2024年3月18日发(作者：公幻儿)
第
４２
卷第
３
期
Vol．４２No．３２０２１
青岛理工大学学报
JournalofQindaoUniversitfTechnolo
gy
o
gy
矩形板受分布荷载作用下的解析解
()
哈尔滨工程大学土木工程系
,
哈尔滨
１
中核四〇四有限公司第二分公司
,
兰州
７１．５０００１
;
２．３２８５０
∗
李壮飞
１
,
寇子琦
２
,
刘
海
２
,
侯钢领
１
,
王滨生
１
,
摘
要
:
提出一种方法给出复杂荷载工况下板的解析解
．
依据
K
采用双向三角级数作为挠
irchhoff
薄板理论
,
度函数
,
根据矩形板的实际边界条件
,
建立满足挠曲面方程的线性方程组
,
给出挠度函数方程和数值计算
．
以
验证了该方法的正确性
,
并表明了该方法具有收敛速度快
,
计算精度高等优点
．
研究结果对核安全壳的实际工
程应用具有一定的参考意义
．
关键词
:
核安全壳
;
矩形薄板
;
解析方法
;
数值解
()
中图分类号
:
TU３３
＋
８
文献标志码
:
A
文章编号
:
１６７３Ｇ４６０２２０２１０３Ｇ００２８Ｇ０８
三边固支一边自由矩形薄板侧面沿直线分布线荷载为例
,
给出了该结构的挠度和内力值
．
与有限元进行比较
,
Analticalsolutionofrectanular
p
lateunderdistributedloads
yg
(,
H
,
H
;
１．ColleeofAerosaceandCivilEnineerinarbinEnineerinniversitarbin１５０００１
,
China
gpgggg
U
y
１２２１１∗
,,,
HOUGLIZhuanfeiKOUZiiLIUHaianlinWANGBinshen
gqgg
,
g
,
,,)
２．TheSecondBranchofthe４０４ComanimitedChinaNationalNuclearCororationLanzhou７３２８５０
,
China
py
L
p
:
Abstract
Amethodis
p
rovidedtosolvetherectanular
p
lateundercomlexloads．AccordＧ
gp
,
intoKirchhoffthinＧlatedtheorthedeflectionfunctionoftwoＧdirectiontrionometricseＧ
gpyg
functioneuationandnumericalcalculationare
p
resented．Takinherectanular
p
latewith
qg
t
g
,
threeＧsideclamededesandoneＧsidefreeedeasanexamlethebendinesonseofthe
pggpg
r
p
thattheanalticalsolutionhasobtainedconvereraidlithhihaccurac．Theresearch
ygpy
w
gy
,
riesisadoted．Accordinotherealboundaronditionsoftherectanular
p
latelineareＧ
pg
t
y
c
g
,
uationswhichsatisfiesthetranversedislacementeuationisestablishedandthedeflection
qpq
structureis
p
resented．Comarisonofanalticalsolutionwithfiniteelementmethodindicates
py
nuclearcontainment．
:;;;
Keords
nuclearcontainmentrectanularthin
p
lateanalticalmethodnumericalsolution
gy
y
w
resultsinthis
p
aerhavecertainreferencesinificancefor
p
racticalenineerinlicationof
pggg
a
pp
]
１
于航空
、
船舶
、
核电
、
水利工程中
,
如土木工程的挡土墙
、
核安全壳屏蔽结构
[
等均可视为具有该边界条件
弹性板在工程中使用非常广泛
,
尤其是弹性薄板更为普遍
．
其中三边固支一边自由的矩形板广泛应用
的板
．
因此
,
一种精确且简单的板弯曲解决方案具有显著的实际意义
．
收稿日期
:
２０２０Ｇ１２Ｇ１７
);
基金项目
:
国家科技重大专项
(
中核集团集中研发项目
２０１８ZX０６００５００２Ｇ００１Ｇ００２
,:
作者简介
:
李壮飞
(
男
,
河南商丘人
．
硕士
,
研究方向为核设施新型结构
．１９８９Ｇ
)
EＧmaillizhuanfei＠hrbeu．edu．cn．
g
:(
),,
,,
通信作者王滨生
男黑龙江哈尔滨人
工学博士副教授主要从事压电材料的智能结构等方面的研究
∗１９６９Ｇ ．．
:
EＧmailwanbinshen＠hrbeu．edu．cn．
gg
第
３
期等
:
矩形板受分布荷载作用下的解析解
李壮飞
,
２９
本文依托我国某石墨慢化沸水
堆承重水箱实际工程项目
,
研究核
设施的安全特性和风险评估
．
为研
究反应堆内承重水箱的最弱失效位
置
,
通过刚度等效和厚度等效建立
了该水箱的简化模型
．
一般矩形容
器问题通常转化为三边固支一边自
由的板壳问题来解决
,
分析矩形板
的各种受力工况
,
本研究的关键点
和难点在于
:
矩形板侧面承受分布
线荷载的求解
．
工程简介如图
１
所
示
．
关于矩形板弯曲问题
,
大多数研
究都是应用边界条件简化板边约
束
,
这需要沿边线对其一阶导数或
二阶导数进行偏转
．
然而当载荷和
边界条件过于复杂且无法用函数式
表示时
,
这会导致基本挠度方程无
法适用
,
甚至难以求解
．
对矩形薄板
弯曲问题
,
可以从对边简支板的
利用双三角级数方
Navier
解出发
,
图
１
工程简介
]
２
]
３Ｇ５
法解决
[
对于一般边界的矩形薄板通常采用叠加法或补充项的方法解决
[
针对其他边界类型的板采
．．
[]
撑的矩形薄板的解析弯曲解
,
给出了特定边界条件下板弯曲的一般精确解析解
．LI
等
７
采用辛叠加法研
[]
究了三个角点支撑的矩形薄板弯曲问题
．
研究了在集中力作
SHI
等
８
通过叠加经典的
Navier
和
Lev
y
解
,
[]
用下具有旋转约束边缘的矩形板的弯曲问题
．ZHANG
等
９
通过广义积分变换将高阶偏微分方程简化为
[]
用复变函数法
、
有限积分法
、
辛弹性力学法
．
如
U
探讨了带有角支
LLAH
等
６
引入双重有限积分变换方法
,
线性代数方程的方法探索了组合薄板在简单简支
、
固支和自由边界条件下的弯曲解析解
．
程项目中板类计算的实际应用研究相对较少
．
因此
,
本文依托我国某石墨慢化沸水反应堆的承重水箱实际
工程项目
,
通过结构简化
,
分离出此种矩形板受力工况
,
以三边固支一边自由矩形板受侧面分布线荷载作
用下的弯曲作为研究内容
,
依据
K
采用双向三角级数来表示挠度函数
,
把复杂板面分
irchhoff
薄板理论
,
布荷载转化为经典矩形板的边界条件
,
然后求解满足边界条件的线性方程组建立了基于静态的薄板在分
布线荷载作用下的弯曲分析模型
．
本解法与经典
L
并克服了经典
Levev
y
解的原理一致
,
y
针对板面荷载过
于复杂时无法用解析式表达的局限性
．
值得注意的是
,
上述研究缺乏矩形板在侧面分布线荷载作用时的实际工程研究
．
目前关于核安全壳工
１
基本方程和边界条件
本微分方程
:
矩形板的边长分别为
a
和
d
,
边界条件为三边固支一边自由
．
当板侧面作用法向载荷
q
(
x
,
基
y
)
时
,
４４４
y
)
y
)
y
)
q
(
y
)
Ə
w
(
x
,
Ə
w
(
x
,
Ə
w
(
x
,
x
,
２
＋＋＝
２４
D
Ə
x
４
Ə
x
２
ƏƏ
yy
()
１
Eh
３
;
式中
:
为矩形板挠度
;
w
(
x
,
D
为板的挠曲刚度
,
D
＝
E
,
v
分别为板的弹性模量和泊松比
;
y
)
(
１２１
－
v
２
)
h
为板的厚度
．
)
设方程
(
解的形式为
１
∗０
w
(
x
,
x
,
x
,
＝
w
(
＋
w
(
y
)
y
)
y
)
３０
青岛理工大学学报第
４２
卷
))
式中
:
的非齐次方程特解
;
的齐次方程的通解
．
w
∗
(
x
,
１
w
０
(
x
,
１
y
)
为方程
(
y
)
为方程
(
,
其中线荷载
V
０
(
是竖直性质的荷载
;
M
０
(
x
)
x
)
为力矩性质的荷载
,
它们的正方向如图
２
所
M
０
(
x
)
示
．
无特殊说明
,
均代表含有
x
,
设图
２
y
的二元函数
．
中矩形板的挠度为
w
,
显然它并不能用一个连续的
函数来表示
,
设位于
０
≤
y
≤
c
的区域上
,
矩形板的
挠度表达式为
w
１
,
位于
c
≤
y
≤
d
的区域上
,
板的
挠度为
w
２
,
则
w
１
和
w
２
分别满足以下
２
个方程
:
▽
２
▽
２
w
１
＝
０
,
０
≤
y
≤
c
▽
２
▽
２
w
２
＝
０
,
c
≤
y
≤
d
Ə
w
＝
０
Ə
x
Ə
w
＝
０
Ə
x
Ə
y
＝
０
为方便叙述
,
下文内容凡提到
w
,
w
１
,
w
２
时
,
固支
,
沿
y
＝
和
c
的直线
OO′
上分布有线荷载
V
０
(
x
)
图
２
所示矩形板
,
其余三边
y
＝
d
为自由边界
,
图
２
矩形板结构
x
＝
０
边上
:
同时也要满足
１
即沿薄板周边的
８
个和沿
O
分别为
２
个边界条件
,
O′
线上的
４
个
,
w
＝
０
,
x
＝
a
边上
:
w
＝
０
,
y
＝
０
边上
:
w
＝
０
,
y
＝
d
自由边上
:
Ə
w
１
３３
w
２
Ə
w
öæ
Ə
(
v
)
２
２
÷
－
D
ç
＝
V
y
３
＋
２
－
è
ƏƏ
x
Ə
yy
ø
y
＝
b
沿
OO′
线必须满足
４
个边界条件
:
)
w
１
(
x
,
c
)
x
,
０
＝
w
２
(
２２
w
２
Ə
w
２
öæ
Ə
÷
v
－
D
ç
＝
M
y
２
＋
è
ƏƏ
x
２
ø
y
＝
b
y
Ə
w
１
Ə
y
Ə
w
２
＝
Ə
c
y
y
＝
０
y
＝
V
y
１
－
V
y
２
＝
V
０
(
x
)
２
边界条件下的基本微分方程的解
M
１
－
M
２
＝
M
０
(
x
)
w
２
的
y
坐标零点设在整块板的
y
＝
c
处
．
w
１
＝
¥
表示了
[
区间上矩形板的荷载和边界情况
,
图
４
表示了
[
区间上矩形板的荷载和边界情况
．
其中
０
,
c
]
c
,
d
]
(
yy
m
π
yy
m
π
m
π
m
π
m
π
c
－
y
)
m
π
x
éù
êú
A
sh
BC
ch
D
chsin
＋＋＋
＋
mmmm
êú
∑
û
aaaaaa
m
＝
１
,
２
,
３
ë
(
y
n
π
xn
π
xn
π
xn
π
xn
π
a
－
x
)
n
π
éù
êú
E
sh
FG
ch
H
chsin
＋＋＋
nnnn
êú
∑
û
２
c
２
c
２
c
２
c
２
c
２
c
n
＝
１
,
３
,
５
ë
¥
为表示板的双向弯曲变形
,
设通解中
w
１
和
w
２
的表达式是各包含
８
个待定常数的双向三角级数
,
图
３
()
２
第
３
期等
:
矩形板受分布荷载作用下的解析解
李壮飞
,
３１
]
图
３
[
区间荷载
０
,
c
,]
图
４
[
区间荷载
cd
w
２
＝
((
yy
m
π
yy
m
π
m
π
m
π
b
－
y
)
m
π
m
π
b
－
y
)
m
π
x
éù
êú
I
sh
J
sh
K
sh
L
chsin
＋＋＋
＋
mmmm
êú
∑
û
aaaaaaa
m
＝
１
,
２
,
３
ë
¥
式中
:
A
m
,
B
m
,
C
m
,
D
m
,
E
n
,
F
n
,
G
n
,
H
n
,
I
m
,
J
m
,
K
m
,
L
m
,
M
n
,
N
n
,
O
n
,
P
n
为
１６
个待定常数
．
(
y
n
π
xn
π
xn
π
xn
π
xn
π
a
－
x
)
n
π
éù
êú
M
sh
NO
sh
P
shsin
＋＋＋
nnnn
êú
∑
û
２
b
２
b
２
b
２
b
２
b
２
b
n
＝
１
,
３
,
５
ë
¥
()
３
w
１
的三边边界条件所对应的线性方程组见表
１．
表
１
w
１
(
x
,
y
)
边界条件对应的方程式
边界条件方程式左端系数项右端项
０
方程编号
()
４
()
５
()
６
x
＝
０
w
１
＝
０
x
＝
０
Ə
w
１
＝
０
Ə
x
x
＝
a
w
１
＝
０
x
＝
a
Ə
w
１
＝
０
Ə
x
y
＝
０
w
１
＝
０
y
＝
０
Ə
w
１
＝
０
Ə
y
¥
¥
F
n
()
E
n
＋
G
n
＋
H
n
ch
A
m
S
１
＋
C
m
S
３
＋
D
m
S
４
)
[
(
]
＋
２
∑
c
２
c
m
＝
１
,
２
,
３
a
m
π
n
π
n
π
a
０
０
n
π
an
π
an
π
an
π
a
E
n
sh
＋
G
n
sh＋
H
n
２
c
２
c
２
c
２
c
()
A
m
S
１
＋
B
m
S
２
＋
C
m
S
３
＋
D
m
S
４
)
cos
m
π
[
(
]
∑
m
＝
１
,
２
,
３
a
m
π
＋
n
π
n
π
an
π
an
π
an
π
a
)
E
n
ch
chsh
＋
G
n
(
＋＋
H
n
２
c
２
c
２
c
２
c
２
c
[]
０
()
７
B
m
∞
０
()
８
()
９
mπm
π
c
n
π
()
(
A
m
＋
C
m
＋
D
m
ch
E
n
V
１
＋
G
n
V
３
＋
H
n
V
４
)
＋
∑
aa
c
n
＝
１
,
３
,
５
２
[]
０
w
２
的三边边界条件所对应的线性方程组见表
２．
沿
O
相对应的方程组如表
３
所示
．
O′
线需满足
４
个边界条件
,
¥
对
(
n
π
a
－
x
)
在区间
[
上对
ch０
,
a
]
２
c
(
y
n
π
n
π
xn
π
a
－
x
)
n
π
xn
π
xn
π
x
;
,,,,,,
的正弦展开系数分别是
2024年3月18日发(作者：公幻儿)
第
４２
卷第
３
期
Vol．４２No．３２０２１
青岛理工大学学报
JournalofQindaoUniversitfTechnolo
gy
o
gy
矩形板受分布荷载作用下的解析解
()
哈尔滨工程大学土木工程系
,
哈尔滨
１
中核四〇四有限公司第二分公司
,
兰州
７１．５０００１
;
２．３２８５０
∗
李壮飞
１
,
寇子琦
２
,
刘
海
２
,
侯钢领
１
,
王滨生
１
,
摘
要
:
提出一种方法给出复杂荷载工况下板的解析解
．
依据
K
采用双向三角级数作为挠
irchhoff
薄板理论
,
度函数
,
根据矩形板的实际边界条件
,
建立满足挠曲面方程的线性方程组
,
给出挠度函数方程和数值计算
．
以
验证了该方法的正确性
,
并表明了该方法具有收敛速度快
,
计算精度高等优点
．
研究结果对核安全壳的实际工
程应用具有一定的参考意义
．
关键词
:
核安全壳
;
矩形薄板
;
解析方法
;
数值解
()
中图分类号
:
TU３３
＋
８
文献标志码
:
A
文章编号
:
１６７３Ｇ４６０２２０２１０３Ｇ００２８Ｇ０８
三边固支一边自由矩形薄板侧面沿直线分布线荷载为例
,
给出了该结构的挠度和内力值
．
与有限元进行比较
,
Analticalsolutionofrectanular
p
lateunderdistributedloads
yg
(,
H
,
H
;
１．ColleeofAerosaceandCivilEnineerinarbinEnineerinniversitarbin１５０００１
,
China
gpgggg
U
y
１２２１１∗
,,,
HOUGLIZhuanfeiKOUZiiLIUHaianlinWANGBinshen
gqgg
,
g
,
,,)
２．TheSecondBranchofthe４０４ComanimitedChinaNationalNuclearCororationLanzhou７３２８５０
,
China
py
L
p
:
Abstract
Amethodis
p
rovidedtosolvetherectanular
p
lateundercomlexloads．AccordＧ
gp
,
intoKirchhoffthinＧlatedtheorthedeflectionfunctionoftwoＧdirectiontrionometricseＧ
gpyg
functioneuationandnumericalcalculationare
p
resented．Takinherectanular
p
latewith
qg
t
g
,
threeＧsideclamededesandoneＧsidefreeedeasanexamlethebendinesonseofthe
pggpg
r
p
thattheanalticalsolutionhasobtainedconvereraidlithhihaccurac．Theresearch
ygpy
w
gy
,
riesisadoted．Accordinotherealboundaronditionsoftherectanular
p
latelineareＧ
pg
t
y
c
g
,
uationswhichsatisfiesthetranversedislacementeuationisestablishedandthedeflection
qpq
structureis
p
resented．Comarisonofanalticalsolutionwithfiniteelementmethodindicates
py
nuclearcontainment．
:;;;
Keords
nuclearcontainmentrectanularthin
p
lateanalticalmethodnumericalsolution
gy
y
w
resultsinthis
p
aerhavecertainreferencesinificancefor
p
racticalenineerinlicationof
pggg
a
pp
]
１
于航空
、
船舶
、
核电
、
水利工程中
,
如土木工程的挡土墙
、
核安全壳屏蔽结构
[
等均可视为具有该边界条件
弹性板在工程中使用非常广泛
,
尤其是弹性薄板更为普遍
．
其中三边固支一边自由的矩形板广泛应用
的板
．
因此
,
一种精确且简单的板弯曲解决方案具有显著的实际意义
．
收稿日期
:
２０２０Ｇ１２Ｇ１７
);
基金项目
:
国家科技重大专项
(
中核集团集中研发项目
２０１８ZX０６００５００２Ｇ００１Ｇ００２
,:
作者简介
:
李壮飞
(
男
,
河南商丘人
．
硕士
,
研究方向为核设施新型结构
．１９８９Ｇ
)
EＧmaillizhuanfei＠hrbeu．edu．cn．
g
:(
),,
,,
通信作者王滨生
男黑龙江哈尔滨人
工学博士副教授主要从事压电材料的智能结构等方面的研究
∗１９６９Ｇ ．．
:
EＧmailwanbinshen＠hrbeu．edu．cn．
gg
第
３
期等
:
矩形板受分布荷载作用下的解析解
李壮飞
,
２９
本文依托我国某石墨慢化沸水
堆承重水箱实际工程项目
,
研究核
设施的安全特性和风险评估
．
为研
究反应堆内承重水箱的最弱失效位
置
,
通过刚度等效和厚度等效建立
了该水箱的简化模型
．
一般矩形容
器问题通常转化为三边固支一边自
由的板壳问题来解决
,
分析矩形板
的各种受力工况
,
本研究的关键点
和难点在于
:
矩形板侧面承受分布
线荷载的求解
．
工程简介如图
１
所
示
．
关于矩形板弯曲问题
,
大多数研
究都是应用边界条件简化板边约
束
,
这需要沿边线对其一阶导数或
二阶导数进行偏转
．
然而当载荷和
边界条件过于复杂且无法用函数式
表示时
,
这会导致基本挠度方程无
法适用
,
甚至难以求解
．
对矩形薄板
弯曲问题
,
可以从对边简支板的
利用双三角级数方
Navier
解出发
,
图
１
工程简介
]
２
]
３Ｇ５
法解决
[
对于一般边界的矩形薄板通常采用叠加法或补充项的方法解决
[
针对其他边界类型的板采
．．
[]
撑的矩形薄板的解析弯曲解
,
给出了特定边界条件下板弯曲的一般精确解析解
．LI
等
７
采用辛叠加法研
[]
究了三个角点支撑的矩形薄板弯曲问题
．
研究了在集中力作
SHI
等
８
通过叠加经典的
Navier
和
Lev
y
解
,
[]
用下具有旋转约束边缘的矩形板的弯曲问题
．ZHANG
等
９
通过广义积分变换将高阶偏微分方程简化为
[]
用复变函数法
、
有限积分法
、
辛弹性力学法
．
如
U
探讨了带有角支
LLAH
等
６
引入双重有限积分变换方法
,
线性代数方程的方法探索了组合薄板在简单简支
、
固支和自由边界条件下的弯曲解析解
．
程项目中板类计算的实际应用研究相对较少
．
因此
,
本文依托我国某石墨慢化沸水反应堆的承重水箱实际
工程项目
,
通过结构简化
,
分离出此种矩形板受力工况
,
以三边固支一边自由矩形板受侧面分布线荷载作
用下的弯曲作为研究内容
,
依据
K
采用双向三角级数来表示挠度函数
,
把复杂板面分
irchhoff
薄板理论
,
布荷载转化为经典矩形板的边界条件
,
然后求解满足边界条件的线性方程组建立了基于静态的薄板在分
布线荷载作用下的弯曲分析模型
．
本解法与经典
L
并克服了经典
Levev
y
解的原理一致
,
y
针对板面荷载过
于复杂时无法用解析式表达的局限性
．
值得注意的是
,
上述研究缺乏矩形板在侧面分布线荷载作用时的实际工程研究
．
目前关于核安全壳工
１
基本方程和边界条件
本微分方程
:
矩形板的边长分别为
a
和
d
,
边界条件为三边固支一边自由
．
当板侧面作用法向载荷
q
(
x
,
基
y
)
时
,
４４４
y
)
y
)
y
)
q
(
y
)
Ə
w
(
x
,
Ə
w
(
x
,
Ə
w
(
x
,
x
,
２
＋＋＝
２４
D
Ə
x
４
Ə
x
２
ƏƏ
yy
()
１
Eh
３
;
式中
:
为矩形板挠度
;
w
(
x
,
D
为板的挠曲刚度
,
D
＝
E
,
v
分别为板的弹性模量和泊松比
;
y
)
(
１２１
－
v
２
)
h
为板的厚度
．
)
设方程
(
解的形式为
１
∗０
w
(
x
,
x
,
x
,
＝
w
(
＋
w
(
y
)
y
)
y
)
３０
青岛理工大学学报第
４２
卷
))
式中
:
的非齐次方程特解
;
的齐次方程的通解
．
w
∗
(
x
,
１
w
０
(
x
,
１
y
)
为方程
(
y
)
为方程
(
,
其中线荷载
V
０
(
是竖直性质的荷载
;
M
０
(
x
)
x
)
为力矩性质的荷载
,
它们的正方向如图
２
所
M
０
(
x
)
示
．
无特殊说明
,
均代表含有
x
,
设图
２
y
的二元函数
．
中矩形板的挠度为
w
,
显然它并不能用一个连续的
函数来表示
,
设位于
０
≤
y
≤
c
的区域上
,
矩形板的
挠度表达式为
w
１
,
位于
c
≤
y
≤
d
的区域上
,
板的
挠度为
w
２
,
则
w
１
和
w
２
分别满足以下
２
个方程
:
▽
２
▽
２
w
１
＝
０
,
０
≤
y
≤
c
▽
２
▽
２
w
２
＝
０
,
c
≤
y
≤
d
Ə
w
＝
０
Ə
x
Ə
w
＝
０
Ə
x
Ə
y
＝
０
为方便叙述
,
下文内容凡提到
w
,
w
１
,
w
２
时
,
固支
,
沿
y
＝
和
c
的直线
OO′
上分布有线荷载
V
０
(
x
)
图
２
所示矩形板
,
其余三边
y
＝
d
为自由边界
,
图
２
矩形板结构
x
＝
０
边上
:
同时也要满足
１
即沿薄板周边的
８
个和沿
O
分别为
２
个边界条件
,
O′
线上的
４
个
,
w
＝
０
,
x
＝
a
边上
:
w
＝
０
,
y
＝
０
边上
:
w
＝
０
,
y
＝
d
自由边上
:
Ə
w
１
３３
w
２
Ə
w
öæ
Ə
(
v
)
２
２
÷
－
D
ç
＝
V
y
３
＋
２
－
è
ƏƏ
x
Ə
yy
ø
y
＝
b
沿
OO′
线必须满足
４
个边界条件
:
)
w
１
(
x
,
c
)
x
,
０
＝
w
２
(
２２
w
２
Ə
w
２
öæ
Ə
÷
v
－
D
ç
＝
M
y
２
＋
è
ƏƏ
x
２
ø
y
＝
b
y
Ə
w
１
Ə
y
Ə
w
２
＝
Ə
c
y
y
＝
０
y
＝
V
y
１
－
V
y
２
＝
V
０
(
x
)
２
边界条件下的基本微分方程的解
M
１
－
M
２
＝
M
０
(
x
)
w
２
的
y
坐标零点设在整块板的
y
＝
c
处
．
w
１
＝
¥
表示了
[
区间上矩形板的荷载和边界情况
,
图
４
表示了
[
区间上矩形板的荷载和边界情况
．
其中
０
,
c
]
c
,
d
]
(
yy
m
π
yy
m
π
m
π
m
π
m
π
c
－
y
)
m
π
x
éù
êú
A
sh
BC
ch
D
chsin
＋＋＋
＋
mmmm
êú
∑
û
aaaaaa
m
＝
１
,
２
,
３
ë
(
y
n
π
xn
π
xn
π
xn
π
xn
π
a
－
x
)
n
π
éù
êú
E
sh
FG
ch
H
chsin
＋＋＋
nnnn
êú
∑
û
２
c
２
c
２
c
２
c
２
c
２
c
n
＝
１
,
３
,
５
ë
¥
为表示板的双向弯曲变形
,
设通解中
w
１
和
w
２
的表达式是各包含
８
个待定常数的双向三角级数
,
图
３
()
２
第
３
期等
:
矩形板受分布荷载作用下的解析解
李壮飞
,
３１
]
图
３
[
区间荷载
０
,
c
,]
图
４
[
区间荷载
cd
w
２
＝
((
yy
m
π
yy
m
π
m
π
m
π
b
－
y
)
m
π
m
π
b
－
y
)
m
π
x
éù
êú
I
sh
J
sh
K
sh
L
chsin
＋＋＋
＋
mmmm
êú
∑
û
aaaaaaa
m
＝
１
,
２
,
３
ë
¥
式中
:
A
m
,
B
m
,
C
m
,
D
m
,
E
n
,
F
n
,
G
n
,
H
n
,
I
m
,
J
m
,
K
m
,
L
m
,
M
n
,
N
n
,
O
n
,
P
n
为
１６
个待定常数
．
(
y
n
π
xn
π
xn
π
xn
π
xn
π
a
－
x
)
n
π
éù
êú
M
sh
NO
sh
P
shsin
＋＋＋
nnnn
êú
∑
û
２
b
２
b
２
b
２
b
２
b
２
b
n
＝
１
,
３
,
５
ë
¥
()
３
w
１
的三边边界条件所对应的线性方程组见表
１．
表
１
w
１
(
x
,
y
)
边界条件对应的方程式
边界条件方程式左端系数项右端项
０
方程编号
()
４
()
５
()
６
x
＝
０
w
１
＝
０
x
＝
０
Ə
w
１
＝
０
Ə
x
x
＝
a
w
１
＝
０
x
＝
a
Ə
w
１
＝
０
Ə
x
y
＝
０
w
１
＝
０
y
＝
０
Ə
w
１
＝
０
Ə
y
¥
¥
F
n
()
E
n
＋
G
n
＋
H
n
ch
A
m
S
１
＋
C
m
S
３
＋
D
m
S
４
)
[
(
]
＋
２
∑
c
２
c
m
＝
１
,
２
,
３
a
m
π
n
π
n
π
a
０
０
n
π
an
π
an
π
an
π
a
E
n
sh
＋
G
n
sh＋
H
n
２
c
２
c
２
c
２
c
()
A
m
S
１
＋
B
m
S
２
＋
C
m
S
３
＋
D
m
S
４
)
cos
m
π
[
(
]
∑
m
＝
１
,
２
,
３
a
m
π
＋
n
π
n
π
an
π
an
π
an
π
a
)
E
n
ch
chsh
＋
G
n
(
＋＋
H
n
２
c
２
c
２
c
２
c
２
c
[]
０
()
７
B
m
∞
０
()
８
()
９
mπm
π
c
n
π
()
(
A
m
＋
C
m
＋
D
m
ch
E
n
V
１
＋
G
n
V
３
＋
H
n
V
４
)
＋
∑
aa
c
n
＝
１
,
３
,
５
２
[]
０
w
２
的三边边界条件所对应的线性方程组见表
２．
沿
O
相对应的方程组如表
３
所示
．
O′
线需满足
４
个边界条件
,
¥
对
(
n
π
a
－
x
)
在区间
[
上对
ch０
,
a
]
２
c
(
y
n
π
n
π
xn
π
a
－
x
)
n
π
xn
π
xn
π
x
;
,,,,,,
的正弦展开系数分别是