2024年3月25日发(作者：睢浩气)
排列组合典型例题
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③
个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是
2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、
8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解
法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列，故有
A
9
个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一
112
个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有
A
4
A
8
A
8
（个）．
3
∴ 没有重复数字的四位偶数有
3112
2296
A
9
A
4
A
8
A
8
5041792
个．
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有
A
9
个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，
千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：
13
A
4
(A
9
A
8
2
)
个
3
∴ 没有重复数字的四位偶数有
3132
2296
A
9
A
4
(A
9
A
8
)5041792
个．
解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一
个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
112
A
5
A
5
A
8
个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0
在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有
11
A
4
A
4
A
8
2
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
112112
A
5
A
5
A
8
A
4
A
4
A
8
2296
个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
43
没有重复数字的四位数有
A
10
A
9
个．
132
其中四位奇数有
A
5
(A
9
A
8
)
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
4313333
A
10
A
9
A
5
(A
9
A
8
2
)10A
9
A
9
5A
9
5A
8
2
3
4A
9
5A
8
2
36A
8
2
5A
8
2
41A
8
2
2296
个
说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、
要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．
典型例题二
例2 三个女生和五个男生排成一排
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这
样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有
A
6
种不同排法．对于其中的每一种排法，
63
3
三个女生之间又都有
A
3
对种不同的排法，因此共有
A
6
A
3
4320
种不同的排法．
6
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出
一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三
个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都
不相邻．由于五个男生排成一排有
A
5
种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位
53
3
置中选出三个来让三个女生插入都有
A
6
种方法，因此共有
A
5
A
6
14400
种不同的排法．
5
（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2
个，有
A
5
种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有
A
6
种排法，所以共有
6
A
5
2
A
6
14400
种不同的排法．
26
解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有
A
8
种不同的排法，从中扣除女生
1717
排在首位的
A
3
A
7
种排法和女生排在末位的
A
3
A
7
种排法，但这样两端都是女生的排法在
8
扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以
26
还需加一次回来，由于两端都是女生有
A
3
A
6
种不同的排法，所以共有
2024年3月25日发(作者：睢浩气)
排列组合典型例题
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③
个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是
2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、
8两类，由此得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解
法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列，故有
A
9
个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一
112
个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有
A
4
A
8
A
8
（个）．
3
∴ 没有重复数字的四位偶数有
3112
2296
A
9
A
4
A
8
A
8
5041792
个．
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有
A
9
个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，
千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：
13
A
4
(A
9
A
8
2
)
个
3
∴ 没有重复数字的四位偶数有
3132
2296
A
9
A
4
(A
9
A
8
)5041792
个．
解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一
个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有
112
A
5
A
5
A
8
个
干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0
在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有
11
A
4
A
4
A
8
2
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
112112
A
5
A
5
A
8
A
4
A
4
A
8
2296
个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
43
没有重复数字的四位数有
A
10
A
9
个．
132
其中四位奇数有
A
5
(A
9
A
8
)
个
∴ 没有重复数字的四位偶数有
4313333
A
10
A
9
A
5
(A
9
A
8
2
)10A
9
A
9
5A
9
5A
8
2
3
4A
9
5A
8
2
36A
8
2
5A
8
2
41A
8
2
2296
个
说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、
要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．
典型例题二
例2 三个女生和五个男生排成一排
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这
样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有
A
6
种不同排法．对于其中的每一种排法，
63
3
三个女生之间又都有
A
3
对种不同的排法，因此共有
A
6
A
3
4320
种不同的排法．
6
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出
一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三
个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都
不相邻．由于五个男生排成一排有
A
5
种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位
53
3
置中选出三个来让三个女生插入都有
A
6
种方法，因此共有
A
5
A
6
14400
种不同的排法．
5
（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2
个，有
A
5
种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有
A
6
种排法，所以共有
6
A
5
2
A
6
14400
种不同的排法．
26
解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有
A
8
种不同的排法，从中扣除女生
1717
排在首位的
A
3
A
7
种排法和女生排在末位的
A
3
A
7
种排法，但这样两端都是女生的排法在
8
扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以
26
还需加一次回来，由于两端都是女生有
A
3
A
6
种不同的排法，所以共有