2024年3月20日发(作者：养听荷)
本原元素
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
84
255
254
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
多项式
1
a
a
a
a
a
a
a
a+a+a+1
a+a+a+a
a+a+a+a
a+a+a+a
a+a+a+a+1
a+a+a+1
a+a+1
……
a+a+a+a
1
32
732
4
72
7632
7653
6542
543
432
7
6
5
4
3
2
1
fieldExpTable[i]
00000001
00000010
00000100
00001000
00010000
00100000
01000000
10000000
00011101
00111010
01110100
11101000
11001101
10000111
00010011
10001110
00000001
对应十进制
1
2
4
8
16
32
64
128
29
58
116
232
205
135
19
142
1
注:a=2 多项式mod(a+a+a+a+1)
RS编码实例：对（15，9）型进行编码
举例如下：
假设所处的域为2^4的伽罗华域(本原多项式为x^4+x+1)
码型为(15,9),则n=15,k=9,t=3,d=7; 1 2 3 4 5 6 7 8 9
直接用matlab生成g(x)
rsgenpoly(15,9)
ans = GF(2) array. Primitive polynomial = D+D+1 (19 decimal)
Array elements = 1 7 9 3 12 10 12
= x
+7x+9x+3x+12x+10x+12
信息多项式为：
M(x) = x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x + 8x + 9
由于t=3，将信息多项式乘以 x^6
被除数：x + 2x + 3x + 4x+ 5x + 6x + 7x + 8x + 9x
除数：x + 7x + 9x + 3x + 12x + 10x + 12
数组长度为[NN]
将上式除以码元发生多项式g(x)
65432
14131211 109876
87654321
65432
44
x x x x x
被除数→
1413121110
x
6
9
x
7
8
x
8
0
8
9
1
7
x
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0
9
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9
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0
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0
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0
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0
0
0
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0
0
0
0
0
0
0
0
1
商
↓
1
1
2
7
3
9
4 5
*x
余=a-b=a+b
8
除数→
3 12 10 12
7 9 12 11
9 4
0 5 10
5
0
*5x
余
*2x
余
*2x
余
*9x
余
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余
*2x
余
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余
*2
余
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2 12
2 14
0 2
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1
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1
2
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7 11
6 2
2 14
0 9
6 11
2 13
8
5
7 11
5 11
6 5 9 10 13
0
8 15
8 13
0 2
3 14
4 11 10 15 10
1 8
1
9
4 9 10
2 14
0 15
6 11
2
7 11
2 13 11
2
0
1
1
8 12
5 7
15 11 14
0 2 12
2 14
0 2
6 11 7 11
3 12 15 11
经过以上计算，可得余数为：
r(x) = 2x+ x + 3x + 12x + 15x + 11
则T(x) = M(x) + r(x)
= x
+2x+3x+4x+5x+6x+7x+8x+9x+2x+x+3x+12x+15x+11
简写为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 3 12 15 11
则序列[1 2 3 4 5 6 7 8 9]经过RS编码后为
[1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 3 12 15 11]
GF（2^4）的本原多项式为：1+X+X^4
GF（2^4）
0
A^0
A^1
A^2
A^3
A^4
A^5
A^6
A^7
A^8
A的多项式
0
A^0
A^1
A^2
A^3
A+1
D3D2D1D0
0000
0001
0010
0100
1000
0011
0110
1100
1011
0101
对应的十进制[注3]
0
1
2
4
8
3
6
12
11
5
141312111
5 4321
2024年3月20日发(作者：养听荷)
本原元素
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
84
255
254
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
多项式
1
a
a
a
a
a
a
a
a+a+a+1
a+a+a+a
a+a+a+a
a+a+a+a
a+a+a+a+1
a+a+a+1
a+a+1
……
a+a+a+a
1
32
732
4
72
7632
7653
6542
543
432
7
6
5
4
3
2
1
fieldExpTable[i]
00000001
00000010
00000100
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00010000
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11101000
11001101
10000111
00010011
10001110
00000001
对应十进制
1
2
4
8
16
32
64
128
29
58
116
232
205
135
19
142
1
注:a=2 多项式mod(a+a+a+a+1)
RS编码实例：对（15，9）型进行编码
举例如下：
假设所处的域为2^4的伽罗华域(本原多项式为x^4+x+1)
码型为(15,9),则n=15,k=9,t=3,d=7; 1 2 3 4 5 6 7 8 9
直接用matlab生成g(x)
rsgenpoly(15,9)
ans = GF(2) array. Primitive polynomial = D+D+1 (19 decimal)
Array elements = 1 7 9 3 12 10 12
= x
+7x+9x+3x+12x+10x+12
信息多项式为：
M(x) = x + 2x + 3x + 4x + 5x + 6x + 7x + 8x + 9
由于t=3，将信息多项式乘以 x^6
被除数：x + 2x + 3x + 4x+ 5x + 6x + 7x + 8x + 9x
除数：x + 7x + 9x + 3x + 12x + 10x + 12
数组长度为[NN]
将上式除以码元发生多项式g(x)
65432
14131211 109876
87654321
65432
44
x x x x x
被除数→
1413121110
x
6
9
x
7
8
x
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0
8
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1
7
x
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0
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9
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0
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5
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0
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1
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除数→
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余
*2x
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余
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0 2
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0
8 15
8 13
0 2
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0 15
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7 11
2 13 11
2
0
1
1
8 12
5 7
15 11 14
0 2 12
2 14
0 2
6 11 7 11
3 12 15 11
经过以上计算，可得余数为：
r(x) = 2x+ x + 3x + 12x + 15x + 11
则T(x) = M(x) + r(x)
= x
+2x+3x+4x+5x+6x+7x+8x+9x+2x+x+3x+12x+15x+11
简写为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 3 12 15 11
则序列[1 2 3 4 5 6 7 8 9]经过RS编码后为
[1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 3 12 15 11]
GF（2^4）的本原多项式为：1+X+X^4
GF（2^4）
0
A^0
A^1
A^2
A^3
A^4
A^5
A^6
A^7
A^8
A的多项式
0
A^0
A^1
A^2
A^3
A+1
D3D2D1D0
0000
0001
0010
0100
1000
0011
0110
1100
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0101
对应的十进制[注3]
0
1
2
4
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5
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5 4321