2024年3月22日发(作者：茂雨梅)

安徽省舒城中学高三年级2013─2014学年寒假作业

数学部分

专题（三 ）数列中探索性问题

一．条件探索性问题

此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，

解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立

的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要

条件当作充分条件，应引起注意．

[例15]设数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

．已知

a

1

a

，

a

n1

S

n

3

n

，

nN

．

*

（Ⅰ）设

b

n

S

n

3

n

，求数列



b

n



的通项公式；

（Ⅱ）试确定

a

的值，使得对任意

n

∈N，都有

a

n1

≥

a

n

成立

*

n

解：（Ⅰ）依题意，

S

n1

S

n

a

n1

S

n

3

，即

S

n1

2S

n

3

n

，

由此得

S

n1

3

n1

2(S

n

3

n

)

．

nn1

因此，所求通项公式为

b

n

S

n

3(a3)2

，

nN

．

*

（Ⅱ）由①知

S

n

3

n

(a3)2

n1

，

nN

，

于是，当

n

≥

2

时，

a

n

S

n

S

n1

3(a3)2

a

n1

a

n

43

n1

*

nn1

3

n1

(a3)2

n2

23

n1

(a3)2

n2

，

n2

(a3)2

n2

2





3



n2



12a3







，







2







3



当

n

≥

2

时，

a

n1

≥

a

n

12





2



n2

a3

≥

0

a

≥

9

．





． 又

a

2

a

1

3a

1

．综上，所求的

a

的取值范围是



9，

变式训练39. 已知单调递增的等比数列

{a

n

}

满足：

a

2

a

3

a

4

28

，且

a

3

2

是

a

2

,a

4

的等差中项。

（Ⅰ）求数列

{a

n

}

的通项公式；

（Ⅱ）若

b

n

a

n

log

1

a

n

,S

n

b

1

b

2

b

n

，求

S

n

n2

n1

50

成立的正整数

n

的最小值。

2

二．结论探索性问题

此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先

探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一

番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．

n1

[例16] 已知数列



a

n



的前n项和

S

n

a

n

()2

（n为正整数）。

1

2

（Ⅰ）令

b

n

2

n

a

n

，求证数列



b

n



是等差数列，并求数列



a

n



的

通项公式；

（Ⅱ）令

c

n



n1

5n

a

n

，

T

n

c

1

c

2

........c

n

试比较

T

n

与的大小，

n

2n1

1

2

n1

并予以证明。

解：（I）在

S

n

a

n

()2

中，令n=1，可得

S

1

a

n

12a

1

，即

a

1



1

2

当

n2

时，

S

n1

a

n1

()

1

2

n2

1

2，a

n

S

n

S

n1

a

n

a

n1

()

n1

，

2

1

2a

n

a

n1

()

n1

,即2

n

a

n

2

n1

a

n1

1

.

2

2024年3月22日发(作者：茂雨梅)

安徽省舒城中学高三年级2013─2014学年寒假作业

数学部分

专题（三 ）数列中探索性问题

一．条件探索性问题

此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，

解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立

的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要

条件当作充分条件，应引起注意．

[例15]设数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

．已知

a

1

a

，

a

n1

S

n

3

n

，

nN

．

*

（Ⅰ）设

b

n

S

n

3

n

，求数列



b

n



的通项公式；

（Ⅱ）试确定

a

的值，使得对任意

n

∈N，都有

a

n1

≥

a

n

成立

*

n

解：（Ⅰ）依题意，

S

n1

S

n

a

n1

S

n

3

，即

S

n1

2S

n

3

n

，

由此得

S

n1

3

n1

2(S

n

3

n

)

．

nn1

因此，所求通项公式为

b

n

S

n

3(a3)2

，

nN

．

*

（Ⅱ）由①知

S

n

3

n

(a3)2

n1

，

nN

，

于是，当

n

≥

2

时，

a

n

S

n

S

n1

3(a3)2

a

n1

a

n

43

n1

*

nn1

3

n1

(a3)2

n2

23

n1

(a3)2

n2

，

n2

(a3)2

n2

2





3



n2



12a3







，







2







3



当

n

≥

2

时，

a

n1

≥

a

n

12





2



n2

a3

≥

0

a

≥

9

．





． 又

a

2

a

1

3a

1

．综上，所求的

a

的取值范围是



9，

变式训练39. 已知单调递增的等比数列

{a

n

}

满足：

a

2

a

3

a

4

28

，且

a

3

2

是

a

2

,a

4

的等差中项。

（Ⅰ）求数列

{a

n

}

的通项公式；

（Ⅱ）若

b

n

a

n

log

1

a

n

,S

n

b

1

b

2

b

n

，求

S

n

n2

n1

50

成立的正整数

n

的最小值。

2

二．结论探索性问题

此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先

探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一

番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．

n1

[例16] 已知数列



a

n



的前n项和

S

n

a

n

()2

（n为正整数）。

1

2

（Ⅰ）令

b

n

2

n

a

n

，求证数列



b

n



是等差数列，并求数列



a

n



的

通项公式；

（Ⅱ）令

c

n



n1

5n

a

n

，

T

n

c

1

c

2

........c

n

试比较

T

n

与的大小，

n

2n1

1

2

n1

并予以证明。

解：（I）在

S

n

a

n

()2

中，令n=1，可得

S

1

a

n

12a

1

，即

a

1



1

2

当

n2

时，

S

n1

a

n1

()

1

2

n2

1

2，a

n

S

n

S

n1

a

n

a

n1

()

n1

，

2

1

2a

n

a

n1

()

n1

,即2

n

a

n

2

n1

a

n1

1

.

2