2024年3月29日发(作者：酒淑哲)
绝密☆启用前
2020
年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及答案解析
（科目代码：
302）
考生注意爭项
1.
答題前，考生须在试題册指定位置上填
⅛*⅛⅛Λ
和考生编号；在答题卡指
定位豈上填写报考单位、考生
⅛Λ4∏
考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.
考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条 形码粘贴位
置”框中。不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生 自负。
3.
选择
題的答
案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳 写在答題纸
指定位置的边框区域内。超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、 试題册上答题无效。
字迹工整、笔迹清
（以下信息考生必须认真填写）
5.
考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。
考生编号
考生姓名
2020
年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试
一、选择题：
（1・8
小题，每小题
4
分，共
32
分，下列每小题给出的四个选项
中,
只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）
】.当
Λ→0*,
下列无穷小的阶数最高的是（〉
B.
JA
卜
√φ
2
屈
5）=
册壯訓第二类间断点个数为＜〉
A. 1
B. 2
C. 3
Qarcsin
仮.
2
)
π
8
B.——
第】页戈
17
页
π
D.-
8
4
•函数
f(x) = x
2
In(I-x),
当
n≥3
时./
(
^(O)= <
〉
n∖
A. -------
n-2
W-2
n∖
B.——
5∙
对函数
∕g）n
-Vw
y = 0
,给出以下结论
.r = 0
汀②竺
（0.0）
=1： ® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim
f(x
9
y)
(0 0)
∂x∂
个数是（〉
A. 4
B. 3
C.
2
D. 1
6
•函数
/(x)
在区间
［-2,2］
上可导.
Π
∕X
V
)>∕(
Λ
∙)>0.
则 < )
第
2
页戈
17
页
正确的
=0
B.
D.
7
•己如四阶短阵
J = (αj
不可逆山応的代数余子式
/f
12
≠0^
15
α
29
α
3
^
4
为短阵畀的
列向虽组，
/T
为月的伴随矩阵.则方程组
AX =
O
的通解为(
》
t
A. X = A “I +& √Z2 +A√
z
3,
其中仏
M 2, & 3
为任点常数
B.
x≈k
l
a
l
+k
2
a
2
-^k
i
a
49
其中
k
i
,k
2
,k
i
为任意常数
C. * = ] + R2
其中
k
n
k
29
k
i
为任总常数
D.
X = k
l
a
2
∙^k
2
a
3
^-k
i
a
i9
^
φΛ∣,Λ
2
,Λ
3
为任总常数
&i
殳
/1
为
3
阶矩阵
,tz,,α
2
为矩阵
/IWTI
的线性无关的特征向
S.α
3
为//的属丁特征值
仃
O 0
、
-1
的特征向量.则满足
P
x
ΛP
= 0-10
的可逆矩阵
P
可为(〉
,0 O L
A∙
(a
l
+a
3
,a
2
-a
3
)
B. (αι+α2Sr3)
C. (a
】
+%F3,F2)
D.
(a
i
+^
2
,-α
3
.-α
2
)
二填空
(9JJ
小题，每小;
4
分，共
24
分，请将答案写在答题纸指定位置
上)
第
3
页；⅛
17
页
ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h
则
(IZ
I
(
O
lX)
= ∙
12
•斜边长为
2uWlL(∏ 2f∣J
形丫板铅
Il
地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連
度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为 ___________
t
13
.设
y =
y(x)
满足
y
β
+ Iy
+ y = O,
且
y(0) = 0./(0) = I
,则 £
V
(
Λ
M
V
= __
Q
0
-1
14.
行列式
-1 1
-1
O
O
a
三、简答题
(15-23
小题，共
94
分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写
出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.
(本题满分
10
分)
求曲纯
F =
产=
(V > 0)
的斜渐近线方程
O
"0 + V)
16.
（本题满分
10
分）
□.知
PA
数
/(x)
连续
ILliI
】、
=Lg(X) = ∫'/
(Xt )(JK
求匕'
(x),
并证明
g'(.v)
&x =
0
处 连续。
第
4
页：⅛
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页
17.
（本题满分
IO
分）
求函数
/（Λ∖j∕） = x+Sy
的极值。
1
第
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页丸
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页
18.
(本题满分
10
分)
设西数√
(.v)
的定义域为
(0, + 00)
且满足
2∕(
Λ
)+
疋彳+卜 护寻・求
＜(∙d
并求
Illl
线
y≈ f(x∖y = y =
£及
y
轴所创图形绕
X
轴旋转所成旋转体的体积。
19.
(本题满分
10
分)
设平而
D
illH
线
x = tx≈Zy = x
与
X
轴
Bl
成，
il
第
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页
。
口∫∫ClXdy
20.
(本題满分
Il
分)
设曲数 /
(.v) = ∫
e" ch.
(1)
证明:存在
⅞e(l,2> /(⅞)=(2-⅞X;
<2>
证明：存在
77∈(1,2),
/(2)=1
Π
2∙77√.
21.
(本题滴分
11
分)
设
/(.v) Ur
导，且曲线
y = /(x)(x>0)
经过坐标原点.只上任意•点财处的 切线与
X
轴交
TT,
又
An
垂直
X
轴与点
P,
已知曲线
y
= /(x),
直线
MP
以及
Λ
:
轴所鬧 图形面积与
∖MTP
血
积之比恒为
3:2,
求满足上述条件的曲线力程。
第
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页艾
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页
22.（
本題满分
Il
分）
设二次型
/(.V
r
x
2
,Λ
v
) = .r
l
+Xj +X
J
+2
ΠX
I
X
2
+2αr
l
X: +
2ax
2
x
3
经可逆线性变换
勺
=P y
2
β2
化为二次型
g（y
』
2
必）
+y； ÷4vf+2^
2
.
(1>
求
a；
<2>
求可逆如阵
P.
23.
（本题满分
Il
分）
IaAhl
阶矩阵，
P
=（4
Aa∖
其中
a
是非零向虽且不楚
A
的待征向乩
<1>
证明
P
为可逆建阵.
（2）
若
A
2
a+Aa-6a = 0.^
l
AP.
并判断/（是否相似于对角阵。
第
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2020
年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题答案
1.
【答案】
D
【解析】选项
A, (∫θ (/ -1)√∕) = -1 ~x(x→O
选项
B, (∫jn(l÷√F√∕)) = ln(l+√?") ~
Λ
∙^(.
V
→O)
选项
G (f
+s,1 r
2
sin∕√r)
2
=Sin(Sin
2
x)COSX -X
?
(X ->()")
JD
选项
D, (J； 'Jsiιf∕d∕) = JSin (I -COSK) sin.v ~ cv(.v ToJ
iλ,
2.
【答案】
C
【解析】间断点为
X=-1,0,1,2,
Iim
/(x)
= 8为无穷间斯点.
Iiln./(.v)
二一--为町去间斷,"・
x→-! JrTO
2f
Iim
f(x) = ∞
为无穷间断点
Jim
f(x)≈∞
为无穷间断点•
x→l x→2
3.
【答案】
A
[解析】
= 2f' arcsin
4xd
arcsin Vr = (arcsin
>∕x∖ ' =
JoJx(Ii)
Jo
4.
【答案】
A
V ,
0
【解析】
∕"(x) = hW(l-Λr)√+C:IdZ(I-X)2x+C：IfZ(Ir)2 ∕(0) =
C
a
In-
2
,iπ,cλ
Z)
(I-x)2 I
J=O
=
n(n -
1)(-1)^(-Ir(M -3)! = ~
Λ
5
.【答案】
B
【解析】
]i
ιn
∕(r°)-
∕(°∙0) =
=U
①对;
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2024年3月29日发(作者：酒淑哲)
绝密☆启用前
2020
年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及答案解析
（科目代码：
302）
考生注意爭项
1.
答題前，考生须在试題册指定位置上填
⅛*⅛⅛Λ
和考生编号；在答题卡指
定位豈上填写报考单位、考生
⅛Λ4∏
考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.
考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条 形码粘贴位
置”框中。不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生 自负。
3.
选择
題的答
案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳 写在答題纸
指定位置的边框区域内。超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、 试題册上答题无效。
字迹工整、笔迹清
（以下信息考生必须认真填写）
5.
考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。
考生编号
考生姓名
2020
年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试
一、选择题：
（1・8
小题，每小题
4
分，共
32
分，下列每小题给出的四个选项
中,
只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）
】.当
Λ→0*,
下列无穷小的阶数最高的是（〉
B.
JA
卜
√φ
2
屈
5）=
册壯訓第二类间断点个数为＜〉
A. 1
B. 2
C. 3
Qarcsin
仮.
2
)
π
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B.——
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π
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4
•函数
f(x) = x
2
In(I-x),
当
n≥3
时./
(
^(O)= <
〉
n∖
A. -------
n-2
W-2
n∖
B.——
5∙
对函数
∕g）n
-Vw
y = 0
,给出以下结论
.r = 0
汀②竺
（0.0）
=1： ® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim
f(x
9
y)
(0 0)
∂x∂
个数是（〉
A. 4
B. 3
C.
2
D. 1
6
•函数
/(x)
在区间
［-2,2］
上可导.
Π
∕X
V
)>∕(
Λ
∙)>0.
则 < )
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正确的
=0
B.
D.
7
•己如四阶短阵
J = (αj
不可逆山応的代数余子式
/f
12
≠0^
15
α
29
α
3
^
4
为短阵畀的
列向虽组，
/T
为月的伴随矩阵.则方程组
AX =
O
的通解为(
》
t
A. X = A “I +& √Z2 +A√
z
3,
其中仏
M 2, & 3
为任点常数
B.
x≈k
l
a
l
+k
2
a
2
-^k
i
a
49
其中
k
i
,k
2
,k
i
为任意常数
C. * = ] + R2
其中
k
n
k
29
k
i
为任总常数
D.
X = k
l
a
2
∙^k
2
a
3
^-k
i
a
i9
^
φΛ∣,Λ
2
,Λ
3
为任总常数
&i
殳
/1
为
3
阶矩阵
,tz,,α
2
为矩阵
/IWTI
的线性无关的特征向
S.α
3
为//的属丁特征值
仃
O 0
、
-1
的特征向量.则满足
P
x
ΛP
= 0-10
的可逆矩阵
P
可为(〉
,0 O L
A∙
(a
l
+a
3
,a
2
-a
3
)
B. (αι+α2Sr3)
C. (a
】
+%F3,F2)
D.
(a
i
+^
2
,-α
3
.-α
2
)
二填空
(9JJ
小题，每小;
4
分，共
24
分，请将答案写在答题纸指定位置
上)
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ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h
则
(IZ
I
(
O
lX)
= ∙
12
•斜边长为
2uWlL(∏ 2f∣J
形丫板铅
Il
地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連
度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为 ___________
t
13
.设
y =
y(x)
满足
y
β
+ Iy
+ y = O,
且
y(0) = 0./(0) = I
,则 £
V
(
Λ
M
V
= __
Q
0
-1
14.
行列式
-1 1
-1
O
O
a
三、简答题
(15-23
小题，共
94
分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写
出文字说明，证明过程或演算步骤)
15.
(本题满分
10
分)
求曲纯
F =
产=
(V > 0)
的斜渐近线方程
O
"0 + V)
16.
（本题满分
10
分）
□.知
PA
数
/(x)
连续
ILliI
】、
=Lg(X) = ∫'/
(Xt )(JK
求匕'
(x),
并证明
g'(.v)
&x =
0
处 连续。
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（本题满分
IO
分）
求函数
/（Λ∖j∕） = x+Sy
的极值。
1
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18.
(本题满分
10
分)
设西数√
(.v)
的定义域为
(0, + 00)
且满足
2∕(
Λ
)+
疋彳+卜 护寻・求
＜(∙d
并求
Illl
线
y≈ f(x∖y = y =
£及
y
轴所创图形绕
X
轴旋转所成旋转体的体积。
19.
(本题满分
10
分)
设平而
D
illH
线
x = tx≈Zy = x
与
X
轴
Bl
成，
il
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。
口∫∫ClXdy
20.
(本題满分
Il
分)
设曲数 /
(.v) = ∫
e" ch.
(1)
证明:存在
⅞e(l,2> /(⅞)=(2-⅞X;
<2>
证明：存在
77∈(1,2),
/(2)=1
Π
2∙77√.
21.
(本题滴分
11
分)
设
/(.v) Ur
导，且曲线
y = /(x)(x>0)
经过坐标原点.只上任意•点财处的 切线与
X
轴交
TT,
又
An
垂直
X
轴与点
P,
已知曲线
y
= /(x),
直线
MP
以及
Λ
:
轴所鬧 图形面积与
∖MTP
血
积之比恒为
3:2,
求满足上述条件的曲线力程。
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22.（
本題满分
Il
分）
设二次型
/(.V
r
x
2
,Λ
v
) = .r
l
+Xj +X
J
+2
ΠX
I
X
2
+2αr
l
X: +
2ax
2
x
3
经可逆线性变换
勺
=P y
2
β2
化为二次型
g（y
』
2
必）
+y； ÷4vf+2^
2
.
(1>
求
a；
<2>
求可逆如阵
P.
23.
（本题满分
Il
分）
IaAhl
阶矩阵，
P
=（4
Aa∖
其中
a
是非零向虽且不楚
A
的待征向乩
<1>
证明
P
为可逆建阵.
（2）
若
A
2
a+Aa-6a = 0.^
l
AP.
并判断/（是否相似于对角阵。
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2020
年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题答案
1.
【答案】
D
【解析】选项
A, (∫θ (/ -1)√∕) = -1 ~x(x→O
选项
B, (∫jn(l÷√F√∕)) = ln(l+√?") ~
Λ
∙^(.
V
→O)
选项
G (f
+s,1 r
2
sin∕√r)
2
=Sin(Sin
2
x)COSX -X
?
(X ->()")
JD
选项
D, (J； 'Jsiιf∕d∕) = JSin (I -COSK) sin.v ~ cv(.v ToJ
iλ,
2.
【答案】
C
【解析】间断点为
X=-1,0,1,2,
Iim
/(x)
= 8为无穷间斯点.
Iiln./(.v)
二一--为町去间斷,"・
x→-! JrTO
2f
Iim
f(x) = ∞
为无穷间断点
Jim
f(x)≈∞
为无穷间断点•
x→l x→2
3.
【答案】
A
[解析】
= 2f' arcsin
4xd
arcsin Vr = (arcsin
>∕x∖ ' =
JoJx(Ii)
Jo
4.
【答案】
A
V ,
0
【解析】
∕"(x) = hW(l-Λr)√+C:IdZ(I-X)2x+C：IfZ(Ir)2 ∕(0) =
C
a
In-
2
,iπ,cλ
Z)
(I-x)2 I
J=O
=
n(n -
1)(-1)^(-Ir(M -3)! = ~
Λ
5
.【答案】
B
【解析】
]i
ιn
∕(r°)-
∕(°∙0) =
=U
①对;
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