2024年3月29日发(作者：酒淑哲)
绝密☆启用前
2020
年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及答案解析
（科目代码：
302）
考生注意爭项
1.
答題前，考生须在试題册指定位置上填
⅛*⅛⅛Λ
和考生编号；在答题卡指
定位豈上填写报考单位、考生
⅛Λ4∏
考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.
考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条 形码粘贴位
置”框中。不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生 自负。
3.
选择
題的答
案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳 写在答題纸
指定位置的边框区域内。超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、 试題册上答题无效。
字迹工整、笔迹清
（以下信息考生必须认真填写）
5.
考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。
考生编号
考生姓名
2020
年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试
一、选择题：
（1・8
小题，每小题
4
分，共
32
分，下列每小题给出的四个选项
中,
只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）
】.当
Λ→0*,
下列无穷小的阶数最高的是（〉
B.
JA
卜
√φ
2
屈
5）=
册壯訓第二类间断点个数为＜〉
A. 1
B. 2
C. 3
Qarcsin
仮.
2
)
π
8
B.——
第】页戈
17
页
π
D.-
8
4
•函数
f(x) = x
2
In(I-x),
当
n≥3
时./
(
^(O)= <
〉
n∖
A. -------
n-2
W-2
n∖
B.——
5∙
对函数
∕g）n
-Vw
y = 0
,给出以下结论
.r = 0
汀②竺
（0.0）
=1： ® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim
f(x
9
y)
(0 0) ∂x∂ 个数是（〉 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6 •函数 /(x) 在区间 ［-2,2］ 上可导. Π ∕X V )>∕( Λ ∙)>0. 则 < ) 第 2 页戈 17 页 正确的 =0 B. D. 7 •己如四阶短阵 J = (αj 不可逆山応的代数余子式 /f 12 ≠0^ 15 α 29 α 3 ^ 4 为短阵畀的 列向虽组， /T 为月的伴随矩阵.则方程组 AX = O 的通解为( 》 t A. X = A “I +& √Z2 +A√ z 3, 其中仏 M 2, & 3 为任点常数 B. x≈k l a l +k 2 a 2 -^k i a 49 其中 k i ,k 2 ,k i 为任意常数 C. * = ] + R2 其中 k n k 29 k i 为任总常数 D. X = k l a 2 ∙^k 2 a 3 ^-k i a i9 ^ φΛ∣,Λ 2 ,Λ 3 为任总常数 &i 殳 /1 为 3 阶矩阵 ,tz,,α 2 为矩阵 /IWTI 的线性无关的特征向 S.α 3 为//的属丁特征值 仃 O 0 、 -1 的特征向量.则满足 P x ΛP = 0-10 的可逆矩阵 P 可为(〉 ,0 O L A∙ (a l +a 3 ,a 2 -a 3 ) B. (αι+α2Sr3) C. (a 】 +%F3,F2) D. (a i +^ 2 ,-α 3 .-α 2 ) 二填空 (9JJ 小题，每小; 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置 上) 第 3 页；⅛ 17 页 ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h 则 (IZ I ( O lX) = ∙ 12 •斜边长为 2uWlL(∏ 2f∣J 形丫板铅 Il 地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連 度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为 ___________ t 13 .设 y = y(x) 满足 y β + Iy + y = O, 且 y(0) = 0./(0) = I ,则 £ V ( Λ M V = __ Q 0 -1 14. 行列式 -1 1 -1 O O a 三、简答题 (15-23 小题，共 94 分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写 出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 10 分) 求曲纯 F = 产= (V > 0) 的斜渐近线方程 O "0 + V) 16. （本题满分 10 分） □.知 PA 数 /(x) 连续 ILliI 】、 =Lg(X) = ∫'/ (Xt )(JK 求匕' (x), 并证明 g'(.v) &x = 0 处 连续。 第 4 页：⅛ 17 页 17. （本题满分 IO 分） 求函数 /（Λ∖j∕） = x+Sy 的极值。 1 第 5 页丸 17 页 18. (本题满分 10 分) 设西数√ (.v) 的定义域为 (0, + 00) 且满足 2∕( Λ )+ 疋彳+卜 护寻・求 ＜(∙d 并求 Illl 线 y≈ f(x∖y = y = £及 y 轴所创图形绕 X 轴旋转所成旋转体的体积。 19. (本题满分 10 分) 设平而 D illH 线 x = tx≈Zy = x 与 X 轴 Bl 成， il 第 6 页戈 17 页 。 口∫∫ClXdy 20. (本題满分 Il 分) 设曲数 / (.v) = ∫ e" ch. (1) 证明:存在 ⅞e(l,2> /(⅞)=(2-⅞X; <2> 证明：存在 77∈(1,2), /(2)=1 Π 2∙77√. 21. (本题滴分 11 分) 设 /(.v) Ur 导，且曲线 y = /(x)(x>0) 经过坐标原点.只上任意•点财处的 切线与 X 轴交 TT, 又 An 垂直 X 轴与点 P, 已知曲线 y = /(x), 直线 MP 以及 Λ : 轴所鬧 图形面积与 ∖MTP 血 积之比恒为 3:2, 求满足上述条件的曲线力程。 第 7 页艾 17 页 22.（ 本題满分 Il 分） 设二次型 /(.V r x 2 ,Λ v ) = .r l +Xj +X J +2 ΠX I X 2 +2αr l X: + 2ax 2 x 3 经可逆线性变换 勺 =P y 2 β2 化为二次型 g（y 』 2 必） +y； ÷4vf+2^ 2 . (1> 求 a； <2> 求可逆如阵 P. 23. （本题满分 Il 分） IaAhl 阶矩阵， P =（4 Aa∖ 其中 a 是非零向虽且不楚 A 的待征向乩 <1> 证明 P 为可逆建阵. （2） 若 A 2 a+Aa-6a = 0.^ l AP. 并判断/（是否相似于对角阵。 第 8 页戈 17 页 2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题答案 1. 【答案】 D 【解析】选项 A, (∫θ (/ -1)√∕) = -1 ~x(x→O 选项 B, (∫jn(l÷√F√∕)) = ln(l+√?") ~ Λ ∙^(. V →O) 选项 G (f +s,1 r 2 sin∕√r) 2 =Sin(Sin 2 x)COSX -X ? (X ->()") JD 选项 D, (J； 'Jsiιf∕d∕) = JSin (I -COSK) sin.v ~ cv(.v ToJ iλ, 2. 【答案】 C 【解析】间断点为 X=-1,0,1,2, Iim /(x) = 8为无穷间斯点. Iiln./(.v) 二一--为町去间斷,"・ x→-! JrTO 2f Iim f(x) = ∞ 为无穷间断点 Jim f(x)≈∞ 为无穷间断点• x→l x→2 3. 【答案】 A [解析】 = 2f' arcsin 4xd arcsin Vr = (arcsin >∕x∖ ' = JoJx(Ii) Jo 4. 【答案】 A V , 0 【解析】 ∕"(x) = hW(l-Λr)√+C:IdZ(I-X)2x+C：IfZ(Ir)2 ∕(0) = C a In- 2 ,iπ,cλ Z) (I-x)2 I J=O = n(n - 1)(-1)^(-Ir(M -3)! = ~ Λ 5 .【答案】 B 【解析】 ]i ιn ∕(r°)- ∕(°∙0) = =U ①对; 第 9 页丸 17 页
2024年3月29日发(作者：酒淑哲)
绝密☆启用前
2020
年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及答案解析
（科目代码：
302）
考生注意爭项
1.
答題前，考生须在试題册指定位置上填
⅛*⅛⅛Λ
和考生编号；在答题卡指
定位豈上填写报考单位、考生
⅛Λ4∏
考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.
考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下，粘贴在各题卡的“试卷条 形码粘贴位
置”框中。不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的，责任由考生 自负。
3.
选择
題的答
案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上，非选择逖的咨案必须芳 写在答題纸
指定位置的边框区域内。超出答題区域写的答案无效：在草稿纸、 试題册上答题无效。
字迹工整、笔迹清
（以下信息考生必须认真填写）
5.
考试结束，将答题卡和试遜册按规定交回。
考生编号
考生姓名
2020
年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试
一、选择题：
（1・8
小题，每小题
4
分，共
32
分，下列每小题给出的四个选项
中,
只有一项符合题目要求，请将选项前的字母填在答题纸上）
】.当
Λ→0*,
下列无穷小的阶数最高的是（〉
B.
JA
卜
√φ
2
屈
5）=
册壯訓第二类间断点个数为＜〉
A. 1
B. 2
C. 3
Qarcsin
仮.
2
)
π
8
B.——
第】页戈
17
页
π
D.-
8
4
•函数
f(x) = x
2
In(I-x),
当
n≥3
时./
(
^(O)= <
〉
n∖
A. -------
n-2
W-2
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B.——
5∙
对函数
∕g）n
-Vw
y = 0
,给出以下结论
.r = 0
汀②竺
（0.0）
=1： ® IiIn /(χ,y)=0:④Iimlim
f(x
9
y)
(0 0) ∂x∂ 个数是（〉 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6 •函数 /(x) 在区间 ［-2,2］ 上可导. Π ∕X V )>∕( Λ ∙)>0. 则 < ) 第 2 页戈 17 页 正确的 =0 B. D. 7 •己如四阶短阵 J = (αj 不可逆山応的代数余子式 /f 12 ≠0^ 15 α 29 α 3 ^ 4 为短阵畀的 列向虽组， /T 为月的伴随矩阵.则方程组 AX = O 的通解为( 》 t A. X = A “I +& √Z2 +A√ z 3, 其中仏 M 2, & 3 为任点常数 B. x≈k l a l +k 2 a 2 -^k i a 49 其中 k i ,k 2 ,k i 为任意常数 C. * = ] + R2 其中 k n k 29 k i 为任总常数 D. X = k l a 2 ∙^k 2 a 3 ^-k i a i9 ^ φΛ∣,Λ 2 ,Λ 3 为任总常数 &i 殳 /1 为 3 阶矩阵 ,tz,,α 2 为矩阵 /IWTI 的线性无关的特征向 S.α 3 为//的属丁特征值 仃 O 0 、 -1 的特征向量.则满足 P x ΛP = 0-10 的可逆矩阵 P 可为(〉 ,0 O L A∙ (a l +a 3 ,a 2 -a 3 ) B. (αι+α2Sr3) C. (a 】 +%F3,F2) D. (a i +^ 2 ,-α 3 .-α 2 ) 二填空 (9JJ 小题，每小; 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置 上) 第 3 页；⅛ 17 页 ILsr = arctan[Λτ + sin(.r + y)h 则 (IZ I ( O lX) = ∙ 12 •斜边长为 2uWlL(∏ 2f∣J 形丫板铅 Il 地沉没任水中』斜边与水而齐丫 •设血力加連 度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为 ___________ t 13 .设 y = y(x) 满足 y β + Iy + y = O, 且 y(0) = 0./(0) = I ,则 £ V ( Λ M V = __ Q 0 -1 14. 行列式 -1 1 -1 O O a 三、简答题 (15-23 小题，共 94 分•请将解答写在答题纸指定位置上，解答应 写 出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 10 分) 求曲纯 F = 产= (V > 0) 的斜渐近线方程 O "0 + V) 16. （本题满分 10 分） □.知 PA 数 /(x) 连续 ILliI 】、 =Lg(X) = ∫'/ (Xt )(JK 求匕' (x), 并证明 g'(.v) &x = 0 处 连续。 第 4 页：⅛ 17 页 17. （本题满分 IO 分） 求函数 /（Λ∖j∕） = x+Sy 的极值。 1 第 5 页丸 17 页 18. (本题满分 10 分) 设西数√ (.v) 的定义域为 (0, + 00) 且满足 2∕( Λ )+ 疋彳+卜 护寻・求 ＜(∙d 并求 Illl 线 y≈ f(x∖y = y = £及 y 轴所创图形绕 X 轴旋转所成旋转体的体积。 19. (本题满分 10 分) 设平而 D illH 线 x = tx≈Zy = x 与 X 轴 Bl 成， il 第 6 页戈 17 页 。 口∫∫ClXdy 20. (本題满分 Il 分) 设曲数 / (.v) = ∫ e" ch. (1) 证明:存在 ⅞e(l,2> /(⅞)=(2-⅞X; <2> 证明：存在 77∈(1,2), /(2)=1 Π 2∙77√. 21. (本题滴分 11 分) 设 /(.v) Ur 导，且曲线 y = /(x)(x>0) 经过坐标原点.只上任意•点财处的 切线与 X 轴交 TT, 又 An 垂直 X 轴与点 P, 已知曲线 y = /(x), 直线 MP 以及 Λ : 轴所鬧 图形面积与 ∖MTP 血 积之比恒为 3:2, 求满足上述条件的曲线力程。 第 7 页艾 17 页 22.（ 本題满分 Il 分） 设二次型 /(.V r x 2 ,Λ v ) = .r l +Xj +X J +2 ΠX I X 2 +2αr l X: + 2ax 2 x 3 经可逆线性变换 勺 =P y 2 β2 化为二次型 g（y 』 2 必） +y； ÷4vf+2^ 2 . (1> 求 a； <2> 求可逆如阵 P. 23. （本题满分 Il 分） IaAhl 阶矩阵， P =（4 Aa∖ 其中 a 是非零向虽且不楚 A 的待征向乩 <1> 证明 P 为可逆建阵. （2） 若 A 2 a+Aa-6a = 0.^ l AP. 并判断/（是否相似于对角阵。 第 8 页戈 17 页 2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题答案 1. 【答案】 D 【解析】选项 A, (∫θ (/ -1)√∕) = -1 ~x(x→O 选项 B, (∫jn(l÷√F√∕)) = ln(l+√?") ~ Λ ∙^(. V →O) 选项 G (f +s,1 r 2 sin∕√r) 2 =Sin(Sin 2 x)COSX -X ? (X ->()") JD 选项 D, (J； 'Jsiιf∕d∕) = JSin (I -COSK) sin.v ~ cv(.v ToJ iλ, 2. 【答案】 C 【解析】间断点为 X=-1,0,1,2, Iim /(x) = 8为无穷间斯点. Iiln./(.v) 二一--为町去间斷,"・ x→-! JrTO 2f Iim f(x) = ∞ 为无穷间断点 Jim f(x)≈∞ 为无穷间断点• x→l x→2 3. 【答案】 A [解析】 = 2f' arcsin 4xd arcsin Vr = (arcsin >∕x∖ ' = JoJx(Ii) Jo 4. 【答案】 A V , 0 【解析】 ∕"(x) = hW(l-Λr)√+C:IdZ(I-X)2x+C：IfZ(Ir)2 ∕(0) = C a In- 2 ,iπ,cλ Z) (I-x)2 I J=O = n(n - 1)(-1)^(-Ir(M -3)! = ~ Λ 5 .【答案】 B 【解析】 ]i ιn ∕(r°)- ∕(°∙0) = =U ①对; 第 9 页丸 17 页