2024年3月20日发(作者：杭觅珍)

2022年全国统一高考数学试卷（全国甲卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．若

z13i

，则

A．

13i

z



（

zz



1

）

B．

13i

C．



13



i

33

D．



13



i

33

2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让

他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确

率如下图：

则（）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

∣x4x30

，则

ð

U

(

AB

)



（

3．设全集

U{2,1,0,1,2,3}

，集合

A{1,2},Bx



2



）

A．

{1,3}

B．

{0,3}

C．

{2,1}

D．

{2,0}

）4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

A．8B．12C．16



x

D．20

）

5．函数

y



3



3



x



ππ



在区间

cos

x



,



的图像大致为（







22



A．B．

C．

6．当

x1

时，函数

f

(

x

)



a

ln

x



A．

1

B．



D．

1

2

b

取得最大值

2

，则

f



(2)

（

x

1

C．

D．1

2

）

7．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，已知

B

1

D

与平面

ABCD

和平面

AA

1

B

1

B

所成的角均为

30

，则（

A．

AB2AD

C．

ACCB

1

B．AB与平面

AB

1

C

1

D

所成的角为

30

D．

B

1

D

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角为

45

）

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，



AB

是

以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在



“会圆术”给出



AB

上，

CDAB

．

AB

的弧长的

CD

2

近似值s的计算公式：

s



AB



．当

OA2,AOB60

时，

s

（

OA

）

A．

11



33

2

B．

11



43

2

C．

9



33

2

D．

9



43

2

9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2π

，侧面积分别为

S

甲

和

S

乙

，体积分别为

V

甲

S

甲

V

甲

和

V

乙

．若

=2

，则

=

（

S

乙

V

乙

A．

5

B．

22

）

C．

10

D．

510

4

x

2

y

2

10．椭圆

C

:

2



2



1(

a



b



0)

的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线

AP,AQ

ab

的斜率之积为

1

，则C的离心率为（

4

B．

）

A．

3

2

2

2





C．

1

2

D．

1

3

）

11．设函数

f

(

x

)



sin





x



π





在区间

(0,π)

恰有三个极值点、两个零点，则



的取值范围是（

3



C．



A．



,



513







36



B．



,



519







36





138



,





63



）

C．

abc

D．





1319



,





66



3111

,

b

cos,

c

4sin

，则（

3244

A．

cba

B．

bac

12．已知

a

D．

acb

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

1

13．设向量

a

，

b

的夹角的余弦值为

，且

|a|1,|b|3

，则

(2ab)b

_________．

3

x

2

22

14．若双曲线

y



2



1(

m



0)

的渐近线与圆

xy4y30

相切，则

m

_________．

m

2

15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

16．已知

△ABC

中，点D在边BC上，

ADB120,AD2,CD2BD

．当

AC

取得最小值时，

AB

BD

________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记

S

n

为数列



a

n



的前n项和．已知

（1）证明：



a

n



是等差数列；

（2）若

a

4

,a

7

,a

9

成等比数列，求

S

n

的最小值．

18．（12分）

在四棱锥

PABCD

中，

PD

底面

ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP

2

S

n



n



2

a

n



1

．

n

3

．

（1）证明：

BDPA

；

（2）求PD与平面

PAB

所成的角的正弦值．

19．（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个

项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，

各项目的比赛结果相互独立．

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

20．（12分）

设抛物线

C:y2px(p0)

的焦点为F，点

D



p,0



，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直

2

于x轴时，

MF3

．

（1）求C的方程；

（2）设直线

MD,ND

与C的另一个交点分别为A，B，记直线

MN,AB

的倾斜角分别为



,



．当







取

得最大值时，求直线AB的方程．

21．（12分）

e

x

已知函数

f



x



l

n

x



x



a

．

x

（I）若

f



x



0

，求a的取值范围；

（2）证明：若

f



x



有两个零点

x

1

,x

2

，则

x

1

x

2

1

．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

2



t

2



s



x

，

x

，



6

（t为参数）

6

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

1

的参数方程为



，曲线

C

2

的参数方程为





y



t



y



s



（s为参数）．

（1）写出

C

1

的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

3

的极坐标方程为

2cos



sin



0

，求

C

3

与

C

1

交点的直角坐标，及

C

3

与

C

2

交点的直角坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c均为正数，且

ab4c3

，证明：

（1）

ab2c3

；

（2）若

b2c

，则

222

11



3

．

ac

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

参考答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.C2.

B.

3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.

A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.

11

14.

3

3

15.

16.

6

.

35

31

##

1+3

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17.

（

1

）解：因为

2

S

n



n



2

a

n



1

，即

2

S

n

n

2



2

na

n

n

①，

n

2024年3月20日发(作者：杭觅珍)

2022年全国统一高考数学试卷（全国甲卷）

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．若

z13i

，则

A．

13i

z



（

zz



1

）

B．

13i

C．



13



i

33

D．



13



i

33

2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让

他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确

率如下图：

则（）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

∣x4x30

，则

ð

U

(

AB

)



（

3．设全集

U{2,1,0,1,2,3}

，集合

A{1,2},Bx



2



）

A．

{1,3}

B．

{0,3}

C．

{2,1}

D．

{2,0}

）4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

A．8B．12C．16



x

D．20

）

5．函数

y



3



3



x



ππ



在区间

cos

x



,



的图像大致为（







22



A．B．

C．

6．当

x1

时，函数

f

(

x

)



a

ln

x



A．

1

B．



D．

1

2

b

取得最大值

2

，则

f



(2)

（

x

1

C．

D．1

2

）

7．在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，已知

B

1

D

与平面

ABCD

和平面

AA

1

B

1

B

所成的角均为

30

，则（

A．

AB2AD

C．

ACCB

1

B．AB与平面

AB

1

C

1

D

所成的角为

30

D．

B

1

D

与平面

BB

1

C

1

C

所成的角为

45

）

8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，



AB

是

以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在



“会圆术”给出



AB

上，

CDAB

．

AB

的弧长的

CD

2

近似值s的计算公式：

s



AB



．当

OA2,AOB60

时，

s

（

OA

）

A．

11



33

2

B．

11



43

2

C．

9



33

2

D．

9



43

2

9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2π

，侧面积分别为

S

甲

和

S

乙

，体积分别为

V

甲

S

甲

V

甲

和

V

乙

．若

=2

，则

=

（

S

乙

V

乙

A．

5

B．

22

）

C．

10

D．

510

4

x

2

y

2

10．椭圆

C

:

2



2



1(

a



b



0)

的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线

AP,AQ

ab

的斜率之积为

1

，则C的离心率为（

4

B．

）

A．

3

2

2

2





C．

1

2

D．

1

3

）

11．设函数

f

(

x

)



sin





x



π





在区间

(0,π)

恰有三个极值点、两个零点，则



的取值范围是（

3



C．



A．



,



513







36



B．



,



519







36





138



,





63



）

C．

abc

D．





1319



,





66



3111

,

b

cos,

c

4sin

，则（

3244

A．

cba

B．

bac

12．已知

a

D．

acb

二、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分。

1

13．设向量

a

，

b

的夹角的余弦值为

，且

|a|1,|b|3

，则

(2ab)b

_________．

3

x

2

22

14．若双曲线

y



2



1(

m



0)

的渐近线与圆

xy4y30

相切，则

m

_________．

m

2

15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．

16．已知

△ABC

中，点D在边BC上，

ADB120,AD2,CD2BD

．当

AC

取得最小值时，

AB

BD

________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记

S

n

为数列



a

n



的前n项和．已知

（1）证明：



a

n



是等差数列；

（2）若

a

4

,a

7

,a

9

成等比数列，求

S

n

的最小值．

18．（12分）

在四棱锥

PABCD

中，

PD

底面

ABCD,CD∥AB,ADDCCB1,AB2,DP

2

S

n



n



2

a

n



1

．

n

3

．

（1）证明：

BDPA

；

（2）求PD与平面

PAB

所成的角的正弦值．

19．（12分）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个

项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，

各项目的比赛结果相互独立．

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

20．（12分）

设抛物线

C:y2px(p0)

的焦点为F，点

D



p,0



，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直

2

于x轴时，

MF3

．

（1）求C的方程；

（2）设直线

MD,ND

与C的另一个交点分别为A，B，记直线

MN,AB

的倾斜角分别为



,



．当







取

得最大值时，求直线AB的方程．

21．（12分）

e

x

已知函数

f



x



l

n

x



x



a

．

x

（I）若

f



x



0

，求a的取值范围；

（2）证明：若

f



x



有两个零点

x

1

,x

2

，则

x

1

x

2

1

．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

2



t

2



s



x

，

x

，



6

（t为参数）

6

在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

1

的参数方程为



，曲线

C

2

的参数方程为





y



t



y



s



（s为参数）．

（1）写出

C

1

的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

3

的极坐标方程为

2cos



sin



0

，求

C

3

与

C

1

交点的直角坐标，及

C

3

与

C

2

交点的直角坐标．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c均为正数，且

ab4c3

，证明：

（1）

ab2c3

；

（2）若

b2c

，则

222

11



3

．

ac

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

理科数学

参考答案

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条

形码.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.C2.

B.

3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.

A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.

11

14.

3

3

15.

16.

6

.

35

31

##

1+3

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分．

17.

（

1

）解：因为

2

S

n



n



2

a

n



1

，即

2

S

n

n

2



2

na

n

n

①，

n