2024年4月4日发(作者：巫马兴朝)
120种UG表达式曲线画法（阿基米德螺旋线、数学方程式）
在UG中利用【规律曲线】|【根据方程】绘制各种方程曲线：1、极坐标（或柱坐标
r,θ,z）与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=r*cos(θ)；y=r*sin(θ)；z=z2、球坐标系(r,θ,φ)
与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=rsinθcosφ；y=rsinθsinφ；z=rcosθ在UG表达式中
输入的theta=θ；phi=φ；r=rho【注：所有UG表达式中，必须先在名称栏输入t，公式
栏输入0，类型为恒定的，即无单位。t是UG自带的系统变量，其取值为0~1之间的连
续数】1.直线直线的数学方程为y-y0=tan(θ)*(x-x0)，若直线经过点（10,20），倾角θ为
30°，长度L为40，即UG表达式为：
theta=30L=40xt=10+L*cos(theta)*tyt=20+L*sin(theta)*tzt=0效果如图1 2.圆和圆
弧圆的数学方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2，若圆心坐标为（50,40），半径r为30，即
UG表达式为：r=30theta=t*360xt=50+r*cos(theta)yt=40+r*sin(theta)zt=0效果如图
23.椭圆和椭圆弧椭圆的数学方程为(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1，若椭圆中心坐标为
（50,40），长半轴a为30（在X轴上），短半轴b为20，即UG表达式为：
a=30b=20theta=t*360xt=50+a*cos(theta)yt=40+b*sin(theta)zt=0效果如图3
4.双曲线双曲线的数学方程为x2/a2-y2/b2=1，若中心坐标为（0,0），实长半轴a为
4（在x轴上），虚半轴b为3，y的取值范围为-5~+5内的一段，即UG表达式为：
a=4b=3yt=10*t-5xt=a/b*sqrt(b^2+yt^2)或xt=-a/b*sqrt(b^2+yt^2)zt=0做出一半
后进行镜像复制，效果如图45.抛物线抛物线I的数学方程为y2=2px，若抛物线的顶点为
（30,20）焦点到准线的距离p=8，y的取值范围为-25~+25，即UG表达式为：
p=8yt=50*t-25+20xt=(yt-20)^2/(2*p)+30zt=0效果如图5-1抛物线II数学参数方程：
x=2pt2，y=2pt（其中t为参数）。UG表达式为：p=8tt=t*4-2xt=2*p*tt^2yt=2*p*ttzt=0
效果如图5-2
6.正弦曲线若正弦曲线一个周期X方向长度为50，振幅为10，即UG表达式为：
theta=t*360xt=50*tyt=10*sin(theta)zt=0效果如图67.余弦曲线若余弦曲线一个周期X
方向长度为50，振幅为10，即UG表达式为：theta=t*360xt=50*tyt=10*cos(theta)zt=0
效果如图7 8.圆柱螺旋线若圆柱螺旋线半径r为20，螺距p为10，圈数n为5，即UG
表达式为：r=20p=10n=5theta=t*360
xt=r*cos(theta*n)yt=r*sin(theta*n)zt=p*n*t或zt=cos(theta*n)+p*n*t效果如图8
9.碟形弹簧若碟形弹簧半径r为20，螺距p为10，圈数n为5，即UG表达式为：
r=20p=10n=5theta=t*360xt=r*cos(theta*n)yt=r*sin(theta*n)zt=cos(theta*n^2)+p
*n*t或zt=cos(theta*n^2.4)+p*n*t效果如图910.圆锥螺旋线和圆台螺旋线若圆锥螺旋
线底圆半径r为20，螺距p为5，圈数n为10，即UG表达式为：r=20*（1-t），若圆台
上端半径为5，则
r=20*(1-t*0.75)p=5n=10theta=t*360xt=r*cos(theta*n)yt=r*sin(theta*n)zt=p*n*t效
果如图10-1、10-2
11.三尖瓣线三尖瓣线数学方程：x=r(2cosθ+cos2θ)；y=r(2sinθ-sin2θ)若将2变为
n即扩展为n+1尖瓣线。若r=20，即UG表达式为：
r=20n=2theta=t*360xt=r*(n*cos(theta)+cos(n*theta))yt=r*(n*sin(theta)-sin(n*thet
a))zt=0效果如图11 12.星形线【四尖瓣线】星形线的数学方程：x=r*cos3θ；y=r*sin3
θ。【由n+1尖瓣线通式：x=r(n*cosθ+cos(n*θ))；y=r(n*sinθ-sin(n*θ))当n=3时的情
况。三角函数公式：sin3θ＝3sinθ－4sin3θ；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ】若r=20，即UG
表达式为：r=20theta=t*360xt=r*(cos(theta))^3yt=r*(sin(theta))^3zt=0效果如图
1213.渐开线渐开线的数学方程：x=r(cosθ+θ*sinθ)；y=r(sinθ-θ*cosθ)。假设渐开线的
基圆半径r为10，展开角度θ为360*2，即UG表达式为：
r=10theta=360*2*ts=r*rad(theta)=r*(2*pi()/360)*theta=2*pi()*r*t*2xt=r*cos(theta)
+s*sin(theta)yt=r*sin(theta)-s*cos(theta)zt=0效果如图13 14.阿基米德螺线(等径螺
线)阿基米德螺线(等径螺线)数学方程：r=a*θ（极坐标），假设a=10，θ=360*2，即UG
表达式为：a=10theta=t*360*2r=a*thetaxt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
1415.对数螺线(等角螺线)对数螺线(等角螺线)数学方程：r=aemθ。对数螺线的定义和性
质：运动方向始终与极径保持定角λ的动点轨迹称为对数螺线。假设a=0.005，即UG表达
式为：a=0.005theta=t*360*2r=exp(a*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图1516.双曲螺线数学方程：r=a/θ。若a=10，即UG表达式为：
a=100theta=t*360*2+1r=a/thetaxt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图16
17.连锁螺线数学方程：r2=a2/θ。若a=10，即UG表达式为：
a=10theta=t*360*2+1r=a/sqrt(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
17 18.心脏线（肾形线）心脏线数学方程：r=2a(1+cosθ)；肾形线数学方程：
r=a(1+2sin(θ/2))。若a=10，θ=360°，即
【或
UG表达式为：
】【或a=10theta=360*tr=2*a*(1+cos(theta))r=a*(1+sin(theta))
r=a*(1+2*sin(theta/2))】xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图1819.双弧外摆
线双弧外摆线的数学方程：x=3b*cosθ+a*cos3θ，y=3b*sinθ+a*sin3θ。即UG表达式
为：a=10b=10theta=t*360xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3*
theta)yt=3*b*sin(theta)+a*sin(3* theta)zt=0效果如图19
20.肾脏线数学方程：x=a(3cost-cos3t)；
y=a(3sint-sin3t)a=10theta=360*txt=a*(3*cos(theta)-cos(3*theta))yt=a*(3*sin(thet
a)-sin(3*theta))zt=0效果如图曲线 【？x=(a2+f2+sin2t)cost/a，
y=(a2+f2sin2t-2f2)sint/b】Talbot曲线数学方程：x=(a2+f2sin2θ)cosθ/a，y=(a2+f2sin2
θ-2f)sinθ/b。若a=1.1，b=0.666，θ=360°，f=1，即UG表达式为：
theta=360*ta=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1xt=(a^2+f^2*c^2)*cos(theta)/ayt=(a^2-
2*f+f^2*c^2)*sin(theta)/bzt=0效果如图21 22.四叶线四叶线数学方程：r=a*cos2θ，
若a=10，θ=360°，即UG表达式为：
a=10theta=t*360r=a*cos(2*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图2223.
三叶线三叶线数学方程：r=a*cos3θ=a*cosθ*(4sin2θ-1)，若a=10，θ=180°，即UG表
达式为：a=10theta=t*180r=a*cos(3*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图23
24.双叶线双叶线数学方程：r=4a*cosθ*sin2θ，若a=10，θ=89.999°，即UG表达
式为：
a=10theta=t*89.999r=4*a*cos(theta)*sin(2*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt
=0绘制一半后利用y轴镜像，效果如图ea曲线Rhodonea曲线数学方程：
r=a*sin(kθ)，若UG表达式为：
theta=t*360*3xt=(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)yt=(10-6)*sin(theta)-6*
sin((10/6-1)*theta)zt=0则效果如图25-1若UG表达式为：
theta=t*360*5xt=4*cos(theta)+10*cos(0.8*theta)yt=4*sin(theta)-10*sin(0.8*theta)
zt=0则效果如图25-2
26.外摆线外摆线数学方程：x=(a+b)cosθ-rcos((a+b)/bθ)；y=(a+b)sinθ
-rsin((a+b)/bθ)【其中a、b、r分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。UG表达式
为：
theta=360*t*10a=5b=8r=8xt=(a+b)*cos(theta)-r*cos((a/b+1)*theta)yt=(a+b)*sin(t
heta)-r*sin((a/b+1)*theta)zt=0效果如图26
27.内摆线内摆线数学方程：x=(a-b)cosθ+rcos((b-a)/bθ)；y=(a-b)sinθ
+rsin((b-a)/bθ)【其中a、b、r分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。UG表达式
为：
theta=360*t*10a=5b=8r=10xt=(a-b)*cos(theta)+r*cos((1-a/b)*theta)yt=(a-b)*sin(t
heta)+r*sin((1-a/b)*theta)zt=0效果如图2728.长短幅圆内旋轮线UG表达式为：
a=5b=7c=2.2theta=360*t*10xt=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)yt=(a-b)*sin
(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)zt=0效果如图28 29.长短幅圆外旋轮线UG表达式为：
theta=360*t*10a=5b=3c=5xt=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)yt=(a+b)*sin(
theta)-c*sin((a/b+1)*theta)zt=0效果如图2930.封闭球形环绕曲线
r=10theta=360*tphi=360*t*10xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)效果如图30
31.费马线（有点像螺纹线）费马线数学方程：r2=a2θ(需分两段做)。UG表达式为：
a=4theta=t*360*5r=a*sqrt(rad(theta))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0绘制一半
后，绕原点旋转180复制，效果如图3132.球面螺旋线球面螺旋线采用球坐标系的方程：
rho=10，theta=t*180，phi=t*360*20。若UG表达式为：
r=10theta=t*180phi=t*360*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)则效果如图32-1球面螺旋线(罩形)UG表达式为：
r=10theta=t*120phi=t*360*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)则效果如图32-2 33.圆内螺旋线圆内螺旋线的UG表达式为：
theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=2*sin(6*theta)
效果如图33-1、33-2
34.蝴蝶曲线蝴蝶曲线球坐标方程：rho=8*t，theta=360*t*4，phi=-360*t*8。UG
表达式为：
theta=t*360*4r=8*tphi=-360*t*8xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt
=r*cos(theta)效果如图34-1、34-2 35.太阳线太阳线柱坐标方程：
r=1.5*cos(50*theta)+1，theta=t*360，z=0。即UG表达式为：
theta=t*360r=1.5*cos(50*theta)+1xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图35
36.九瓣花九瓣花的UG表达式为：
r=20*ttheta=t*360*90phi=t*360*10xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)俯视图效果如图3637.蝶线蝶线球坐标方程：
rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)，theta=t*360，phi=log(1+t*360)*t*360。即UG
表达式为：
theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360r=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)xt=r*sin(theta)
*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图3738.无底篮子曲线无底篮子
曲线方程：r=5+0.3*sin(t*180)+t，theta=t*360*30，z=t*5。即UG表达式为：
theta=360*t*30r=5+0.3*sin(t*180)+txt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*5效果如图
3839.飞蝶曲线UFO（漩涡线）漩涡线的UG表达式为：
r=20^2*ttheta=30*log(30)*tphi=360*t*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*s
in(phi)zt=r*cos(theta)则效果如图39-1UFO的球坐标方程：rho=t*20^2，
theta=t*log(30)*60，phi=t*7200。即UG表达式为：
r=20^2*ttheta=60*log(30)*tphi=360*t*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*s
in(phi)zt=r*cos(theta)效果如图39-240.蘑菇曲线蘑菇曲线的球坐标：
rho=t^3+t*(t+1)theta=60*log(60)*tphi=t^2*360*100xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*
sin(theta)*sin(phi)zt=-r*cos(theta)效果如图40-1、40-241.叶（葉）形线叶（葉）形线
I的数学方程：x=3at/(1+t3)；y=3at2/(1+t3)。若a=10，即UG表达式为：
a=10xt=3*a*t/(1+(t^3))yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))zt=0效果如图41-1叶形线II数学方
程：r=4a*cosθsin2θ-bcosθ。若a=10，b=2，θ=89°即UG表达式为：
a=10b=2theta=89r=4*a*cos(theta)*(sin(theta))^2-b*cos(theta)xt=r*cos(theta)yt=r
*sin(theta)zt=0效果如图41-242.概率曲线概率曲线UG表达式为：
xt=t*10-5yt=exp(0-xt^2)zt=0效果如图4243.箕舌线(魔线)箕舌线I的UG表达式为：
a=10xt=t*100-50yt=8*a^3/(xt^2+4*a^2)zt=0效果如图43-1箕舌线II数学方程：
x=tanθ，y=cos2θ。UG表达式为：theta=160*t-80xt=tan(theta)yt=(cos(theta))^2zt=0
效果如图43-2魔线数学方程：x=aθ；y=a/(1+θ
2)a=10theta=t*360-180xt=a*rad(theta)yt=a/(1+(rad(theta))^2)zt=0效果如图
43-344.正切曲线正切曲线方程：x=t*8.5-4.25，y=tan(x*20)。即UG表达式为：
xt=t*8.5-4.25yt=tan(xt*20)zt=0效果如图4445.双曲正弦曲线双曲正弦曲线方程：
x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/2。即UG表达式为：xt=t*6-3yt=(exp(xt)-exp(-xt))/2zt=0
效果如图4546.双曲余弦曲线双曲余弦曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)+exp(0-x))/2。即
UG表达式为：xt=t*6-3yt=(exp(xt)+exp(-xt))/2zt=0效果如图4647.双曲正切曲线双曲
正切曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。即UG表达式为：
xt=t*6-3yt=(exp(xt)-exp(0-xt))/(exp(xt)+exp(0-xt))zt=0效果如图4748.蔓叶线蔓叶线
数学方程：r=2a*tanθ*sinθ（分2段做），若a=10，θ=75，即UG表达式为：
theta=75a=10r=2*a*tan(theta)*sin(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图ous曲线Lissajous曲线数学方程：x=a*sin(nθ+c)，y=b*sinθ。若a=10，
b=10，c=100，n=3，θ=360，即UG表达式为：
theta=t*360a=10b=10c=100n=3xt=a*sin(n*theta+c)yt=b*sin(theta)zt=0效果如图
4950.“8”字线“8”字线方程I：x=a*cos(t*360)，y=b*sin(t*(2*360))。若a=2，b=1，
即UG表达式为：theta=360*ta=2b=3xt=a*cos(theta)yt=b*sin(2*theta)zt=0效果如
图50-1“8”字线方程II【Gernono曲线数学方程：x=cost；y=sintcost】
theta=360*txt=cos(theta)yt=sin(theta)* cos(theta)zt=0效果如图50-2“8”字线方程
III（墨镜线）的UG表达式为：
theta=360*tr=10+(8*sin(theta))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图50-3
“8”字线方程IV的UG表达式为：
theta=360*ta=10b=10xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3*theta)yt=b*sin(theta)+a*sin(3*t
heta)zt=0效果如图50-451.一峰三驻点曲线一峰三驻点曲线方程：x=3*t-1.5，
y=(x^2-1)^3+1。即UG表达式为：xt=3*t-1.5yt=(xt^2-1)^3+1zt=0效果如图5152.
蛇形线蛇形线UG表达式为：xt=2*cos((t+1)*360)yt=2*sin(t*(5*360))zt=t*(t+1)效果如
图5253.梅花线(圆角五星)梅花线I(圆角五星)的UG表达式为：
theta=360*tr=10+(3*sin(theta*2.5))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
53-1梅花线II的UG表达式为：
theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=2*cos(5*theta)
效果如图53-254.手掌手掌的UG表达式为：
theta=360*t+180r=cos(360*t^3*6)*2+5xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图5455.直叶六叶线直叶六叶线的UG表达式为：
theta=360*tr=10-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=-4*sin(theta*
3)^2效果如图5556.弯叶六叶线弯叶六叶线的UG表达式为：
theta=360*tr=10-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=-(r*sin(theta*
3))^2效果如图5657.六叶花形
theta=t*360r=5-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=(r*sin(theta*3)
)^2效果如图5758.空间螺旋椭圆线
a=10b=20theta=t*360*3xt=a*cos(theta)yt=b*sin(theta)zt=t*3*4效果如图5859.空
间螺旋梅花线
theta=t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*16效果
如图5960.鼓形线（灯笼形）r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10
效果如图6061.鼓鼓形线xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*10
r=6*sin(t*360)+ttheta=t*360*40xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*20效果如图
6162.蝴蝶结曲线(簪形线)蝴蝶结曲线方程：
xt=200*t*sin(t*3600)yt=250*t*cos(t*3600)zt=300*t*sin(t*1800)效果如图62-1簪形
线方程：
r=200*ttheta=900*tphi=t*900xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)效果如图62-263.锁呐线锁呐线I方程：
r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3
xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t^3*(t+1)效果如图63-1锁呐线II方程：
xt=2*cos(t*360*3)*tyt=2*sin(t*360*3)*tzt=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5效果如图63-264.
手把曲线
theta0=t*360theta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(theta1)xt=r*cos(theta0)yt=
r1*sin(theta1)zt=0效果如图6465.向日葵线
theta=t*360r=30+10*sin(theta*30)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
6566.环形二次曲线xt=50*cos(t*360)yt=50*sin(t*360)zt=10*cos(t*360*8)效果如图
6667.柱面正弦波线
r=30theta=t*360xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=5*sin(5*theta-90)效果如图6768.
环形螺旋线
n=15theta=t*360xt=(50+10*sin(theta*n))*cos(theta)yt=(50+10*sin(theta*n))*sin(t
heta)zt=10*cos(theta*n)效果如图6869.内接弹簧
xt=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)yt=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)zt=t*6效果如
图6970.多变内接式弹簧
xt=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)yt=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)zt=t*8效果如
图7071.正弦周弹簧theta1=t*360theta2=t*360*20xt=2*theta1*2*pi/360【注：在UG
中可输入xt=2*rad(theta1)】yt=sin(theta1)*5+cos(theta2)zt=sin(theta2)效果如图
7172.双元宝线
r=sin(t*360*10)+30theta=sin(t*360*15)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=sin(t*3)*1
0效果如图7273.变形阿基米德螺线(双
向)theta=360*2*(t-0.5)r=10*thetaxt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图7374.
双鱼曲线
r=30+10*sin(t*360*10)theta=t*180*cos(t*360*10)phi=t*360*30xt=r*sin(theta)*cos
(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图7475.“两相望”曲线
r=30+10*sin(t*360*10)theta=t*180*cos(t*360*10)phi=t*360*20xt=r*sin(theta)*cos
(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图7576.小蜜蜂
xt=cos(t*360)+cos(3*t*360)yt=sin(t*360)+sin(5*t*360)zt=0效果如图7677.弯月
xt=cos(t*360)+cos(2*t*360)yt=sin(t*360)*2+sin(t*360)*2zt=0效果如图7778.热带鱼
a=5xt=(a*(cos(t*360*3))^4)*tyt=(a*(sin(t*360*3))^4)*tzt=0效果如图7879.燕尾剪
xt=3*cos(t*360*4)yt=3*sin(t*360*3)zt=t效果如图7980.天蚕丝
theta=t*3600r=(cos(360*t*20)*0.5*t+1)*txt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图8081.蜗轨线
theta=t*360*2r=cos(t*360*30)*t*0.5+t*2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图8182.变化后的星形线
theta=t*360xt=10*cos(theta)^3yt=10*sin(theta)^3zt=cos(theta)效果如图8283.心
电图r=sin(t*360*2)+0.2theta=10+t*(6*360)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*3效
果如图8384.次声波xt=t*5yt=t*cos(t*360*8)zt=0效果如图8485.小白兔
theta=t*360-90r=cos(360*(t/(1+t^(6.5)))*6*t)*3.5+5xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)
zt=0效果如图8586.蜘蛛网
theta=t*360*5r=t*sin(t*360*25)*5+8xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
8687.十字渐开线
theta=t*360*4r=(cos(t*360*16)*0.5*t+1)*t*10xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效
果如图8788.五环
theta=t*360*4r=(cos(t*360*5)+1)*10xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
8889.蜗牛线蜗牛线数学方程：r=a*sin(θ)/θ。UG表达式为：
a=10theta=360*t*5+0.001r=a*sin(theta)/rad(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)z
t=0效果如图8990.内五环
theta=t*360*4xt=2+(10-5)*cos(theta)+6*cos((10/6-1)*theta)yt=2+(10-5)*sin(theta
)-6*sin((10/6-1)*theta)zt=0效果如图90-1内五角星
a=5b=3s=t*19*180/pi()=t*deg(19)xt=(a-b)*cos(s)+b*cos((a/b-1)*s)yt=(a-b)*sin(s)-
b*sin((a/b-1)*s)zt=0效果如图90-291梨形线梨形线数学方程：x=1+sint；
y=a*cost*(1+sint)。即UG表达式：
theta=t*360a=0.8xt=1+sin(theta)yt=a*cos(theta)*(1+sin(theta))zt=0效果如图91-1
梨形四次曲线数学方程：b2y2=x3(a-x)a=10b=6xt=10*tyt=sqrt(xt^3*(a-xt)/b^2)zt=0
绘制后镜像，效果如图91-292.空间梅花形
the=t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=5*sin(6*thet
a)效果如图92 93.一朵小花
theta=t*360r=3*cos(360*(t/(1+t^6))*6)+5xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图9394.红十字
theta=t*360r=cos(360*t*4)*0.5+1xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图94
95.波浪花环r=5theta=t*720xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=sin(3.5*theta-90)效果
如图9596.正弦波带xt=5*t^2yt=sin(t*8*360)*0.5zt=0效果如图96 97.悬链线数学方
程：y=a*cosh(x/a)a=5xt=t*10-5yt=a*(exp(xt/a)+exp(-xt/a))/2zt=0效果如图9798.
塔形螺旋线r=t*80+50theta=t*360*10z=t*80效果如图98 99.铃铛形线
r=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*50xt=r*cos(phi)yt=r*sin(phi)zt=-r*cos(the
ta)效果如图99100.克莱线数学方程：r=4a*cos3(θ
/3)a=5theta=359*tr=4*a*(cos(theta/3))^3xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图100 101.对数曲线对数函数的数学方程：y=log(x)，若x的取值范围从
0.0001~10.0001，即对数曲线的UG表达式为：xt=10*tyt=log(10*t+0.0001)zt=0效果
如图101102.正环索线数学方程：r=a*cos(2θ)/cosθa=10theta=t*178-89或
【theta=t*178+91】r=a*cos(2*theta)/cos(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0
当theta=t*120-60时的效果如图102 103.三等分角线数学方程：r=2a*sin3θ/sin2θ
a=10theta=89*t+0.1和
theta=89*t+90.1r=2*a*sin(3*theta)/sin(2*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0
效果如图103104.平摆线数学方程：x=at-h*sin(t)；
y=a-h*cos(t)a=3h=6theta=360*t*5xt=a*rad(theta)-h*sin(theta)yt=a-h*cos(theta)z
t=0效果如图104 105.平稳曲线数学方程：x=a*sin(m+n)t/sin(m-n)t；
y=2a*sin(mt)sin(nt)/sin(m-n)ta=10m=8n=7theta=179.9*t+0.01xt=a*sin((m+n)*th
eta)/sin((m-n)*theta)yt=2*a*sin(m*theta)*sin(n*theta)/sin((m-n)*theta)zt=0效果如
图105106.半立方抛物线数学方程：y3=ax2a=10xt=15*tyt=a^(1/3)*xt^(2/3)zt=0【或
yt=15*t，xt=sqrt(yt^3/a)，zt=0】效果如图106 107.追踪曲线数学方程：
y=ax2-log(x)a=0.1xt=10*t+0.01yt=a*xt^2-log(xt)zt=0效果如图107108.杖头线数学
方程：r=b2/(a*cos2
θ)a=10b=6theta=t*120-60r=(b^2)/(a*(cos(theta)^2))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(thet
a)zt=0效果如图108 109.双扭线数学方程：r2=a2cos(2
θ)a=5theta=t*90-45r=a*sqrt(cos(2*theta))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图109110.曳物线数学方程：x=1/cosh(t)；y=t-tanh(t) (分两段
做)xt=2/(exp(t)+exp(-t))yt=t-(exp(t)-exp(-t))/(exp(t)+exp(-t))zt=0
110111.L曲线数学方
效果如图
程：
(x/a)n+(y/b)n=1a=10b=8n=5xt=t*22.5-10yt=(1-(xt/a)^n)^(n/1)zt=0效果如图111
曲线数学方程：r=((25-24tan2θ)/(1-tan2
θ))1/2theta=t*44.9-22.45r=sqrt((25-24*tan(2*theta))/(1-tan(2*theta)))xt=r*cos(the
ta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图112 113.八字曲线数学方程：r2=a2cos2θsec4θ
a=5theta=t*44.9-22.45r=a*sqrt(cos(2*theta)/cos(4*theta))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(
theta)zt=0效果如图113114.蛇状线数学方程：
x2y+aby-a2x=0a=5b=3xt=40*t-20yt=a^2*xt/(xt^2+a*b)zt=0效果如图114 115.
蚌线数学方程：a(r*cosθ-a)=k2cos2θ
a=5k=16theta=t*178-89r=(k^2*cos(2*theta)+a^2)/(a*cos(theta))xt=r*cos(theta)yt
=r*sin(theta)zt=0效果如图115116.瓦特曲线数学方程：r2=b2-(a*sinθ±(c2-a2cos2
θ)1/2)2a=3b=8c=5theta=t*360r1=sqrt(b^2-(a*sin(theta)+(c^2-a^2*(cos(theta))^
2)^(1/2))^2)r2=sqrt(b^2-(a*sin(theta)-(c^2-a^2*(cos(theta))^2)^(1/2))^2)xt=r1*c
os(theta)或xt=r2*cos(theta)yt=r1*sin(theta)或yt=r2*sin(theta)zt=0效果如图116-1
或116-2 117.桃形线
r=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*100xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)
*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图117 118.蝴蝶兰线蝴蝶兰线的UG表达式为：
theta=360*tr=10-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=r*sin(theta*3)
效果如图118119.长命锁曲线a=1*t*359.5 若
a=1*t*359.5b=q2*t*360 b=6*t*360c=q3*t*360
c=16*t*360rr1=w1 rr1=10rr2=w2
rr2=8rr3=w3
rr3=6x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)该曲线方
程中q2、q3、w1、w2、w3不知是多少？效果如图119、120
2024年4月4日发(作者：巫马兴朝)
120种UG表达式曲线画法（阿基米德螺旋线、数学方程式）
在UG中利用【规律曲线】|【根据方程】绘制各种方程曲线：1、极坐标（或柱坐标
r,θ,z）与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=r*cos(θ)；y=r*sin(θ)；z=z2、球坐标系(r,θ,φ)
与直角坐标系(x,y,z)的转换关系：x=rsinθcosφ；y=rsinθsinφ；z=rcosθ在UG表达式中
输入的theta=θ；phi=φ；r=rho【注：所有UG表达式中，必须先在名称栏输入t，公式
栏输入0，类型为恒定的，即无单位。t是UG自带的系统变量，其取值为0~1之间的连
续数】1.直线直线的数学方程为y-y0=tan(θ)*(x-x0)，若直线经过点（10,20），倾角θ为
30°，长度L为40，即UG表达式为：
theta=30L=40xt=10+L*cos(theta)*tyt=20+L*sin(theta)*tzt=0效果如图1 2.圆和圆
弧圆的数学方程为(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2，若圆心坐标为（50,40），半径r为30，即
UG表达式为：r=30theta=t*360xt=50+r*cos(theta)yt=40+r*sin(theta)zt=0效果如图
23.椭圆和椭圆弧椭圆的数学方程为(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1，若椭圆中心坐标为
（50,40），长半轴a为30（在X轴上），短半轴b为20，即UG表达式为：
a=30b=20theta=t*360xt=50+a*cos(theta)yt=40+b*sin(theta)zt=0效果如图3
4.双曲线双曲线的数学方程为x2/a2-y2/b2=1，若中心坐标为（0,0），实长半轴a为
4（在x轴上），虚半轴b为3，y的取值范围为-5~+5内的一段，即UG表达式为：
a=4b=3yt=10*t-5xt=a/b*sqrt(b^2+yt^2)或xt=-a/b*sqrt(b^2+yt^2)zt=0做出一半
后进行镜像复制，效果如图45.抛物线抛物线I的数学方程为y2=2px，若抛物线的顶点为
（30,20）焦点到准线的距离p=8，y的取值范围为-25~+25，即UG表达式为：
p=8yt=50*t-25+20xt=(yt-20)^2/(2*p)+30zt=0效果如图5-1抛物线II数学参数方程：
x=2pt2，y=2pt（其中t为参数）。UG表达式为：p=8tt=t*4-2xt=2*p*tt^2yt=2*p*ttzt=0
效果如图5-2
6.正弦曲线若正弦曲线一个周期X方向长度为50，振幅为10，即UG表达式为：
theta=t*360xt=50*tyt=10*sin(theta)zt=0效果如图67.余弦曲线若余弦曲线一个周期X
方向长度为50，振幅为10，即UG表达式为：theta=t*360xt=50*tyt=10*cos(theta)zt=0
效果如图7 8.圆柱螺旋线若圆柱螺旋线半径r为20，螺距p为10，圈数n为5，即UG
表达式为：r=20p=10n=5theta=t*360
xt=r*cos(theta*n)yt=r*sin(theta*n)zt=p*n*t或zt=cos(theta*n)+p*n*t效果如图8
9.碟形弹簧若碟形弹簧半径r为20，螺距p为10，圈数n为5，即UG表达式为：
r=20p=10n=5theta=t*360xt=r*cos(theta*n)yt=r*sin(theta*n)zt=cos(theta*n^2)+p
*n*t或zt=cos(theta*n^2.4)+p*n*t效果如图910.圆锥螺旋线和圆台螺旋线若圆锥螺旋
线底圆半径r为20，螺距p为5，圈数n为10，即UG表达式为：r=20*（1-t），若圆台
上端半径为5，则
r=20*(1-t*0.75)p=5n=10theta=t*360xt=r*cos(theta*n)yt=r*sin(theta*n)zt=p*n*t效
果如图10-1、10-2
11.三尖瓣线三尖瓣线数学方程：x=r(2cosθ+cos2θ)；y=r(2sinθ-sin2θ)若将2变为
n即扩展为n+1尖瓣线。若r=20，即UG表达式为：
r=20n=2theta=t*360xt=r*(n*cos(theta)+cos(n*theta))yt=r*(n*sin(theta)-sin(n*thet
a))zt=0效果如图11 12.星形线【四尖瓣线】星形线的数学方程：x=r*cos3θ；y=r*sin3
θ。【由n+1尖瓣线通式：x=r(n*cosθ+cos(n*θ))；y=r(n*sinθ-sin(n*θ))当n=3时的情
况。三角函数公式：sin3θ＝3sinθ－4sin3θ；cos3θ＝4cos3θ－3cosθ】若r=20，即UG
表达式为：r=20theta=t*360xt=r*(cos(theta))^3yt=r*(sin(theta))^3zt=0效果如图
1213.渐开线渐开线的数学方程：x=r(cosθ+θ*sinθ)；y=r(sinθ-θ*cosθ)。假设渐开线的
基圆半径r为10，展开角度θ为360*2，即UG表达式为：
r=10theta=360*2*ts=r*rad(theta)=r*(2*pi()/360)*theta=2*pi()*r*t*2xt=r*cos(theta)
+s*sin(theta)yt=r*sin(theta)-s*cos(theta)zt=0效果如图13 14.阿基米德螺线(等径螺
线)阿基米德螺线(等径螺线)数学方程：r=a*θ（极坐标），假设a=10，θ=360*2，即UG
表达式为：a=10theta=t*360*2r=a*thetaxt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
1415.对数螺线(等角螺线)对数螺线(等角螺线)数学方程：r=aemθ。对数螺线的定义和性
质：运动方向始终与极径保持定角λ的动点轨迹称为对数螺线。假设a=0.005，即UG表达
式为：a=0.005theta=t*360*2r=exp(a*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图1516.双曲螺线数学方程：r=a/θ。若a=10，即UG表达式为：
a=100theta=t*360*2+1r=a/thetaxt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图16
17.连锁螺线数学方程：r2=a2/θ。若a=10，即UG表达式为：
a=10theta=t*360*2+1r=a/sqrt(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
17 18.心脏线（肾形线）心脏线数学方程：r=2a(1+cosθ)；肾形线数学方程：
r=a(1+2sin(θ/2))。若a=10，θ=360°，即
【或
UG表达式为：
】【或a=10theta=360*tr=2*a*(1+cos(theta))r=a*(1+sin(theta))
r=a*(1+2*sin(theta/2))】xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图1819.双弧外摆
线双弧外摆线的数学方程：x=3b*cosθ+a*cos3θ，y=3b*sinθ+a*sin3θ。即UG表达式
为：a=10b=10theta=t*360xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3*
theta)yt=3*b*sin(theta)+a*sin(3* theta)zt=0效果如图19
20.肾脏线数学方程：x=a(3cost-cos3t)；
y=a(3sint-sin3t)a=10theta=360*txt=a*(3*cos(theta)-cos(3*theta))yt=a*(3*sin(thet
a)-sin(3*theta))zt=0效果如图曲线 【？x=(a2+f2+sin2t)cost/a，
y=(a2+f2sin2t-2f2)sint/b】Talbot曲线数学方程：x=(a2+f2sin2θ)cosθ/a，y=(a2+f2sin2
θ-2f)sinθ/b。若a=1.1，b=0.666，θ=360°，f=1，即UG表达式为：
theta=360*ta=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1xt=(a^2+f^2*c^2)*cos(theta)/ayt=(a^2-
2*f+f^2*c^2)*sin(theta)/bzt=0效果如图21 22.四叶线四叶线数学方程：r=a*cos2θ，
若a=10，θ=360°，即UG表达式为：
a=10theta=t*360r=a*cos(2*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图2223.
三叶线三叶线数学方程：r=a*cos3θ=a*cosθ*(4sin2θ-1)，若a=10，θ=180°，即UG表
达式为：a=10theta=t*180r=a*cos(3*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图23
24.双叶线双叶线数学方程：r=4a*cosθ*sin2θ，若a=10，θ=89.999°，即UG表达
式为：
a=10theta=t*89.999r=4*a*cos(theta)*sin(2*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt
=0绘制一半后利用y轴镜像，效果如图ea曲线Rhodonea曲线数学方程：
r=a*sin(kθ)，若UG表达式为：
theta=t*360*3xt=(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta)yt=(10-6)*sin(theta)-6*
sin((10/6-1)*theta)zt=0则效果如图25-1若UG表达式为：
theta=t*360*5xt=4*cos(theta)+10*cos(0.8*theta)yt=4*sin(theta)-10*sin(0.8*theta)
zt=0则效果如图25-2
26.外摆线外摆线数学方程：x=(a+b)cosθ-rcos((a+b)/bθ)；y=(a+b)sinθ
-rsin((a+b)/bθ)【其中a、b、r分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。UG表达式
为：
theta=360*t*10a=5b=8r=8xt=(a+b)*cos(theta)-r*cos((a/b+1)*theta)yt=(a+b)*sin(t
heta)-r*sin((a/b+1)*theta)zt=0效果如图26
27.内摆线内摆线数学方程：x=(a-b)cosθ+rcos((b-a)/bθ)；y=(a-b)sinθ
+rsin((b-a)/bθ)【其中a、b、r分别是基圆、滚圆、摆点半径，θ为公转角】。UG表达式
为：
theta=360*t*10a=5b=8r=10xt=(a-b)*cos(theta)+r*cos((1-a/b)*theta)yt=(a-b)*sin(t
heta)+r*sin((1-a/b)*theta)zt=0效果如图2728.长短幅圆内旋轮线UG表达式为：
a=5b=7c=2.2theta=360*t*10xt=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)yt=(a-b)*sin
(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)zt=0效果如图28 29.长短幅圆外旋轮线UG表达式为：
theta=360*t*10a=5b=3c=5xt=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)yt=(a+b)*sin(
theta)-c*sin((a/b+1)*theta)zt=0效果如图2930.封闭球形环绕曲线
r=10theta=360*tphi=360*t*10xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)效果如图30
31.费马线（有点像螺纹线）费马线数学方程：r2=a2θ(需分两段做)。UG表达式为：
a=4theta=t*360*5r=a*sqrt(rad(theta))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0绘制一半
后，绕原点旋转180复制，效果如图3132.球面螺旋线球面螺旋线采用球坐标系的方程：
rho=10，theta=t*180，phi=t*360*20。若UG表达式为：
r=10theta=t*180phi=t*360*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)则效果如图32-1球面螺旋线(罩形)UG表达式为：
r=10theta=t*120phi=t*360*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)则效果如图32-2 33.圆内螺旋线圆内螺旋线的UG表达式为：
theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=2*sin(6*theta)
效果如图33-1、33-2
34.蝴蝶曲线蝴蝶曲线球坐标方程：rho=8*t，theta=360*t*4，phi=-360*t*8。UG
表达式为：
theta=t*360*4r=8*tphi=-360*t*8xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt
=r*cos(theta)效果如图34-1、34-2 35.太阳线太阳线柱坐标方程：
r=1.5*cos(50*theta)+1，theta=t*360，z=0。即UG表达式为：
theta=t*360r=1.5*cos(50*theta)+1xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图35
36.九瓣花九瓣花的UG表达式为：
r=20*ttheta=t*360*90phi=t*360*10xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)
zt=r*cos(theta)俯视图效果如图3637.蝶线蝶线球坐标方程：
rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)，theta=t*360，phi=log(1+t*360)*t*360。即UG
表达式为：
theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360r=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)xt=r*sin(theta)
*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图3738.无底篮子曲线无底篮子
曲线方程：r=5+0.3*sin(t*180)+t，theta=t*360*30，z=t*5。即UG表达式为：
theta=360*t*30r=5+0.3*sin(t*180)+txt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*5效果如图
3839.飞蝶曲线UFO（漩涡线）漩涡线的UG表达式为：
r=20^2*ttheta=30*log(30)*tphi=360*t*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*s
in(phi)zt=r*cos(theta)则效果如图39-1UFO的球坐标方程：rho=t*20^2，
theta=t*log(30)*60，phi=t*7200。即UG表达式为：
r=20^2*ttheta=60*log(30)*tphi=360*t*20xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*s
in(phi)zt=r*cos(theta)效果如图39-240.蘑菇曲线蘑菇曲线的球坐标：
rho=t^3+t*(t+1)theta=60*log(60)*tphi=t^2*360*100xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*
sin(theta)*sin(phi)zt=-r*cos(theta)效果如图40-1、40-241.叶（葉）形线叶（葉）形线
I的数学方程：x=3at/(1+t3)；y=3at2/(1+t3)。若a=10，即UG表达式为：
a=10xt=3*a*t/(1+(t^3))yt=3*a*(t^2)/(1+(t^3))zt=0效果如图41-1叶形线II数学方
程：r=4a*cosθsin2θ-bcosθ。若a=10，b=2，θ=89°即UG表达式为：
a=10b=2theta=89r=4*a*cos(theta)*(sin(theta))^2-b*cos(theta)xt=r*cos(theta)yt=r
*sin(theta)zt=0效果如图41-242.概率曲线概率曲线UG表达式为：
xt=t*10-5yt=exp(0-xt^2)zt=0效果如图4243.箕舌线(魔线)箕舌线I的UG表达式为：
a=10xt=t*100-50yt=8*a^3/(xt^2+4*a^2)zt=0效果如图43-1箕舌线II数学方程：
x=tanθ，y=cos2θ。UG表达式为：theta=160*t-80xt=tan(theta)yt=(cos(theta))^2zt=0
效果如图43-2魔线数学方程：x=aθ；y=a/(1+θ
2)a=10theta=t*360-180xt=a*rad(theta)yt=a/(1+(rad(theta))^2)zt=0效果如图
43-344.正切曲线正切曲线方程：x=t*8.5-4.25，y=tan(x*20)。即UG表达式为：
xt=t*8.5-4.25yt=tan(xt*20)zt=0效果如图4445.双曲正弦曲线双曲正弦曲线方程：
x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/2。即UG表达式为：xt=t*6-3yt=(exp(xt)-exp(-xt))/2zt=0
效果如图4546.双曲余弦曲线双曲余弦曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)+exp(0-x))/2。即
UG表达式为：xt=t*6-3yt=(exp(xt)+exp(-xt))/2zt=0效果如图4647.双曲正切曲线双曲
正切曲线方程：x=6*t-3，y=(exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))。即UG表达式为：
xt=t*6-3yt=(exp(xt)-exp(0-xt))/(exp(xt)+exp(0-xt))zt=0效果如图4748.蔓叶线蔓叶线
数学方程：r=2a*tanθ*sinθ（分2段做），若a=10，θ=75，即UG表达式为：
theta=75a=10r=2*a*tan(theta)*sin(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图ous曲线Lissajous曲线数学方程：x=a*sin(nθ+c)，y=b*sinθ。若a=10，
b=10，c=100，n=3，θ=360，即UG表达式为：
theta=t*360a=10b=10c=100n=3xt=a*sin(n*theta+c)yt=b*sin(theta)zt=0效果如图
4950.“8”字线“8”字线方程I：x=a*cos(t*360)，y=b*sin(t*(2*360))。若a=2，b=1，
即UG表达式为：theta=360*ta=2b=3xt=a*cos(theta)yt=b*sin(2*theta)zt=0效果如
图50-1“8”字线方程II【Gernono曲线数学方程：x=cost；y=sintcost】
theta=360*txt=cos(theta)yt=sin(theta)* cos(theta)zt=0效果如图50-2“8”字线方程
III（墨镜线）的UG表达式为：
theta=360*tr=10+(8*sin(theta))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图50-3
“8”字线方程IV的UG表达式为：
theta=360*ta=10b=10xt=3*b*cos(theta)+a*cos(3*theta)yt=b*sin(theta)+a*sin(3*t
heta)zt=0效果如图50-451.一峰三驻点曲线一峰三驻点曲线方程：x=3*t-1.5，
y=(x^2-1)^3+1。即UG表达式为：xt=3*t-1.5yt=(xt^2-1)^3+1zt=0效果如图5152.
蛇形线蛇形线UG表达式为：xt=2*cos((t+1)*360)yt=2*sin(t*(5*360))zt=t*(t+1)效果如
图5253.梅花线(圆角五星)梅花线I(圆角五星)的UG表达式为：
theta=360*tr=10+(3*sin(theta*2.5))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
53-1梅花线II的UG表达式为：
theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=2*cos(5*theta)
效果如图53-254.手掌手掌的UG表达式为：
theta=360*t+180r=cos(360*t^3*6)*2+5xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图5455.直叶六叶线直叶六叶线的UG表达式为：
theta=360*tr=10-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=-4*sin(theta*
3)^2效果如图5556.弯叶六叶线弯叶六叶线的UG表达式为：
theta=360*tr=10-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=-(r*sin(theta*
3))^2效果如图5657.六叶花形
theta=t*360r=5-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=(r*sin(theta*3)
)^2效果如图5758.空间螺旋椭圆线
a=10b=20theta=t*360*3xt=a*cos(theta)yt=b*sin(theta)zt=t*3*4效果如图5859.空
间螺旋梅花线
theta=t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*16效果
如图5960.鼓形线（灯笼形）r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10
效果如图6061.鼓鼓形线xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*10
r=6*sin(t*360)+ttheta=t*360*40xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*20效果如图
6162.蝴蝶结曲线(簪形线)蝴蝶结曲线方程：
xt=200*t*sin(t*3600)yt=250*t*cos(t*3600)zt=300*t*sin(t*1800)效果如图62-1簪形
线方程：
r=200*ttheta=900*tphi=t*900xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*
cos(theta)效果如图62-263.锁呐线锁呐线I方程：
r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3
xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t^3*(t+1)效果如图63-1锁呐线II方程：
xt=2*cos(t*360*3)*tyt=2*sin(t*360*3)*tzt=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5效果如图63-264.
手把曲线
theta0=t*360theta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(theta1)xt=r*cos(theta0)yt=
r1*sin(theta1)zt=0效果如图6465.向日葵线
theta=t*360r=30+10*sin(theta*30)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
6566.环形二次曲线xt=50*cos(t*360)yt=50*sin(t*360)zt=10*cos(t*360*8)效果如图
6667.柱面正弦波线
r=30theta=t*360xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=5*sin(5*theta-90)效果如图6768.
环形螺旋线
n=15theta=t*360xt=(50+10*sin(theta*n))*cos(theta)yt=(50+10*sin(theta*n))*sin(t
heta)zt=10*cos(theta*n)效果如图6869.内接弹簧
xt=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)yt=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)zt=t*6效果如
图6970.多变内接式弹簧
xt=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)yt=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)zt=t*8效果如
图7071.正弦周弹簧theta1=t*360theta2=t*360*20xt=2*theta1*2*pi/360【注：在UG
中可输入xt=2*rad(theta1)】yt=sin(theta1)*5+cos(theta2)zt=sin(theta2)效果如图
7172.双元宝线
r=sin(t*360*10)+30theta=sin(t*360*15)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=sin(t*3)*1
0效果如图7273.变形阿基米德螺线(双
向)theta=360*2*(t-0.5)r=10*thetaxt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图7374.
双鱼曲线
r=30+10*sin(t*360*10)theta=t*180*cos(t*360*10)phi=t*360*30xt=r*sin(theta)*cos
(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图7475.“两相望”曲线
r=30+10*sin(t*360*10)theta=t*180*cos(t*360*10)phi=t*360*20xt=r*sin(theta)*cos
(phi)yt=r*sin(theta)*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图7576.小蜜蜂
xt=cos(t*360)+cos(3*t*360)yt=sin(t*360)+sin(5*t*360)zt=0效果如图7677.弯月
xt=cos(t*360)+cos(2*t*360)yt=sin(t*360)*2+sin(t*360)*2zt=0效果如图7778.热带鱼
a=5xt=(a*(cos(t*360*3))^4)*tyt=(a*(sin(t*360*3))^4)*tzt=0效果如图7879.燕尾剪
xt=3*cos(t*360*4)yt=3*sin(t*360*3)zt=t效果如图7980.天蚕丝
theta=t*3600r=(cos(360*t*20)*0.5*t+1)*txt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图8081.蜗轨线
theta=t*360*2r=cos(t*360*30)*t*0.5+t*2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如
图8182.变化后的星形线
theta=t*360xt=10*cos(theta)^3yt=10*sin(theta)^3zt=cos(theta)效果如图8283.心
电图r=sin(t*360*2)+0.2theta=10+t*(6*360)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=t*3效
果如图8384.次声波xt=t*5yt=t*cos(t*360*8)zt=0效果如图8485.小白兔
theta=t*360-90r=cos(360*(t/(1+t^(6.5)))*6*t)*3.5+5xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)
zt=0效果如图8586.蜘蛛网
theta=t*360*5r=t*sin(t*360*25)*5+8xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
8687.十字渐开线
theta=t*360*4r=(cos(t*360*16)*0.5*t+1)*t*10xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效
果如图8788.五环
theta=t*360*4r=(cos(t*360*5)+1)*10xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图
8889.蜗牛线蜗牛线数学方程：r=a*sin(θ)/θ。UG表达式为：
a=10theta=360*t*5+0.001r=a*sin(theta)/rad(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)z
t=0效果如图8990.内五环
theta=t*360*4xt=2+(10-5)*cos(theta)+6*cos((10/6-1)*theta)yt=2+(10-5)*sin(theta
)-6*sin((10/6-1)*theta)zt=0效果如图90-1内五角星
a=5b=3s=t*19*180/pi()=t*deg(19)xt=(a-b)*cos(s)+b*cos((a/b-1)*s)yt=(a-b)*sin(s)-
b*sin((a/b-1)*s)zt=0效果如图90-291梨形线梨形线数学方程：x=1+sint；
y=a*cost*(1+sint)。即UG表达式：
theta=t*360a=0.8xt=1+sin(theta)yt=a*cos(theta)*(1+sin(theta))zt=0效果如图91-1
梨形四次曲线数学方程：b2y2=x3(a-x)a=10b=6xt=10*tyt=sqrt(xt^3*(a-xt)/b^2)zt=0
绘制后镜像，效果如图91-292.空间梅花形
the=t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=5*sin(6*thet
a)效果如图92 93.一朵小花
theta=t*360r=3*cos(360*(t/(1+t^6))*6)+5xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图9394.红十字
theta=t*360r=cos(360*t*4)*0.5+1xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图94
95.波浪花环r=5theta=t*720xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=sin(3.5*theta-90)效果
如图9596.正弦波带xt=5*t^2yt=sin(t*8*360)*0.5zt=0效果如图96 97.悬链线数学方
程：y=a*cosh(x/a)a=5xt=t*10-5yt=a*(exp(xt/a)+exp(-xt/a))/2zt=0效果如图9798.
塔形螺旋线r=t*80+50theta=t*360*10z=t*80效果如图98 99.铃铛形线
r=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*50xt=r*cos(phi)yt=r*sin(phi)zt=-r*cos(the
ta)效果如图99100.克莱线数学方程：r=4a*cos3(θ
/3)a=5theta=359*tr=4*a*(cos(theta/3))^3xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图100 101.对数曲线对数函数的数学方程：y=log(x)，若x的取值范围从
0.0001~10.0001，即对数曲线的UG表达式为：xt=10*tyt=log(10*t+0.0001)zt=0效果
如图101102.正环索线数学方程：r=a*cos(2θ)/cosθa=10theta=t*178-89或
【theta=t*178+91】r=a*cos(2*theta)/cos(theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0
当theta=t*120-60时的效果如图102 103.三等分角线数学方程：r=2a*sin3θ/sin2θ
a=10theta=89*t+0.1和
theta=89*t+90.1r=2*a*sin(3*theta)/sin(2*theta)xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0
效果如图103104.平摆线数学方程：x=at-h*sin(t)；
y=a-h*cos(t)a=3h=6theta=360*t*5xt=a*rad(theta)-h*sin(theta)yt=a-h*cos(theta)z
t=0效果如图104 105.平稳曲线数学方程：x=a*sin(m+n)t/sin(m-n)t；
y=2a*sin(mt)sin(nt)/sin(m-n)ta=10m=8n=7theta=179.9*t+0.01xt=a*sin((m+n)*th
eta)/sin((m-n)*theta)yt=2*a*sin(m*theta)*sin(n*theta)/sin((m-n)*theta)zt=0效果如
图105106.半立方抛物线数学方程：y3=ax2a=10xt=15*tyt=a^(1/3)*xt^(2/3)zt=0【或
yt=15*t，xt=sqrt(yt^3/a)，zt=0】效果如图106 107.追踪曲线数学方程：
y=ax2-log(x)a=0.1xt=10*t+0.01yt=a*xt^2-log(xt)zt=0效果如图107108.杖头线数学
方程：r=b2/(a*cos2
θ)a=10b=6theta=t*120-60r=(b^2)/(a*(cos(theta)^2))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(thet
a)zt=0效果如图108 109.双扭线数学方程：r2=a2cos(2
θ)a=5theta=t*90-45r=a*sqrt(cos(2*theta))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=0效果
如图109110.曳物线数学方程：x=1/cosh(t)；y=t-tanh(t) (分两段
做)xt=2/(exp(t)+exp(-t))yt=t-(exp(t)-exp(-t))/(exp(t)+exp(-t))zt=0
110111.L曲线数学方
效果如图
程：
(x/a)n+(y/b)n=1a=10b=8n=5xt=t*22.5-10yt=(1-(xt/a)^n)^(n/1)zt=0效果如图111
曲线数学方程：r=((25-24tan2θ)/(1-tan2
θ))1/2theta=t*44.9-22.45r=sqrt((25-24*tan(2*theta))/(1-tan(2*theta)))xt=r*cos(the
ta)yt=r*sin(theta)zt=0效果如图112 113.八字曲线数学方程：r2=a2cos2θsec4θ
a=5theta=t*44.9-22.45r=a*sqrt(cos(2*theta)/cos(4*theta))xt=r*cos(theta)yt=r*sin(
theta)zt=0效果如图113114.蛇状线数学方程：
x2y+aby-a2x=0a=5b=3xt=40*t-20yt=a^2*xt/(xt^2+a*b)zt=0效果如图114 115.
蚌线数学方程：a(r*cosθ-a)=k2cos2θ
a=5k=16theta=t*178-89r=(k^2*cos(2*theta)+a^2)/(a*cos(theta))xt=r*cos(theta)yt
=r*sin(theta)zt=0效果如图115116.瓦特曲线数学方程：r2=b2-(a*sinθ±(c2-a2cos2
θ)1/2)2a=3b=8c=5theta=t*360r1=sqrt(b^2-(a*sin(theta)+(c^2-a^2*(cos(theta))^
2)^(1/2))^2)r2=sqrt(b^2-(a*sin(theta)-(c^2-a^2*(cos(theta))^2)^(1/2))^2)xt=r1*c
os(theta)或xt=r2*cos(theta)yt=r1*sin(theta)或yt=r2*sin(theta)zt=0效果如图116-1
或116-2 117.桃形线
r=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*100xt=r*sin(theta)*cos(phi)yt=r*sin(theta)
*sin(phi)zt=r*cos(theta)效果如图117 118.蝴蝶兰线蝴蝶兰线的UG表达式为：
theta=360*tr=10-(3*sin(theta*3))^2xt=r*cos(theta)yt=r*sin(theta)zt=r*sin(theta*3)
效果如图118119.长命锁曲线a=1*t*359.5 若
a=1*t*359.5b=q2*t*360 b=6*t*360c=q3*t*360
c=16*t*360rr1=w1 rr1=10rr2=w2
rr2=8rr3=w3
rr3=6x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)该曲线方
程中q2、q3、w1、w2、w3不知是多少？效果如图119、120