2024年3月30日发(作者：都鹏程)

§2.3 等差数列的前n项和

第1课时 等差数列的前n项和公式

学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌

握等差数列的五个量a

1

，d，n，a

n

，S

n

的关系，能够由其中三个求另外两个.4.能用a

n

与S

n

的关系求a

n

.

知识点一 等差数列的前n项和

1．定义：对于数列{a

n

}，一般地，称a

1

＋a

2

＋a

3

＋…＋a

n

为数列{a

n

}的前n项和．

2．表示：常用符号S

n

表示，即S

n

＝a

1

＋a

2

＋a

3

＋…＋a

n

.

知识点二 等差数列的前n项和公式

已知量

求和公式

na

1

＋a

n



特别提醒 两个公式的关系：把a

n

＝a

1

＋(n－1)d代入S

n

＝中，就可以得到S

n

＝

2

nn－1

na

1

＋d.

2

思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了

等差数列前100项的和．如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问

题：

设S

n

＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，

又S

n

＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，

∴2S

n

＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，

∴2S

n

＝n(n＋1)，

nn＋1

∴S

n

＝.

2

知识点三 数列中a

n

与S

n

的关系

对于一般数列{a

n

}，设其前n项和为S

n

，



S

1

，n＝1，



则有a

n

＝





S－S，n≥2.



nn

－

1

首项，末项与项数

na

1

＋a

n



S

n

＝

2

首项，公差与项数

nn－1

S

n

＝na

1

＋d

2

1．若数列{a

n

}的前n项和为S

n

，则S

1

＝a

1

.( √ )

2．若数列{a

n

}的前n项和为S

n

，则a

n

＝S

n

－S

n

－

1

，n∈N

*

.( × )

3．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加．( √ )

4．若数列{a

n

}的前n项和S

n

＝kn(k∈R)，则{a

n

}为常数列．( √ )

一、等差数列前n项和公式的基本运算

例1 (1)已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，且a

2

＋a

5

＋a

8

＝9，则S

9

等于( )

A．21 B．27 C．30 D．36

答案 B

解析 ∵等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，且a

2

＋a

5

＋a

8

＝9＝3a

1

＋12d＝3a

5

，∴a

5

＝3，则S

9

＝

9a

1

＋a

9



＝9a

5

＝27.

2

(2)已知数列{a

n

}(n∈N

*

)是等差数列，S

n

是其前n项和．若a

2

a

5

＋a

8

＝0，S

9

＝27，则S

8

的值

是________．

答案 16

2

＋4d

2

解析 方法一 设等差数列{a

n

}的公差为d，则a

2

a

5

＋a

8

＝(a

1

＋d)(a

1

＋4d)＋a

1

＋7d＝a

1

＋5a

1

d＋a

1

＋7d＝0，S

9

＝9a

1

＋36d＝27，解得a

1

＝－5，d＝2，则S

8

＝8a

1

＋28d＝－40＋56

＝16.

a

1

＋a

9

方法二 ∵S

9

＝×9＝27，

2

∴a

1

＋a

9

＝6，

∴a

2

＋a

8

＝2a

5

＝6，

∴a

5

＝3，

则a

2

a

5

＋a

8

＝3a

2

＋a

8

＝0，

即2a

2

＋6＝0，

∴a

2

＝－3，则a

8

＝9，

a

8

－a

5

∴其公差d＝＝2，

8－5

∴a

1

＝－5，

a

1

＋a

8

∴S

8

＝8×＝16.

2

反思感悟 解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方

程(组)，如本题，从已知出发，构建a

1

，d的方程组．

2024年3月30日发(作者：都鹏程)

§2.3 等差数列的前n项和

第1课时 等差数列的前n项和公式

学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌

握等差数列的五个量a

1

，d，n，a

n

，S

n

的关系，能够由其中三个求另外两个.4.能用a

n

与S

n

的关系求a

n

.

知识点一 等差数列的前n项和

1．定义：对于数列{a

n

}，一般地，称a

1

＋a

2

＋a

3

＋…＋a

n

为数列{a

n

}的前n项和．

2．表示：常用符号S

n

表示，即S

n

＝a

1

＋a

2

＋a

3

＋…＋a

n

.

知识点二 等差数列的前n项和公式

已知量

求和公式

na

1

＋a

n



特别提醒 两个公式的关系：把a

n

＝a

1

＋(n－1)d代入S

n

＝中，就可以得到S

n

＝

2

nn－1

na

1

＋d.

2

思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了

等差数列前100项的和．如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

答案 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问

题：

设S

n

＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，

又S

n

＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，

∴2S

n

＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，

∴2S

n

＝n(n＋1)，

nn＋1

∴S

n

＝.

2

知识点三 数列中a

n

与S

n

的关系

对于一般数列{a

n

}，设其前n项和为S

n

，



S

1

，n＝1，



则有a

n

＝





S－S，n≥2.



nn

－

1

首项，末项与项数

na

1

＋a

n



S

n

＝

2

首项，公差与项数

nn－1

S

n

＝na

1

＋d

2

1．若数列{a

n

}的前n项和为S

n

，则S

1

＝a

1

.( √ )

2．若数列{a

n

}的前n项和为S

n

，则a

n

＝S

n

－S

n

－

1

，n∈N

*

.( × )

3．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加．( √ )

4．若数列{a

n

}的前n项和S

n

＝kn(k∈R)，则{a

n

}为常数列．( √ )

一、等差数列前n项和公式的基本运算

例1 (1)已知等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，且a

2

＋a

5

＋a

8

＝9，则S

9

等于( )

A．21 B．27 C．30 D．36

答案 B

解析 ∵等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，且a

2

＋a

5

＋a

8

＝9＝3a

1

＋12d＝3a

5

，∴a

5

＝3，则S

9

＝

9a

1

＋a

9



＝9a

5

＝27.

2

(2)已知数列{a

n

}(n∈N

*

)是等差数列，S

n

是其前n项和．若a

2

a

5

＋a

8

＝0，S

9

＝27，则S

8

的值

是________．

答案 16

2

＋4d

2

解析 方法一 设等差数列{a

n

}的公差为d，则a

2

a

5

＋a

8

＝(a

1

＋d)(a

1

＋4d)＋a

1

＋7d＝a

1

＋5a

1

d＋a

1

＋7d＝0，S

9

＝9a

1

＋36d＝27，解得a

1

＝－5，d＝2，则S

8

＝8a

1

＋28d＝－40＋56

＝16.

a

1

＋a

9

方法二 ∵S

9

＝×9＝27，

2

∴a

1

＋a

9

＝6，

∴a

2

＋a

8

＝2a

5

＝6，

∴a

5

＝3，

则a

2

a

5

＋a

8

＝3a

2

＋a

8

＝0，

即2a

2

＋6＝0，

∴a

2

＝－3，则a

8

＝9，

a

8

－a

5

∴其公差d＝＝2，

8－5

∴a

1

＝－5，

a

1

＋a

8

∴S

8

＝8×＝16.

2

反思感悟 解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方

程(组)，如本题，从已知出发，构建a

1

，d的方程组．