2024年4月1日发(作者：宾简)
wzy
振动与波
振动状态：
(1) 给定振动系统,m、
ω
(T)、k一定
(2) 给定初始条件,A、
ϕ
0
一定
(3) 给定系统后总能量与A成正比
P.2/33
wzy
振动与波
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
令
ω
2
=
g
l
得：
d
2
θ
+
ω
2
sin
θ
=
0
单摆运动的微分方程
d
t
2
5
sin
θ
=
θ
−
θ
3
θ
3!
+
5!
−⋅⋅⋅
非线性微分方程
无解析解
Q
当
θ
很小时
sin
θ
≈
θ
d
2
θ
2
+
ω
2
θ
=
0
角谐振动
d
t
P.4/33
wzy
振动与波
判据1
F=−kx
运动判据
判据2
d
2
x
d
t
2
+
ω
2
x+C=
0
判据3
x=A
cos(
ω
t+
ϕ
0
)
简谐
v
=
d
x
振动
d
t
=
ω
A
cos(
ω
t+
ϕ
π
0
+
2
)
a=
d
v
特征量
A,
ω
,
ϕ
d
t
=
ω
2
A
cos(
ω
t+
ϕ
0
±
π)
2
A=x
2
v
2
0
2
0
+
ω
2
=x+
v
ω
2
ϕ
0
=
arctg(
−
v
0
ω
x
)
0
振动曲线、旋转矢量法描述简谐振动
P.1/33
wzy
振动与波
二、简振模
1. 摆动的理想模型—单摆和复摆
1) 单摆
(simple pendulum)
：
无伸长的轻线下悬挂质点
作无阻尼摆动
O
建立自然坐标, 受力分析如图
切向运动方程
l
θ
n
F
τ
=ma
τ
=ml
β
N
m
τ
−
mgl
sin
θ
=
ml
2
d
2
θ
d
t
2
mg
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
P.3/33
wzy
振动与波
d
2
θ
+
ω
2
θ
2
d
t
2
=
0
ω
=
g
l
运动方程
θ
=
θ
m
cos(
ω
t+
ϕ
0
)
由初始条件决定
周期
T=
2π
ω
=2π
l
g
结论:单摆的振动是
简谐振动
.
注意:(1)
θ
为振动角位移,不是相位.
(2)
ω
、T与m无关,由l、g决定.
P.5/33
1
wzy
振动与波
2) 复摆(
compound pendulum
): 绕不通过质心的光滑水
平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
M=I
β
o
h
2
−mgh
sin
θ
=I
d
θ
θ
C
d
t
2
J
d
2
θ
d
t
2
+
mgh
I
sin
θ
=
0
mg
令
ω
2
=
mgh
d
2
θ
I
d
t
2
+
ω
2
sin
θ
=0
——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
P.6/33
wzy
振动与波
1582年伽利略注意到比萨教
堂的吊灯(~20m)摆动：
周期似与摆幅无关
1602年:
周期似与摆锤重量无关
周期正比与摆长平方根
20≅4.5
研究学习:如何得知任意形状物体的摆动周期？
P.8/33
wzy
振动与波
伽利略摆钟1642
双摆的轨迹
小角度摆动时有两种
正则频率
P.10/33
wzy
振动与波
Q
当
θ
很小时
sin
θ
≈
θ
d
2
θ
d
2
+
ω
2
θ
=
0
角谐振动
t
运动
方程
θ
=
θ
m
cos(
ω
t+
ϕ
0
)
周期
T=
2π
ω
=2π
I
mgh
由初始条件决定
由于小角度摆动都是谐振动,可推广到:
一切微振动均可用谐振动模型处理.
例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动.
大角度摆动规律?
P.7/33
wzy
振动与波
您知道几种摆？
简摆simple pendulum
实体摆physical pendulum, compound pendulum
圆锥摆conic pendulum
球面摆spherical pendulum
双摆double pendulum
钟摆clock pendulum
扭摆torsionalpendulum
弹簧摆spring pendulum
沙摆sand pendulum
倒置摆inverted pendulum
以人命名的摆？
P.9/33
wzy
振动与波
2. 简振模的计算
例1:证明图示系统的振动为简谐运动,其频率为
ν
=
1
k
(
1
k
2
2π
k
1
+k
2
)
m
O
x
x
证：设物体位移x,弹簧分别伸长x
1
和x
2
x=x
1
+x
2
F=−k
1
x
1
=−k
1
2
x
2
x
2
=
k
k+k
x
12
−kx
k
d
2
x
d
2
x
22
=−
1
k
2
k
x=m
d
t
2
1
+k
2
d
t
2
+
k
(
1
k
2
k
x=
0
1
+k
2
)
m
系统的振动为简谐运动
P.11/33
2
2024年4月1日发(作者：宾简)
wzy
振动与波
振动状态：
(1) 给定振动系统,m、
ω
(T)、k一定
(2) 给定初始条件,A、
ϕ
0
一定
(3) 给定系统后总能量与A成正比
P.2/33
wzy
振动与波
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
令
ω
2
=
g
l
得：
d
2
θ
+
ω
2
sin
θ
=
0
单摆运动的微分方程
d
t
2
5
sin
θ
=
θ
−
θ
3
θ
3!
+
5!
−⋅⋅⋅
非线性微分方程
无解析解
Q
当
θ
很小时
sin
θ
≈
θ
d
2
θ
2
+
ω
2
θ
=
0
角谐振动
d
t
P.4/33
wzy
振动与波
判据1
F=−kx
运动判据
判据2
d
2
x
d
t
2
+
ω
2
x+C=
0
判据3
x=A
cos(
ω
t+
ϕ
0
)
简谐
v
=
d
x
振动
d
t
=
ω
A
cos(
ω
t+
ϕ
π
0
+
2
)
a=
d
v
特征量
A,
ω
,
ϕ
d
t
=
ω
2
A
cos(
ω
t+
ϕ
0
±
π)
2
A=x
2
v
2
0
2
0
+
ω
2
=x+
v
ω
2
ϕ
0
=
arctg(
−
v
0
ω
x
)
0
振动曲线、旋转矢量法描述简谐振动
P.1/33
wzy
振动与波
二、简振模
1. 摆动的理想模型—单摆和复摆
1) 单摆
(simple pendulum)
：
无伸长的轻线下悬挂质点
作无阻尼摆动
O
建立自然坐标, 受力分析如图
切向运动方程
l
θ
n
F
τ
=ma
τ
=ml
β
N
m
τ
−
mgl
sin
θ
=
ml
2
d
2
θ
d
t
2
mg
d
2
θ
d
t
2
+
g
l
sin
θ
=
0
P.3/33
wzy
振动与波
d
2
θ
+
ω
2
θ
2
d
t
2
=
0
ω
=
g
l
运动方程
θ
=
θ
m
cos(
ω
t+
ϕ
0
)
由初始条件决定
周期
T=
2π
ω
=2π
l
g
结论:单摆的振动是
简谐振动
.
注意:(1)
θ
为振动角位移,不是相位.
(2)
ω
、T与m无关,由l、g决定.
P.5/33
1
wzy
振动与波
2) 复摆(
compound pendulum
): 绕不通过质心的光滑水
平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
M=I
β
o
h
2
−mgh
sin
θ
=I
d
θ
θ
C
d
t
2
J
d
2
θ
d
t
2
+
mgh
I
sin
θ
=
0
mg
令
ω
2
=
mgh
d
2
θ
I
d
t
2
+
ω
2
sin
θ
=0
——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
P.6/33
wzy
振动与波
1582年伽利略注意到比萨教
堂的吊灯(~20m)摆动：
周期似与摆幅无关
1602年:
周期似与摆锤重量无关
周期正比与摆长平方根
20≅4.5
研究学习:如何得知任意形状物体的摆动周期？
P.8/33
wzy
振动与波
伽利略摆钟1642
双摆的轨迹
小角度摆动时有两种
正则频率
P.10/33
wzy
振动与波
Q
当
θ
很小时
sin
θ
≈
θ
d
2
θ
d
2
+
ω
2
θ
=
0
角谐振动
t
运动
方程
θ
=
θ
m
cos(
ω
t+
ϕ
0
)
周期
T=
2π
ω
=2π
I
mgh
由初始条件决定
由于小角度摆动都是谐振动,可推广到:
一切微振动均可用谐振动模型处理.
例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动.
大角度摆动规律?
P.7/33
wzy
振动与波
您知道几种摆？
简摆simple pendulum
实体摆physical pendulum, compound pendulum
圆锥摆conic pendulum
球面摆spherical pendulum
双摆double pendulum
钟摆clock pendulum
扭摆torsionalpendulum
弹簧摆spring pendulum
沙摆sand pendulum
倒置摆inverted pendulum
以人命名的摆？
P.9/33
wzy
振动与波
2. 简振模的计算
例1:证明图示系统的振动为简谐运动,其频率为
ν
=
1
k
(
1
k
2
2π
k
1
+k
2
)
m
O
x
x
证：设物体位移x,弹簧分别伸长x
1
和x
2
x=x
1
+x
2
F=−k
1
x
1
=−k
1
2
x
2
x
2
=
k
k+k
x
12
−kx
k
d
2
x
d
2
x
22
=−
1
k
2
k
x=m
d
t
2
1
+k
2
d
t
2
+
k
(
1
k
2
k
x=
0
1
+k
2
)
m
系统的振动为简谐运动
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