2024年3月25日发(作者：卫泉)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编5

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)为已知连续函数，，其中s＞0，t＞0，则I的值

A．依赖于s和t．

B．依赖于s，t，x．

C．依赖于t和x，不依赖于s．

D．依赖于s，不依赖于t．

正确答案：D

解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)． 知识模块：高等数学

2． 设f(x)是连续函数，且，则F’(x)等于

A．一e-xf(e-x)一f(x)

B．一e-xf(e-x)+f(x)

C．e-xf(e-x)一f(x)

D．e-xf(e-x)+f(x)

正确答案：A

解析：由可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故应选(A)． 知识模块：高等数学

3． 设，则当x→0时，f(x)是g(x)的

A．等价无穷小．

B．同阶但非等价的无穷小．

C．高阶无穷小．

D．低阶无穷小．

正确答案：B

解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小． 知识模块：

高等数学

4． 双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为

A．

B．

C．

D．

正确答案：A 涉及知识点：高等数学

5． 设，则有

A．N＜P＜M．

B．M＜P＜N．

C．N＜M＜P．

D．P＜M＜N．

正确答案：D

解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此 P＜M＜N，故应选(D)． 知识

模块：高等数学

6． 设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，，且当x→0时，F’(x)与xk是同

阶无穷小，则k等于

A．1．

B．2．

C．3．

D．4．

正确答案：C

解析： 知识模块：高等数学

7． 设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．令，S2=f(b)(b一a)，，

则

A．S1＜S2＜S3．

B．S2＜S1＜S3．

C．S3＜S1＜S2．

D．S2＜S3＜S1．

正确答案：B

解析：在[0，In2]上考虑f(x)=e-x，显然f(x)满足原题设条件，而则 S2

＜S1＜S3 知识模块：高等数学

8． 设，则F(x)

A．为正常数．

B．为负常数．

C．恒为零．

D．不为常数．

正确答案：A

解析： 知识模块：高等数学

9． 设f(x)连续，则=

A．xf(x2)．

B．一xf(x2)．

C．2xf(x2)．

D．-2xf(x2)．

正确答案：A

解析：令x2一t2=u，则 知识模块：高等数学

10． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．

B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．

C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．

D．当f(x)是单调增函数时．F(x)必是单调增函数．

正确答案：A

解析：排除法．(B)，(C)，(D)分别举反例如下． (B)的反例：f(x)=cosx，

F(x)=sinx+1不是奇函数． (C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x不是周期函

数． (D)的反例：f(x)=x，F(x)=不是单调增的．所以应选(A)． 知识模块：

高等数学

11． 把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷

小，则正确的排列次序是

A．α，β，γ．

B．α，γ，β

C．β，α，γ．

D．β，γ，α．

正确答案：B

解析：由于则当x→0+时γ是α的高阶无穷小，又则当x→0+时β是γ的高

阶无穷小．故应选(B)． 知识模块：高等数学

12． 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，

则必有

A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．

B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．

C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．

D．F(x)是单调函数f(x)是单调奇函数．

正确答案：A

解析：直接法 若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一

x)=F(x)，式两端对x求导得 一F’(一x)=F(x) 即 一f(一x)=f(x) 故

f(x)为奇函数．反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=是f(x)的一个原函数，又则G(x)

是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则 F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故

应选(A)． 知识模块：高等数学

13． 如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直

径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、

上半圆周．设，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知也

可利用f(x)是奇函数，则为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)． 知

识模块：高等数学

14． 设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数的图形为

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：由题设知，当x∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)≡1

＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增．显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)

在(一1，0)中单调减．由于，则F(0)=0，显然(C)选项错误．由于当x∈(2，3]时

f(x)≡0，则当x∈(2，3]时则(B)是错误的，(D)是正确的． 知识模块：高等数学

15． 设m，n均是正整数．则反常积分的收敛性

A．仅与m的取值有关．

B．仅与n的取值有关．

C．与m，n的取值都有关．

D．与m，n的取值都无关．

正确答案：D

解析： 知识模块：高等数学

16． =

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：故应选(D)． 知识模块：高等数学

17． 设，则I，J，K的大小关系为

A．I＜J＜K．

B．I＜K＜J．

C．J＜I＜K．

D．K＜J＜I．

正确答案：B

解析：当时，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则故应选(B)． 知

识模块：高等数学

18． 设，则有

A．I1＜I2＜I3．

B．I3＜I2＜I1．

C．I2＜I3＜I1．

D．I2＜I1＜I3．

正确答案：D

解析：本题主要考查定积分几何意义，曲线y=sinx如图(a)，而在(0，+∞)

单调增且大于1，则曲线如图(b)．该曲线与z轴围成三块域面积分别为S1，S2，

S3，由定积分几何意义知则 I2＜I1＜I3故应选(D)． 知识模块：高等数学

19． 若，则a1cosx+b1sinx=

A．2sinx

B．2cosx

C．2πsinx

D．2πcosx

正确答案：A

解析： 知识模块：高等数学

填空题

20． 由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是

_________．

正确答案：

解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则

所求面积为 知识模块：高等数学

21． 设f(x)是连续函数，且，则f(7)=___________．

正确答案：

解析：等式两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得 知识模块：高

等数学

22． 设f(x)是连续函数，且f(x)=x+，则f(x)=__________．

正确答案：x—1

解析： 知识模块：高等数学

23． 函数的单调减少区间为__________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

24． =_________.

正确答案： 涉及知识点：高等数学

25． =___________

正确答案：sinx2

解析：令x—t=u，则 知识模块：高等数学

26． =_________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

27． =__________．

正确答案：1

解析： 知识模块：高等数学

28． 已知f’(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=__________．

正确答案：

解析：令ex=t，则x=Int，代入f’(ex)=xe-x得由f(1)=0知，C=0，故 知识模

块：高等数学

29． =_________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

30． =__________

正确答案：一4π

解析： 知识模块：高等数学

31． 曲线的弧长s=________．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

32． =_________

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

33． =__________

正确答案：(In2)

解析： 知识模块：高等数学

34． =__________

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

35． 求正的常数a与b，使等式成立。

正确答案：由洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，

则b=1．从而有则a=4． 涉及知识点：高等数学

36． 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，

b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1

是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

正确答案：令其中x∈[a，b]，显然F(x)在[a，b]上连续．又由f’(x)＞0知 f(a)

＜f(x)＜f(b) x∈(a，b)于是由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，

使F(ξ)=0，即ξ的唯一性可由F(x)的单调性得到 F’(x)=f(x)+f’(x)(x一a)一f(x)

一3[-f(x)+f(x)一f’(x)(b一x)]=f’(x)[x—a+3(b—x)]＞0所以，F(x)在[a，b]上单调

增加，故在(a，b)上只有一个ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2 涉及知识点：高

等数学

37． 证明方程在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

38． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

39． 设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且．证明在(0，1)内存在

一点c，使f’(c)=0．

正确答案：由积分中值定理可知，存在，使又，即f(ξ)=f(0)．显然f(x)在[0，

ξ]上满足罗尔中值定理的条件，从而可知，存在c∈(0，ξ)，使f’(c)=0．原题

得证． 涉及知识点：高等数学

40． 设，求

正确答案：由可知 涉及知识点：高等数学

41． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

42． 设，求的值．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

43． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

44． 求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．

正确答案：由对称性可知，所求心形线全长为 涉及知识点：高等数

学

45． 设f(x)连续，，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

正确答案：由题设知f(0)=0，φ(0)=0．令xt=u，得从而由导数定义可知由

于从而可知φ’(x)在x=0处连续． 涉及知识点：高等数学

46． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

47． 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．已

知井深30 m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，

提升速度为3 m／s，在提升过程中，污泥以20 N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现

将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功? (说明：①1 N

×l m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井

口上方的缆绳长度忽略不计)

正确答案：作x轴如图2．6．将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 ω=

ω1+ω2+ω3其中ω1是克服抓斗自重作的功，ω2是克服缆绳重量所作的功；

ω3是提出污泥所作的功．由题设可知 ω1=400×30=12 000 dω2=50(30

一x)dx从而在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为 dω3=3(2 000—20t)dt

将污泥从井底提升到井口共需时间，所以则共需作功ω=12 000+22 500+57

000=91 500(J) 涉及知识点：高等数学

48． 设函数f(x)在[0，x]上连续，且．试证：在(0，π)内至少存在两个不同

的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

正确答案：令，则F(0)=F(π)=0又所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，

因若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与矛盾．但

当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0．由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜

ξ＜π)再对F(x)在[0，ξ]和[ξ，π]上分别应用罗尔中值定理，知至少存在ξ1

∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0即 f(ξ1)=f(ξ2)=0

涉及知识点：高等数学

49． 求．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

50． 已知两曲线y=f(x)与在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求

极限．

正确答案：由题设条件知f(0)=0，故所求切线方程为y=x 涉及知识

点：高等数学

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形

D．

51． 求D的面积A；

正确答案：如图(a)，设切点横坐标为x0，则曲线lnx在点(x0，lnx0)处的切

线方程为由该切线过原点知lnx0-1=0，从而x0=e，所以该切线方程为所求图形D

的面积为 涉及知识点：高等数学

52． 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．

正确答案：切线与x轴及直线x=e所围成三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥

体体积为 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成图形绕直线x=e旋转所得旋转

体体积为从而所求旋转体体积为 涉及知识点：高等数学

某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土

层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比

(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a m，根据设计方案，要

求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜

1)．问

53． 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?

正确答案：设第咒次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作

的功为Wn(n=1，2，3，…)．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩

的阻力大小为kx，所以由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之

比为常数r知， W1=rW1， W3=rW2=r2W1则前三次击打所作功总和为

W1+W2+W3=W1+rW+r2W1=(1+r+r2)W1=又从而有则即汽锤击打3次后，可将

桩打进地下米． 涉及知识点：高等数学

54． 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m表示长度单

位米)

正确答案：由归纳法可知 涉及知识点：高等数学

55． 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与

l2分别是由线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有

三阶连续导数，计算定积分．

正确答案：由(3，2)是曲线y=f(x)的拐点知，f”(3)=0；由直线l1与l2分别是

曲线y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f’(0)=2，f’(3)=一2，f(0)=0，f(3)=2，

利用分部积分法可得 涉及知识点：高等数学

设f(x)是连续函数，

56． 利用定义证明函数F(x)=可导，且F’(x)=f(x)；

正确答案：证 对任意的x，由于f是连续函数，所以其中ξ介于x与x+

△x之间．由，可知函数F(x)在x处可导，且F’(x)=f(x)． 涉及知识点：

高等数学

57． 当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=也是以2为周期的

周期函数．

正确答案：证：要证明G(x)以2为周期，即要证明对任意的x，都有

G(x+2)=G(x)，记H(x)=G(x+2)一G(x)，则所以H(x)=0，即G(x+2)=G(x)． 涉

及知识点：高等数学

58． 比较的大小，说明理由；

正确答案：当0≤t≤1时，因为ln(1+t)≤t，所以

lnt｜，因此 涉及知识点：高等数学

59． 记，求极限

正确答案： 涉及知识点：高等数学

60． 计算，其中

正确答案： 涉及知识点：高等数学

lnt｜[ln(1+t)]n≤tn｜ ｜

2024年3月25日发(作者：卫泉)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编5

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)为已知连续函数，，其中s＞0，t＞0，则I的值

A．依赖于s和t．

B．依赖于s，t，x．

C．依赖于t和x，不依赖于s．

D．依赖于s，不依赖于t．

正确答案：D

解析：由此可见，I的值只与s有关，所以应选(D)． 知识模块：高等数学

2． 设f(x)是连续函数，且，则F’(x)等于

A．一e-xf(e-x)一f(x)

B．一e-xf(e-x)+f(x)

C．e-xf(e-x)一f(x)

D．e-xf(e-x)+f(x)

正确答案：A

解析：由可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故应选(A)． 知识模块：高等数学

3． 设，则当x→0时，f(x)是g(x)的

A．等价无穷小．

B．同阶但非等价的无穷小．

C．高阶无穷小．

D．低阶无穷小．

正确答案：B

解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小． 知识模块：

高等数学

4． 双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为

A．

B．

C．

D．

正确答案：A 涉及知识点：高等数学

5． 设，则有

A．N＜P＜M．

B．M＜P＜N．

C．N＜M＜P．

D．P＜M＜N．

正确答案：D

解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此 P＜M＜N，故应选(D)． 知识

模块：高等数学

6． 设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，，且当x→0时，F’(x)与xk是同

阶无穷小，则k等于

A．1．

B．2．

C．3．

D．4．

正确答案：C

解析： 知识模块：高等数学

7． 设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0．令，S2=f(b)(b一a)，，

则

A．S1＜S2＜S3．

B．S2＜S1＜S3．

C．S3＜S1＜S2．

D．S2＜S3＜S1．

正确答案：B

解析：在[0，In2]上考虑f(x)=e-x，显然f(x)满足原题设条件，而则 S2

＜S1＜S3 知识模块：高等数学

8． 设，则F(x)

A．为正常数．

B．为负常数．

C．恒为零．

D．不为常数．

正确答案：A

解析： 知识模块：高等数学

9． 设f(x)连续，则=

A．xf(x2)．

B．一xf(x2)．

C．2xf(x2)．

D．-2xf(x2)．

正确答案：A

解析：令x2一t2=u，则 知识模块：高等数学

10． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则

A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．

B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．

C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．

D．当f(x)是单调增函数时．F(x)必是单调增函数．

正确答案：A

解析：排除法．(B)，(C)，(D)分别举反例如下． (B)的反例：f(x)=cosx，

F(x)=sinx+1不是奇函数． (C)的反例：f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x不是周期函

数． (D)的反例：f(x)=x，F(x)=不是单调增的．所以应选(A)． 知识模块：

高等数学

11． 把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷

小，则正确的排列次序是

A．α，β，γ．

B．α，γ，β

C．β，α，γ．

D．β，γ，α．

正确答案：B

解析：由于则当x→0+时γ是α的高阶无穷小，又则当x→0+时β是γ的高

阶无穷小．故应选(B)． 知识模块：高等数学

12． 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，

则必有

A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．

B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．

C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．

D．F(x)是单调函数f(x)是单调奇函数．

正确答案：A

解析：直接法 若F(x)是连续函数f(x)的原函数，且F(x)是偶函数，则F(一

x)=F(x)，式两端对x求导得 一F’(一x)=F(x) 即 一f(一x)=f(x) 故

f(x)为奇函数．反之，若f(x)为奇函数，则G(x)=是f(x)的一个原函数，又则G(x)

是偶函数，由于F(x)也是f(x)的原函数，则 F(x)=G(x)+CF(x)亦是偶函数，故

应选(A)． 知识模块：高等数学

13． 如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直

径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、

上半圆周．设，则下列结论正确的是

A．

B．

C．

D．

正确答案：C

解析：根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知也

可利用f(x)是奇函数，则为偶函数，从而则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)． 知

识模块：高等数学

14． 设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数的图形为

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：由题设知，当x∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)≡1

＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增．显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)

在(一1，0)中单调减．由于，则F(0)=0，显然(C)选项错误．由于当x∈(2，3]时

f(x)≡0，则当x∈(2，3]时则(B)是错误的，(D)是正确的． 知识模块：高等数学

15． 设m，n均是正整数．则反常积分的收敛性

A．仅与m的取值有关．

B．仅与n的取值有关．

C．与m，n的取值都有关．

D．与m，n的取值都无关．

正确答案：D

解析： 知识模块：高等数学

16． =

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：故应选(D)． 知识模块：高等数学

17． 设，则I，J，K的大小关系为

A．I＜J＜K．

B．I＜K＜J．

C．J＜I＜K．

D．K＜J＜I．

正确答案：B

解析：当时，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则故应选(B)． 知

识模块：高等数学

18． 设，则有

A．I1＜I2＜I3．

B．I3＜I2＜I1．

C．I2＜I3＜I1．

D．I2＜I1＜I3．

正确答案：D

解析：本题主要考查定积分几何意义，曲线y=sinx如图(a)，而在(0，+∞)

单调增且大于1，则曲线如图(b)．该曲线与z轴围成三块域面积分别为S1，S2，

S3，由定积分几何意义知则 I2＜I1＜I3故应选(D)． 知识模块：高等数学

19． 若，则a1cosx+b1sinx=

A．2sinx

B．2cosx

C．2πsinx

D．2πcosx

正确答案：A

解析： 知识模块：高等数学

填空题

20． 由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是

_________．

正确答案：

解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则

所求面积为 知识模块：高等数学

21． 设f(x)是连续函数，且，则f(7)=___________．

正确答案：

解析：等式两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得 知识模块：高

等数学

22． 设f(x)是连续函数，且f(x)=x+，则f(x)=__________．

正确答案：x—1

解析： 知识模块：高等数学

23． 函数的单调减少区间为__________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

24． =_________.

正确答案： 涉及知识点：高等数学

25． =___________

正确答案：sinx2

解析：令x—t=u，则 知识模块：高等数学

26． =_________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

27． =__________．

正确答案：1

解析： 知识模块：高等数学

28． 已知f’(ex)=xe-x，且f(1)=0，则f(x)=__________．

正确答案：

解析：令ex=t，则x=Int，代入f’(ex)=xe-x得由f(1)=0知，C=0，故 知识模

块：高等数学

29． =_________．

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

30． =__________

正确答案：一4π

解析： 知识模块：高等数学

31． 曲线的弧长s=________．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

32． =_________

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

33． =__________

正确答案：(In2)

解析： 知识模块：高等数学

34． =__________

正确答案：

解析： 知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

35． 求正的常数a与b，使等式成立。

正确答案：由洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，

则b=1．从而有则a=4． 涉及知识点：高等数学

36． 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且在(a，b)内有f’(x)＞0．证明：在(a，

b)内存在唯一的ξ，使曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=a所围平面图形面积S1

是曲线y=f(x)与两直线y=f(ξ)，x=b所围平面图形面积S2的3倍．

正确答案：令其中x∈[a，b]，显然F(x)在[a，b]上连续．又由f’(x)＞0知 f(a)

＜f(x)＜f(b) x∈(a，b)于是由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，

使F(ξ)=0，即ξ的唯一性可由F(x)的单调性得到 F’(x)=f(x)+f’(x)(x一a)一f(x)

一3[-f(x)+f(x)一f’(x)(b一x)]=f’(x)[x—a+3(b—x)]＞0所以，F(x)在[a，b]上单调

增加，故在(a，b)上只有一个ξ，使F(ξ)=0，即S1=3S2 涉及知识点：高

等数学

37． 证明方程在区间(0，+∞)内有且仅有两个不同实根．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

38． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

39． 设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且．证明在(0，1)内存在

一点c，使f’(c)=0．

正确答案：由积分中值定理可知，存在，使又，即f(ξ)=f(0)．显然f(x)在[0，

ξ]上满足罗尔中值定理的条件，从而可知，存在c∈(0，ξ)，使f’(c)=0．原题

得证． 涉及知识点：高等数学

40． 设，求

正确答案：由可知 涉及知识点：高等数学

41． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

42． 设，求的值．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

43． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

44． 求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．

正确答案：由对称性可知，所求心形线全长为 涉及知识点：高等数

学

45． 设f(x)连续，，求φ’(x)并讨论φ’(x)在x=0处的连续性．

正确答案：由题设知f(0)=0，φ(0)=0．令xt=u，得从而由导数定义可知由

于从而可知φ’(x)在x=0处连续． 涉及知识点：高等数学

46． 求

正确答案： 涉及知识点：高等数学

47． 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口．已

知井深30 m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，

提升速度为3 m／s，在提升过程中，污泥以20 N／s的速率从抓斗缝隙中漏掉．现

将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功? (说明：①1 N

×l m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳；②抓斗的高度及位于井

口上方的缆绳长度忽略不计)

正确答案：作x轴如图2．6．将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 ω=

ω1+ω2+ω3其中ω1是克服抓斗自重作的功，ω2是克服缆绳重量所作的功；

ω3是提出污泥所作的功．由题设可知 ω1=400×30=12 000 dω2=50(30

一x)dx从而在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所作的功为 dω3=3(2 000—20t)dt

将污泥从井底提升到井口共需时间，所以则共需作功ω=12 000+22 500+57

000=91 500(J) 涉及知识点：高等数学

48． 设函数f(x)在[0，x]上连续，且．试证：在(0，π)内至少存在两个不同

的点ξ1和ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

正确答案：令，则F(0)=F(π)=0又所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，

因若不然，则在(0，π)内或F(x)sinx恒为正，或F(x)sinx恒为负，均与矛盾．但

当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)=0．由此证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0＜

ξ＜π)再对F(x)在[0，ξ]和[ξ，π]上分别应用罗尔中值定理，知至少存在ξ1

∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0即 f(ξ1)=f(ξ2)=0

涉及知识点：高等数学

49． 求．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

50． 已知两曲线y=f(x)与在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求

极限．

正确答案：由题设条件知f(0)=0，故所求切线方程为y=x 涉及知识

点：高等数学

过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形

D．

51． 求D的面积A；

正确答案：如图(a)，设切点横坐标为x0，则曲线lnx在点(x0，lnx0)处的切

线方程为由该切线过原点知lnx0-1=0，从而x0=e，所以该切线方程为所求图形D

的面积为 涉及知识点：高等数学

52． 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．

正确答案：切线与x轴及直线x=e所围成三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥

体体积为 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成图形绕直线x=e旋转所得旋转

体体积为从而所求旋转体体积为 涉及知识点：高等数学

某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土

层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比

(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a m，根据设计方案，要

求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0＜r＜

1)．问

53． 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?

正确答案：设第咒次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作

的功为Wn(n=1，2，3，…)．由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩

的阻力大小为kx，所以由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之

比为常数r知， W1=rW1， W3=rW2=r2W1则前三次击打所作功总和为

W1+W2+W3=W1+rW+r2W1=(1+r+r2)W1=又从而有则即汽锤击打3次后，可将

桩打进地下米． 涉及知识点：高等数学

54． 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m表示长度单

位米)

正确答案：由归纳法可知 涉及知识点：高等数学

55． 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与

l2分别是由线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有

三阶连续导数，计算定积分．

正确答案：由(3，2)是曲线y=f(x)的拐点知，f”(3)=0；由直线l1与l2分别是

曲线y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f’(0)=2，f’(3)=一2，f(0)=0，f(3)=2，

利用分部积分法可得 涉及知识点：高等数学

设f(x)是连续函数，

56． 利用定义证明函数F(x)=可导，且F’(x)=f(x)；

正确答案：证 对任意的x，由于f是连续函数，所以其中ξ介于x与x+

△x之间．由，可知函数F(x)在x处可导，且F’(x)=f(x)． 涉及知识点：

高等数学

57． 当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=也是以2为周期的

周期函数．

正确答案：证：要证明G(x)以2为周期，即要证明对任意的x，都有

G(x+2)=G(x)，记H(x)=G(x+2)一G(x)，则所以H(x)=0，即G(x+2)=G(x)． 涉

及知识点：高等数学

58． 比较的大小，说明理由；

正确答案：当0≤t≤1时，因为ln(1+t)≤t，所以

lnt｜，因此 涉及知识点：高等数学

59． 记，求极限

正确答案： 涉及知识点：高等数学

60． 计算，其中

正确答案： 涉及知识点：高等数学

lnt｜[ln(1+t)]n≤tn｜ ｜