2024年3月18日发(作者：甘秀隽)
向量的运算公式
向量就是给定一个点A，连接原点到点A，并具有由O到A方
向的连线，表示为 O A ⃗ vec{OA} OA. 书本的定义：向量
就是具有大小和方向东西。
大小(magnitude)
向量的大小(magnitude)写作 ∥ x ∥ Vert x Vert ∥x∥,
称为模(norm).通过（Pythagoras’ theorem）毕达哥拉斯定
理求模如下图， O A 2 = O B 2 + A B 2 {OA}^2 = {OB}^2 +
{AB}^2 OA2=OB2+AB2 O A 2 = 3 2 + 4 2 {OA}^2 = {3}^2 +
{4}^2 OA2=32+42 ∥ x ∥ = 5 Vert x Vert = 5 ∥x∥=5
方向（direction）
定义向量 u ( u 1 , u 2 ) mathbf{u} (u_1,u_2) u(u1,u2)
的方向为向量 w ( u 1 ∥ u ∥ , u 2 ∥ u ∥ )
mathbf{w}(frac{u_1}{|u|}, frac{u_2}{|u|})
w(∥u∥u1,∥u∥u2)。如下图：
可以看到： c o s ( θ ) = u 1 ∥ u ∥
cos(theta)=frac{u_1}{|u|} cos(θ)=∥u∥u1 c o s
( α ) = u 2 ∥ u ∥ cos(alpha)=frac{u_2}{|u|}
cos(α)=∥u∥u2所以向量 u ( 3 , 4 ) mathbf{u}(3,4)
u(3,4)方向向量是 w ( 0.6 , 0.8 ) mathbf{w}(0.6,0.8)
w(0.6,0.8)。方向向量的模为1.如下图
两个向量的加法
任意给给两个向量 u ( u 1 , u 2 ) mathbf{u} (u_1, u_2)
u(u1,u2) ， v ( v 1 , v 2 ) mathbf{v} (v_1, v_2) v(v1
,v2)两个向量相加： u + v = ( u 1 + v 1 , u 2 + v 2 )
mathbf{u}+mathbf{v}= (u_1+v_1, u_2+v_2) u+v=(u1+v1
,u2+v2)
![fig5]()
两个向量的减法
任意给给两个向量 u ( u 1 , u 2 ) mathbf{u} (u_1, u_2)
u(u1,u2) ， v ( v 1 , v 2 ) mathbf{v} (v_1, v_2) v(v1
,v2)两个向量相减： u − v = ( u 1 − v 1 , u 2 − v 2 )
mathbf{u}-mathbf{v}= (u_1-v_1, u_2-v_2) u−v=(u1−v1
,u2−v2)。 方向指向被减数的方向。
向量的点积（dot product）
x ⋅ y = ∥ x ∥ ∥ y ∥ c o s ( θ ) mathbf{x} cdot
mathbf{y} = |x| |y|cos(theta)
x⋅y=∥x∥∥y∥cos(θ), θ theta θ 为两个向量的夹
角。推导过程如下：
根据前面的分析我们知道， c o s ( β ) = a d j a c e n
t h y p o t e n u s e = x 1 ∥ x ∥ cos(beta)
=frac{adjacent}{hypotenuse} =frac{x_1}{|x|}
cos(β)=hypotenuseadjacent=∥x∥x1 s i n ( β ) = o p
p o s i t e h y p o t e n u s e = x 2 ∥ x ∥
sin(beta) =frac{opposite}{hypotenuse}
=frac{x_2}{|x|} sin(β)=hypotenuseopposite=∥x∥x2
c o s ( α ) = a d j a c e n t h y p o t e n u s e = y
1 ∥ y ∥ cos(alpha) =frac{adjacent}{hypotenuse}
=frac{y_1}{|y|} cos(α)=hypotenuseadjacent=∥y∥y1
s i n ( α ) = o p p o s i t e h y p o t e n u s e = y
2 ∥ y ∥ sin(alpha) =frac{opposite}{hypotenuse} =
frac{y_2}{|y|} sin(α)=hypotenuseopposite=∥y∥y2
从图片中得到 θ = β − α theta = beta - alpha
θ=β−α, 那么 c o s ( θ ) = c o s ( β − α )
cos(theta) = cos(beta - alpha) cos(θ)=cos(β−α)
c o s ( β − α ) = c o s ( β ) c o s ( α ) + s i n
( β ) s i n ( α ) cos(beta - alpha) =
cos(beta)cos(alpha) + sin(beta)sin(alpha)
cos(β−α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)于是， c o s
( θ ) = c o s ( β − α ) = c o s ( β ) c o s ( α )
+ s i n ( β ) s i n ( α ) cos(theta) = cos(beta -
alpha) = cos(beta)cos(alpha) + sin(beta)sin(alpha)
cos(θ)=cos(β−α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α) c o
s ( θ ) = x 1 ∥ x ∥ y 1 ∥ y ∥ + x 2 ∥ x ∥ y 2
∥ y ∥ cos(theta) =
frac{x_1}{|x|}frac{y_1}{|y|}+
frac{x_2}{|x|}frac{y_2}{|y|} cos(θ)=∥x∥x1
∥y∥y1+∥x∥x2∥y∥y2 c o s ( θ ) = x 1 y 1 + x 2 y
2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos(theta) = frac{x_1y_1 +
x_2y_2}{|x||y|} cos(θ)=∥x∥∥y∥x1y1+x2y2 ∥ x
∥ ∥ y ∥ c o s ( θ ) = x 1 y 1 + x 2 y 2
|x||y|cos(theta) = x_1y_1 + x_2y_2
∥x∥∥y∥cos(θ)=x1y1+x2y2
点积的算术定义就出来， x ⋅ y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = ∑
i = 1 2 ( x i y i ) mathbf{x} cdot mathbf{y}
=x_1y_1 + x_2y_2 = sum_{i=1}^{2}(x_iy_i) x⋅y=x1y1+x2
y2=i=1∑2(xiyi)从上面的集合定义也能知道，两个向量的点
积是一个数。
向量的正交投影
如图给定两个向量x，y，那么向量x在y上的投影为z。通过
上面的学习我们知道， c o s ( θ ) = ∥ z ∥ ∥ x ∥
cos(theta)= frac{|z|}{|x|} cos(θ)=∥x∥∥z∥ ∥
z ∥ = ∥ x ∥ c o s ( θ ) |z|=|x|cos(theta)
∥z∥=∥x∥cos(θ)点积 c o s ( θ ) = x ⋅ y ∥ x ∥
∥ y ∥ cos(theta) = frac{mathbf{x} cdot
mathbf{y}}{|x||y|} cos(θ)=∥x∥∥y∥x⋅y于是可
以推导得 ∥ z ∥ = x ⋅ y ∥ y ∥
|z|=frac{mathbf{x} cdot mathbf{y}}{|y|}
∥z∥=∥y∥x⋅y另外我们知道方向向量的，如果u表示向量
y的方向向量， u = y ∥ y ∥
mathbf{u}=frac{mathbf{y}}{|y|} u=∥y∥y, 那么向量
x在向量y上面的投影可以由下式计算： ∥ z ∥ = u ⋅ x
|z|=mathbf{u} cdot mathbf{x} ∥z∥=u⋅x
我们还注意到，向量x在向量y上的投影得到的向量z，它的
方向向量和向量y的方向向量是一致的，所以向量z可表示为
z = ∥ z ∥ u mathbf{z}=|z|mathbf{u} z=∥z∥u。
知道了向量x在向量y上面的投影z后，我们就能够计算向量
x-z的距离: ∥ x − z ∥ = ( 3 − 4 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2
= 17 |x-z| = sqrt{(3-4)^2 + (5-1)^2}=sqrt{17}
∥x−z∥=(3−4)2+(5−1)2
=17
详见原文地址：
2024年3月18日发(作者：甘秀隽)
向量的运算公式
向量就是给定一个点A，连接原点到点A，并具有由O到A方
向的连线，表示为 O A ⃗ vec{OA} OA. 书本的定义：向量
就是具有大小和方向东西。
大小(magnitude)
向量的大小(magnitude)写作 ∥ x ∥ Vert x Vert ∥x∥,
称为模(norm).通过（Pythagoras’ theorem）毕达哥拉斯定
理求模如下图， O A 2 = O B 2 + A B 2 {OA}^2 = {OB}^2 +
{AB}^2 OA2=OB2+AB2 O A 2 = 3 2 + 4 2 {OA}^2 = {3}^2 +
{4}^2 OA2=32+42 ∥ x ∥ = 5 Vert x Vert = 5 ∥x∥=5
方向（direction）
定义向量 u ( u 1 , u 2 ) mathbf{u} (u_1,u_2) u(u1,u2)
的方向为向量 w ( u 1 ∥ u ∥ , u 2 ∥ u ∥ )
mathbf{w}(frac{u_1}{|u|}, frac{u_2}{|u|})
w(∥u∥u1,∥u∥u2)。如下图：
可以看到： c o s ( θ ) = u 1 ∥ u ∥
cos(theta)=frac{u_1}{|u|} cos(θ)=∥u∥u1 c o s
( α ) = u 2 ∥ u ∥ cos(alpha)=frac{u_2}{|u|}
cos(α)=∥u∥u2所以向量 u ( 3 , 4 ) mathbf{u}(3,4)
u(3,4)方向向量是 w ( 0.6 , 0.8 ) mathbf{w}(0.6,0.8)
w(0.6,0.8)。方向向量的模为1.如下图
两个向量的加法
任意给给两个向量 u ( u 1 , u 2 ) mathbf{u} (u_1, u_2)
u(u1,u2) ， v ( v 1 , v 2 ) mathbf{v} (v_1, v_2) v(v1
,v2)两个向量相加： u + v = ( u 1 + v 1 , u 2 + v 2 )
mathbf{u}+mathbf{v}= (u_1+v_1, u_2+v_2) u+v=(u1+v1
,u2+v2)
![fig5]()
两个向量的减法
任意给给两个向量 u ( u 1 , u 2 ) mathbf{u} (u_1, u_2)
u(u1,u2) ， v ( v 1 , v 2 ) mathbf{v} (v_1, v_2) v(v1
,v2)两个向量相减： u − v = ( u 1 − v 1 , u 2 − v 2 )
mathbf{u}-mathbf{v}= (u_1-v_1, u_2-v_2) u−v=(u1−v1
,u2−v2)。 方向指向被减数的方向。
向量的点积（dot product）
x ⋅ y = ∥ x ∥ ∥ y ∥ c o s ( θ ) mathbf{x} cdot
mathbf{y} = |x| |y|cos(theta)
x⋅y=∥x∥∥y∥cos(θ), θ theta θ 为两个向量的夹
角。推导过程如下：
根据前面的分析我们知道， c o s ( β ) = a d j a c e n
t h y p o t e n u s e = x 1 ∥ x ∥ cos(beta)
=frac{adjacent}{hypotenuse} =frac{x_1}{|x|}
cos(β)=hypotenuseadjacent=∥x∥x1 s i n ( β ) = o p
p o s i t e h y p o t e n u s e = x 2 ∥ x ∥
sin(beta) =frac{opposite}{hypotenuse}
=frac{x_2}{|x|} sin(β)=hypotenuseopposite=∥x∥x2
c o s ( α ) = a d j a c e n t h y p o t e n u s e = y
1 ∥ y ∥ cos(alpha) =frac{adjacent}{hypotenuse}
=frac{y_1}{|y|} cos(α)=hypotenuseadjacent=∥y∥y1
s i n ( α ) = o p p o s i t e h y p o t e n u s e = y
2 ∥ y ∥ sin(alpha) =frac{opposite}{hypotenuse} =
frac{y_2}{|y|} sin(α)=hypotenuseopposite=∥y∥y2
从图片中得到 θ = β − α theta = beta - alpha
θ=β−α, 那么 c o s ( θ ) = c o s ( β − α )
cos(theta) = cos(beta - alpha) cos(θ)=cos(β−α)
c o s ( β − α ) = c o s ( β ) c o s ( α ) + s i n
( β ) s i n ( α ) cos(beta - alpha) =
cos(beta)cos(alpha) + sin(beta)sin(alpha)
cos(β−α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)于是， c o s
( θ ) = c o s ( β − α ) = c o s ( β ) c o s ( α )
+ s i n ( β ) s i n ( α ) cos(theta) = cos(beta -
alpha) = cos(beta)cos(alpha) + sin(beta)sin(alpha)
cos(θ)=cos(β−α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α) c o
s ( θ ) = x 1 ∥ x ∥ y 1 ∥ y ∥ + x 2 ∥ x ∥ y 2
∥ y ∥ cos(theta) =
frac{x_1}{|x|}frac{y_1}{|y|}+
frac{x_2}{|x|}frac{y_2}{|y|} cos(θ)=∥x∥x1
∥y∥y1+∥x∥x2∥y∥y2 c o s ( θ ) = x 1 y 1 + x 2 y
2 ∥ x ∥ ∥ y ∥ cos(theta) = frac{x_1y_1 +
x_2y_2}{|x||y|} cos(θ)=∥x∥∥y∥x1y1+x2y2 ∥ x
∥ ∥ y ∥ c o s ( θ ) = x 1 y 1 + x 2 y 2
|x||y|cos(theta) = x_1y_1 + x_2y_2
∥x∥∥y∥cos(θ)=x1y1+x2y2
点积的算术定义就出来， x ⋅ y = x 1 y 1 + x 2 y 2 = ∑
i = 1 2 ( x i y i ) mathbf{x} cdot mathbf{y}
=x_1y_1 + x_2y_2 = sum_{i=1}^{2}(x_iy_i) x⋅y=x1y1+x2
y2=i=1∑2(xiyi)从上面的集合定义也能知道，两个向量的点
积是一个数。
向量的正交投影
如图给定两个向量x，y，那么向量x在y上的投影为z。通过
上面的学习我们知道， c o s ( θ ) = ∥ z ∥ ∥ x ∥
cos(theta)= frac{|z|}{|x|} cos(θ)=∥x∥∥z∥ ∥
z ∥ = ∥ x ∥ c o s ( θ ) |z|=|x|cos(theta)
∥z∥=∥x∥cos(θ)点积 c o s ( θ ) = x ⋅ y ∥ x ∥
∥ y ∥ cos(theta) = frac{mathbf{x} cdot
mathbf{y}}{|x||y|} cos(θ)=∥x∥∥y∥x⋅y于是可
以推导得 ∥ z ∥ = x ⋅ y ∥ y ∥
|z|=frac{mathbf{x} cdot mathbf{y}}{|y|}
∥z∥=∥y∥x⋅y另外我们知道方向向量的，如果u表示向量
y的方向向量， u = y ∥ y ∥
mathbf{u}=frac{mathbf{y}}{|y|} u=∥y∥y, 那么向量
x在向量y上面的投影可以由下式计算： ∥ z ∥ = u ⋅ x
|z|=mathbf{u} cdot mathbf{x} ∥z∥=u⋅x
我们还注意到，向量x在向量y上的投影得到的向量z，它的
方向向量和向量y的方向向量是一致的，所以向量z可表示为
z = ∥ z ∥ u mathbf{z}=|z|mathbf{u} z=∥z∥u。
知道了向量x在向量y上面的投影z后，我们就能够计算向量
x-z的距离: ∥ x − z ∥ = ( 3 − 4 ) 2 + ( 5 − 1 ) 2
= 17 |x-z| = sqrt{(3-4)^2 + (5-1)^2}=sqrt{17}
∥x−z∥=(3−4)2+(5−1)2
=17
详见原文地址：