2024年4月1日发(作者：历乐荷)
牛吃草问题
历史起源：英国数学家牛顿 (1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有 用
些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍 的算术》
一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型：
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思 想解决
实际问题的能力。
基本思路：
① 在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草 量十
每天实际减少的草量
(
即头数与每日生长量的差
)
”求出天数。
② 已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量” 。
③ 根据
(
“原有草量” +若干天里新生草量
)
十天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
(1) 草的生长速度=对应的牛头数
X
吃的较多天数一相应的牛头数
X
吃的较少天数十
较多天数－吃的较少天数 )；
(2) 原有草量=牛头数
X
吃的天数一草的生长速度
X
吃的天数； '
(3) 吃的天数二原有草量十
(
牛头数一草的生长速度);
(4) 牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛 27头， 6天把草吃尽；养牛 23头， 9天把草吃尽。如果养牛 21 头，
那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 ” 一般解法：把一头牛一天所
吃的牧草看作 1，那么就有：
(1) 27头牛6天所吃的牧草为：27
X
6= 162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)
(2) 23头牛9天所吃的牧草为：23
X
9 = 207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)
(3) 1 天新长的草为：(207 - 162)十(9 - 6)= 15
(4) 牧场上原有的草为： 27
X
6－15
X
6=72
(5) 每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72- (21 -
15)= 72 - 6= 12(天
)
所以养 21 头牛， 12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场， 草每天都匀速生长 (草每天增长量相等 )，如果放牧 24头牛，则 6 天吃完牧草，
如果放牧 21 头牛，则 8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。 (1)如果放牧 16头牛， 几
天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
解答：
(吃的
1) 草的生长速度：
(
21
X
8-24
X
6)十
(
8-6)=12(份
)
原有草量：21
X
8-12
X
8=72(份)
16 头牛可吃：72- (16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放 12头牛。
例题一 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那
么这片草地可供 21 头牛吃几周？
解：把每天每头牛吃的草量看成“ 1”。
第6周时总草量为：6
X
27= 162
第9周时总草量为：9
X
23= 207
3 周共增加草量： 207－ 162= 45
每周新生长草：45-(9-6)= 15
原有草量为： 162－6
X
15=72
所以可供 21头牛吃： 72-(21-15)=12(周)
随堂练习：
1 、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或可供 15 头牛
吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？
解： 20天时草地上共有草： 10
X
20=200
10天时草地上共有草： 15
X
10=150
草生长的速度为：(200-150)-(20-10)=5
即每天生长的草可供 5头牛吃。
原草量为： 200- 20
X
5= 100
可供 25头牛吃： 100-(25-5)=5(天)
即每周生长出的草可以供15头牛吃。
2、 一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供 24头牛吃 6 天，或 20头牛吃 10天吃完。 那
么可供 19头牛吃几天？
解： 6天时共有草： 24
X
6=144
10天时共有草： 20
X
10=200
草每天生长的速度为： (200-144)-(10-6)=14
原有草量： 144- 6
X
14= 60
可供 19 头牛： 60-( 19- 14)= 12(天)
3、 一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供 5头牛吃 8天，可供 14头牛吃 2天， 问
可供 10头牛吃几天？
解： 8天时草的总量为： 5
X
8=40
2天时草的总量为：14
X
2= 28
草每天生长的速度为：（40- 28）^（ 8-2）= 2 即每天生长的草可供 2 头牛吃。
2024年4月1日发(作者：历乐荷)
牛吃草问题
历史起源：英国数学家牛顿 (1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有 用
些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍 的算术》
一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。
主要类型：
1、求时间
2、求头数
除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思 想解决
实际问题的能力。
基本思路：
① 在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草 量十
每天实际减少的草量
(
即头数与每日生长量的差
)
”求出天数。
② 已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量” 。
③ 根据
(
“原有草量” +若干天里新生草量
)
十天数”，求出只数。
基本公式：
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：
(1) 草的生长速度=对应的牛头数
X
吃的较多天数一相应的牛头数
X
吃的较少天数十
较多天数－吃的较少天数 )；
(2) 原有草量=牛头数
X
吃的天数一草的生长速度
X
吃的天数； '
(3) 吃的天数二原有草量十
(
牛头数一草的生长速度);
(4) 牛头数=原有草量十吃的天数+草的生长速度
第一种：一般解法
“有一牧场，已知养牛 27头， 6天把草吃尽；养牛 23头， 9天把草吃尽。如果养牛 21 头，
那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 ” 一般解法：把一头牛一天所
吃的牧草看作 1，那么就有：
(1) 27头牛6天所吃的牧草为：27
X
6= 162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)
(2) 23头牛9天所吃的牧草为：23
X
9 = 207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)
(3) 1 天新长的草为：(207 - 162)十(9 - 6)= 15
(4) 牧场上原有的草为： 27
X
6－15
X
6=72
(5) 每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72- (21 -
15)= 72 - 6= 12(天
)
所以养 21 头牛， 12天才能把牧场上的草吃尽。
第二种：公式解法
有一片牧场， 草每天都匀速生长 (草每天增长量相等 )，如果放牧 24头牛，则 6 天吃完牧草，
如果放牧 21 头牛，则 8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。 (1)如果放牧 16头牛， 几
天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，最多可放多少头牛？
解答：
(吃的
1) 草的生长速度：
(
21
X
8-24
X
6)十
(
8-6)=12(份
)
原有草量：21
X
8-12
X
8=72(份)
16 头牛可吃：72- (16-12)=18(天)
2) 要使牧草永远吃不完，则每天吃的份数不能多于草每天的生长份数 所以最多只能放 12头牛。
例题一 一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那
么这片草地可供 21 头牛吃几周？
解：把每天每头牛吃的草量看成“ 1”。
第6周时总草量为：6
X
27= 162
第9周时总草量为：9
X
23= 207
3 周共增加草量： 207－ 162= 45
每周新生长草：45-(9-6)= 15
原有草量为： 162－6
X
15=72
所以可供 21头牛吃： 72-(21-15)=12(周)
随堂练习：
1 、牧场上有一片草地，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或可供 15 头牛
吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？
解： 20天时草地上共有草： 10
X
20=200
10天时草地上共有草： 15
X
10=150
草生长的速度为：(200-150)-(20-10)=5
即每天生长的草可供 5头牛吃。
原草量为： 200- 20
X
5= 100
可供 25头牛吃： 100-(25-5)=5(天)
即每周生长出的草可以供15头牛吃。
2、 一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供 24头牛吃 6 天，或 20头牛吃 10天吃完。 那
么可供 19头牛吃几天？
解： 6天时共有草： 24
X
6=144
10天时共有草： 20
X
10=200
草每天生长的速度为： (200-144)-(10-6)=14
原有草量： 144- 6
X
14= 60
可供 19 头牛： 60-( 19- 14)= 12(天)
3、 一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供 5头牛吃 8天，可供 14头牛吃 2天， 问
可供 10头牛吃几天？
解： 8天时草的总量为： 5
X
8=40
2天时草的总量为：14
X
2= 28
草每天生长的速度为：（40- 28）^（ 8-2）= 2 即每天生长的草可供 2 头牛吃。