2024年3月22日发(作者：出丹寒)
§8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲
1.理解直线的方向向量及平面的法
向量．
2.能用向量语言表述线线、线面、
面面的平行和垂直关系．
3.能用向量方法证明立体几何中有
关线面位置关系的一些简单定理.
考情考向分析
利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考
重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向
量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内
容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立
及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探
索论证题的形式出现.
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
→
(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP＝ta，则此向量
方程叫做直线l以t为参数的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
→
(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP＝
→→
(1－t)OA＋tOB，叫做空间直线的向量参数方程．
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l
1
和l
2
的方向向量分别为v
1
和v
2
，则l
1
∥l
2
(或l
1
与l
2
重合)⇔v
1
∥v
2
.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v
1
和v
2
，则l∥α或l⊂α⇔存
在两个实数x，y，使v＝xv
1
＋yv
2
.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u
1
，u
2
，则α∥β⇔u
1
∥u
2
.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l
1
和l
2
的方向向量分别为v
1
和v
2
，则l
1
⊥l
2
⇔v
1
⊥v
2
⇔v
1
·v
2
＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u
1
和u
2
，则α⊥β⇔u
1
⊥u
2
⇔u
1
·u
2
＝0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ )
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )
(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( × )
(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )
题组二 教材改编
2．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关
系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
答案 α⊥β α∥β
解析 当v＝(3，－2,2)时，
u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.
3.如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D
1
D的中
点，N是A
1
B
1
的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
答案 垂直
→→→
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AA
1
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图
所示．
1
0，1，
， 设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M
2
11
1
，，0
，N
，0，1
， O
22
2
1
1
→→
0，－，1
＝0， AM·ON＝
0，1，
2
·
2
∴ON与AM垂直．
2024年3月22日发(作者：出丹寒)
§8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲
1.理解直线的方向向量及平面的法
向量．
2.能用向量语言表述线线、线面、
面面的平行和垂直关系．
3.能用向量方法证明立体几何中有
关线面位置关系的一些简单定理.
考情考向分析
利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考
重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向
量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内
容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立
及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探
索论证题的形式出现.
1．用向量表示直线或点在直线上的位置
→
(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP＝ta，则此向量
方程叫做直线l以t为参数的参数方程．向量a称为该直线的方向向量．
→
(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP＝
→→
(1－t)OA＋tOB，叫做空间直线的向量参数方程．
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l
1
和l
2
的方向向量分别为v
1
和v
2
，则l
1
∥l
2
(或l
1
与l
2
重合)⇔v
1
∥v
2
.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v
1
和v
2
，则l∥α或l⊂α⇔存
在两个实数x，y，使v＝xv
1
＋yv
2
.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u
1
，u
2
，则α∥β⇔u
1
∥u
2
.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l
1
和l
2
的方向向量分别为v
1
和v
2
，则l
1
⊥l
2
⇔v
1
⊥v
2
⇔v
1
·v
2
＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u
1
和u
2
，则α⊥β⇔u
1
⊥u
2
⇔u
1
·u
2
＝0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ )
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ )
(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( × )
(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( × )
题组二 教材改编
2．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关
系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
答案 α⊥β α∥β
解析 当v＝(3，－2,2)时，
u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.
当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.
3.如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D
1
D的中
点，N是A
1
B
1
的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
答案 垂直
→→→
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AA
1
所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图
所示．
1
0，1，
， 设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M
2
11
1
，，0
，N
，0，1
， O
22
2
1
1
→→
0，－，1
＝0， AM·ON＝
0，1，
2
·
2
∴ON与AM垂直．