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2024年3月26日发(作者：汗绮琴)

1.求下列积分的数值解：





xx3x2

function y = myfun(x)

y = 1./(x.*(x.^2 - 3*x + 2 ).^(1/3));

warning off all

Q = quad(@myfun,2,100000)

Q = quad(@myfun,2,10000000)

Q = quad(@myfun,2,1000)

warning on

当上限为100000,10000000,1000000000时，

定积分的值为x=1.4389,1.4396,1.4396。

因此，可以将1.4396作为此定积分的值。

2.已知

f(t,h)e

th

cotsh()(th)

sitnh()

，

g(h)



f(t,h)dt

，画出

h[10,10]

时，

g(h)

的图形。

syms t,syms h;

f=exp(t+h)*cos(t+h)+(t+h)^2*sin(t+h);

int(f,t,0,10)

ans =

1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(10+h)*

h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*cos(h)-2*

sin(h)*h

ezplot('1/2*exp(10+h)*cos(10+h)+1/2*exp(10+h)*sin(10+h)-98*cos(10+h)-20*cos(10+h)*h-cos(

10+h)*h^2+20*sin(10+h)+2*sin(10+h)*h-1/2*exp(h)*cos(h)-1/2*exp(h)*sin(h)+cos(h)*h^2-2*co

s(h)-2*sin(h)*h',[-10,10])

3.画出

x(y5)16

绕

轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。

主程序：

[y,z]=cylinder(1:0.2:9,100);

mesh(sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2),y,z);

hold on;

mesh(-sqrt(16-(sqrt(y.^2+z.^2)-5).^2),y,z);

求体积dv=



16(y5)

dydz

先计算在第Ⅰ卦限的体积 1≤y+z≤9

计算



16(y5)



9y

1y





16(y5)

9y

16(y5)

1y



clear

syms z m y

m=sqrt(16-(y-5)^2)*(sqrt(9-y^2)-sqrt(1-y^2));

int(m,1,9)

ans =

-118/3*i-19*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))-35/3*3^(1/2)*EllipticPi(1/3,1/2*2^(1/2))+50*3^(1/2)

*EllipticE(1/2*2^(1/2))-58/3*i*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))+35/6*i*3^(1/2)*EllipticPi(3/4,1/2

*2^(1/2))+50*i*3^(1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))+75/2*log(5)-75/2*log(-3+4*i)

V=8(118/3*i-19*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))-35/3*3^(1/2)*EllipticPi(1/3,1/2*2^(1/2))+50*3^(

1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))-58/3*i*3^(1/2)*EllipticK(1/2*2^(1/2))+35/6*i*3^(1/2)*EllipticPi(3/4,

1/2*2^(1/2))+50*i*3^(1/2)*EllipticE(1/2*2^(1/2))+75/2*log(5)-75/2*log(-3+4*i))

4.画出下列曲面的图形

y

1

；（1）旋转单叶双曲面

x=@(s,t)3.*sec(s).*cos(t);

y=@(s,t)3.*sec(s).*sin(t);

z=@(s,t)2.*tan(s);

ezmesh(x,y,z)

或者

t=-pi/4:0.1:pi/4;

r=0:0.1:2*pi;

[r,t]=meshgrid(r,t);

x=3*sec(t).*sin(r);

y=3*sec(t).*cos(r);

z=2*tan(t);

surf(x,y,z)

-1

-2

-5

（2）马鞍面

zxy

；

x=-2*pi:0.2:2*pi;

[x,y]=meshgrid(x);

z=x.*y;

surf(x,y,z);

xlabel('x-axis'),ylabel('y-axis'),zlabel('z-axis');

title('surf')；

或者

x=-2:0.1:2;

y=-2:0.1:2;

[xx,yy]=meshgrid(x,y);

zz=xx.*yy;

surf(xx,yy,zz)

或者

ezsurf(@(x,y)x*y)

5.画出隐函数

sinxcosy1

的图形。

ezplot('cos(y)+sin(x)-1',[-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi])

6.（1）求函数

yln

x2

的三阶导数；

1x

clear

syms x

diff('log((x+2)/(1-x))',x,3)

（2）求向量

a[00.524]

的一阶向前差分。

a=[0,0.5,2,4];

i=1:3;

b=a(i+1)-a(i)

7.求解非线性方程组





xy60

（1）







yx60

[x,y]=solve('x^2+y-6=0','y^2+x-6=0','x','y')



xsiny

cosy10

（2）



tanx10lny5



[x,y]=solve('exp(x+sin(y))+cos(y)=10','tan(x)+10*log(y)=5','x','y')

8.求函数

f(x)x

6x

8x1

的极值点，并画出函数的图形。

clear;

syms x

y=x^3+6*x^2+8*x-1;

dy=diff(y)

x=solve(dy)

x=double(x)

作图：fplot('x^3+6*x^2+8*x-1',[-5,1])

9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1m的圆钢各一根。已知原

料长6.9m，问应如何下料，使用的原材料最省。

解：最简单做法是，在每一根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根组成一套，

每根原材料剩下料头0.9m（7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。为了做100套钢架，需用原材料100

根，共有90m料头。若改为用套裁，这可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以

考虑采用。见表1-5。

结果

方案

2.9m

2.1m

余料

0.9

0.1

0.9

0.8

0.7

0.6

为了得到100套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按1方案下料的原材料根数为x1,2

方案为x2，3方案为x3，4方案为x4,5方案为x5，6方案为x6, 7方案为x7。根据表1-11

的方案，可列出以下数学模型：



min

0.9x

0x

0.1x

0.9x

0.8x

0.7x

+0.6x





+2x

100





+2x

+3x

100



+4x

+6x

+4x

+2x

100





0

LINGO程序如下：

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;

x1+x2+2*x3>=100;

x1+x5+2*x6+3*x7>=100;

x1+4*x2+x3+6*x4+4*x5+2*x6>=100;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

@gin(x4);

@gin(x5);

@gin(x6);

@gin(x7);

Feasible solution found:

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value

MINZ 27.90000

X1 8.000000

X2 46.00000

X3 31.00000

X4 1.000000

X5 5.000000

Row Slack or Surplus

1 0.000000

2 0.000000

3 0.000000

4 0.000000

N=91根

10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：

项目

，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％；

项目

，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超

过4万元；

项目

，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140％，但规定最大投资额不超过

3万元；

项目

，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6％。

该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥

有的资金的本利总额为最大？

第j年

项目

解：

X1A

X1D

X2A

X2C

X2D

X3A

X3B

X3D

X4A

X4D

X5D

分析：第一年有10万元资金，

X1AX1D100000

；

第二年投资，

X2AX2CX2D1.06X1D

；

第三年投资：

X3AX3BX3D1.15X1A1.06X2D

；

第四年投资：

X4AX4D1.06X3D1.15X2A

；

第五年投资：

X5D1.15X3A1.06X4D

其中，

X3B40000

X2C30000

,由于“连续投资问题”要求第五年

末部门所拥有的资金的本利总额最大，故目标函数为：

maxZ1.15X4A1.40X2C1.25X3B1.06X5D

建立“连续投资问题”的线性规划模型：

maxZ1.15X4A1.40X2C1.25X3B1.06X5D



X1AX1D100000



X2AX2CX2D1.06X1D



X3AX3BX3D1.06X2D1.15X1A





X4AX4D1.06X3D1.15X2A



X5D1.15X3A1.06X4D



X3B40000



X2C30000



用Lingo求解：

max=1.15*X4A+1.25*X3B+1.4*X2C+1.06*X5D;

X1A+X1D=100000;

X2A+X2C+X2D-1.06*X1D=0;

X3A+X3B+X3D-1.15*X1A-1.06*X2D=0;

X4A+X4D-1.15*X2A-1.06*X3D=0;

X5D-1.15*X3A-1.06*X4D=0;

X3B<=40000;

X2C<=30000;

Z=143750元。

第一年：X1A=71698.11元 X1D=28301.89元

第二年：X2A=0 X2C=30000元 X2D=0

第三年：X3A=0 X3B=40000元 X3D=42452.83元

第四年：X4A=45000元 X4D=0

第五年：X5D=0

11.已知某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品，各种产品需要在A，B，C三种设备上加工生

产，具体相关数据如表1。试研究下列问题。

（1）如何充分发挥已有设备的能力，使生产盈利最大？

（2）如果为了增加产量，可租用其他厂家设备B，每月可租用60台时，租金为1.8万

元，试问租用设备B是否合算？

（3）如果该工厂拟增加生产两种新产品Ⅳ和Ⅴ，其中产品Ⅳ需用A设备12台时，B设

备5台时，C设备10台时，单位产品盈利21000元；产品Ⅴ需用A设备4台时，B设备4

台时，C设备12台时，单位产品盈利1870元。假如A，B，C三种设备台时不增加，试分别

考虑这两种新产品的投产在经济上是否合算？

表1 生产计划的相关数据

单位产品利润/元

Ⅰ

3000

Ⅱ

2000

Ⅲ

2900

设备有效台时/每月

300

400

420

解：

（1）设使用A为x1台时，B使用x2台时，C是使用x3台时：

程序

max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;

8*x1+2*x2+10*x3<=300;

10*x1+5*+5*x2+8*x3<=400;

2*x1+13*x2+10*x3<=420;

Global optimal solution found.

Objective value: 134500.0

Extended solver steps: 6

Total solver iterations: 29

Variable Value Reduced Cost

X1 24.00000 -3000.000

X2 24.00000 -2000.000

X3 5.000000 -2900.000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 134500.0 1.000000

2 10.00000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 10.00000 0.000000

（2）max=3000*x1+2000*x2+2900*x3;

8*x1+2*x2+10*x3<=300;

10*x1+5*x2+8*x3<=460;

2*x1+13*x2+10*x3<=420;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

综Global optimal solution found.

Objective value: 145000.0

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

X1 31.00000 -3000.000

X2 26.00000 -2000.000

X3 0.000000 -2900.000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 145000.0 1.000000

2 0.000000 0.000000

3 20.00000 0.000000

4 20.00000 0.000000

合考虑方案（1）和方案（2），方案（2）经济效益为145000不合理.

（3）目标函数：

maxz=3000*x1+2000*x2+2900*x3+21000*x4+1870*x5;

8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5<=300;

10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5<=400;

2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5<=420;

Global optimal solution found.

Objective value: 135960.0

Extended solver steps: 25

Total solver iterations: 202

Variable Value Reduced Cost

X1 26.00000 -3000.000

X2 19.00000 -2000.000

X3 1.000000 -2900.000

X4 1.000000 -2100.000

X5 8.000000 -1870.000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 135960.0 1.000000

2 0.000000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 5.000000 0.000000

结论：最大经济效益为1356960元时，x1,x2,x3,x4,x5分别为26、19、1、1、8.

12. 某市政府拟投入一笔资金和一定数量的劳动力建设两类公益项目A和B，目的是方便市

民的生活，提高城市的生活质量。根据预测投入1万元资金和1百个劳动力·h（即每个劳

动力用1h）,分别可以建成1个项目A和两个项目B。如果投入1个劳动力·h需要支付10

元，市政府为了用有限的资金和劳动力，并用最快的时间建成这批项目，服务于社会，服务

于人民。市政府依次提出下面的四条要求。

（1）至少要建50个项目A；

（2）至多建设60个项目B；

（3）至少要利用80万元资金和10000个劳动力·h；

（4）总投入资金不超过预算120万元。

试为该市政府制定一个满意的项目建设方案。

解：

第一目标：

P1d1



第二目标：

P2d2



第三目标：

P3d3

规划函数：



minZP1d1



P2d2



P3d3



P4d4



P5d5





x1d1



50





x2d260





1.1x10.55x2d380





x10.5x2d4



100



1.1x10.55x2d5



120



应用lingo软件，得项目A数目为70，项目B数目为60.

程序：

min=p1*d11+p2*d22+p3*d31+p4*d41+p5*d52;

x1-d11=50;

x2+d22=60;

1.1*x1+0.55*x2-d31=80;

x1+0.5*x2-d41=100;

1.1*x1+0.55*x2+d52=120;

运行结果为

Local optimal solution found.

Objective value: 0.000000

Total solver iterations: 4

Variable Value Reduced Cost

P1 0.000000 20.00000

D11 20.00000 0.000000

P2 0.000000 0.000000

D21 0.000000 0.000000

P3 0.000000 30.00000

D31 30.00000 0.000000

P4 0.000000 0.000000

D41 0.000000 0.000000

P5 0.000000 10.00000

D52 10.00000 0.000000

X1 70.00000 0.000000

X2 60.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 0.000000 -1.000000

2 0.000000 0.000000

3 0.000000 0.000000

4 0.000000 0.000000

5 0.000000 0.000000

6 0.000000 0.000000

13.求微分方程组初值问题





rxaxy





sybxy



x(0)x

,y(0)y





式中，

r2

，

s1

，

a1

，

b2

。

选用ode45函数计算，其相对误差限为

，绝对误差限为

，分别画出初值条件

为

][1,0.3]

，

[1,0.5]

，

[1,0.7]

，

[1,0.9]

，

[1,1.1]

解的相平面轨迹图。

程序：新建一个shier.m文件

function dx=shier(t,x);

dx=zeros(2,1);

dx(1)=(2*x(1)-x(1)*x(2));

56

dx(2)=(-x(2)+2*x(1)*x(2));

options = odeset('RelTol',1e-5,'AbsTol',1e-6);

[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.3]);

plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')

[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.5]);

plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')

[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.7]);

plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')

[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,0.9]);

plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')

[t,x]=ode45('shier',[0,12],[1,1.1]);

plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'*')

图一

图二

图三

图四

图五

14．求两个圆

y

100

，

(x3)

(y4)

100

所围公共部分的面积。

程序：

ezplot('x^2+y^2-100',[-20,20]);

hold on;

ezplot('(x-3)^2+(y-4)^2-100',[-20,20]);

>> syms x;

g=sqrt(100-(x+2.5)^2);

int(g,x,0,7.5)

ans =25*pi-25/8*15^(1/2)-50*asin(1/4)

double(ans)

ans = 53.8027

>> s=4*double(ans)

s = 215.2109

15. 已知平面区域

0x5600

，

0y4800

的高程数据见表3（单位：m）。

表3

4800

4400

4000

3600

3200

2800

2400

2000

1600

1200

800

400

1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150

1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210

1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350

1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500

1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550

950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200

910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100

880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950

830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750

740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550

650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350

510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320

370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 5600

Y/X

试用二维插值求

x,y

方向间隔都为10的高程，画出该区域的等高线和三维视图，并求该区

域的表面积。

建一个moutain.m文件

x=0:400:5600;

y=0:400;4800;

z=[1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570

430 290 210 150

1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540

380 300 210

1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620

460 370 350

1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850

750 550 500

1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550

1500 1500 1550 1550

950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900

1050 1150 1200

910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880

1000 1050 1100

880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870

900 936 950

830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810

380 780 750

740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780

750 650 550

650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500

550 480 350

510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200

300 350 320

370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300

100 150 250]

figure(1);

meshz(x,y,z)

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

xi=0:10:5600;

yi=0:10:4800;

>> figure(2)

z1i=interp2(x,y,z,xi,yi','nearest');

surfc(xi,yi,z1i)

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> figure(3)

z2i=interp2(x,y,z,xi,yi');

surfc(xi,yi,z2i)

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

>> figure(4)

z3i=interp2(x,y,z,xi,yi','cubic');

surfc(xi,yi,z3i)

xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')

figure(5)

subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,'r');

subplot(1,3,2),contour(xi,yi,z2i,10,'r');

subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,'r');







145





16. 已知矩阵

A426

，

xx

，求二次型

f(x

)x

在单位球面













563





x

1

上的最小值。

MATLAB程序：

syms x1 x2 x3;

A=[1,4,5;4,2,6;5,6,3];

x=[x1;x2;x3];

t=[x1,x2,x3];

f=t*A*x

f =

(x1+4*x2+5*x3)*x1+(4*x1+2*x2+6*x3)*x2+(5*x1+6*x2+3*x3)*x3

LINGO程序：

min=(x1+4*x2+5*x3)*x1+(4*x1+2*x2+6*x3)*x2+(5*x1+6*x2+3*x3)*x3;

x1^2+x2^2+x3^2=1;

过MATLAB计算得出

f= (x1+4*x2+5*x3)*x1+(4*x1+2*x2+6*x3)*x2+(5*x1+6*x2+3*x3)*x3

代入LINGO的出

X1=x2=0 x3=1

f=3；

17. 求解线性规划问题：

max Z

20x

90x

80x

70x

30x



x

30



xx30





2x

120



3x2xx48





0,

1,



程序：max=20*x1+90*x2+80*x3+70*x4+30*x1;

s.t.

x1+x2+x5>=30;

x3+x4>=30;

3*x1+2*x3<=120;

3*x2+2*x4+x5<=48;

18.

18.求解数学规划问题

max



i1

1000



Ax1

5001



s.t.

x0



其中

A(a

)

5001000

，这里

是服从均值为5，标准差为2的正态分布的随

机数；

5001

表示500个元素全部为1的列向量。

：

标注c为

11000

表示1000个元素全部为1的行向量；

A为服从均值为5，标准差为2的正态分布的随机数组成的矩阵；

D为

5001

表示500个元素全部为1的列向量。

主程序：

经计算得出max=0.2022

f=-1*[1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1

;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;

1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1