2024年3月18日发(作者：书大)

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)





(cosx)

x

,x0,

(1) 已知

f(x)



在

x0

处连续,则

a

.

x0





a,

(2) 设

yln

2

1x

,则

y



x0



.

1x

2

(3)







0

dx



.

x(4x)

(4)

dx



.

x

2

4x8

(5) 已知向量组



1

(1,2,1,1),



2

(2,0,t,0),



3

(0,4,5,2)

的秩为2,则

t

.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 设

x0

时,

e

tanx

e

x

与

x

n

是同阶无穷小,则

n

为 ( )

b

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(2) 设在区间

[a,b]

上

f(x)0,f



(x)0,f



(x)0,

记

S

1





a

f(x)dx,S

2

f(b)(ba)

,

1

S

3

[f(a)f(b)](ba)

,则 ( )

2

(A)

S

1

S

2

S

3

(B)

S

2

S

3

S

1

(C)

S

3

S

1

S

2

(D)

S

2

S

1

S

3

(3) 已知函数

yf(x)

对一切

x

满足

xf



(x)3x[f



(x)]1e

,若

f



(x

0

)0(x

0

0),

则 ( )

(A)

f(x

0

)

是

f(x)

的极大值

(B)

f(x

0

)

是

f(x)

的极小值

(C)

(x

0

,f(x

0

))

是曲线

yf(x)

的拐点

(D)

f(x

0

)

不是

f(x)

的极值,

(x

0

,f(x

0

))

也不是曲线

yf(x)

的拐点

(4)

设F(x)



x2



2x

x

e

sint

sintdt,

则

F(x)

( )

(A) 为正常数 (B) 为负常数

(C) 恒为零 (D) 不为常数



2x,

(5) 设

g(x)





x2,



2x

2

,

(A)





2x,



2x

2

,

(C)





2x,

x0

x0



x

2

,

,f(x)



x0



x,

x0

x0

,则g[f(x)]

为 ( )



2x

2

,

(B)



x0



2x,

x0

x0

x0

x0

x0



2x

2

,

(D)



x0



2x,

三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)

(1) 求极限

lim

4x

2

x1x1

xsinx

2

x

.



xarctan

t

dy

(2) 设

yy(x)

由



所确定,求.

2t

dx



2ytye

5

(3) 计算

e

2x

(tanx1)

2

dx

.



(4) 求微分方程

(3x2xyy)dx(x2xy)dy0

的通解.

(5) 已知

y

1

xee,y

2

xee,y

3

xee

的三个解,求此微分方程.

x2xxxx2x

222

e

x

是某二阶线性非齐次微分方程



111





2

(6) 已知

A011

,且

AABE

,其中

E

是三阶单位矩阵,求矩阵

B

.







001





四、(本题满分8分.)



2x

1





x

2

x

3

1





取何值时,方程组





x

1

x

2

x

3

2

无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷



4x5x5x1

23



1

多解时写出方程组的通解.

五、(本题满分8分)

设曲线

L

的极坐标方程为

rr(



)

,

M(r,



)

为

L

上任一点,

M

0

(2,0)

为

L

上一定点,

若极径

OM

0

、OM

与曲线

L

所围成的曲边扇形面积值等于

L

上

M

0

,M

两点间弧长值的一

半,求曲线

L

的方程.

2

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六、(本题满分8分)

设函数

f(x)

在闭区间

[0,1]

上连续,在开区间

(0,1)

内大于零,并满足

xf



(x)f(x)

3a

2

x

(

a

为常数),又曲线

yf(x)

与

x1,y0

所围成的图形

S

的面积值为2,求函数

2

yf(x)

,并问

a

为何值时,图形

S

绕

x

轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

七、(本题满分8分.)

已知函数

f(x)

连续,且

lim

x0

1

f(x)

2

,设



(x)



f(xt)dt

,求





(x)

,并讨论





(x)

的

0

x

连续性.

八、(本题满分8分)

就

k

的不同取值情况,确定方程

x

的结论.



sinxk

在开区间

(0,)

内根的个数,并证明你

2

2



3

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

(1)【答案】

e



1

2

ln(cosx)

x

2

2

【解析】由于

f(x)

在

x0

处连续,故

f(0)limf(x)lime

x0x0

lnf(x)

lime

x0

lime

x

x0

lncosx

lncosx

lime

x0

x

2

e

lncosx

洛必达

lim

x0

x

2

1

2

e

1

(sinx)

cosx

lim

x0

2x

e

x0

lim

sinx

2xcosx

e



【相关知识点】1.函数

yf(x)

在点

x

0

连续：

设函数

f(x)

在点

x

0

的某一邻域内有定义,如果

limf(x)f(x

0

),

则称函数

f(x)

在点

xx

0

x

0

连续.

2.如果函数在

x

0

处连续,则有

limf(x)limf(x)f(x

0

)

.

xx

0

xx

0



(2)【答案】



3

2

【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：

y

1

2



ln(1x)ln(1x)





,

2



112x1x

,

y



()

22

21x1x2(1x)1x

11x

2

3



y





y

,.

x0

2(1x)

2

(1x

2

)

2

2

【相关知识点】1.复合函数求导法则：

如果

ug(x)

在点

x

可导,而

yf(x)

在点

ug(x)

可导,则复合函数

yf



g(x)



在点

x

可导,且其导数为

dydydudy



.

f



(u)g



(x)

或

dxdudxdx

(3)【答案】

arcsin

x

x2

C

或

2arcsinC

2

2

x2

)

x2

2

arcsinC

.

2

x2

2

1()

2

d(

【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：

方法1：原式

=



dx

4(x2)

2





4

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方法2：原式





dx

x4(x)

2

2



dx

4(x)

2

2



x

x

2

2arcsinC

.

2

x

1()

2

2

d

(4)【答案】



8

【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：

x2

)



dx1



2





原式





0

4(x2)

2

0

x2

2

1()

2

2

d(

1x

21



arctan

()

.

22

0

2248

(5)【答案】3

【解析】方法1：利用初等变换.

以



1

,



2

,



3

为行构成

34

矩阵,对其作初等变换：







1



1







2A





2









3









0



1



3







2







1









0





0

1



212



1211









04t22



0t0









452



52





04



211



4t22





,

03t0





21





1





因为

r



A



r



2

2,

所以

3t0,t3

.









3





方法2：利用秩的定义.





1





由于

r



2

r



A



2,

则矩阵

A

中任一三阶子行列式应等于零.









3









1



1211













20



,

t0

2









3









0452





应有

1

2

解得

t3

.

2

0

1

t

5

121

5

1

0

2

0

1

3t

04t204t20

,

0404

5

方法3：利用线性相关性.

因为

r





1

,



2

,



3



r



A



2,

故



1

,



2

,



3

线性相关,



以



1

,



2

,



3

组成的线性齐次方

TTT

程组



1

x

1





2

x

2





3

x

3

BX0

有非零解,因

TTT



1



2

TTT



B







1

,



2

,



3









1





1



2







1







2





1



3







1





4







1







1





0

0



04





t5





02



1

2

2

4





0t25





022



故

BX0

有非零解



t3

.







2













0





4





1



3







2







t2



4





4







2







2





0



0





11



,



00t3





000



2

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)【答案】(C)

【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：

tanxx

e

tanx

e

x

1

x

e

limlime

x0x0

x

n

x

n

222

洛必达n3

tanxxsec1tanxx1

limlimlimlim,

nn1n12

x0x0x0x0

xnxnx3x3

e

tanx

e

x

与

x

3

同阶,故应选(C).

(2)【答案】(D)

【解析】方法1：用几何意义.由

f(x)0,f



(x)0,f



(x)0

可知,曲线

yf(x)

是上

半平面的一段下降的凹弧,

yf(x)

的图形大致如右图.

y

S

1





f(x)dx

是曲边梯形

ABCD

的面积；

a

b

D

S

2

f(b)(ba)

是矩形

ABCE

的面积；

1

S

3

[f(a)f(b)](ba)

是梯形

ABCD

的面积.

2

由图可见

S

2

S

1

S

3

,应选(D).

O

E

C

x

A B

a b

方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的

f(x)

都成立的结果,故可以取满足条件的

特定的

f(x)

来观察结果是什么.例如取

f(x)

1

,x[1,2]

,则

x

2

S

1





2

1

1115

dx,S,SS

2

S

1

S

3

.

23

2

x248

6

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【评注】本题也可用分析方法证明如下：

由积分中值定理,至少存在一个点



,使



b

a

f(x)dxf(



)(ba),a



b

成立,再由

f



(x)0,

所以

f(x)

是单调递减的,故

f(



)f(b),

从而

S

1





f(x)dxf(



)(ba)f(b)(ba)S

2

.

a

b

x

1

为证

S

3

S

1

,令



(x)[f(x)f(a)](xa)



f(t)dt,

则



(a)0,

a

2





(x)

11

f



(x)(xa)(f(x)f(a))f(x)

22

11

f



(x)(xa)(f(x)f(a))

22

11

f



(x)(xa)f



(



)(xa)(a



x)(

拉格朗日中值定理

)

22

1

(f



(x)f



(



))(xa),

2

由于

f



(x)0

,所以

f



(x)

是单调递增的,故

f



(x)f



(



)

,





(x)0

,即



(x)

在

[a,b]

上

单调递增的.由于



(a)0,

所以



(x)0,x[a,b]

,从而



(b)[f(b)f(a)](ba)



f(t)dt0

,

a

1

2

b

即

S

3

S

1

.因此,

S

2

S

1

S

3

,应选(D).

如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.

【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数

f(x)

在积分区间

[a,b]

上连续,则在

(a,b)

上至

少存在一个点



,使下式成立：

公式.

2. 拉格朗日中值定理：如果函数

f(x)

满足在闭区间

[a,b]

上连续,在开区间



a,b



内可导,

那么在



a,b



内至少有一点



(a



b)

,使等式

f(b)f(a)f



(



)(ba)

成立.

(3)【答案】(B)

【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：

由

f



(x

0

)0

知

xx

0

为

f(x)

的驻点.把

xx

0

代入恒等式

x

0

f



(x

0

)1e

x

0



b

a

f(x)dxf(



)(ba)(a



b)

.这个公式叫做积分中值

,即

1e

x

0

f



(x

0

)

.由于分子、分母同号,故

f



(x

0

)0

,因此驻点

xx

0

为极小值点.应选

x

0

(B).

(4)【答案】(A)

【解析】由于函数

e

sint

sint

是以

2



为周期的函数,所以,

7

2024年3月18日发(作者：书大)

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)





(cosx)

x

,x0,

(1) 已知

f(x)



在

x0

处连续,则

a

.

x0





a,

(2) 设

yln

2

1x

,则

y



x0



.

1x

2

(3)







0

dx



.

x(4x)

(4)

dx



.

x

2

4x8

(5) 已知向量组



1

(1,2,1,1),



2

(2,0,t,0),



3

(0,4,5,2)

的秩为2,则

t

.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 设

x0

时,

e

tanx

e

x

与

x

n

是同阶无穷小,则

n

为 ( )

b

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(2) 设在区间

[a,b]

上

f(x)0,f



(x)0,f



(x)0,

记

S

1





a

f(x)dx,S

2

f(b)(ba)

,

1

S

3

[f(a)f(b)](ba)

,则 ( )

2

(A)

S

1

S

2

S

3

(B)

S

2

S

3

S

1

(C)

S

3

S

1

S

2

(D)

S

2

S

1

S

3

(3) 已知函数

yf(x)

对一切

x

满足

xf



(x)3x[f



(x)]1e

,若

f



(x

0

)0(x

0

0),

则 ( )

(A)

f(x

0

)

是

f(x)

的极大值

(B)

f(x

0

)

是

f(x)

的极小值

(C)

(x

0

,f(x

0

))

是曲线

yf(x)

的拐点

(D)

f(x

0

)

不是

f(x)

的极值,

(x

0

,f(x

0

))

也不是曲线

yf(x)

的拐点

(4)

设F(x)



x2



2x

x

e

sint

sintdt,

则

F(x)

( )

(A) 为正常数 (B) 为负常数

(C) 恒为零 (D) 不为常数



2x,

(5) 设

g(x)





x2,



2x

2

,

(A)





2x,



2x

2

,

(C)





2x,

x0

x0



x

2

,

,f(x)



x0



x,

x0

x0

,则g[f(x)]

为 ( )



2x

2

,

(B)



x0



2x,

x0

x0

x0

x0

x0



2x

2

,

(D)



x0



2x,

三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.)

(1) 求极限

lim

4x

2

x1x1

xsinx

2

x

.



xarctan

t

dy

(2) 设

yy(x)

由



所确定,求.

2t

dx



2ytye

5

(3) 计算

e

2x

(tanx1)

2

dx

.



(4) 求微分方程

(3x2xyy)dx(x2xy)dy0

的通解.

(5) 已知

y

1

xee,y

2

xee,y

3

xee

的三个解,求此微分方程.

x2xxxx2x

222

e

x

是某二阶线性非齐次微分方程



111





2

(6) 已知

A011

,且

AABE

,其中

E

是三阶单位矩阵,求矩阵

B

.







001





四、(本题满分8分.)



2x

1





x

2

x

3

1





取何值时,方程组





x

1

x

2

x

3

2

无解,有惟一解或有无穷多解？并在有无穷



4x5x5x1

23



1

多解时写出方程组的通解.

五、(本题满分8分)

设曲线

L

的极坐标方程为

rr(



)

,

M(r,



)

为

L

上任一点,

M

0

(2,0)

为

L

上一定点,

若极径

OM

0

、OM

与曲线

L

所围成的曲边扇形面积值等于

L

上

M

0

,M

两点间弧长值的一

半,求曲线

L

的方程.

2

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六、(本题满分8分)

设函数

f(x)

在闭区间

[0,1]

上连续,在开区间

(0,1)

内大于零,并满足

xf



(x)f(x)

3a

2

x

(

a

为常数),又曲线

yf(x)

与

x1,y0

所围成的图形

S

的面积值为2,求函数

2

yf(x)

,并问

a

为何值时,图形

S

绕

x

轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

七、(本题满分8分.)

已知函数

f(x)

连续,且

lim

x0

1

f(x)

2

,设



(x)



f(xt)dt

,求





(x)

,并讨论





(x)

的

0

x

连续性.

八、(本题满分8分)

就

k

的不同取值情况,确定方程

x

的结论.



sinxk

在开区间

(0,)

内根的个数,并证明你

2

2



3

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)

(1)【答案】

e



1

2

ln(cosx)

x

2

2

【解析】由于

f(x)

在

x0

处连续,故

f(0)limf(x)lime

x0x0

lnf(x)

lime

x0

lime

x

x0

lncosx

lncosx

lime

x0

x

2

e

lncosx

洛必达

lim

x0

x

2

1

2

e

1

(sinx)

cosx

lim

x0

2x

e

x0

lim

sinx

2xcosx

e



【相关知识点】1.函数

yf(x)

在点

x

0

连续：

设函数

f(x)

在点

x

0

的某一邻域内有定义,如果

limf(x)f(x

0

),

则称函数

f(x)

在点

xx

0

x

0

连续.

2.如果函数在

x

0

处连续,则有

limf(x)limf(x)f(x

0

)

.

xx

0

xx

0



(2)【答案】



3

2

【解析】题目考察复合函数在某点处的高阶导数,按照复合函数求导法则具体计算如下：

y

1

2



ln(1x)ln(1x)





,

2



112x1x

,

y



()

22

21x1x2(1x)1x

11x

2

3



y





y

,.

x0

2(1x)

2

(1x

2

)

2

2

【相关知识点】1.复合函数求导法则：

如果

ug(x)

在点

x

可导,而

yf(x)

在点

ug(x)

可导,则复合函数

yf



g(x)



在点

x

可导,且其导数为

dydydudy



.

f



(u)g



(x)

或

dxdudxdx

(3)【答案】

arcsin

x

x2

C

或

2arcsinC

2

2

x2

)

x2

2

arcsinC

.

2

x2

2

1()

2

d(

【解析】题目考察不定积分的计算,分别采用凑微分的方法计算如下：

方法1：原式

=



dx

4(x2)

2





4

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方法2：原式





dx

x4(x)

2

2



dx

4(x)

2

2



x

x

2

2arcsinC

.

2

x

1()

2

2

d

(4)【答案】



8

【解析】题目考察广义积分的计算,采用凑微分的方法,结合基本微分公式表计算如下：

x2

)



dx1



2





原式





0

4(x2)

2

0

x2

2

1()

2

2

d(

1x

21



arctan

()

.

22

0

2248

(5)【答案】3

【解析】方法1：利用初等变换.

以



1

,



2

,



3

为行构成

34

矩阵,对其作初等变换：







1



1







2A





2









3









0



1



3







2







1









0





0

1



212



1211









04t22



0t0









452



52





04



211



4t22





,

03t0





21





1





因为

r



A



r



2

2,

所以

3t0,t3

.









3





方法2：利用秩的定义.





1





由于

r



2

r



A



2,

则矩阵

A

中任一三阶子行列式应等于零.









3









1



1211













20



,

t0

2









3









0452





应有

1

2

解得

t3

.

2

0

1

t

5

121

5

1

0

2

0

1

3t

04t204t20

,

0404

5

方法3：利用线性相关性.

因为

r





1

,



2

,



3



r



A



2,

故



1

,



2

,



3

线性相关,



以



1

,



2

,



3

组成的线性齐次方

TTT

程组



1

x

1





2

x

2





3

x

3

BX0

有非零解,因

TTT



1



2

TTT



B







1

,



2

,



3









1





1



2







1







2





1



3







1





4







1







1





0

0



04





t5





02



1

2

2

4





0t25





022



故

BX0

有非零解



t3

.







2













0





4





1



3







2







t2



4





4







2







2





0



0





11



,



00t3





000



2

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)【答案】(C)

【解析】题目考察无穷小量的性质和无穷小量的比较,采用洛必达法则计算如下：

tanxx

e

tanx

e

x

1

x

e

limlime

x0x0

x

n

x

n

222

洛必达n3

tanxxsec1tanxx1

limlimlimlim,

nn1n12

x0x0x0x0

xnxnx3x3

e

tanx

e

x

与

x

3

同阶,故应选(C).

(2)【答案】(D)

【解析】方法1：用几何意义.由

f(x)0,f



(x)0,f



(x)0

可知,曲线

yf(x)

是上

半平面的一段下降的凹弧,

yf(x)

的图形大致如右图.

y

S

1





f(x)dx

是曲边梯形

ABCD

的面积；

a

b

D

S

2

f(b)(ba)

是矩形

ABCE

的面积；

1

S

3

[f(a)f(b)](ba)

是梯形

ABCD

的面积.

2

由图可见

S

2

S

1

S

3

,应选(D).

O

E

C

x

A B

a b

方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的

f(x)

都成立的结果,故可以取满足条件的

特定的

f(x)

来观察结果是什么.例如取

f(x)

1

,x[1,2]

,则

x

2

S

1





2

1

1115

dx,S,SS

2

S

1

S

3

.

23

2

x248

6

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【评注】本题也可用分析方法证明如下：

由积分中值定理,至少存在一个点



,使



b

a

f(x)dxf(



)(ba),a



b

成立,再由

f



(x)0,

所以

f(x)

是单调递减的,故

f(



)f(b),

从而

S

1





f(x)dxf(



)(ba)f(b)(ba)S

2

.

a

b

x

1

为证

S

3

S

1

,令



(x)[f(x)f(a)](xa)



f(t)dt,

则



(a)0,

a

2





(x)

11

f



(x)(xa)(f(x)f(a))f(x)

22

11

f



(x)(xa)(f(x)f(a))

22

11

f



(x)(xa)f



(



)(xa)(a



x)(

拉格朗日中值定理

)

22

1

(f



(x)f



(



))(xa),

2

由于

f



(x)0

,所以

f



(x)

是单调递增的,故

f



(x)f



(



)

,





(x)0

,即



(x)

在

[a,b]

上

单调递增的.由于



(a)0,

所以



(x)0,x[a,b]

,从而



(b)[f(b)f(a)](ba)



f(t)dt0

,

a

1

2

b

即

S

3

S

1

.因此,

S

2

S

1

S

3

,应选(D).

如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证.

【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数

f(x)

在积分区间

[a,b]

上连续,则在

(a,b)

上至

少存在一个点



,使下式成立：

公式.

2. 拉格朗日中值定理：如果函数

f(x)

满足在闭区间

[a,b]

上连续,在开区间



a,b



内可导,

那么在



a,b



内至少有一点



(a



b)

,使等式

f(b)f(a)f



(



)(ba)

成立.

(3)【答案】(B)

【解析】题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下：

由

f



(x

0

)0

知

xx

0

为

f(x)

的驻点.把

xx

0

代入恒等式

x

0

f



(x

0

)1e

x

0



b

a

f(x)dxf(



)(ba)(a



b)

.这个公式叫做积分中值

,即

1e

x

0

f



(x

0

)

.由于分子、分母同号,故

f



(x

0

)0

,因此驻点

xx

0

为极小值点.应选

x

0

(B).

(4)【答案】(A)

【解析】由于函数

e

sint

sint

是以

2



为周期的函数,所以,

7