2024年4月2日发(作者：扬飞章)

容斥原理

在一些计数问题中

，

经常遇到有关集合元素个数的计算

。

我们用

IAI

表示有限集

A

的元素的个数

。

在两个集合的研究中,

已经知道

，

求两个集合并集的元素个数

，

不能简单地把两个

集合的元素个数相加

，

而要从两根集合的个数之中减去重复

计算的元素个数

，

用式子可以表示成

L4

U

BI=L4I+IBI-L4

A

Bl

□

我们称这一公式为包含与排除原理

，

简称为容斥原理

。

包含与排除原理

I

告诉我们

，

要计算两个集合

A

、

8

的并集

AUB

的元素个数

，

可以分一下两步进行

：

第一步

：

分别计算集合

A

、

B

的元素个数

，

然后加起来

。

即先求

L4I+IBI

（

意思是把

A

、

B

的一切元素都

“

包含

”

进来,

加在一起

）

；

第二步

“

从上面的和中减去交集的元素的个数

，

即减去

L4HSI

（

意思是

“

排除

”

了重复计算的元素的个数

）

。

例

1.

求不超过

20

的正整数中是

2

的倍数或

3

的倍数的

数共有多少

？

解

：

设

/=

｛

1

、

2

、

3

、

…

、

19

、

20

）

,

A=

｛

1

中

2

的倍数

｝

,

8=

｛

，

中

3

的倍数

｝

。

显然题目中要求计算并集

AUB

的元素个数

，

即求

L4U5L

我们知道

A=

｛

2.

4

、

6

、…

…

、

20),

所以

1X1=10,

8=

｛

3

、

6

、

9

、

12

、

15

、

18

｝

,

181=6

。

ArB=(I

中既是

2

的倍数又是

3

的倍数

｝

=

｛

6

、

12

、

18

｝

,

所以

AC

81=3,

根据容斥原理有

L4

U

B=AMB-A

A

B=

1

0+6-3=

13.

答

：

所求的数共有

13

个

。

此题可以直观地用图表示如下

：

18

20

例

2.

某班统计考试成绩

，

数学得

90

分以上的有

25

人,

语文得

90

分以上的有

21

人

，

两科中至少有一科在

90

分以

上的有

38

人

，

问两科都在

90

分以上的有多少人

？

解

：

设

A=

｛

数学在

90

分以上的学生

｝

,

B=

｛

语文在

90

分以

上的学生

｝

,

由题意知

L4

1=25,

181=21

。

AUB=

｛

数学

、

语文至少一科在

90

分以上的学生

｝

,

IAU

Bl=38

o

AQB=(

数学

、

语文都在

90

分以上的学生

｝

,

由容斥原理知

A

U

B=AMB-A

A

81,

所以

L4AB

=AMB-A

U

81=25+21

—

38=8

。

2024年4月2日发(作者：扬飞章)

容斥原理

在一些计数问题中

，

经常遇到有关集合元素个数的计算

。

我们用

IAI

表示有限集

A

的元素的个数

。

在两个集合的研究中,

已经知道

，

求两个集合并集的元素个数

，

不能简单地把两个

集合的元素个数相加

，

而要从两根集合的个数之中减去重复

计算的元素个数

，

用式子可以表示成

L4

U

BI=L4I+IBI-L4

A

Bl

□

我们称这一公式为包含与排除原理

，

简称为容斥原理

。

包含与排除原理

I

告诉我们

，

要计算两个集合

A

、

8

的并集

AUB

的元素个数

，

可以分一下两步进行

：

第一步

：

分别计算集合

A

、

B

的元素个数

，

然后加起来

。

即先求

L4I+IBI

（

意思是把

A

、

B

的一切元素都

“

包含

”

进来,

加在一起

）

；

第二步

“

从上面的和中减去交集的元素的个数

，

即减去

L4HSI

（

意思是

“

排除

”

了重复计算的元素的个数

）

。

例

1.

求不超过

20

的正整数中是

2

的倍数或

3

的倍数的

数共有多少

？

解

：

设

/=

｛

1

、

2

、

3

、

…

、

19

、

20

）

,

A=

｛

1

中

2

的倍数

｝

,

8=

｛

，

中

3

的倍数

｝

。

显然题目中要求计算并集

AUB

的元素个数

，

即求

L4U5L

我们知道

A=

｛

2.

4

、

6

、…

…

、

20),

所以

1X1=10,

8=

｛

3

、

6

、

9

、

12

、

15

、

18

｝

,

181=6

。

ArB=(I

中既是

2

的倍数又是

3

的倍数

｝

=

｛

6

、

12

、

18

｝

,

所以

AC

81=3,

根据容斥原理有

L4

U

B=AMB-A

A

B=

1

0+6-3=

13.

答

：

所求的数共有

13

个

。

此题可以直观地用图表示如下

：

18

20

例

2.

某班统计考试成绩

，

数学得

90

分以上的有

25

人,

语文得

90

分以上的有

21

人

，

两科中至少有一科在

90

分以

上的有

38

人

，

问两科都在

90

分以上的有多少人

？

解

：

设

A=

｛

数学在

90

分以上的学生

｝

,

B=

｛

语文在

90

分以

上的学生

｝

,

由题意知

L4

1=25,

181=21

。

AUB=

｛

数学

、

语文至少一科在

90

分以上的学生

｝

,

IAU

Bl=38

o

AQB=(

数学

、

语文都在

90

分以上的学生

｝

,

由容斥原理知

A

U

B=AMB-A

A

81,

所以

L4AB

=AMB-A

U

81=25+21

—

38=8

。