2024年4月4日发(作者：邬冰莹)

2023-2024学年江苏省南通市高三下学期阶段检测数学模拟试题

一、单选题

1

．已知集合

A



3,4,2a3



,B



a



，若

A



B



，则

a

（

A．3

【正确答案】B

【分析】根据交集结果得到

a3

，

a4

或

a2a3

，检验后得到答案.

【详解】因为

A



B



，所以

a3

，

a4

或

a2a3

，

当

a3

时，

2a33

，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当

a2a3

时，

a3

，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当

a4

时，

2a35

，满足集合元素互异性，满足要求.

故选：B

2

．若复数

z

是

x

2

x10

的根，则

z

（

A．

2

【正确答案】B

【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.

【详解】∵

x

2

x10

，

∴由求根公式得：

x



B．1

）

C．2D．3

B．4C．5

）

D．6



1



1



4



1



3i



1



3i

，即：

z



，



2

22

13

13

∴当

z

i

时，

|

z

|



(



)

2



()

2



1

，

22

22

13

13

2

当

z

i

时，

|

z

|



(



)

2



(



)



1

.

22

22

综述.

|z|1

故选：B.

3

．用模型

ya

e

kx

拟合一组数据组



x

i

,y

i



i1,2,,7



，其中

x

1

x

2

x

7

7

；设

zlny

，得变

ˆ

x4

，则

y

1

y

2

y

7



（换后的线性回归方程为

z

）

D．35A．

e

70

【正确答案】C

B．70C．

e

35

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心



x,z



，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简

求值.

【详解】因为

x

1

x

2

x

7

7

，所以

x1

，

zx45

，

即

ln

y

1



ln

y

2



...



ln

y

7

ln



y

1

y

2

...

y

7





5

，

77

35

所以

y

1

y

2

y

7

e

.

故选：C

4．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶

而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，

总计

108

座塔

.

已知包括第

1

层在内的其中

10

层的塔数可以构成等差数列



a

n



，剩下的

2

层的塔

数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（）

A．第3层的塔数为3

B．第4层与第5层的塔数相等

C．第6层的塔数为9

D

．等差数列



a

n



的公差为

2

【正确答案】C

【分析】设等差数列



a

n



的公差为

d

，分

d1

，

d3

和

d2

三种情况讨论，结合等差数列的前

n

项和公式分析得

d

的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案.

【详解】设等差数列



a

n



的公差为

d

，

若

d1

，则这

10

层的塔数之和为

10



1



10



9



55

，

2

10



9



3



108

，不符合题意；

2

则最多有

55101075

座塔，不符合题意；

若

d3

，则这

10

层的塔数之和不少于

101



所以

d2

，这

10

层的塔数之和为

10



1



10



9



2



100

，

2

塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，

依题意剩下2层的塔数为3与5，

所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，

因此A，B，D正确，C错误．

故选：C.

5．若

(2x1)

A．4

【正确答案】B

【分析】根据题意，给自变量

x

赋值，取

x1

和

x=



1

，两个式子相减，得到

2



a

1

a

3

a

5

a

99



的值，将

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的

结果，得到余数．

100

【详解】在已知等式中，取

x1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

3

，

100

a

0

a

1

xa

2

x

2

a

100

x

100

，则

2



a

1

a

3

a

99



3

被8整除的余数为（

B．5C．6D．7

）

取

x=



1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

1

，

两式相减得

2(a

1

a

3

a

5

a

99

)3

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



33

50

100

1

，

100

4

，

因为

3

100

49

50

4



81



4

01

r

10



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



C

50



4

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



3

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



8



5,

r



N

050149

r

50



r

1



C

50



8



8

能被8整除，因为

C

50



8



C

50



8



C

50



8

050149

r

50



r

1

所以

C

50



8



C

50



8



C

50



8



C

50



8



8



5

被8整除的余数为5，

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

被8整除的余数为5，

故选：B.

6．如图，正方形

ABCD

的边长为

2,P

是正方形

ABCD

的内切圆上任意一点，



AP



AB



AD





,



R



，则下列结论错误的是（）



A．

APAB

的最大值为4

B．







的最大值为



C．

APBD

的最大值为2

2

2

D．







的最大值为

1



【正确答案】C

2

2



【分析】建立平面直角坐标系，求向量

AP,AB,AD,BD

的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角

函数的性质判断AC，由向量相等求



,



，结合三角函数性质求







，







的最值.

【详解】以A为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则

B



2,0



，

D



0,2



，

内切圆的方程为



x1







y1



1

，

可设

P



1cos



,1sin





，

22





则

AP



1cos



,1sin





,AB



2,0



，

BD



2,2



，



所以

APAB22cos



4

，当



0

，即

P

为

BC

的中点时取等号，



所以

APAB

的最大值为4，A正确；







因为

AP



BD



2



2cos





2



2sin





2sin





2cos





22sin









，

4







22







3π



1



,1



所以

AP



BD



22sin











22

，当





，即

P





时等号成立，

4



22

4







所以

APBD

的最大值为

22

，C错误，



由

AP



AB



AD

，可得



1cos



,1sin









2



,0







0,2









2



,2





，

得





1

1



1



cos





，







1



sin





，

2

2









2π



2π







sin









，

cos









，









1



24



24









22



π

2

P

1



,1













当，即



时，所以所以的最大值为，B正确，





22

4

2



当







22



π







的最大值为

1



2

，D正确，

1



,1



，即

P



时，所以所以





22



4

2



故选：C.

1



1



t



1



7．对于两个函数

h



t





e



t





与

g



t





ln



2

t



1





2



t





，若这两个函数值相等时对应的自

2



2



变量分别为

t

2

,t

1

，则

t

1

t

2

的最小值为（

A．-1

【正确答案】C

【分析】设

h



t

2



g



t

1



m

，则

t

1



t

2



f



x





）

C．

ln2

D．

12ln2

B．

1ln3

1

m



2

11

e



1





1



ln

m





e

m



2



ln

m



，构造函数

222



1

x



2

1

e



ln

x



，应用导数求函数单调性求出最小值即可.

22

【详解】设

h



t

2



g



t

1



m

，则

t

2

1lnm

，

t

1



由

t

1

m



2



e



1



，

2

11

1

m



2

1

m



2

1

1

，得

m



e



2

，则

t

1



t

2



e



1





1



ln

m





e



ln

m



，

m



e



2

，

2

222



设函数

f



x





1

x



2

1

1

e



ln

x



，

x



e



2

，

22

1

x



2

1

则

f





x





e



，

2

x

1



1

x



2

1





2

e,



y



e,

y



因为函数在



上都是增函数，

2

x







1



所以

f





x



在



e

2

,





上为增函数，



又

f





2



0

，

1

所以当

e



2



x

2

时，

f





x



0

，

f



x



单调递减,当

x2

时，

f

¢

(

x

)

>

0

,

f



x



单调递增，

故

f



x



min

f



2



ln2

，

即

t

1

t

2

的最小值为

ln2

.

故选：C.

关键点点睛：设

h



t

2



g



t

1



m

，则

t

2

1lnm

，

t

1



1

m



2



e



1



，求得

2

t

1



t

2



1

m



2

11

e



1





1



ln

m





e

m



2



ln

m



是解决本题得关键

.

222



8

．人教

A

版必修第一册第

92

页上

“

探究与发现

”

的学习内容是

“

探究函数

y



x



经探究它的图象实际上是双曲线

.

现将函数

y



2x



上的双曲线

C

，则该双曲线

C

的离心率是（

A

．

）

C

．

1045

1

的图象与性质

”

，

x

1

的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于

x

轴

x

10



25

2

B

．

5



5

2

D

．

1045

【正确答案】D

【分析】首先确定

y



2x



1

的两条渐近线分别为

y2x,x0

，也为旋转前双曲线的渐近线，再

x

设两条渐近线夹角（锐角）角平分线

l:ykx

且

k2

，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求

双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.

【详解】由

y



2x



1

的两条渐近线分别为

y2x,x0

，

x

所以该函数对应的双曲线焦点在

y2x,x0

夹角（锐角）的角平分线

l

上，

设

l:ykx

且

k2

，若



,



分别是

ykx

，

y2x

的倾斜角，故

tan



k,tan



2

，

故







为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，

tan





tan



k



21

π1



，由

tan(







)



tan(





)



，即

tan(







)



1



tan



tan



1



2

kk

2tan



整理得

k

2

4k10

，可得

k25

（负值舍去），

所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于

x

轴上的双曲线

C

一条渐近线斜率为

b

1



5



2

，

a

2



5

b

2

故

e



1



2



1



(9



45)



10



45

.

a

故选：D

关键点点睛：求出

y



2x



二、多选题

9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，

吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村

振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年

龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列

说法正确的有（）

1

的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键

.

x

A．该平台女性主播占比的估计值为0.4

B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率

为0.7

C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按

比例分配，则中年主播应抽取6名

D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是

女性的概率为0.6

【正确答案】AC

【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出

相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，

设出事件，利用条件概率公式求出答案.

【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为

30010%30

，

青年人人数为

30060%180

，中年人人数为

300



110%60%



90

，

由图2可以看出青年人中女性人数为

1804072

，中年人中女性人数为

9030%27

，

其他人群中，女性人数为

3070%21

，

故该平台女性主播占比的估计值为

72



27



21



0.4

，A正确；

300

B选项，中年人中男性人数为

9070%63

，

故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为

63



0.21

，B错误；

300

C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为

6:3:1

，

故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取

20



3



6

名，C正确；

6



3



1

D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件

A

，随机

选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件

B

，

则

n



A



180

，

n



AB



72

，

P



BA





故选：AC

10．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽

象成如图2的四棱锥

P



ABCD

，如果

AC



BD

于点

O

，

OAOCOD

，

PCBD

，下列说法正

确的是（）

n



AB



n



A





72



0.4

，D错误.

180

A．

ACD

是等腰直角三角形

C．

PO



平面

ABCD

【正确答案】AB

B．平面

PAC

平面

ABCD

D．

P

到

AB

，

BC

，

CD

，

DA

距离均相等

【分析】依题意可得

ODCODA45

且

ADDC

，即可判断A，由

AC



BD

，

PCBD

，

即可证明

BD



平面

PAC

，即可判断B，过点

P

作

PHAC

于点

H

，由面面垂直的性质得到

PH

平面

ABCD

，再利用反例说明C、D.

【详解】因为

AC



BD

且

OAOCOD

，所以

ODC

与

VODA

均为等腰直角三角形，且

ODC≌ODA

，

所以

ODCODA45

，且

ADDC

，则

ADC90

，所以

ACD

是等腰直角三角形，故A

正确；

因为

AC



BD

，

PCBD

，

ACPCC

，

AC,PC

平面

PAC

，所以

BD



平面

PAC

，

又

BD



平面

ABCD

，所以平面

PAC

平面

ABCD

，故B正确；

过点

P

作

PHAC

于点

H

，因为平面

PAC

平面

ABCD

，

PH

平面

PAC

，

所以

PH

平面

ABCD

，

若

APPC

，则

H

不为

O

点，此时

PO



平面

ABCD

不成立，故C错误；

设

H

点到

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的距离分别为

d

1

、

d

2

、

d

3

、

d

4

，

22222222

若

P

到

AB

，

BC

，

CD

，

DA

距离均相等，则

d

1

PHd

2

PHd

3

PHd

4

PH

，

则

d

1

d

2

d

3

d

4

，故点

H

为



DAB

与

DCB

的角平分线的交点，当

ADAB

时

H

不在



DAB

的

平分线上，故D错误.

故选：AB

11．数列



a

n



满足

a

1



b

n



1



1

*

，

a

n



a

n



1



2

a

n

a

n



1



0



n



N



，数列



b

n



的前n项和为

S

n

，且

2

）

2

S

n



n

N

*



，则下列正确的是（

3

A．

1





a

n



2023

n



1



1



33

2

B．数列





b

n



的前n项和

C

n



n



n



22



a

n



C．数列



a

n

a

n



1



的前n项和

T

n



b

10

19



3

11

3

b

1

b

2



D．



a

1

a

2

a

10

22

1

4

【正确答案】BCD



1



【分析】求得数列



a

n



的通项公式判断选项A；求得数列





b

n



的前n项判断选项B；求得数



a

n



列



a

n

a

n



1



的前n项和，进而判断选项C；求得数列



【详解】由

a

n



a

n



1



2

a

n

a

n



1



0

，有



b

n





的前

n

项和

A

n

进而判断选项D.

a



n



1

11



2

，又



2

a

n



1

a

n

a

1

1



1



所以



是首项为

2

，公差为

2

的等差数列，则



2

n

，

a

n



a

n



则

a

n



1

1





a

n



，A错误；，则

2023

2

n

由

b

n



1

S

n

，可得

b

1



1

S

1

=

b

1

，解之得

b

1

3

又

n2

时，

b

n



1



1



S

n



1

，则

b

n



b

n



1



b

n

，整理得

b

n



3

b

n



1

n



则数列



b

n



是首项为3公比为3的等比数列，则

b

n



3



n

N



，

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3



1



则数列





b

n



的前

n

项和



a

n



C

n





2



3







4



3

2







2

n

3

n



n

(2



2

n

)3(1



3

n

)3

n



1

3

2





2



4





2

n







3



3







3





n



n



，B正确；

21



322

2

n

a

n

a

n



1



1111



(



)

，则数列



a

n

a

n



1



的前

n

项和

4

n

(

n



1)4

nn



1

T

n



(1



)



(1



)



，C正确；

422334

nn



14

n



14



b



设数列



n



的前

n

项和

A

n

，



a

n



则

A

n



2



3



4



3

2



2

n

3

n

，

3

A

n



2



3

2



4



3

3



2

n



3

n



1

，

23

nn



1

两式相减得



2

A

n



2



3





2



3



2



3



2



3





2

n



3

整理得

A

n





2

n



1



3

n



1

2

19



3

11

3

3



，D正确.



，则当

n10

时，

A

10



22

2

故选：BCD.

12．设直线l与抛物线

y

2

4x

相交于A，B两点，与圆



x5



y

2

r

2



r0



相切于点

M(x

0

,y

0

)

，

2

且M为

AB

的中点．（）

B．当

y

0

2

时，

AB8

D．当

r3

时，符合条件的直线l有四条

A．当

y

0

1

时，

AB

的斜率为2

C．当

r=5

时，符合条件的直线l有两条

【正确答案】ABD

【分析】由点差法得

y

0

k2

，由此判断AB正确；当

AB

的斜率

k

不存在时判断是否符合要求，

当

AB

的斜率

k

存在时,由直线与圆切于

M

得

M

必在直线

x3

上，根据给定的

r

求出

M

位置，根

据

M

是否在抛物线内部判断CD是否正确.

【详解】如图,设

A



x

1

,y

1



,B



x

2

,y

2



,

M



x

0

,

y

0



,



y

1

2



4

x

1

则



2

,两式相减得,



y

1

y

2



y

1

y

2



4



x

1

x

2



.

y



4

x

2



2

当

AB

的斜率

k

存在时,

x

1

x

2

，则有

又

y

1

y

2

2y

0

,所以

y

0

k2

.

当

y

0

1

时，

k2

，故A正确；

由

CM



AB

,得

k



y

0



0



1

,

x

0



5

y

1



y

2

y

1



y

2



2

,

2

x

1



x

2

即

y

0

k5x

0

,因此

25x

0

,x

0

3

,即

M

必在直线

x3

上.

当

y

0

2

时，

k1

，点

M



3,2



，直线

AB

的方程为

yx1

，恰好过抛物线焦点



1,0



，

故

ABx

1

x

2

22x

0

28

，故B正确；

2

2

将

x3

代入

y

2

4x

,得

y12

,由

M

在抛物线内部得

y

0

12

，

2

r

2

,

因为点

M

在圆上,所以



x

0

5



y

0

2

2

2

2

12

矛盾，此时

AB

的斜率为

k

的直线不存在，

21

，与

y

0

25

，解得

y

0

当

r=5

时，



35



y

0

2

当

AB

的斜率

k

不存在时,符合条件的直线只有一条，故C错误；

2

2

2

12

，此时

AB

的斜率为

k

的直线有两条.当

AB

5

，符合

y

0

9

，解得

y

0

当

r3

时，



35



y

0

2

的斜率

k

不存在时,符合条件的直线也有两条，故D正确；

故选：ABD

关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.

当斜率存在时，先确定点

M

一定在直线

x3

上，再用点

M

一定在抛物线内部判断给定的

r

是否

符合要求.

2024年4月4日发(作者：邬冰莹)

2023-2024学年江苏省南通市高三下学期阶段检测数学模拟试题

一、单选题

1

．已知集合

A



3,4,2a3



,B



a



，若

A



B



，则

a

（

A．3

【正确答案】B

【分析】根据交集结果得到

a3

，

a4

或

a2a3

，检验后得到答案.

【详解】因为

A



B



，所以

a3

，

a4

或

a2a3

，

当

a3

时，

2a33

，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当

a2a3

时，

a3

，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当

a4

时，

2a35

，满足集合元素互异性，满足要求.

故选：B

2

．若复数

z

是

x

2

x10

的根，则

z

（

A．

2

【正确答案】B

【分析】结合一元二次方程的求根公式及复数的模的运算公式即可求得结果.

【详解】∵

x

2

x10

，

∴由求根公式得：

x



B．1

）

C．2D．3

B．4C．5

）

D．6



1



1



4



1



3i



1



3i

，即：

z



，



2

22

13

13

∴当

z

i

时，

|

z

|



(



)

2



()

2



1

，

22

22

13

13

2

当

z

i

时，

|

z

|



(



)

2



(



)



1

.

22

22

综述.

|z|1

故选：B.

3

．用模型

ya

e

kx

拟合一组数据组



x

i

,y

i



i1,2,,7



，其中

x

1

x

2

x

7

7

；设

zlny

，得变

ˆ

x4

，则

y

1

y

2

y

7



（换后的线性回归方程为

z

）

D．35A．

e

70

【正确答案】C

B．70C．

e

35

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心



x,z



，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简

求值.

【详解】因为

x

1

x

2

x

7

7

，所以

x1

，

zx45

，

即

ln

y

1



ln

y

2



...



ln

y

7

ln



y

1

y

2

...

y

7





5

，

77

35

所以

y

1

y

2

y

7

e

.

故选：C

4．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶

而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，

总计

108

座塔

.

已知包括第

1

层在内的其中

10

层的塔数可以构成等差数列



a

n



，剩下的

2

层的塔

数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则下列结论错误的是（）

A．第3层的塔数为3

B．第4层与第5层的塔数相等

C．第6层的塔数为9

D

．等差数列



a

n



的公差为

2

【正确答案】C

【分析】设等差数列



a

n



的公差为

d

，分

d1

，

d3

和

d2

三种情况讨论，结合等差数列的前

n

项和公式分析得

d

的值，从而得12层的塔数，判断每个选项即可得答案.

【详解】设等差数列



a

n



的公差为

d

，

若

d1

，则这

10

层的塔数之和为

10



1



10



9



55

，

2

10



9



3



108

，不符合题意；

2

则最多有

55101075

座塔，不符合题意；

若

d3

，则这

10

层的塔数之和不少于

101



所以

d2

，这

10

层的塔数之和为

10



1



10



9



2



100

，

2

塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，

依题意剩下2层的塔数为3与5，

所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，

因此A，B，D正确，C错误．

故选：C.

5．若

(2x1)

A．4

【正确答案】B

【分析】根据题意，给自变量

x

赋值，取

x1

和

x=



1

，两个式子相减，得到

2



a

1

a

3

a

5

a

99



的值，将

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的

结果，得到余数．

100

【详解】在已知等式中，取

x1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

3

，

100

a

0

a

1

xa

2

x

2

a

100

x

100

，则

2



a

1

a

3

a

99



3

被8整除的余数为（

B．5C．6D．7

）

取

x=



1

得

a

0

a

1

a

2

a

100

1

，

两式相减得

2(a

1

a

3

a

5

a

99

)3

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



33

50

100

1

，

100

4

，

因为

3

100

49

50

4



81



4

01

r

10



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



C

50



4

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



3

01

r

1



C

50



8

50



C

50



8

49



C

50



8

50



r



C

50



8



8



5,

r



N

050149

r

50



r

1



C

50



8



8

能被8整除，因为

C

50



8



C

50



8



C

50



8

050149

r

50



r

1

所以

C

50



8



C

50



8



C

50



8



C

50



8



8



5

被8整除的余数为5，

即

2



a

1

a

3

a

5

a

99



3

被8整除的余数为5，

故选：B.

6．如图，正方形

ABCD

的边长为

2,P

是正方形

ABCD

的内切圆上任意一点，



AP



AB



AD





,



R



，则下列结论错误的是（）



A．

APAB

的最大值为4

B．







的最大值为



C．

APBD

的最大值为2

2

2

D．







的最大值为

1



【正确答案】C

2

2



【分析】建立平面直角坐标系，求向量

AP,AB,AD,BD

的坐标，根据数量积的坐标运算结合三角

函数的性质判断AC，由向量相等求



,



，结合三角函数性质求







，







的最值.

【详解】以A为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则

B



2,0



，

D



0,2



，

内切圆的方程为



x1







y1



1

，

可设

P



1cos



,1sin





，

22





则

AP



1cos



,1sin





,AB



2,0



，

BD



2,2



，



所以

APAB22cos



4

，当



0

，即

P

为

BC

的中点时取等号，



所以

APAB

的最大值为4，A正确；







因为

AP



BD



2



2cos





2



2sin





2sin





2cos





22sin









，

4







22







3π



1



,1



所以

AP



BD



22sin











22

，当





，即

P





时等号成立，

4



22

4







所以

APBD

的最大值为

22

，C错误，



由

AP



AB



AD

，可得



1cos



,1sin









2



,0







0,2









2



,2





，

得





1

1



1



cos





，







1



sin





，

2

2









2π



2π







sin









，

cos









，









1



24



24









22



π

2

P

1



,1













当，即



时，所以所以的最大值为，B正确，





22

4

2



当







22



π







的最大值为

1



2

，D正确，

1



,1



，即

P



时，所以所以





22



4

2



故选：C.

1



1



t



1



7．对于两个函数

h



t





e



t





与

g



t





ln



2

t



1





2



t





，若这两个函数值相等时对应的自

2



2



变量分别为

t

2

,t

1

，则

t

1

t

2

的最小值为（

A．-1

【正确答案】C

【分析】设

h



t

2



g



t

1



m

，则

t

1



t

2



f



x





）

C．

ln2

D．

12ln2

B．

1ln3

1

m



2

11

e



1





1



ln

m





e

m



2



ln

m



，构造函数

222



1

x



2

1

e



ln

x



，应用导数求函数单调性求出最小值即可.

22

【详解】设

h



t

2



g



t

1



m

，则

t

2

1lnm

，

t

1



由

t

1

m



2



e



1



，

2

11

1

m



2

1

m



2

1

1

，得

m



e



2

，则

t

1



t

2



e



1





1



ln

m





e



ln

m



，

m



e



2

，

2

222



设函数

f



x





1

x



2

1

1

e



ln

x



，

x



e



2

，

22

1

x



2

1

则

f





x





e



，

2

x

1



1

x



2

1





2

e,



y



e,

y



因为函数在



上都是增函数，

2

x







1



所以

f





x



在



e

2

,





上为增函数，



又

f





2



0

，

1

所以当

e



2



x

2

时，

f





x



0

，

f



x



单调递减,当

x2

时，

f

¢

(

x

)

>

0

,

f



x



单调递增，

故

f



x



min

f



2



ln2

，

即

t

1

t

2

的最小值为

ln2

.

故选：C.

关键点点睛：设

h



t

2



g



t

1



m

，则

t

2

1lnm

，

t

1



1

m



2



e



1



，求得

2

t

1



t

2



1

m



2

11

e



1





1



ln

m





e

m



2



ln

m



是解决本题得关键

.

222



8

．人教

A

版必修第一册第

92

页上

“

探究与发现

”

的学习内容是

“

探究函数

y



x



经探究它的图象实际上是双曲线

.

现将函数

y



2x



上的双曲线

C

，则该双曲线

C

的离心率是（

A

．

）

C

．

1045

1

的图象与性质

”

，

x

1

的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于

x

轴

x

10



25

2

B

．

5



5

2

D

．

1045

【正确答案】D

【分析】首先确定

y



2x



1

的两条渐近线分别为

y2x,x0

，也为旋转前双曲线的渐近线，再

x

设两条渐近线夹角（锐角）角平分线

l:ykx

且

k2

，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求

双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率.

【详解】由

y



2x



1

的两条渐近线分别为

y2x,x0

，

x

所以该函数对应的双曲线焦点在

y2x,x0

夹角（锐角）的角平分线

l

上，

设

l:ykx

且

k2

，若



,



分别是

ykx

，

y2x

的倾斜角，故

tan



k,tan



2

，

故







为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，

tan





tan



k



21

π1



，由

tan(







)



tan(





)



，即

tan(







)



1



tan



tan



1



2

kk

2tan



整理得

k

2

4k10

，可得

k25

（负值舍去），

所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于

x

轴上的双曲线

C

一条渐近线斜率为

b

1



5



2

，

a

2



5

b

2

故

e



1



2



1



(9



45)



10



45

.

a

故选：D

关键点点睛：求出

y



2x



二、多选题

9．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，

吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村

振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年

龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列

说法正确的有（）

1

的渐近线，利用正切差角公式求其旋转后渐近线斜率是关键

.

x

A．该平台女性主播占比的估计值为0.4

B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率

为0.7

C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按

比例分配，则中年主播应抽取6名

D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是

女性的概率为0.6

【正确答案】AC

【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出

相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，

设出事件，利用条件概率公式求出答案.

【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为

30010%30

，

青年人人数为

30060%180

，中年人人数为

300



110%60%



90

，

由图2可以看出青年人中女性人数为

1804072

，中年人中女性人数为

9030%27

，

其他人群中，女性人数为

3070%21

，

故该平台女性主播占比的估计值为

72



27



21



0.4

，A正确；

300

B选项，中年人中男性人数为

9070%63

，

故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为

63



0.21

，B错误；

300

C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为

6:3:1

，

故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取

20



3



6

名，C正确；

6



3



1

D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件

A

，随机

选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件

B

，

则

n



A



180

，

n



AB



72

，

P



BA





故选：AC

10．我国春秋时期便有了风筝，人们用折纸做成了风筝并称为“纸鸢”，我们把如图1的“纸鸢”抽

象成如图2的四棱锥

P



ABCD

，如果

AC



BD

于点

O

，

OAOCOD

，

PCBD

，下列说法正

确的是（）

n



AB



n



A





72



0.4

，D错误.

180

A．

ACD

是等腰直角三角形

C．

PO



平面

ABCD

【正确答案】AB

B．平面

PAC

平面

ABCD

D．

P

到

AB

，

BC

，

CD

，

DA

距离均相等

【分析】依题意可得

ODCODA45

且

ADDC

，即可判断A，由

AC



BD

，

PCBD

，

即可证明

BD



平面

PAC

，即可判断B，过点

P

作

PHAC

于点

H

，由面面垂直的性质得到

PH

平面

ABCD

，再利用反例说明C、D.

【详解】因为

AC



BD

且

OAOCOD

，所以

ODC

与

VODA

均为等腰直角三角形，且

ODC≌ODA

，

所以

ODCODA45

，且

ADDC

，则

ADC90

，所以

ACD

是等腰直角三角形，故A

正确；

因为

AC



BD

，

PCBD

，

ACPCC

，

AC,PC

平面

PAC

，所以

BD



平面

PAC

，

又

BD



平面

ABCD

，所以平面

PAC

平面

ABCD

，故B正确；

过点

P

作

PHAC

于点

H

，因为平面

PAC

平面

ABCD

，

PH

平面

PAC

，

所以

PH

平面

ABCD

，

若

APPC

，则

H

不为

O

点，此时

PO



平面

ABCD

不成立，故C错误；

设

H

点到

AB

，

BC

，

CD

，

DA

的距离分别为

d

1

、

d

2

、

d

3

、

d

4

，

22222222

若

P

到

AB

，

BC

，

CD

，

DA

距离均相等，则

d

1

PHd

2

PHd

3

PHd

4

PH

，

则

d

1

d

2

d

3

d

4

，故点

H

为



DAB

与

DCB

的角平分线的交点，当

ADAB

时

H

不在



DAB

的

平分线上，故D错误.

故选：AB

11．数列



a

n



满足

a

1



b

n



1



1

*

，

a

n



a

n



1



2

a

n

a

n



1



0



n



N



，数列



b

n



的前n项和为

S

n

，且

2

）

2

S

n



n

N

*



，则下列正确的是（

3

A．

1





a

n



2023

n



1



1



33

2

B．数列





b

n



的前n项和

C

n



n



n



22



a

n



C．数列



a

n

a

n



1



的前n项和

T

n



b

10

19



3

11

3

b

1

b

2



D．



a

1

a

2

a

10

22

1

4

【正确答案】BCD



1



【分析】求得数列



a

n



的通项公式判断选项A；求得数列





b

n



的前n项判断选项B；求得数



a

n



列



a

n

a

n



1



的前n项和，进而判断选项C；求得数列



【详解】由

a

n



a

n



1



2

a

n

a

n



1



0

，有



b

n





的前

n

项和

A

n

进而判断选项D.

a



n



1

11



2

，又



2

a

n



1

a

n

a

1

1



1



所以



是首项为

2

，公差为

2

的等差数列，则



2

n

，

a

n



a

n



则

a

n



1

1





a

n



，A错误；，则

2023

2

n

由

b

n



1

S

n

，可得

b

1



1

S

1

=

b

1

，解之得

b

1

3

又

n2

时，

b

n



1



1



S

n



1

，则

b

n



b

n



1



b

n

，整理得

b

n



3

b

n



1

n



则数列



b

n



是首项为3公比为3的等比数列，则

b

n



3



n

N



，

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3



1



则数列





b

n



的前

n

项和



a

n



C

n





2



3







4



3

2







2

n

3

n



n

(2



2

n

)3(1



3

n

)3

n



1

3

2





2



4





2

n







3



3







3





n



n



，B正确；

21



322

2

n

a

n

a

n



1



1111



(



)

，则数列



a

n

a

n



1



的前

n

项和

4

n

(

n



1)4

nn



1

T

n



(1



)



(1



)



，C正确；

422334

nn



14

n



14



b



设数列



n



的前

n

项和

A

n

，



a

n



则

A

n



2



3



4



3

2



2

n

3

n

，

3

A

n



2



3

2



4



3

3



2

n



3

n



1

，

23

nn



1

两式相减得



2

A

n



2



3





2



3



2



3



2



3





2

n



3

整理得

A

n





2

n



1



3

n



1

2

19



3

11

3

3



，D正确.



，则当

n10

时，

A

10



22

2

故选：BCD.

12．设直线l与抛物线

y

2

4x

相交于A，B两点，与圆



x5



y

2

r

2



r0



相切于点

M(x

0

,y

0

)

，

2

且M为

AB

的中点．（）

B．当

y

0

2

时，

AB8

D．当

r3

时，符合条件的直线l有四条

A．当

y

0

1

时，

AB

的斜率为2

C．当

r=5

时，符合条件的直线l有两条

【正确答案】ABD

【分析】由点差法得

y

0

k2

，由此判断AB正确；当

AB

的斜率

k

不存在时判断是否符合要求，

当

AB

的斜率

k

存在时,由直线与圆切于

M

得

M

必在直线

x3

上，根据给定的

r

求出

M

位置，根

据

M

是否在抛物线内部判断CD是否正确.

【详解】如图,设

A



x

1

,y

1



,B



x

2

,y

2



,

M



x

0

,

y

0



,



y

1

2



4

x

1

则



2

,两式相减得,



y

1

y

2



y

1

y

2



4



x

1

x

2



.

y



4

x

2



2

当

AB

的斜率

k

存在时,

x

1

x

2

，则有

又

y

1

y

2

2y

0

,所以

y

0

k2

.

当

y

0

1

时，

k2

，故A正确；

由

CM



AB

,得

k



y

0



0



1

,

x

0



5

y

1



y

2

y

1



y

2



2

,

2

x

1



x

2

即

y

0

k5x

0

,因此

25x

0

,x

0

3

,即

M

必在直线

x3

上.

当

y

0

2

时，

k1

，点

M



3,2



，直线

AB

的方程为

yx1

，恰好过抛物线焦点



1,0



，

故

ABx

1

x

2

22x

0

28

，故B正确；

2

2

将

x3

代入

y

2

4x

,得

y12

,由

M

在抛物线内部得

y

0

12

，

2

r

2

,

因为点

M

在圆上,所以



x

0

5



y

0

2

2

2

2

12

矛盾，此时

AB

的斜率为

k

的直线不存在，

21

，与

y

0

25

，解得

y

0

当

r=5

时，



35



y

0

2

当

AB

的斜率

k

不存在时,符合条件的直线只有一条，故C错误；

2

2

2

12

，此时

AB

的斜率为

k

的直线有两条.当

AB

5

，符合

y

0

9

，解得

y

0

当

r3

时，



35



y

0

2

的斜率

k

不存在时,符合条件的直线也有两条，故D正确；

故选：ABD

关键点点睛：不要遗漏判断斜率不存在时的直线是否符合要求.

当斜率存在时，先确定点

M

一定在直线

x3

上，再用点

M

一定在抛物线内部判断给定的

r

是否

符合要求.