2024年3月15日发(作者：甘涵)
z
变换基本知识
1z
变换定义
连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进
行研究。一个连续信号
f(t)
的拉普拉斯变换
F(s)
是复变量
s
的有理分式函数；而
微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为
s
的代数方程，从而可以大大简化微分方
程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯
变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中
的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了
z
变
换。
连续信号
f(t)
通过采样周期为
T
的理想采样开关采样后，采样信号
f*(t)
的表达式为
f*(t)=
1，
f(kT)
、
(t-kT)=f(0)
、(
t)f(T)
、
(t-T)•f(2T)
、
(t-2T)
kO
f(3T)5(t-3T)+|||(1)
OO
对式(
1)
作拉普拉斯变换
F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'
sT
f(3T)e4
T
lM
od
=£f(kT)e
3
(2)
r
k0
从式
(2)
可以看出，
F*(s)
是
s
的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,
因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复
变量
“z”，
令
z=e
sT
(3)
代入式
(2)
并令
F*(x)
i
=F(z),
得
s
平
lnz
F(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)
k0
式
(4)
定义为采样信号£*("的
2
变换，它是变量
z
的幕级数形式，从而有利于问题
的简化求解。通常以
F(z)=L[f*(t)]
表示。
由以上推导可知，
z
变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信
号作
z=e
sT
的变量置换。
f*(t)
的
z
变换的符号写法有多种，如
Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)
等,不管括号内写的是连续信号、
离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行
z
变
换。
式
(1),
式
(2)
和式(
3)
分别是采样信号在时域、
s
域和
z
域的表达式，形式上都是多项
式之和，加权系数都是
f(kT),
并且时域中的
d(t-kT)>s
域中的
e"
sT
&
z
域中的
z”
均表示信号延迟了
k
拍，体现了信号的定时关系
在实际应用中，采样信号的
z
变换在收敛域内都对应有闭合形式，具表达式
K(z
m
d
m
」
z
，
HId
〔
zd
0
)
m
F(z)=
z
n
+C—z
n
」+|||+
C
i
z+C
。
是
z
的有理分式
或
z
」的有理分式
F(z)=
Kz-
L
(1+d
m^
z~
1
+|||+
d
1
z
um41
+d
0
z"
n
)
1Cn
」
z"IIIGz"
1
C°zH
l=n-m(6)
z
变换写成零、极点形式
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时,更为
有用，式(
5)
可改写为式(
7)
KN(z)K(z-zJ|H(z-z
m
)
F(z)==
D(z)(z-P
I
)|I|(
Z
-P
n
)
mWn⑺
2
求
z
变换的方法
1)
级数求和法
2024年3月15日发(作者：甘涵)
z
变换基本知识
1z
变换定义
连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进
行研究。一个连续信号
f(t)
的拉普拉斯变换
F(s)
是复变量
s
的有理分式函数；而
微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为
s
的代数方程，从而可以大大简化微分方
程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯
变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中
的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了
z
变
换。
连续信号
f(t)
通过采样周期为
T
的理想采样开关采样后，采样信号
f*(t)
的表达式为
f*(t)=
1，
f(kT)
、
(t-kT)=f(0)
、(
t)f(T)
、
(t-T)•f(2T)
、
(t-2T)
kO
f(3T)5(t-3T)+|||(1)
OO
对式(
1)
作拉普拉斯变换
F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'
sT
f(3T)e4
T
lM
od
=£f(kT)e
3
(2)
r
k0
从式
(2)
可以看出，
F*(s)
是
s
的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,
因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复
变量
“z”，
令
z=e
sT
(3)
代入式
(2)
并令
F*(x)
i
=F(z),
得
s
平
lnz
F(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)
k0
式
(4)
定义为采样信号£*("的
2
变换，它是变量
z
的幕级数形式，从而有利于问题
的简化求解。通常以
F(z)=L[f*(t)]
表示。
由以上推导可知，
z
变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信
号作
z=e
sT
的变量置换。
f*(t)
的
z
变换的符号写法有多种，如
Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)
等,不管括号内写的是连续信号、
离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行
z
变
换。
式
(1),
式
(2)
和式(
3)
分别是采样信号在时域、
s
域和
z
域的表达式，形式上都是多项
式之和，加权系数都是
f(kT),
并且时域中的
d(t-kT)>s
域中的
e"
sT
&
z
域中的
z”
均表示信号延迟了
k
拍，体现了信号的定时关系
在实际应用中，采样信号的
z
变换在收敛域内都对应有闭合形式，具表达式
K(z
m
d
m
」
z
，
HId
〔
zd
0
)
m
F(z)=
z
n
+C—z
n
」+|||+
C
i
z+C
。
是
z
的有理分式
或
z
」的有理分式
F(z)=
Kz-
L
(1+d
m^
z~
1
+|||+
d
1
z
um41
+d
0
z"
n
)
1Cn
」
z"IIIGz"
1
C°zH
l=n-m(6)
z
变换写成零、极点形式
其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时,更为
有用，式(
5)
可改写为式(
7)
KN(z)K(z-zJ|H(z-z
m
)
F(z)==
D(z)(z-P
I
)|I|(
Z
-P
n
)
mWn⑺
2
求
z
变换的方法
1)
级数求和法