＝
2
×
1+1
×（﹣
2
）＝
0
．
21
．如图，在等腰△
ABC
中，
AB
＝
AC
，点
D
是
BC
上一点，以
BD
为直径的⊙
O
过点
A
，
连接
AD
，∠
CAD
＝∠
C
．
（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AC
＝
4
，求⊙
O
的半径．
【分析】（
1
）连接
OA
，由圆的性质可得
OA
＝
OB
，即∠
OBA
＝∠
OAB
；再由
AB
＝
AC
，
即∠
OBA
＝∠
C
，再结合∠
CAD
＝∠
C
，可得∠
OAB
＝∠
CAD
，然后由∠
BAD
＝
90
°说明
∠
OAC
＝
90
°即可完成证明；
（
2
）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．
【解答】（
1
）证明：如图：连接
OA
，
∵
OA
＝
OB
，
∴∠
OBA
＝∠
OAB
，
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
OBA
＝∠
C
，
∴∠
OAB
＝∠
C
，
∵∠
CAD
＝∠
C
，
∴∠
OAB
＝∠
CAD
，
∵
BD
是直径，
∴∠
BAD
＝
90
°，
∵∠
OAC
＝∠
BAD
﹣∠
OAB
+
∠
CAD
＝
90
°，
∴
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）解：由（
1
）可知
AC
是⊙
O
的切线，
∴∠
OAC
＝
90
°，∠
AOD
＝
2
∠
B
，
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
B
＝∠
C
，
∴∠
AOC
+
∠
C
＝
2
∠
B
+
∠
C
＝
3
∠
C
＝
90
°，
∴∠
B
＝∠
C
＝
30
°，
在
Rt
△
ABD
中，
BD
＝
∴
OB
＝，
．
＝＝，
∴⊙
O
的半径为
22
．
2019
年
12
月
23
日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资
水犬木塘水库，将于
2020
年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如
图所示，
AB
，
BC
表示需铺设的干渠引水管道，经测量，
A
，
B
，
C
所处位置的海拔
AA
1
，
BB
1
，
CC
1
分别为
62
m
，
100
m
，
200
m
．若管道
AB
与水平线
AA
2
的夹角为
30
°，管道
BC
与水平线
BB
2
夹角为
45
°，求管道
AB
和
BC
的总长度（结果保留根号）．
【分析】先根据题意得到
BO
，
CB
2
的长，在
Rt
△
ABO
中，由三角函数可得
AB
的长度，
在
Rt
△
BCB
2
中，由三角函数可得
BC
的长度，再相加即可得到答案．
解：根据题意知，四边形
AA
1
B
1
O
和四边形
BB
1
C
1
B
2
均为矩形，
∴
OB
1
＝
AA
1
＝
62
m
，
B
2
C
1
＝
BB
1
＝
100
m
，
∴
BO
＝
BB
1
﹣
OB
1
＝
100
﹣
62
＝
38
m
，
CB
2
＝
CC
1
﹣
B
2
C
1
＝
200
﹣
100
＝
100
m
，
在
Rt
△
AOB
中，∠
AOB
＝
90
°，∠
BAO
＝
30
°，
BO
＝
38
m
，
∴
AB
＝
2
BO
＝
2
×
38
＝
76
m
；
在
Rt
△
CBB
2
中，∠
CB
2
B
＝
90
°，∠
CBB
2
＝
45
°，
CB
2
＝
100
m
，
∴
∴
，
，
．
即管道
AB
和
BC
的总长度为：
23
．“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解
和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查
（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），
请根据统计图解答以下问题：
xx
学校“停课不停学”网络学习时间
调查表
亲爱的同学，你好！
为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学
习时间的选项，在其后的空格内打“√”．
平均每天利用网络学习时间问卷调查表
选项
A
B
C
D
学习时间（小时）
0
＜
t
≤
1
1
＜
t
≤
3
3
＜
t
≤
5
t
＞
5
（
1
）本次接受问卷调查的学生共有
100
人；
（
2
）请补全图①中的条形统计图；
（
3
）图②中，
D
选项所对应的扇形圆心角为
18
度；
（
4
）若该校共有
1500
名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网
络学习时间在
C
选项的有多少人？
【分析】（
1
）根据选
A
的有
50
人，占
15%
，从而求得本次接受问卷调查的学生总数；
（
2
）根据各组人数之和等于数据总数求得选
B
的人数，从而可以将条形统计图补充完
整；
（
3
）用
360
°乘以
D
选项所占百分比可得所对应扇形圆心角的度数；
（
4
）利用样本估计总体，用
1500
乘以样本中学习时间在
C
选项的人数所占的百分比即
可．
解：（
1
）
15
÷
15%
＝
100
（人）．
故答案为：
100
；
（
2
）如图，选
B
的人数：
100
﹣
40
﹣
15
﹣
5
＝
40
（人）．
条形图补充如下：
（
3
）图②中，
D
选项所对应的扇形圆心角为：
360
o
×
故答案为：
18
；
（
4
）
1500
×＝
600
（人）．
＝
18
o
．
故估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在
C
选项的有
600
人．
24
．
2020
年
5
月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，
小丹准备购进
A
、
B
两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知
2
台
A
型风扇和
5
台
B
型风扇进价共
100
元，
3
台
A
型风扇和
2
台
B
型风扇进价共
62
元．
（
1
）求
A
型风扇、
B
型风扇进货的单价各是多少元？
（
2
）小丹准备购进这两种风扇共
100
台，根据市场调查发现，
A
型风扇销售情况比
B
型风扇好，小丹准备多购进
A
型风扇，但数量不超过
B
型风扇数量的
3
倍，购进
A
、
B
两种风扇的总金额不超过
1170
元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
【分析】（
1
）设
A
型风扇进货的单价是
x
元，
B
型风扇进货的单价是
y
元，根据“
2
台
A
型风扇和
5
台
B
型风扇进价共
100
元，
3
台
A
型风扇和
2
台
B
型风扇进价共
62
元”，
即可得出关于
x
，
y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（
2
）设购进
A
型风扇
m
台，则购进
B
型风扇（
100
﹣
m
）台，根据“购进
A
型风扇不超
过
B
型风扇数量的
3
倍，购进
A
、
B
两种风扇的总金额不超过
1170
元”，即可得出关于
m
的一元一次不等式组，解之即可得出
m
的取值范围，再结合
m
为正整数即可得出各进
货方案．
解：（
1
）设
A
型风扇进货的单价是
x
元，
B
型风扇进货的单价是
y
元，
依题意，得：
解得：．
，
答：
A
型风扇进货的单价是
10
元，
B
型风扇进货的单价是
16
元；
（
2
）设购进
A
型风扇
m
台，则购进
B
型风扇（
100
﹣
m
）台，
依题意，得：
解得：
71
≤
m
≤
75
，
又∵
m
为正整数，
∴
m
可以取
72
、
73
、
74
、
75
，
∴小丹共有
4
种进货方案，方案
1
：购进
A
型风扇
72
台，
B
型风扇
28
台；方案
2
：购进
A
型风扇
73
台，
B
型风扇
27
台；方案
3
：购进
A
型风扇
74
台，
B
型风扇
26
台；方案
4
：
购进
A
型风扇
75
台，
B
型风扇
25
台．
25
．已知：如图①，将一块
45
°角的直角三角板
DEF
与正方形
ABCD
的一角重合，连接
AF
，
CE
，点
M
是
CE
的中点，连接
DM
．
（
1
）请你猜想
AF
与
DM
的数量关系是
AF
＝
2
DM
．
（
2
）如图②，把正方形
ABCD
绕着点
D
顺时针旋转α角（
0
°＜α＜
90
°）．
①
AF
与
DM
的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温
馨提示：延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
）
②求证：
AF
⊥
DM
；
③若旋转角α＝
45
°，且∠
EDM
＝
2
∠
MDC
，求的值．（可不写过程，直接写出结果）
，
【分析】（
1
）根据题意合理猜想即可；
（
2
）①延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
，先证明△
MNC
≌△
MDE
，再证明△
ADF
≌△
DCN
，得到
AF
＝
DN
，故可得到
AF
＝
2
DM
；
②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解；
③依题意可得∠
AFD
＝∠
EDM
＝
30
°，可设
AG
＝
k
，得到
DG
，
AD
，
FG
，
ED
的长，
故可求解．
解：（
1
）猜想
AF
与
DM
的数量关系是
AF
＝
2
DM
，
理由：∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
CD
＝
AD
，∠
ADC
＝
90
°，
在△
ADF
和△
CDE
中，
，
∴△
ADF
≌△
CDE
（
SAS
），
∴
AF
＝
CE
，
∵
M
是
CE
的中点，
∴
CE
＝
2
DM
，
∴
AF
＝
2
DM
，
故答案为：
AF
＝
2
DM
；
（
2
）①
AF
＝
2
DM
仍然成立，
理由如下：延长
DM
到点
N
，使
MN
＝
DM
，连接
CN
，
∵
M
是
CE
中点，
∴
CM
＝
EM
，
又∠
CMN
＝∠
EMD
，
∴△
MNC
≌△
MDE
（
SAS
），
∴
CN
＝
DE
＝
DF
，∠
MNC
＝∠
MDE
，
∴
CN
∥
DE
，
又
AD
∥
BC
∴∠
NCB
＝∠
EDA
，
∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
AD
＝
DC
，∠
BCD
＝
90
°＝∠
EDF
，
∴∠
ADF
＝∠
DCN
，
∴△
ADF
≌△
DCN
（
SAS
），
∴
AF
＝
DN
，
∴
AF
＝
2
DM
；
②∵△
ADF
≌△
DCN
，
∴∠
NDC
＝∠
FAD
，
∵∠
CDA
＝
90
°，
∴∠
NDC
+
∠
NDA
＝
90
°，
∴∠
FAD
+
∠
NDA
＝
90
°，
∴
AF
⊥
DM
；
③∵α＝
45
°，
∴∠
EDC
＝
90
°﹣
45
°＝
45
°
∵∠
EDM
＝
2
∠
MDC
，
∴∠
EDM
＝∠
EDC
＝
30
°，
∴∠
AFD
＝
30
°，
过
A
点作
AG
⊥
FD
的延长线于
G
点，∴∠
ADG
＝
90
°﹣
45
°＝
45
°，
∴△
ADG
是等腰直角三角形，
设
AG
＝
k
，则
DG
＝
k
，
AD
＝
AG
÷
sin45
°＝
FG
＝
AG
÷
tan30
°＝
∴
FD
＝
ED
＝
故＝
k
﹣
k
，
．
k
，
k
，
y
轴的交点分别为
C
26
．
0
）如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCD
的边
BC
与
x
轴、（
8
，，
B
（
0
，
6
），
CD
＝
5
，抛物线
y
＝
ax
2
﹣
x
+
c
（
a
≠
0
）过
B
，
C
两点，动点
M
从点
D
开
始以每秒
5
个单位长度的速度沿
D
→
A
→
B
→
C
的方向运动到达
C
点后停止运动．动点
N
从点
O
以每秒
4
个单位长度的速度沿
OC
方向运动，到达
C
点后，立即返回，向
CO
方
向运动，到达
O
点后，又立即返回，依此在线段
OC
上反复运动，当点
M
停止运动时，
点
N
也停止运动，设运动时间为
t
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）求点
D
的坐标；
（
3
）当点
M
，
N
同时开始运动时，若以点
M
，
D
，
C
为顶点的三角形与以点
B
，
O
，
N
为顶点的三角形相似，求
t
的值；
（
4
）过点
D
与
x
轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点
Q
，将线段
BA
沿过点
B
的直
线翻折，点
A
的对称点为
A
'
，求
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值．
【分析】（
1
）将
C
（
8
，
0
），
B
（
0
，
6
）代入计算即可；
（
2
）作
DE
⊥
x
于点
E
，证明△
BOC
～△
CED
，可得
CE
，
DE
长度，进而得到点
D
的坐
标；
（
3
）分为点
M
在
AD
，
BC
上两种情况讨论，当点
M
在
AD
上时，分为△
BON
～△
CDM
和△
BON
～△
MDC
两种情况讨论；当点
M
在
BC
上时，分为△
BON
～△
MCD
和△
BON
～
△
DCM
两种情况讨论；
（
4
）作点
D
关于
x
轴的对称
F
，连接
QF
，可得
QN
+
DN
的最小值；连接
BQ
减去
BA
'
可得
A
'
Q
的最小值，综上可得
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值．
解：（
1
）将
C
（
8
，
0
），
B
（
0
，
6
）代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（
2
）如答图
1
，作
DE
⊥
x
于点
E
，
∵
C
（
8
，
0
），
B
（
0
，
6
），
∴
OC
＝
8
，
OB
＝
6
．
∴
BC
＝
10
．
∵∠
BOC
＝∠
BCD
＝∠
DEC
，
∴△
BOC
～△
CED
．
∴．
∴
CE
＝
3
，
DE
＝
4
．
∴
OE
＝
OC
+
CE
＝
11
．
∴
D
（
11
，
4
）．
（
3
）若点
M
在
DA
上运动时，
DM
＝
5
t
，
ON
＝
4
t
，
当△
BON
～△
CDM
，则
当△
BON
～△
MDC
，则
，即
，即
不成立，舍去；
，解得：；
若点
M
在
BC
上运动时，
CM
＝
25
﹣
5
t
．
当△
BON
～△
MCD
，则
∴．
，即，
当
3
＜
t
≤
4
时，
ON
＝
16
﹣
4
t
．
∴，
解得（舍去）．
当
4
＜
t
≤
5
时，
ON
＝
4
t
﹣
16
∴，无解；
，即，
当△
BON
～△
DCM
，则
∴
ON
＝
30
﹣
6
t
；
当
3
＜
t
≤
4
时，
ON
＝
16
﹣
4
t
，
∴
30
﹣
6
t
＝
16
﹣
4
t
，
解得
t
＝
7
（舍去）；
当
4
＜
t
≤
5
时，
ON
＝
4
t
﹣
16
，
∴
30
﹣
6
t
＝
4
t
﹣
16
，
解得．
综上所示：当
时，△
BON
～△
MDC
；时，△
BON
～△
DCM
；
（
4
）如答图
2
，作点
D
关于
x
轴的对称点
F
，连接
QF
交
x
轴于点
N
，
∵点
D
（
11
，
4
），
∴点
F
（
11
，﹣
4
）．
由
∴点
Q
（
5
，
4
）．
∴
∴．
．
得对称轴为
x
＝
5
，
故
A
'
Q
+
QN
+
DN
的最小值为
．