2024年3月30日发(作者：令狐柔蔓)
第
30
卷第
3
期
2021
年
3
月
运筹与
管理
OPERATIONS
RESEARCH
AND
MANAGEMENT
SCIENCE
Vol.
30,
No.
8
Mad
2021
考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化
韩梦莹
，
杨建华
(北京科技大学
经济管理学院
，
北京企业低碳运营战略研究基地
，
北京
10083
)
摘
要
：
针对设备维修与备件管理相互影响与制约的问题
，
在基于延迟时间理论的基础上
，
提出了两阶段点检与备
件订购策略联合优化
。
点检是不完美的
，
当点检识别设备的缺陷状态时
，
进行预防更新
；
设备故障时
，
进行故障更
新
。
结合设备更新时备件的状态
，
采用更新报酬理论建立了以第一阶段点检时间
、
第二阶段点检周期和备件订购
时间为决策变量
，
以最小化单位时间期望成本为目标的模型
。
最后
，
通过人工蜂群算法对模型求解
，
并在数值分析
中将两阶段点检策略与定期点检策略进行比较，
结果表明
：
两阶段点检策略始终优于定期点检策略
，
验证了所建模
型的有效性
。
关键词
：
不完美检测
；
预防性维修;备件
；
延迟时间
中图分类号:
TB11.2
文章标识码
：A
文章编号:
1403-3221(2021
)
03-
0027
-
08
doi
:
1.
1005/krms.
2021
.9031
Joint
Optimization
of
Two-phase
Inspection
and
Spare
Parts
Ordering
Polinins
ConsiOering
Imperfect
Inspection
HAN
“
©隅-丫:隅
，
YANG
Jian-3ua
(
School
of
Economics
and
Management
,
Unkersip
of
Science
and
Technology
Beijing
,
Beipng
Enterprise
Low-
Carpon
Operatioo Strategy
Research
Base
,
Bepng
10083
,
COPn
)
Abstract
：
I
Vnc
with
thc
fact
thai
equipmept
mamtepance
and
share
pari
manaaemept
4^
x
0
and
restrici
ench
^1X0
,
this
papcr
pwposcs
a
joint
optimizatiop
mop/
of
two
・
phase
inspcctmp
and
share
pard
orUednn
police
ceno
sinednh
imperfcct
inspcctmps
basep
on
thc
delay
timc
theore.
Thc
inspcctmp
is
imperfcct
,
and
prcventive
renewai
-66X0
te
bc
ceiriep
op
,
once
a
defec
is
detcctep
;
failure
renewai
s
C
op
IV
bc
performep
when
thc
equipp
meni
is
at
fbulh
With
the
cepsineranop
of
the
states
of
the
syare
pade
when
the
equipmept
is
require/
te
be
renewep
,
the
joint
optimization
moPel
is
estaphshep
base/
op
the
renewai
reward
theore,
in
which
the
minimai
loPh-run
expected
cost
pee
unit
1
x
00
is
takee
as
objective
fuectiop
te
optimize
the
first
phase
inshvetiop
timv,
the
sveepd
phase
130
x
001
iritedei
and
the
syare
pads
ordedne
time.
Finally
,
an
adificiai
bee
celopy
alyodthm
is
develope/
te
find
the
(
100^
solutioc.
The
two-phase
inspvctmp
police
is
compare/
with
the
pedohicel
inspvctmp
police
in
the
numedeel
analysis
and
the
resvlts
show
that
the
two-phase
insyvetiop
police
is
always
sppedve
te
the
pedodicei
iospection
police
;
and
the
eXPctiveness
of
the
propose/
mohel
is
verifie/.
Key
words
：
imperfect
inspectiop
;
prvvvntivv
maintenance
;
spare
pads
；
delay
time
针对维修与备件联合决策问题已进行了一定的研
0
引言
设备的维修活动产生了备件需求
，
备件的库存
状态又影响维修活动的开展
，
因此设备的维修决策
究
，
主要分为三大研究方向
，
一是以备件可修复如
新为前提
，
研究维修决策与备件初始配置的联合优
化
［
°
2
］
,二是在备件不可修的假设下
，
研究维修计
划与备件订购策略的联合优化
［
3,
］
，
最后一个是将
不完美维修应用到维修与备件联合决策模型
与备件的库存管理密不可分
。
近年来
，
国内外学者
收稿日期
：
2019-06-31
基金项目
：
国家自然科学基全资助项目
（
7171015
）
;
北京市社科基全基地项目
（
1JDGLA001
）
作者简介
：
韩梦莹
（
1
990-
）
，
女，
河北石家庄人
，
博士研究生
，
研究方向
：
系统健康管理
；
杨建华
（
1
965-
）
男
，
山东寿光人
，
教
授
，
博士
，研究
方向
：
运营管理和装备管理
。
28
运筹与
管
理
2021
年第
30
卷
中
［
5
］
。
本文以备件不可修为前提
，
基于延迟时间
理论对设备维修与备件订购联合决策问题进行
能发生假阴性事件
，
即设备实际处于缺陷状态
，
而
点检以概率
p(0
判断设备处于正常状态 。 4) 若点检识别设备的正常状态 ， 则继续按计 研究 。 延迟时间理论将设备状态划分为 ： 正常 、 缺陷 划检查设备;若点检识别设备的缺陷状态 ， 则以成 和故障 。 通过检测识别设备状态 ， 根据设备状态采 取相应地维修活动是一种常用的预防性维修方式 。 基于延迟时间理论的维修决策已有很多 ［ 6 ' 10 ］ , 但 本 C 对设备进行预防性更新 。 设备故障时会自动 停机 ， 此时以成本 C 对设备进行故障更新 。 5) 在 t 时刻进行备件订购 ， 订购提前期为 L, 与备件订购决策进行联合优化的研究还比较少 ， Wane ［ 1 , 2 ］ 采用延迟时间理论构建了多部件设备的 订货量为 2 设备更新时刻备件可能存在 3 种不 同的状态:备件状态为 0 表示尚未进行备件订购 ； 备件状态为 1 表示已订购但尚未交付;备件状态为 定期成组检测与定期检查库存的联合策略模型 ， 通 过最小化单位时间内的期望成本获得最优的点检 周期 ， 订购周期和订购量 。 然而 ， Berradv ［ 2 ］ 在维修 决策研究中的结果表明 ， 采用多阶段的点检策略会 降低设备维修时的平均费用率 。 据此 Zhao 等 ［ 2 , 5 ］ 构建了两阶段点检策略下设备的维修与备 件订购联合决策模型 ， 模型是基于三阶段故障过 程 ［ 2 ］ (三阶段故障过程将延迟时间理论中的缺陷 状态细分为轻缺陷状态和严重缺陷状态)建立的 ， 提出在点检识别轻缺陷状态后 ， 缩短点检周期 ， 即 采用的两阶段点检策略是基于设备状态的 。 但对 于退化过程服从延迟时间理论的设备而言 ， 基于状 态的多阶段点检策略显然已不再完全适用 。 另一 方面 ， 上述维修与备件联合决策模型均认为点检是 完美的 ， 然而在实际检测过程中 ， 由于人为因素或 其他随机因素的影响 ， 点检通常是非完美的 。 当前 考虑不完美检测的维修决策比较多 ［ 2 ' 20 ］ ， 但鲜有 文献将不完美检测和多阶段点检策略同时应用到 维修与备件订购联合优化的研究中 。 基于此， 本文 在不完美检测情景下 ， 提出了基于时间的两阶段点 检策略 ， 构建了基于延迟时间理论的设备维修与备 件订购联合决策模型 ， 优化第一阶段点检时间 、 第 二阶段点检周期和备件订购时间以使单位时间内 的期望成本最小 。 3 问题描述与符号说明 2 设备是一个单部件设备 ， 且该设备的退化 过程服从延迟时间理论 ， 即设备的故障过程包含正 常和缺陷两个阶段 。 这两个阶段相互独立并服从 某分布 。 2 ) 采用两阶段点检策略检查设备 ， 第一阶段 点检在 T 时刻执行 ， 之后开始执行第二阶段的点 检 ， 即以周期 t(t < T) 检查设备 ， 每次点检所需的 费用为 C 。 3) 点检是非完美的 ， 对设备进行检查时 ， 有可 2 表示已入库正处于存储状态 。 6) 设备更新时 ， 若备件状态为 0, 则立即订购 并等待备件交付时刻对设备进行更新;若备件状态 为 2 只能等待备件到货时更新设备 ； 若备件状态 为 2, 则立即更新设备 。 7) 设备预防更新和故障更新时单位时间等待 备件的惩罚成本分别为 C 和 C ： , 且有 C ： < C 成 立 。 备件在库时单位时间持有成本为 C 。 2 两阶段点检与备件订购联合优化模型 本文将采用更新报酬理论 ［ 22 构建以设备单位 时间期望成本最小为目标的两阶段点检与备件订 购策略联合优化模型 ， 据此确定最优的第一阶段点 检时间 T 第二阶段点检周期 i 和备件订购时间 T 。 为了得到设备更新周期的总期望成本和总期望长 度 ， 必须根据点检策略在设备状态识别及设备更新 时备件所处的状态中确定所有可能出现的情况 ，进 而得到每种更新事件的发生概率 、 期望成本和期望 长度 。 2.1 T+kt 时刻点检识别设备的缺陷状态 ，备件 状态为 0 或 1 当 T + ki 时刻点检识别设备的缺陷状态且备 件状态为 0 时 ， 说明 t > T + ki , 此时应即刻订货并 等待到货时刻 T r =T + ki+L 更新设备 。 当点检识 别设备的缺陷状态且备件状态为 1 时 ， 说明 t — T + kt 此时需等待到货时亥 » T r = t + L 更新 设备 。 备件等待期间 ［ T + kuT ” ］ 无需对设备进行 检查 。 在点检识别设备的缺陷状态之前 ， 根据是否 发生了假阴性事件及设备缺陷点的发生区间 ， 需考 虑两种可能的更新情况 。 图 1( a) 表示设备的缺陷 点发生在第一阶段点检时间 ［ 0,T ］ 内 ， 而在点检时 刻 T + k(k =0,1 , … )才识别出设备的缺陷状态 ， 其中当 k= 0 时,说明在缺陷状态被识别之前 ， 未发 生假阴性事件 ； 当 k M 0 时 ， 说明在缺陷状态被识别 第 3 期 韩梦莹 ， 等 ： 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 29 之前 ， 假阴性事件发生了 h 次 。 图 1(b ) 表示设备 间和概率密度函数;丫和 a Y 分别表示设备缺陷阶段 的缺陷点发生在第二阶段点检区间 ［ T+ ( t -1 ) r , T + ki 内 ， 而在点检时刻 T + h ( t = 1,2 , … h ； = 1 , 2, … )设备的缺陷状态才被识别出 ， 因此在缺陷状 的随机持续时间和概率密度函数 。 下文含义相同 。 设备在 T r 时刻进行预防更新的期望成本 EC 1 ( T,i ,) 和期望长度 EL ( T,i ,) 分别 EC 1 (T ( = 态被识别之前, 假阴性事件发生了 h — 次 。 此外 , 图中 Case E 1 表示 T r 时刻设备仍处于缺陷状态, 从 而进行预防更新; Cao E . 表示在备件等待期间设备 y ］ (h + 1 C + C 二 t p + (T r -T - h(C W ］ • P E( T r ) + h 0 发生了随机故障 , 故而在 T r 时刻进行故障更新 。 y 〕 ( h+ 1 仏+^+厲-丁-佃武厂卩丫^丁尺) ( 3 ) 二 h ］ ELM ,,) = (a) y T oc oc r . P E'K T r ) + y T r . P E^K T r ) (4 ) h =0 h = 1 (b) 如图 1 (c) 和图 1 (b) 中的 Caso E. 所示， 设备 在 T r 时刻进行故障更新的概率分别为 ： p E .(T r ) = 「 『 ( 1 -卩爪 ( x 爪 (y)dydx 0 J T + hi-x 图 1 T + hi 时刻识别设备缺陷且备件状态为 0 或 1 如图 1(c) 和图 1(b ) 中的 Caso E 1 所示 ， 设备 在 T r 时刻进行预防更新的概率分别为： p JQ r ) = (5 ) f 0 J f P d -卩)人 ( x )/y(y) d y dx () T r — X 8 ” p E , ( T r ) = y ［ + ( t- 1 J 讪 8 T+k T r - x 广 (1 _卩爪(爪 (y)dydx p E(T r ) y f ( p 1 h f T+i ( 6 f/ h— ( 1 一卩爪(/爪 (y)dyd/ (2) 可得设备在 T r 时刻进行故障更新的期望成本 EC2 ( T,i,) 和期望长度 EL.(T, ( ,) 分别为 ： 其中和人分别表示设备正常阶段的随机持续时 EC2 ( T, ( , t ) y [ h + 1)C + C + (T t h= 0 ； - T-h)C W + (T r - T ； )C W )] • P E 2.( T r ) + (7) y [ h + 1)C h = 1 t + C + (T ； - T-h)C W + (T r - T p) C p ] - P 0 55 (T R ) E ,,® EL2 ( T,i , ) = y T • P r E ,( T r ) + y T • P r ) (8 ) 时刻备件为存储状态 ， 有 T + h > t + L o h = 0 h = 1 对图 2 中的两种更新情况分别建立概率模型 ： p JM r I m 0 J T + hi-x P h T+P c 其中 ， T ； 表示设备发生故障的随机时间 ， 且 T ； = x + y 。 下文中含义相同 。 f f ( 1 - P 人 ( v )/,/) -- ( 9 ) 2.2 T + kt 时刻点检识别设备的缺陷状态 ， 备件 状态为 2 P . 2 ( T r ) = y f f 厂 (1 人 (y)dy/ (10 ) — 4 J T+(t- 1 ) ) T+hi-x 图 2(c) 和 2(b ) 分别描述了设备缺陷点发生 在第一阶段点检时间内和第二阶段点检区间内 ， 而 得到设备在更新周期 ［ 0,T + h( 内的期望成本 EC3 ( T, ) ,) 和期望长度 EL3 ( T,i ,) 分别为 ： 在 T r =T + hi 时刻进行预防更新的情况 。 因 T + h EC 3 (T, ) , t ) = y [(h + 1)C 二 0 ( + C p + ( T + hr - t -L)C ] - p E(T r ) + C p + (T + h) - t - L)C o ] - P . 2 ( T r ) ( 11 ) y [(h + i ) c = 1 c c ( EL 3 ( T ) ,T ) = y ( T+h ) • pg+ y ( T+h ) • p ? (T r ) ( 12 ) h= 0 h= 1 而依赖于缺陷点和故障点的发生区间 ， 需考虑四种 不同的更新事件 ， 如图 3 所示 。 若故障点发生在 ［ 0,T ］ 区间内 ， 则有 0< T T ,) 成立 ；若故障 点发生在 ［ T +(h -1 ) ) ,T + hi ］ 区间内 ， 则有 0< T 0 T T+(i-)t T+it T+(k-)t T+kt < min ( T + h), r ) 成立 。 图 2 T + h) 时刻识别设备缺陷且备件状态为 2 2.3 T 时刻设备故障停机 ， 备件状态为 0 对图 中的更新情况分别建立概率模型 ： P EK T r ) = f 畀〃) 4 Py T ， ) - X a(x) 九( y) dydx (13 ) 设备故障时备件状态为 0 ,说明 t >T ； 在 T ； 时 刻进行备件订购 ， 并在 T + L 时刻进行故障更新 。 2 p 3 3 ( T p E “ ( T r ) = f T ； ^ ( _5 ( , - - 巾咒 (x)/y(y) dydx (14) r ) = f mOTOl ， ) 爪 ( y ) dyd- ( 1 ) 30 运筹 与 管 理 k 「 T+it t- ) 2421 年第 30 卷 T mio( T +L) — ％ % P 3 2 T R ( ) 二 Y L 「 mid(T+kf ,) -% L a- 8 ) f- x P kalp( % f y (, dx 7 86 ) 得到设备更新周期内的期望成本 EC4 ( T,f 2) 和期望长度 E 厶 4 ( T,- 2 ) 分别为 ： p f 2 L L 2 ( T ) = % % P 41 ( T R ) = R 2 fx ⑺ ) fY ⑺ ) dd x (19 ) mio( T +L ) mio( T , +L ) _X 人(小九 7 ， )® ^% (20) 2 )图 5 描述了故障发生在 [ T + ⑺ - 9- T + af 区间内 ， 且 t < T +( a- 8 ) f 时的三种更新情况, 0 min ( r, r) T+(k-l)t min(T+M, r) 概率模型为 ： (a) 厂 P 5 1 ( t r = % % 0 JT+ ( a~ i ) - — % ) T mio( T + kt , + L )- x P 人 (％ ) 九 (, ) ddx (21 ) 0 T T+(z-l)r T+it T+(k-)t min(T+U r) (b) H p? ⑺ r R 二 .mio( T+kt 2 +L ) - mio( T+kt , +L ) 一％ % T+ ( a-i ) - 人⑺)人 (y) dd % ( 22 ) 图 3 T f 时刻设备故障停机且备件状态为 0 Y % + 8 % + 8 k _ l 「 T+it mip(T+kt2 +L) _% t=9 J T+(t-8) t-T+(7-8) t-x 厂人⑺)人 ( , ) dd % ⑺ 3 ) EC (T, ， ,) 二 (C f + LCt ) - P 3 9 ( T r ) + a 二 8 Y ( C Y ( aC 00 t +C f + LL f w ) ・ 0 T T+(z-l)r TUt T+(k-)t min(T+kt f t +L) I p ^T r ) +P 9 1 /( T R )] + t 图 5 T p 时刻设备故障停机 ， T p G [T + ( a-1 ) t,T + kt ] , + C f + LC W ) ・ P 3 2 ( T r ) (i) a 二 2 三 T+ (k-1 ) t 且备件状态为 1 EL 4 (T ,2) = (T + L) ・ P EJ T r ) + Y (T + L ) • a 二 8 00 3 ） 图 6 描述了故障发生在 [T + ⑺ - I f ,T + af 区间内 ， 且 t > T + （ a -i f 时的更新情况 。 每 I p ^T r ) + p ^T r ) ] + 种更新情况的概率模型分别为 ： （9 ） a = 0 Y （ c + L - P 3 2 （ T r ） 2. 4 耳 时刻设备故障停机 ， 备件状态为 1 该事件下 ， 有 T < T < T + L 成立 。 若设备在 [0, T] 区间内发生故障,依赖于 T 和 t + L 的大小 ， 0 T T+(i-l)t T+it T+(k-l)t t min(T+g t +L) 图 6 T p 时刻设备故障停机 ， T p G [T + （ a-1 ） t,T + at] , > t + （ a-i ） t 且备件状态为 1 TT-kt 可知 T < T （ T , + L ） 。 若设备故障发生在 [T+ （ a -8 ） f,T + a f 区间内 ， 则必有 moo （ T + ⑺ - 1 ） - 2 ） < T （ T + a f , + L ） o 下面对各种可能 p 6 8 ( T r ) ,, +L ) 一％ P k f x 7 % f Y 7 d) dd % fx ( 7 ) fY ⑺ dd % (24) (25) 的更新情况分别建立概率模型 。 PhW ) 二 T+(k- ( f if - t - ％ P TW r P 6 ( T r 二 图 4 T 时刻设备故障停机 ， T p G [0, T] 且备件状态为 1 % % ) % % ) = Y 仁 k __ T+- 一 )丄一 mio ( T + kt +L ) — ％ 2 mip(T+kf, +L ) 厂 mio( T+kt , +L) -a fx ( a f Y ( d f d % 厂 J x ( )Y ( 7 ) dd a (26 ) mip(T+at2 +L) -a ( 27 ) 1 ） 图 4 描述了设备在 [,T] 区间内发生故障 ， 而在 t +L 时刻进行故障更新的两种情况,概率模型为 ： 由此可得设备在该更新周期内的期望成本 EC5 ( T,f2 ) 和期望长度 EL/ (T,, ) 分别为 ： EC (T, ， , ) = [C f + ( 7 +L- T D C W - [P [ p E 8 ( T r ) + p ； 2 ( t ^^T r ) +P 2 6 (T R )] + Y IkC - + C f + ( +L- ) 打 - a = 1 弓 r + p 6 1 ( T r ) + +P 4 9 ( T R ) ] + Y ^C - + C f + ( + l _ t ) c {] - a =2 [P^T r ) +P 4 4 (T R )] (28) EL /T - t ) = ⑺ +L) ・[ P 4( T r ) +P f 2 ( T R ) ] + [ p /UT r ) 0 a = 1 Y ⑺ +L • (29) 00 + p ? ( T r ) + p 6 1 ( T r ) + p 6 ( T r ) +P 0 9 ( T r )] + 3 Y ⑺ +L) • [P/ 7 T ) + P r a = 0 E ( T r )] 第 3 期 韩梦莹 ， 等 ： 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 31 2 . 1 T 时刻设备故障停机 ， 备件状态为 2 P ° 2( T R ) = Li i k_1 T + n _T + ki 「 T + ki -x /xOAMyck (33) 此种事件下 ， 有 T + L — T 。 同样依赖于故障 点的发生区间 ， 需考虑以下几种不同的更新情况 。 2 图 7 描述了故障点落在 [0,T ] 区间内 ， 在 T T + ki — x P ° 3( T R ) = 苕 J T+d- 1 ) JT+ ( k- 2 ]_/ -n x ( x ) / r( y ) dyx (34) 时刻进行故障更新的两种情况 ， 概率分别为 ： 3 ) 设备故障点发生在 [T+(k -1 ) ],T + ko ] 区 间内 ， 当 r + L > T +( k -1 ) ] 时 ， 针对缺陷点在 [0 , T] 区间上的四种情况(如图 9 所示) ， 可得每种情 况下的更新概率为 ： 图 7 T 时刻设备故障停机, T/W [0,T ] 且备件状态为 2 PE(T r ) + L P/x ( x )/y(y) ddx T + ki — x ( 35 ) ( 36 ) ( 37 ) ( 38 ) P 7 3 ( T I I P 7 2 ( T ) = [+ L [ /X ( x) /y(y) ddx -r+L _T-x r r ) = 0 /x( x )/y(y) ddx r+L-x (30 ) ( 31 ) p 9 2 ( t ) = I + 3 | r fx( x)fY(d) T+ ( k -1 ) t( T + L — x d y d x + ki -x 2 ) 若设备故障发生在 [T + (k -1 ) ( ,T + k( /X ( x )/y(y) ddx 内 ， 则故障点 T 满足 mop ( T +( k -1 ) £,r+ L ) < T % < T + ki o 当 r + L — T +( k- 1 ) i, 设备在 T 时刻进 / - /x(x)/ r (y) dydx 行故障更新的三种情况 ， 如图 8 所示 ， 更新概率为 ： 0 T T+(z-iy T+it T+(k-l)t T+kt 图 9 T 时刻设备故障停机 ， T w [T + (k-1 ) ( ,T + ko ] , + L>T+(k-1)i 且备件状态为 2 图 8 T 时刻设备故障停机 ， T w [T + (k -1) ( ,T + ko ] , + L — T+ (k-1)i 且备件状态为 2 "广 T + ki -x 至此得到设备在此更新周期内的期望成本 (32 ) P 8 1 ( T r ) 二 』 J T+ ( k_ 1 ) i JP C x ( x)/ y( y) dydx EC 6 ( T , (, r) 和期望长度 EL 6 ( T,],r )分别为: EC 6( T, ] , ) = [C x + ( T - r -L)C h ] - [PE( T r ) +P 7 2 ( T r )] + 丫 [ C , + C % + ( T % - r -L)C ] - [ p 8 i ( T r ) + p 8 2 ( T r ) + p 9 3 ( T r ) + p ： 2 ( T r ) + p E( T r ) + QC 工 [kc k = 2 , + C x + ( T - r -L)C h ] - [ p 8 3 (T r ) + P ： 4 (T r )] (39) EL 6 ( T , ],r ) = T [ p E( T r ) + p 7 2 ( T r )] + T Y T - [ p 8 3 ( T ) + p ： 4 ( T )] r k= 1 疋 1 ® ) + p 8 2 ( T r ) + p 9 3( T r ) + p ： 2 ( T r ) + p ： 3 ( T r )] + (40) r k = 2 2.3 联合优化模型 根据设备所有更新情况下的期望成本和期望 长度 ， 构建以最小化单位时间期望成本 C(T ,,r ) 为目标函数的两阶段点检与备件订购策略联合优 化模型为 ： /(vM !) =庇(肮入丸, 〉 。 (42 ) 其中 ， 入为尺度参数 ； 为形状参数 。 设备正常阶段 和缺陷阶段的分布参数分别为 ： 入 1 = 0. 058 , 8 1 = 1.47 ； 2 =0. 2, 8 =2 2 。模型中的其余参数见表 1 , 其中时间参数单位为天 , 成本参数单位为万元 。 ] 6 = EC w (T , ], r ) 采用人工蜂群 ( ABC , Artificioi Bee Colony ( 41 ) C(T , ], r ) = 十 w= 1 Aleorithm ) 算法借助 MATLAB 软件求解模型 。 图 Y EL,T ,], r ) 10 给出了 ABC 算法的流程图 ， 初始化阶段的任务 是在搜索空间中随机生成初始解 , 计算并记录解的 适应度值;之后， 蜂群将进入采蜜蜂 、 守望蜂和侦查 3 数值分析 本文运用威布尔分布来描述设备的两阶段退 化过程 。 威布尔分布的概率密度函数为 ： 蜂搜索过程 ， 并重复循环直至达到最大迭代次数 O moP 。 值得注意的是 ， 采蜜蜂阶段完成后 ， 守望蜂会 通过 ( 0. 3 " C ( T,], r )/ mox( C) ) + 0. 1 计算解的选 择概率 ， 然后在 [0,2 区间内产生一个随机数 ， 如果 32 运筹 与 管 理 2021 年第 30 卷 该数小于解的选择概率 , 则进入守望蜂阶段,其过程 与采蜜蜂阶段相同 ； 否则进入侦查蜂阶段判断是否 出现侦查蜂 ， 如果出现侦查蜂,则重新生成初始解 。 ABC 算法中的控制参数和搜索空间见表 2 。 大 ， 点检时设备处于缺陷状态的可能性越大 ， 但点 检是非完美的 ， 受不完美检测的影响 ， 设备进行预 防更新的次数变少 ， 使得较多的缺陷退化为故障, 导致单位时间内的预防维修成本逐渐减少故障维 表 1 模型参数 C ] CC C h C C L P 3 10 24 0. 3 1. 3 2. 3 7 0.4 图 2 ABC 算法流程图 根据设备分布参数 、 表 2 中的模型参数及表 2 中的控制参数 ， 运用 ABC 算法对模型求解 ， 得到最 优的第一阶段点检时间 T " = 20 、 第二阶段点检周 期 ] " =3 、 备件订购时间 r " = 2 及最优组合策略下 最小的单位时间期望成本 C （ T " , " ,r" ） =1.3611 。 若式 （ 41 ） 中的 £ = T, 说明采用的是定期点检策略, 同样运用上述 ABC 算法可得最优的点检周期 T " = 23 、 备件订购时间 r " = 2 及最优组合策略下最小 的单位时间期望成本 C （ T " , r " ） = 2 4025 。 因 2 3611 <2 4025, 所以本文提出的两阶段点检策略 优于定期点检策略 。 当 （ 为固定值时 ， 图 2 给出 了 T 分别为 2 、 20 、 22, C 随 r 变化的趋势图 ， 由图 可知 ， C 随 r 的增加先减小后增大 ， 这种变动趋势 的原因是过早的进行备件订购易增加库存持有成 本 ， 而过晚的进行备件订购易增加设备预防或故障 更新时因备件短缺导致的惩罚成本 ； 图 12 给出了 r 分别为 11 、 13 、 15,C 随 T 变化的趋势图 ， 从中可 知 ， C 随 T 的增加也是先减小后增大 ， 这是因为 T 的增加 ， 使得设备寿命周期中的点检次数减少 ， 从 而降低了单位时间内的点检成本 ； 另一方面 T 越 修成本和库存持有成本逐渐增加 。 表 2 ABC 算法中的控制参数和搜索空间 WP n map Umi] （ 严 ， 严 , r U ） （ T"t 丁 必 ） 20 20 50 (1,1,0) (40,40,44) 蒼 觀 舔 S K 回 E 早 册 图 2 ]3 时 ， 不同 T 下 C 随 r 变化趋势图 图 2 ]3 时 ， 不同 r 下 C 随 T 变化趋图 为研究假阴性概率 p 对设备点检方案和备件 订购方案的影响 ， 表 3 给出了其他参数值不变情况 下 ， p 取不同值时模型的最优解及最优值 。 从中可 知 ， T" 随 p 的增加而增加 ， 这是因为p 的增加增大 了设备进行故障更新的概率 ， 决策者更倾向于通过 降低点检频率 、 增加预防更新时设备的持续运行时 间来减少单位时间内的点检成本和预防更新成本 , 最终达到降低单位时间期望成本的目的 。 第 3 期 韩梦莹 ， 等 ： 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 表 3 定期点检策略 33 不同 。 取值下的最优解及最优值 两阶段点检策略 p T 18 T * 0 0.9 0.9 0 9 6 0 8 11 C ⑺ 2 * ） 1,5376 T f T * 17 18 4 21 23 25 28 14 16 18 1 3826 1.4025 Hi/ 3 3 3 4 10 11 13 C （ T ， - , * ） 1 2999 1 3302 13611 20 23 29 16 22 13957 1 4299 21 1 94311 表 4 给出了各项成本参数在其他参数不变时 自身增加 20% 的敏感性分析结果 ， 从中可知:随着 C - 和 C p 的增加 ， 为降低单位时间内的点检成本和 检策略 ； 无论采用何种点检策略 ， 备件到达时刻 T - +L 总是等于第一个点检时刻 ， 该结果的原因 有:一是与设备的维修策略有关 ， 即点检识别设备 处于缺陷状态时要进行预防更新 ， 从而避免了预防 预防更新成本 ， 点检频率相应减少 ； C p 和 C ： 越大 ， 决策者越倾向于通过提高点检频率来减少故障的 发生 ； C 的增加 ， 使得最优解中的 T - 增大 ， 即较晚 更新时因备件不足而等待备件的惩罚成本(这也 是最优单位时间期望成本对 C W 不敏感的原因) ； 二是与成本参数有关 ， 即备件的库存持有成本 C 进行备件订购以减少库存持有成本;最优的单位时 间期望成本对 C 的敏感性最强 ， 因此当 C 发生变 小于因备件短缺造成的惩罚成本 C W p 和 C, 并远远 小于设备的更新成本 C p 和 C 。 综上 ， 设备的点检 方案与备件订购方案受设备退化参数 、 成本参数 、 订购提前期参数及不完美检测参数的共同影响 ， 因 化时决策者要更加关注最优解的取值 。 同时由表 3 和表 4 可知 ， 无论模型参数如何变 化 ， 采用两阶段点检策略得到的最优单位时间期望 成本始终小于采用定期点检策略得到的最优单位 此对系统的点检决策与备件订购策略进行联合优 化是非常有必要的 。 两阶段点检策略 时间期望成本 ， 故而 ， 两阶段点检策略优于定期点 定期点检策略 表 4 成本参数敏感性分析结果 参数 T * 丁 * C （ T * 2 * ） T * t * 3 3 3 3 3 3 T * C - C o 1 2 24 24 17 17 16 19 16 14060 14118 15755 + 0. 25% + 0. 66% + 19, 54% +135 % 21 23 18 14 16 11 1 28. 5 0. 96 1 ． 44 C C o 23 26 C （ T * 2 * ， 丁 * ） 1 ． 3745 +098 % 1 ． 3886 + 2. 02% 1 ． 4999 + I- 2% 1 429 1 4025 14608 23 16 13 1 ． 3835 1 ． 3611 +165 % C C p 23 3 18 11 0 +416 % 20 17 10 1 ． 4151 0 +397 % 性;就设备数量而言 ， 本文以仅含单个部件的设备 4 结语 本文基于延迟时间理论提出了设备的两阶段 点检与备件订购策略联合优化 。 点检是非完美的 ， 为研究对象 ， 在实际生产过程中 ， 一个设备通常由 多个部件组成 ， 其检测 、 维修 、 备件订购 、 生产与质 量控制决策要更复杂 ， 后续研究可对多部件设备进 行深入探讨 。 参考文献 ： [1 ] 蒋伟 ， 盛文 ， 杨莉 ， 范云龙 . 视情维修条件下相控阵雷 达备件优化配置 [J]. 系统工程与电子技术 ， 201,39 (9 ) ： 2052Q056• [2 ] 张永强 ， 徐宗昌 2 乎凯凯 ， 胡春阳 2/" 系统维修时机与 备件携行量联合优化 [J]. 北京航空航天大学学报 ， 209 2 2(1 ) ： 219-217. 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Mathematics of Operatious Research, 2004, 29(4) : 961-P76. 2024年3月30日发(作者：令狐柔蔓) 第 30 卷第 3 期 2021 年 3 月 运筹与 管理 OPERATIONS RESEARCH AND MANAGEMENT SCIENCE Vol. 30, No. 8 Mad 2021 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 韩梦莹 ， 杨建华 (北京科技大学 经济管理学院 ， 北京企业低碳运营战略研究基地 ， 北京 10083 ) 摘 要 ： 针对设备维修与备件管理相互影响与制约的问题 ， 在基于延迟时间理论的基础上 ， 提出了两阶段点检与备 件订购策略联合优化 。 点检是不完美的 ， 当点检识别设备的缺陷状态时 ， 进行预防更新 ； 设备故障时 ， 进行故障更 新 。 结合设备更新时备件的状态 ， 采用更新报酬理论建立了以第一阶段点检时间 、 第二阶段点检周期和备件订购 时间为决策变量 ， 以最小化单位时间期望成本为目标的模型 。 最后 ， 通过人工蜂群算法对模型求解 ， 并在数值分析 中将两阶段点检策略与定期点检策略进行比较， 结果表明 ： 两阶段点检策略始终优于定期点检策略 ， 验证了所建模 型的有效性 。 关键词 ： 不完美检测 ； 预防性维修;备件 ； 延迟时间 中图分类号: TB11.2 文章标识码 ：A 文章编号: 1403-3221(2021 ) 03- 0027 - 08 doi : 1. 1005/krms. 2021 .9031 Joint Optimization of Two-phase Inspection and Spare Parts Ordering Polinins ConsiOering Imperfect Inspection HAN “ ©隅-丫:隅 ， YANG Jian-3ua ( School of Economics and Management , Unkersip of Science and Technology Beijing , Beipng Enterprise Low- Carpon Operatioo Strategy Research Base , Bepng 10083 , COPn ) Abstract ： I Vnc with thc fact thai equipmept mamtepance and share pari manaaemept 4^ x 0 and restrici ench ^1X0 , this papcr pwposcs a joint optimizatiop mop/ of two ・ phase inspcctmp and share pard orUednn police ceno sinednh imperfcct inspcctmps basep on thc delay timc theore. Thc inspcctmp is imperfcct , and prcventive renewai -66X0 te bc ceiriep op , once a defec is detcctep ; failure renewai s C op IV bc performep when thc equipp meni is at fbulh With the cepsineranop of the states of the syare pade when the equipmept is require/ te be renewep , the joint optimization moPel is estaphshep base/ op the renewai reward theore, in which the minimai loPh-run expected cost pee unit 1 x 00 is takee as objective fuectiop te optimize the first phase inshvetiop timv, the sveepd phase 130 x 001 iritedei and the syare pads ordedne time. Finally , an adificiai bee celopy alyodthm is develope/ te find the ( 100^ solutioc. The two-phase inspvctmp police is compare/ with the pedohicel inspvctmp police in the numedeel analysis and the resvlts show that the two-phase insyvetiop police is always sppedve te the pedodicei iospection police ; and the eXPctiveness of the propose/ mohel is verifie/. Key words ： imperfect inspectiop ; prvvvntivv maintenance ; spare pads ； delay time 针对维修与备件联合决策问题已进行了一定的研 0 引言 设备的维修活动产生了备件需求 ， 备件的库存 状态又影响维修活动的开展 ， 因此设备的维修决策 究 ， 主要分为三大研究方向 ， 一是以备件可修复如 新为前提 ， 研究维修决策与备件初始配置的联合优 化 ［ ° 2 ］ ,二是在备件不可修的假设下 ， 研究维修计 划与备件订购策略的联合优化 ［ 3, ］ ， 最后一个是将 不完美维修应用到维修与备件联合决策模型 与备件的库存管理密不可分 。 近年来 ， 国内外学者 收稿日期 ： 2019-06-31 基金项目 ： 国家自然科学基全资助项目 （ 7171015 ） ; 北京市社科基全基地项目 （ 1JDGLA001 ） 作者简介 ： 韩梦莹 （ 1 990- ） ， 女， 河北石家庄人 ， 博士研究生 ， 研究方向 ： 系统健康管理 ； 杨建华 （ 1 965- ） 男 ， 山东寿光人 ， 教 授 ， 博士 ，研究 方向 ： 运营管理和装备管理 。 28 运筹与 管 理 2021 年第 30 卷 中 ［ 5 ］ 。 本文以备件不可修为前提 ， 基于延迟时间 理论对设备维修与备件订购联合决策问题进行 能发生假阴性事件 ， 即设备实际处于缺陷状态 ， 而 点检以概率 p(0 判断设备处于正常状态 。 4) 若点检识别设备的正常状态 ， 则继续按计 研究 。 延迟时间理论将设备状态划分为 ： 正常 、 缺陷 划检查设备;若点检识别设备的缺陷状态 ， 则以成 和故障 。 通过检测识别设备状态 ， 根据设备状态采 取相应地维修活动是一种常用的预防性维修方式 。 基于延迟时间理论的维修决策已有很多 ［ 6 ' 10 ］ , 但 本 C 对设备进行预防性更新 。 设备故障时会自动 停机 ， 此时以成本 C 对设备进行故障更新 。 5) 在 t 时刻进行备件订购 ， 订购提前期为 L, 与备件订购决策进行联合优化的研究还比较少 ， Wane ［ 1 , 2 ］ 采用延迟时间理论构建了多部件设备的 订货量为 2 设备更新时刻备件可能存在 3 种不 同的状态:备件状态为 0 表示尚未进行备件订购 ； 备件状态为 1 表示已订购但尚未交付;备件状态为 定期成组检测与定期检查库存的联合策略模型 ， 通 过最小化单位时间内的期望成本获得最优的点检 周期 ， 订购周期和订购量 。 然而 ， Berradv ［ 2 ］ 在维修 决策研究中的结果表明 ， 采用多阶段的点检策略会 降低设备维修时的平均费用率 。 据此 Zhao 等 ［ 2 , 5 ］ 构建了两阶段点检策略下设备的维修与备 件订购联合决策模型 ， 模型是基于三阶段故障过 程 ［ 2 ］ (三阶段故障过程将延迟时间理论中的缺陷 状态细分为轻缺陷状态和严重缺陷状态)建立的 ， 提出在点检识别轻缺陷状态后 ， 缩短点检周期 ， 即 采用的两阶段点检策略是基于设备状态的 。 但对 于退化过程服从延迟时间理论的设备而言 ， 基于状 态的多阶段点检策略显然已不再完全适用 。 另一 方面 ， 上述维修与备件联合决策模型均认为点检是 完美的 ， 然而在实际检测过程中 ， 由于人为因素或 其他随机因素的影响 ， 点检通常是非完美的 。 当前 考虑不完美检测的维修决策比较多 ［ 2 ' 20 ］ ， 但鲜有 文献将不完美检测和多阶段点检策略同时应用到 维修与备件订购联合优化的研究中 。 基于此， 本文 在不完美检测情景下 ， 提出了基于时间的两阶段点 检策略 ， 构建了基于延迟时间理论的设备维修与备 件订购联合决策模型 ， 优化第一阶段点检时间 、 第 二阶段点检周期和备件订购时间以使单位时间内 的期望成本最小 。 3 问题描述与符号说明 2 设备是一个单部件设备 ， 且该设备的退化 过程服从延迟时间理论 ， 即设备的故障过程包含正 常和缺陷两个阶段 。 这两个阶段相互独立并服从 某分布 。 2 ) 采用两阶段点检策略检查设备 ， 第一阶段 点检在 T 时刻执行 ， 之后开始执行第二阶段的点 检 ， 即以周期 t(t < T) 检查设备 ， 每次点检所需的 费用为 C 。 3) 点检是非完美的 ， 对设备进行检查时 ， 有可 2 表示已入库正处于存储状态 。 6) 设备更新时 ， 若备件状态为 0, 则立即订购 并等待备件交付时刻对设备进行更新;若备件状态 为 2 只能等待备件到货时更新设备 ； 若备件状态 为 2, 则立即更新设备 。 7) 设备预防更新和故障更新时单位时间等待 备件的惩罚成本分别为 C 和 C ： , 且有 C ： < C 成 立 。 备件在库时单位时间持有成本为 C 。 2 两阶段点检与备件订购联合优化模型 本文将采用更新报酬理论 ［ 22 构建以设备单位 时间期望成本最小为目标的两阶段点检与备件订 购策略联合优化模型 ， 据此确定最优的第一阶段点 检时间 T 第二阶段点检周期 i 和备件订购时间 T 。 为了得到设备更新周期的总期望成本和总期望长 度 ， 必须根据点检策略在设备状态识别及设备更新 时备件所处的状态中确定所有可能出现的情况 ，进 而得到每种更新事件的发生概率 、 期望成本和期望 长度 。 2.1 T+kt 时刻点检识别设备的缺陷状态 ，备件 状态为 0 或 1 当 T + ki 时刻点检识别设备的缺陷状态且备 件状态为 0 时 ， 说明 t > T + ki , 此时应即刻订货并 等待到货时刻 T r =T + ki+L 更新设备 。 当点检识 别设备的缺陷状态且备件状态为 1 时 ， 说明 t — T + kt 此时需等待到货时亥 » T r = t + L 更新 设备 。 备件等待期间 ［ T + kuT ” ］ 无需对设备进行 检查 。 在点检识别设备的缺陷状态之前 ， 根据是否 发生了假阴性事件及设备缺陷点的发生区间 ， 需考 虑两种可能的更新情况 。 图 1( a) 表示设备的缺陷 点发生在第一阶段点检时间 ［ 0,T ］ 内 ， 而在点检时 刻 T + k(k =0,1 , … )才识别出设备的缺陷状态 ， 其中当 k= 0 时,说明在缺陷状态被识别之前 ， 未发 生假阴性事件 ； 当 k M 0 时 ， 说明在缺陷状态被识别 第 3 期 韩梦莹 ， 等 ： 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 29 之前 ， 假阴性事件发生了 h 次 。 图 1(b ) 表示设备 间和概率密度函数;丫和 a Y 分别表示设备缺陷阶段 的缺陷点发生在第二阶段点检区间 ［ T+ ( t -1 ) r , T + ki 内 ， 而在点检时刻 T + h ( t = 1,2 , … h ； = 1 , 2, … )设备的缺陷状态才被识别出 ， 因此在缺陷状 的随机持续时间和概率密度函数 。 下文含义相同 。 设备在 T r 时刻进行预防更新的期望成本 EC 1 ( T,i ,) 和期望长度 EL ( T,i ,) 分别 EC 1 (T ( = 态被识别之前, 假阴性事件发生了 h — 次 。 此外 , 图中 Case E 1 表示 T r 时刻设备仍处于缺陷状态, 从 而进行预防更新; Cao E . 表示在备件等待期间设备 y ］ (h + 1 C + C 二 t p + (T r -T - h(C W ］ • P E( T r ) + h 0 发生了随机故障 , 故而在 T r 时刻进行故障更新 。 y 〕 ( h+ 1 仏+^+厲-丁-佃武厂卩丫^丁尺) ( 3 ) 二 h ］ ELM ,,) = (a) y T oc oc r . P E'K T r ) + y T r . P E^K T r ) (4 ) h =0 h = 1 (b) 如图 1 (c) 和图 1 (b) 中的 Caso E. 所示， 设备 在 T r 时刻进行故障更新的概率分别为 ： p E .(T r ) = 「 『 ( 1 -卩爪 ( x 爪 (y)dydx 0 J T + hi-x 图 1 T + hi 时刻识别设备缺陷且备件状态为 0 或 1 如图 1(c) 和图 1(b ) 中的 Caso E 1 所示 ， 设备 在 T r 时刻进行预防更新的概率分别为： p JQ r ) = (5 ) f 0 J f P d -卩)人 ( x )/y(y) d y dx () T r — X 8 ” p E , ( T r ) = y ［ + ( t- 1 J 讪 8 T+k T r - x 广 (1 _卩爪(爪 (y)dydx p E(T r ) y f ( p 1 h f T+i ( 6 f/ h— ( 1 一卩爪(/爪 (y)dyd/ (2) 可得设备在 T r 时刻进行故障更新的期望成本 EC2 ( T,i,) 和期望长度 EL.(T, ( ,) 分别为 ： 其中和人分别表示设备正常阶段的随机持续时 EC2 ( T, ( , t ) y [ h + 1)C + C + (T t h= 0 ； - T-h)C W + (T r - T ； )C W )] • P E 2.( T r ) + (7) y [ h + 1)C h = 1 t + C + (T ； - T-h)C W + (T r - T p) C p ] - P 0 55 (T R ) E ,,® EL2 ( T,i , ) = y T • P r E ,( T r ) + y T • P r ) (8 ) 时刻备件为存储状态 ， 有 T + h > t + L o h = 0 h = 1 对图 2 中的两种更新情况分别建立概率模型 ： p JM r I m 0 J T + hi-x P h T+P c 其中 ， T ； 表示设备发生故障的随机时间 ， 且 T ； = x + y 。 下文中含义相同 。 f f ( 1 - P 人 ( v )/,/) -- ( 9 ) 2.2 T + kt 时刻点检识别设备的缺陷状态 ， 备件 状态为 2 P . 2 ( T r ) = y f f 厂 (1 人 (y)dy/ (10 ) — 4 J T+(t- 1 ) ) T+hi-x 图 2(c) 和 2(b ) 分别描述了设备缺陷点发生 在第一阶段点检时间内和第二阶段点检区间内 ， 而 得到设备在更新周期 ［ 0,T + h( 内的期望成本 EC3 ( T, ) ,) 和期望长度 EL3 ( T,i ,) 分别为 ： 在 T r =T + hi 时刻进行预防更新的情况 。 因 T + h EC 3 (T, ) , t ) = y [(h + 1)C 二 0 ( + C p + ( T + hr - t -L)C ] - p E(T r ) + C p + (T + h) - t - L)C o ] - P . 2 ( T r ) ( 11 ) y [(h + i ) c = 1 c c ( EL 3 ( T ) ,T ) = y ( T+h ) • pg+ y ( T+h ) • p ? (T r ) ( 12 ) h= 0 h= 1 而依赖于缺陷点和故障点的发生区间 ， 需考虑四种 不同的更新事件 ， 如图 3 所示 。 若故障点发生在 ［ 0,T ］ 区间内 ， 则有 0< T T ,) 成立 ；若故障 点发生在 ［ T +(h -1 ) ) ,T + hi ］ 区间内 ， 则有 0< T 0 T T+(i-)t T+it T+(k-)t T+kt < min ( T + h), r ) 成立 。 图 2 T + h) 时刻识别设备缺陷且备件状态为 2 2.3 T 时刻设备故障停机 ， 备件状态为 0 对图 中的更新情况分别建立概率模型 ： P EK T r ) = f 畀〃) 4 Py T ， ) - X a(x) 九( y) dydx (13 ) 设备故障时备件状态为 0 ,说明 t >T ； 在 T ； 时 刻进行备件订购 ， 并在 T + L 时刻进行故障更新 。 2 p 3 3 ( T p E “ ( T r ) = f T ； ^ ( _5 ( , - - 巾咒 (x)/y(y) dydx (14) r ) = f mOTOl ， ) 爪 ( y ) dyd- ( 1 ) 30 运筹 与 管 理 k 「 T+it t- ) 2421 年第 30 卷 T mio( T +L) — ％ % P 3 2 T R ( ) 二 Y L 「 mid(T+kf ,) -% L a- 8 ) f- x P kalp( % f y (, dx 7 86 ) 得到设备更新周期内的期望成本 EC4 ( T,f 2) 和期望长度 E 厶 4 ( T,- 2 ) 分别为 ： p f 2 L L 2 ( T ) = % % P 41 ( T R ) = R 2 fx ⑺ ) fY ⑺ ) dd x (19 ) mio( T +L ) mio( T , +L ) _X 人(小九 7 ， )® ^% (20) 2 )图 5 描述了故障发生在 [ T + ⑺ - 9- T + af 区间内 ， 且 t < T +( a- 8 ) f 时的三种更新情况, 0 min ( r, r) T+(k-l)t min(T+M, r) 概率模型为 ： (a) 厂 P 5 1 ( t r = % % 0 JT+ ( a~ i ) - — % ) T mio( T + kt , + L )- x P 人 (％ ) 九 (, ) ddx (21 ) 0 T T+(z-l)r T+it T+(k-)t min(T+U r) (b) H p? ⑺ r R 二 .mio( T+kt 2 +L ) - mio( T+kt , +L ) 一％ % T+ ( a-i ) - 人⑺)人 (y) dd % ( 22 ) 图 3 T f 时刻设备故障停机且备件状态为 0 Y % + 8 % + 8 k _ l 「 T+it mip(T+kt2 +L) _% t=9 J T+(t-8) t-T+(7-8) t-x 厂人⑺)人 ( , ) dd % ⑺ 3 ) EC (T, ， ,) 二 (C f + LCt ) - P 3 9 ( T r ) + a 二 8 Y ( C Y ( aC 00 t +C f + LL f w ) ・ 0 T T+(z-l)r TUt T+(k-)t min(T+kt f t +L) I p ^T r ) +P 9 1 /( T R )] + t 图 5 T p 时刻设备故障停机 ， T p G [T + ( a-1 ) t,T + kt ] , + C f + LC W ) ・ P 3 2 ( T r ) (i) a 二 2 三 T+ (k-1 ) t 且备件状态为 1 EL 4 (T ,2) = (T + L) ・ P EJ T r ) + Y (T + L ) • a 二 8 00 3 ） 图 6 描述了故障发生在 [T + ⑺ - I f ,T + af 区间内 ， 且 t > T + （ a -i f 时的更新情况 。 每 I p ^T r ) + p ^T r ) ] + 种更新情况的概率模型分别为 ： （9 ） a = 0 Y （ c + L - P 3 2 （ T r ） 2. 4 耳 时刻设备故障停机 ， 备件状态为 1 该事件下 ， 有 T < T < T + L 成立 。 若设备在 [0, T] 区间内发生故障,依赖于 T 和 t + L 的大小 ， 0 T T+(i-l)t T+it T+(k-l)t t min(T+g t +L) 图 6 T p 时刻设备故障停机 ， T p G [T + （ a-1 ） t,T + at] , > t + （ a-i ） t 且备件状态为 1 TT-kt 可知 T < T （ T , + L ） 。 若设备故障发生在 [T+ （ a -8 ） f,T + a f 区间内 ， 则必有 moo （ T + ⑺ - 1 ） - 2 ） < T （ T + a f , + L ） o 下面对各种可能 p 6 8 ( T r ) ,, +L ) 一％ P k f x 7 % f Y 7 d) dd % fx ( 7 ) fY ⑺ dd % (24) (25) 的更新情况分别建立概率模型 。 PhW ) 二 T+(k- ( f if - t - ％ P TW r P 6 ( T r 二 图 4 T 时刻设备故障停机 ， T p G [0, T] 且备件状态为 1 % % ) % % ) = Y 仁 k __ T+- 一 )丄一 mio ( T + kt +L ) — ％ 2 mip(T+kf, +L ) 厂 mio( T+kt , +L) -a fx ( a f Y ( d f d % 厂 J x ( )Y ( 7 ) dd a (26 ) mip(T+at2 +L) -a ( 27 ) 1 ） 图 4 描述了设备在 [,T] 区间内发生故障 ， 而在 t +L 时刻进行故障更新的两种情况,概率模型为 ： 由此可得设备在该更新周期内的期望成本 EC5 ( T,f2 ) 和期望长度 EL/ (T,, ) 分别为 ： EC (T, ， , ) = [C f + ( 7 +L- T D C W - [P [ p E 8 ( T r ) + p ； 2 ( t ^^T r ) +P 2 6 (T R )] + Y IkC - + C f + ( +L- ) 打 - a = 1 弓 r + p 6 1 ( T r ) + +P 4 9 ( T R ) ] + Y ^C - + C f + ( + l _ t ) c {] - a =2 [P^T r ) +P 4 4 (T R )] (28) EL /T - t ) = ⑺ +L) ・[ P 4( T r ) +P f 2 ( T R ) ] + [ p /UT r ) 0 a = 1 Y ⑺ +L • (29) 00 + p ? ( T r ) + p 6 1 ( T r ) + p 6 ( T r ) +P 0 9 ( T r )] + 3 Y ⑺ +L) • [P/ 7 T ) + P r a = 0 E ( T r )] 第 3 期 韩梦莹 ， 等 ： 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 31 2 . 1 T 时刻设备故障停机 ， 备件状态为 2 P ° 2( T R ) = Li i k_1 T + n _T + ki 「 T + ki -x /xOAMyck (33) 此种事件下 ， 有 T + L — T 。 同样依赖于故障 点的发生区间 ， 需考虑以下几种不同的更新情况 。 2 图 7 描述了故障点落在 [0,T ] 区间内 ， 在 T T + ki — x P ° 3( T R ) = 苕 J T+d- 1 ) JT+ ( k- 2 ]_/ -n x ( x ) / r( y ) dyx (34) 时刻进行故障更新的两种情况 ， 概率分别为 ： 3 ) 设备故障点发生在 [T+(k -1 ) ],T + ko ] 区 间内 ， 当 r + L > T +( k -1 ) ] 时 ， 针对缺陷点在 [0 , T] 区间上的四种情况(如图 9 所示) ， 可得每种情 况下的更新概率为 ： 图 7 T 时刻设备故障停机, T/W [0,T ] 且备件状态为 2 PE(T r ) + L P/x ( x )/y(y) ddx T + ki — x ( 35 ) ( 36 ) ( 37 ) ( 38 ) P 7 3 ( T I I P 7 2 ( T ) = [+ L [ /X ( x) /y(y) ddx -r+L _T-x r r ) = 0 /x( x )/y(y) ddx r+L-x (30 ) ( 31 ) p 9 2 ( t ) = I + 3 | r fx( x)fY(d) T+ ( k -1 ) t( T + L — x d y d x + ki -x 2 ) 若设备故障发生在 [T + (k -1 ) ( ,T + k( /X ( x )/y(y) ddx 内 ， 则故障点 T 满足 mop ( T +( k -1 ) £,r+ L ) < T % < T + ki o 当 r + L — T +( k- 1 ) i, 设备在 T 时刻进 / - /x(x)/ r (y) dydx 行故障更新的三种情况 ， 如图 8 所示 ， 更新概率为 ： 0 T T+(z-iy T+it T+(k-l)t T+kt 图 9 T 时刻设备故障停机 ， T w [T + (k-1 ) ( ,T + ko ] , + L>T+(k-1)i 且备件状态为 2 图 8 T 时刻设备故障停机 ， T w [T + (k -1) ( ,T + ko ] , + L — T+ (k-1)i 且备件状态为 2 "广 T + ki -x 至此得到设备在此更新周期内的期望成本 (32 ) P 8 1 ( T r ) 二 』 J T+ ( k_ 1 ) i JP C x ( x)/ y( y) dydx EC 6 ( T , (, r) 和期望长度 EL 6 ( T,],r )分别为: EC 6( T, ] , ) = [C x + ( T - r -L)C h ] - [PE( T r ) +P 7 2 ( T r )] + 丫 [ C , + C % + ( T % - r -L)C ] - [ p 8 i ( T r ) + p 8 2 ( T r ) + p 9 3 ( T r ) + p ： 2 ( T r ) + p E( T r ) + QC 工 [kc k = 2 , + C x + ( T - r -L)C h ] - [ p 8 3 (T r ) + P ： 4 (T r )] (39) EL 6 ( T , ],r ) = T [ p E( T r ) + p 7 2 ( T r )] + T Y T - [ p 8 3 ( T ) + p ： 4 ( T )] r k= 1 疋 1 ® ) + p 8 2 ( T r ) + p 9 3( T r ) + p ： 2 ( T r ) + p ： 3 ( T r )] + (40) r k = 2 2.3 联合优化模型 根据设备所有更新情况下的期望成本和期望 长度 ， 构建以最小化单位时间期望成本 C(T ,,r ) 为目标函数的两阶段点检与备件订购策略联合优 化模型为 ： /(vM !) =庇(肮入丸, 〉 。 (42 ) 其中 ， 入为尺度参数 ； 为形状参数 。 设备正常阶段 和缺陷阶段的分布参数分别为 ： 入 1 = 0. 058 , 8 1 = 1.47 ； 2 =0. 2, 8 =2 2 。模型中的其余参数见表 1 , 其中时间参数单位为天 , 成本参数单位为万元 。 ] 6 = EC w (T , ], r ) 采用人工蜂群 ( ABC , Artificioi Bee Colony ( 41 ) C(T , ], r ) = 十 w= 1 Aleorithm ) 算法借助 MATLAB 软件求解模型 。 图 Y EL,T ,], r ) 10 给出了 ABC 算法的流程图 ， 初始化阶段的任务 是在搜索空间中随机生成初始解 , 计算并记录解的 适应度值;之后， 蜂群将进入采蜜蜂 、 守望蜂和侦查 3 数值分析 本文运用威布尔分布来描述设备的两阶段退 化过程 。 威布尔分布的概率密度函数为 ： 蜂搜索过程 ， 并重复循环直至达到最大迭代次数 O moP 。 值得注意的是 ， 采蜜蜂阶段完成后 ， 守望蜂会 通过 ( 0. 3 " C ( T,], r )/ mox( C) ) + 0. 1 计算解的选 择概率 ， 然后在 [0,2 区间内产生一个随机数 ， 如果 32 运筹 与 管 理 2021 年第 30 卷 该数小于解的选择概率 , 则进入守望蜂阶段,其过程 与采蜜蜂阶段相同 ； 否则进入侦查蜂阶段判断是否 出现侦查蜂 ， 如果出现侦查蜂,则重新生成初始解 。 ABC 算法中的控制参数和搜索空间见表 2 。 大 ， 点检时设备处于缺陷状态的可能性越大 ， 但点 检是非完美的 ， 受不完美检测的影响 ， 设备进行预 防更新的次数变少 ， 使得较多的缺陷退化为故障, 导致单位时间内的预防维修成本逐渐减少故障维 表 1 模型参数 C ] CC C h C C L P 3 10 24 0. 3 1. 3 2. 3 7 0.4 图 2 ABC 算法流程图 根据设备分布参数 、 表 2 中的模型参数及表 2 中的控制参数 ， 运用 ABC 算法对模型求解 ， 得到最 优的第一阶段点检时间 T " = 20 、 第二阶段点检周 期 ] " =3 、 备件订购时间 r " = 2 及最优组合策略下 最小的单位时间期望成本 C （ T " , " ,r" ） =1.3611 。 若式 （ 41 ） 中的 £ = T, 说明采用的是定期点检策略, 同样运用上述 ABC 算法可得最优的点检周期 T " = 23 、 备件订购时间 r " = 2 及最优组合策略下最小 的单位时间期望成本 C （ T " , r " ） = 2 4025 。 因 2 3611 <2 4025, 所以本文提出的两阶段点检策略 优于定期点检策略 。 当 （ 为固定值时 ， 图 2 给出 了 T 分别为 2 、 20 、 22, C 随 r 变化的趋势图 ， 由图 可知 ， C 随 r 的增加先减小后增大 ， 这种变动趋势 的原因是过早的进行备件订购易增加库存持有成 本 ， 而过晚的进行备件订购易增加设备预防或故障 更新时因备件短缺导致的惩罚成本 ； 图 12 给出了 r 分别为 11 、 13 、 15,C 随 T 变化的趋势图 ， 从中可 知 ， C 随 T 的增加也是先减小后增大 ， 这是因为 T 的增加 ， 使得设备寿命周期中的点检次数减少 ， 从 而降低了单位时间内的点检成本 ； 另一方面 T 越 修成本和库存持有成本逐渐增加 。 表 2 ABC 算法中的控制参数和搜索空间 WP n map Umi] （ 严 ， 严 , r U ） （ T"t 丁 必 ） 20 20 50 (1,1,0) (40,40,44) 蒼 觀 舔 S K 回 E 早 册 图 2 ]3 时 ， 不同 T 下 C 随 r 变化趋势图 图 2 ]3 时 ， 不同 r 下 C 随 T 变化趋图 为研究假阴性概率 p 对设备点检方案和备件 订购方案的影响 ， 表 3 给出了其他参数值不变情况 下 ， p 取不同值时模型的最优解及最优值 。 从中可 知 ， T" 随 p 的增加而增加 ， 这是因为p 的增加增大 了设备进行故障更新的概率 ， 决策者更倾向于通过 降低点检频率 、 增加预防更新时设备的持续运行时 间来减少单位时间内的点检成本和预防更新成本 , 最终达到降低单位时间期望成本的目的 。 第 3 期 韩梦莹 ， 等 ： 考虑不完美检测的两阶段点检与备件订购策略联合优化 表 3 定期点检策略 33 不同 。 取值下的最优解及最优值 两阶段点检策略 p T 18 T * 0 0.9 0.9 0 9 6 0 8 11 C ⑺ 2 * ） 1,5376 T f T * 17 18 4 21 23 25 28 14 16 18 1 3826 1.4025 Hi/ 3 3 3 4 10 11 13 C （ T ， - , * ） 1 2999 1 3302 13611 20 23 29 16 22 13957 1 4299 21 1 94311 表 4 给出了各项成本参数在其他参数不变时 自身增加 20% 的敏感性分析结果 ， 从中可知:随着 C - 和 C p 的增加 ， 为降低单位时间内的点检成本和 检策略 ； 无论采用何种点检策略 ， 备件到达时刻 T - +L 总是等于第一个点检时刻 ， 该结果的原因 有:一是与设备的维修策略有关 ， 即点检识别设备 处于缺陷状态时要进行预防更新 ， 从而避免了预防 预防更新成本 ， 点检频率相应减少 ； C p 和 C ： 越大 ， 决策者越倾向于通过提高点检频率来减少故障的 发生 ； C 的增加 ， 使得最优解中的 T - 增大 ， 即较晚 更新时因备件不足而等待备件的惩罚成本(这也 是最优单位时间期望成本对 C W 不敏感的原因) ； 二是与成本参数有关 ， 即备件的库存持有成本 C 进行备件订购以减少库存持有成本;最优的单位时 间期望成本对 C 的敏感性最强 ， 因此当 C 发生变 小于因备件短缺造成的惩罚成本 C W p 和 C, 并远远 小于设备的更新成本 C p 和 C 。 综上 ， 设备的点检 方案与备件订购方案受设备退化参数 、 成本参数 、 订购提前期参数及不完美检测参数的共同影响 ， 因 化时决策者要更加关注最优解的取值 。 同时由表 3 和表 4 可知 ， 无论模型参数如何变 化 ， 采用两阶段点检策略得到的最优单位时间期望 成本始终小于采用定期点检策略得到的最优单位 此对系统的点检决策与备件订购策略进行联合优 化是非常有必要的 。 两阶段点检策略 时间期望成本 ， 故而 ， 两阶段点检策略优于定期点 定期点检策略 表 4 成本参数敏感性分析结果 参数 T * 丁 * C （ T * 2 * ） T * t * 3 3 3 3 3 3 T * C - C o 1 2 24 24 17 17 16 19 16 14060 14118 15755 + 0. 25% + 0. 66% + 19, 54% +135 % 21 23 18 14 16 11 1 28. 5 0. 96 1 ． 44 C C o 23 26 C （ T * 2 * ， 丁 * ） 1 ． 3745 +098 % 1 ． 3886 + 2. 02% 1 ． 4999 + I- 2% 1 429 1 4025 14608 23 16 13 1 ． 3835 1 ． 3611 +165 % C C p 23 3 18 11 0 +416 % 20 17 10 1 ． 4151 0 +397 % 性;就设备数量而言 ， 本文以仅含单个部件的设备 4 结语 本文基于延迟时间理论提出了设备的两阶段 点检与备件订购策略联合优化 。 点检是非完美的 ， 为研究对象 ， 在实际生产过程中 ， 一个设备通常由 多个部件组成 ， 其检测 、 维修 、 备件订购 、 生产与质 量控制决策要更复杂 ， 后续研究可对多部件设备进 行深入探讨 。 参考文献 ： [1 ] 蒋伟 ， 盛文 ， 杨莉 ， 范云龙 . 视情维修条件下相控阵雷 达备件优化配置 [J]. 系统工程与电子技术 ， 201,39 (9 ) ： 2052Q056• [2 ] 张永强 ， 徐宗昌 2 乎凯凯 ， 胡春阳 2/" 系统维修时机与 备件携行量联合优化 [J]. 北京航空航天大学学报 ， 209 2 2(1 ) ： 219-217. 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