2024年4月5日发(作者：九水之)
重庆市南开中学校2023届高三第九次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．已知集合
A=(x,y)|y=x
2
，集合
B=(x,y)|y=1-x
，则集合
AÇB
的元素个数
{}
{}
为（
）
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
ll
ππ
r
æö
2
．已知直线
的一个方向向量为
p
=
ç
sin,cos
÷
，则直线的倾斜角为（
）
33
øè
A
．
π
6
B
．
π
3
C
．
2π
3
D
．
4π
3
3
．已知
a
，为实数，则使得“
a
>
b
>0
”成立的一个充分不必要条件为（
）
b
11
>
ab
ln(a+1)>ln(b+1)
A
．
B
．
C
．
a
3
>b
3
D
．
a-1>b-1
4
．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明
·
《增广贤文》）是
勉励人们专心学习的
.
如果每天的“进步”率都是
1%
，那么一年后是
（）1+1%
365
=1.01
365
；如果每天的“退步”率都是
1%
，那么一年后是
（）1-1%
365
=0.99
365
.
365
1.011.01
一年后“进步”的是“退步”的
=（）
0.99
365
0.99
365
»
1481
倍
.
如果每
天的“进步”率和“退步”率都是
20%
，那么大约经过（
）天后“进步”的是“退
步”的一万倍
.
（
lg2»0.3010,lg3»0.4771
）
A
．
20B
．
21C
．
22D
．
23
5
．哥特式建筑是
1140
年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖
形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形
试卷第11页，共33页
拱门与大窗户中较为常见，它是由线段
AB
和两个圆弧
AC
、
BC
围成，其中一个圆弧
的圆心为
A
，另一个圆弧的圆心为
B
，圆
O
与线段
AB
及两个圆弧均相切，若
AB=2
，
uuuruuur
则
OA×OB=
（
）
A
．
-
7
16
B
．
-
2
7
C
．
-
4
3
D
．
-
4
7
y
a(a>0)
π
æö
6
．将函数
f(x)
=
sin
ç
x
+
÷
+
sinx
的图像向左平移个单位后的函数图像关于
3
èø
轴对称，则实数
a
的最小值为（
）
A
．
π
6
B
．
π
4
C
．
π
3
D
．
π
2
7
．若
(mx-1)
n
nÎN
*
的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第
6
项
()
的二项式系数最大，则有序实数对
(m,n)
共有（
）组不同的解
A
．
1
8
．已知
B
．
2C
．
3
E
D
．
4
O
22
OACB
xy
为坐标原点，椭圆：
+
，平行四边形的三个顶点
=
1(a
>
b
>
0)
22
ab
A
，
，
B
C
在椭圆
E
上，若直线
AB
和
OC
OACB
1
的斜率乘积为
-
，四边形的面积为
2
试卷第21页，共33页
36
，则椭圆
E
的方程为（
）
2
x
2
y
2
B
．
+=
1
63
2
A
．
x
8
+
y
2
4
=
1
22
C
．
x
+
y
=
1
42
D
．
x
+y
2
=1
2
2
二、多选题
9
．下列命题正确的有（
）
A
．空间中两两相交的三条直线一定共面
B
．已知不重合的两个平面
a
，
b
，则存在直线
aÌ
a
，
bÌ
b
，使得
a
，
b
为异面直
线
C
．过平面
a
外一定点
P
，有且只有一个平面
b
与
a
平行
D
．已知空间中有两个角
ÐABC
，
ÐABC
，若直线
A
1
B
1
^
直线
AB
，直线
BC^
直
111222
22
11
线
B
2
C
2
，则
ÐA
1
B
1
C
1
=ÐA
2
B
2
C
2
或
ÐA
1
B
1
C
1
+ÐA
2
B
2
C
2
=π
10
．学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔
9
天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了
5
次，他发现这
5
次的日期中没有星期天，则
小明同学在这
5
次中第一次去北园食堂可能是（
）
A
．星期一
C
．星期五
B
．星期三
D
．星期六
11
．某项科学素养测试规则为：系统随机抽取
5
道测试题目，规定：要求答题者达到
等级评定要求或答完
5
道题方能结束测试．若答题者连续做对
4
道，则系统立即结束
测试，并评定能力等级为
A
；若连续做错
3
道题目，则系统自动终止测试，评定能力
等级为
C
；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为
3
，且
B
2
他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（
）
试卷第31页，共33页
A
．小华能力等级评定为
A
的概率为
64
243
B
．小华能力等级评定为
的概率为
B
158
243
C
．小华只做了
4
道题目的概率为
2
9
D
．小华做完
5
道题目的概率为
27
16
12
．已知函数
f(x)
=
ax
+
(ab
¹
0)
，则下列说法正确的有（
）
b
x
A
．
B
．
"ab¹0
，函数
f(x)
是奇函数
$ab¹0
，使得过原点
O
至少可以作
f(x)
的一条切线
C
．
"ab¹0
，方程
f(sinx)=f(sinx+2)
一定有实根
D
．
$ab¹0
，使得方程
sin[f(x)]=cos[f(x)]
有实根
三、填空题
13
．已知复数
z
满足
z-1-i=1
（
i
是虚数单位），则
z
的最大值为
__________
()
14
．
{
a
}
是公差不为零的等差数列，前
n
项和为
S
n
，若
S=15
，
a
，
a
，
a
12
成等比数
3
6
5
n
列，则
S
2033
______.
=
a
2033
15
．函数
f(x)=cos2x+2|sinx|(xÎ[0,2π])
的值域为
____
．
2
1
16
．若函数
f(x)=ax
3
-(a>0)
与函数g(x)=x
2
-cx的图像恰有三个不同交点，且交
33
点的横坐标构成等差数列，则实数
a
的取值范围是
________
．
试卷第41页，共33页
四、解答题
17
．在
VABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，已知
ππ
æöæö
bsin
ç
A
+
÷
+
acos
ç
+
B
÷
=
0
．
3
øèè
2
ø
(1)
求角
A
的大小；
(2)
点
DBC
为边上一点（不包含端点），且满足
ÐADB=2ÐACB
，求
DC
的取值范围．
BC
18
．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至
2022
年底，
我国移动物联网连接数达
18.45
亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国
家．下图是
2018-2022
年移动物联网连接数
w
与年份代码
t
的散点图，其中年份
2018-
2022
对应的
t
分别为
1~5
．
(1)
根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到
断它们的相关程度；
(2)
求
w
关于
t
的经验回归方程，并预测
2024
年移动物联网连接数．
nn
0.01
），并推
附：样本相关系数
r
=
å
(
t
i
-
t
)(
w
i
-
w
)
i
=
1
å
(
t
i
=
1
n
i
-
t
)
å
(
w
i
-
w
)
i
=
1
2
n
ˆ
=
，
b
2
å
(
t
i
-
t
)(
w
i
-
w
)
i
=
1
ˆ
×t
ˆ
=w-ba
，，
å
(
t
i
=
1
n
i
-
t
)
2
1740»41.7
试卷第51页，共33页
19
．已知平行六面体
ABCD-ABCD
中，底面
ABCD
和侧面
ABBA
都是边长为
2
的菱
11
1111
形，平面
ABCD
^
平面
ABB
1
A
1
，
A
1
B^B
1
D
．
(1)
求证：四边形
ABCD
是正方形；
(2)
若
ÐAAB=60°
，求二面角
A-B
1
C-B
的余弦值．
1
20
．设数列
{
a
}
的前
n
项和为
S
n
，且
3
a=
2
(
S+
2
n
)
，
nÎN
*
．
n
nn
(1)
证明：数列
{
a+
2
}
是等比数列，并求
{
a
}
的通项公式；
n
n
a
n
+
2
1
öæ
1
öæ
1
öæ
1
ö
，证明：
æ
1
+
1
+
1
+
L
1
+
÷ç÷ç÷
>
b
2n
+
1
．
ç÷
ç
2
è
b
1
øè
b
3
øè
b
5
øè
b
2n
-
1
ø
(2)
设b
n
=
log
3
21
．已知点
F(0,1)
，动点
M
在直线
l
：
y=-1
上，过点
M
且垂直于
x
轴的直线与线段
MF
的垂直平分线交于点
P
，记点
P
的轨迹为曲线
C
．
(1)
求曲线
C
的标准方程；
(2)
过
F
的直线与曲线
C
交于
A
，
B
两点，直线
OA
，
OB
与圆
x
2
+y
2
-2y=0
的另一个
交点分别为
D
，
E
，求
VDOE
与
VAOB
面积之比的最大值．
22
．对于定义在
D
上的函数
F(x)
，若存在
x
0
ÎD
，使得
F
(
x
)
=x
，则称
x
0
为
F(x)
的
00
一个不动点．设函数
f(x)=(x-1)e
x
-alnx+x
，已知
x
(
x¹1
)
为函数
f(x)
的不动点．
00
试卷第61页，共33页
(1)
求实数
a
的取值范围；
(2)
若
k
Î
Z
，且
kx 对任意满足条件的 x 0 成立，求整数 k 的最大值． 0 （参考数据： ln2»0.693 ， ln3»1.1 ， e»1.95 2 3 2 e ， »7.39 ， e»4.48 ） 3 2 试卷第71页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】求出函数 y=x 2 与 y=1-x 的交点坐标，即可判断 . ì y = x 2 ，消去 y 得 x 2 +x-1=0 ，即 x 2 +x-1=0 ，【详解】由 ï í ï î y = 1 - x 解得 x = - 1 + 5 或 x = - 1 - 5 （舍去）， 22 所以 x = - 1 + 5 或 x =- - 1 + 5 ， 2 2 ì - 1 + 5 ì - 1 + 5 x =- x = ï ï ï 2 2 即方程组的解为 í 或 ï ， í ï y = 3 - 5 ï y = 3 - 5 ï ï 2 î 2 î 即函数 y=x 2 与 y=1-x 有两个交点， 又集合 A= { (x,y)|y=x 2 } ，集合 B= { (x,y)|y=1-x } ， ì ï æ - 1 + 53 - 5 öæ - 1 + 53 - 5 ö ü ï ,, - , ÷ç÷ 所以 A I B = í ç ç÷ç÷ ý 2222 ï øèø ï î è þ 即集合 AÇB 的元素个数为 2 个 . 故选： B 2 ． A 【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可 . l π π 3 = 3π =tan 6 . 【详解】由题意可得：直线的斜率 k= ，即直线的倾斜角为 π 36 sin 3 l cos 故选： A 答案第11页，共22页 3 ． D 【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析 . a=-2,b=-1 a > b >0 11 1 > ，例如 ，则 ->- 1 ，不能推出 ， ab 2 【详解】对于 A ，如果 如果 a > b >0 ，则必定有 1 < 1 ab ，既不是充分条件也不是必要条件，错误； 对于 B ，如果 ln ( a+1 ) >ln ( b+1 ) ，根据对数函数的单调性可知 a+1>b+1,a>b ，但不能 推出 a > b >0 ，例如 a=1,b=-0.5 ，不是充分条件， 如果 a > b >0 ，则 a+1>b+1>0,ln ( a+1 ) >ln ( b+1 ) ，是必要条件，即 ln ( a+1 ) >ln ( b+1 ) 是 a > b >0 的必要不充分条件，错误； 对于 C ，如果 a 3 >b 3 ，因为 y=x 3 是单调递增的函数，所以 a>b ，不能推出 a > b >0 ， 例如 a=-1,b=-2 ， 如果 a > b >0 ，则必有 a 3 >b 3 ，是必要不充分条件，错误； 对于 D ，如果 a-1>b-1 ，则必有 a>b³1>0 ，是充分条件，如果 a > b >0 ，例 如 a=1,b=0.5 ，则不能推出 a-1>b-1 ，所以是充分不必有条件，正确 . 故选： D. 4 ． D 【分析】根据题意可列出方程 10000 ´ (1 - 0.2) x = 1.2 x ，求解即可， 【详解】设经过 x 天“进步“的值是“退步”的值的 10000 倍 , 答案第21页，共22页 则 10000 ´ (1 - 0.2) x = 1.2 x ， 1.2 x ) = 10000 ， 0.8 即 ( x=log 1.2 10000= 0.8 lg10000444 ==»»23 , 1.23 lg3 - lg20.1761 lglg 0.82 故选： D ． 5 ． A 【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆 O 的半径，得到 OA ，余弦定理求 cosÐAOB ，利 uuuruuur 用向量数量积公式求 OA×OB . 【详解】若 AB=2 ，则圆弧 AC 、 BC 的半径为 2 ，设圆 O 的半径为 r ，则 OA=2-r ，过 O 作 OD^AB ，则 OD=r ， AD=1 ， Rt△ODA 222 22 OA=OD+AD(2-r)=r+1 ，解得 r= 3 ，则有 OA= 5 ， 中，，即 4 4 VAOB æ 5 öæ 5 ö + ç÷ - 2 2 ç÷ 222 7 中，由余弦定理得 cos Ð AOB = AO + BO - AB = è 4 øè 4 ø =- ， 55 2AO × BO25 2 ´´ 44 22 2 uuuruuuruuuruuur 7 æ 5 öæ 7 ö OA × OB = OA × OBcos Ð AOB = ç÷ç - ÷ =- ． 16 è 4 øè 25 ø 答案第31页，共22页 故选： A. 6 ． C 【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由平移变换写 出 g(x) 的表达式，再由对称性求得 a ，从而可得最小值． 3π æö 【详解】 f(x) = sinxcos ππ3 + cosxsin + sinx = sinx + cosx = 3sin ç x + ÷ ，将函数 33226 øè f(x) 图像向左平行移动个单位后的函数记为 a g(x) π ö ，则 g(x) = 3sin æ ç x + a + ÷ ，而函数 6 øè g(x) y ππ π ö 的图像关于轴对称有 g(0)=±3 ， sin æ ， a+=+kπ(kÎZ) ， a +=± 1 ç÷ 62 6 øè a k Î Z Qa>0 ππ () a=+kπ ， ，实数的最小值为． 33 故选： C ． 7 ． D 【分析】根据二项式系数的性质求解 . 【详解】根据二项式系数的性质知：由第 6 项的二项式系数最大知 n 的可能取值为 9 ， 10 ， 11 ， 又由题得：令 x=1 ，有 (m-1) n =2 n ，当 n=9 ， 11 时， m=3 ；当 n=10 时， m=3 或 -1 ， 故有序实数对 (m,n) 共有 4 组不同的解，分别为 ( 3,9 ) , ( 3,11 ) , ( -1,10 ) , ( 3,10 ) . 故选： D. 8 ． B 【分析】利用三角换元设 A(acos a ,bsin a ) ， B(acos b ,bsin b ) ，代入椭圆方程可得 答案第41页，共22页 1 cos( a - b ) =- ，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可 . 2 uuuruuur 【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在 VAOB 中， OA= ( x,y ) ,OB= ( x,y ) ， 1122 uuuruuur OA × OB cos Ð AOB = uuuruuur = 则 OA × OB x 1 x 2 + y 1 y 2 22 x 1 2 + y 1 2 × x 2 + y 2 , ，而 AÎ ( 0,π ) sin Ð AOB = 1 - cos 2 Ð AOB = x 1 y 2 - y 1 x 2 22 x 1 2 + y 1 2 × x 2 + y 2 S V AOB = ruuur 1 uuu 1 OAOBsinÐAOB=x 1 y 2 -y 1 x 2 22 uuuruuuruuur ，设 A(acos a ,bsin a ) ， B(acos b ,bsin b ) ，由题意可知 ; OC=OA+OB 所以 C(acos a +acos b ,bsin a +bsin b ) ， 将 C 坐标代入椭圆方程有 (cos a +cos b ) 2 +(sin a +sin b ) 2 =1=2+2 ( cos a cos b +sin a sin b ) 1 Þ cos( a - b ) =- ， 2 则 sin ( a - b ) = 3 2 所以四边形 OACB 的面积为 S=2S △ AOB =|acos a ×bsin b -acos b ×bsin a |=ab|sin( a - b )| ， AB OC 1 即 3 ab= 36 ，又根据和的斜率乘积为 - 知 2 22 bsin a - bsin b bsin a + bsin b b 2 sin 2 a - sin 2 b b 2 sin 2 a - sin 2 b b 2 ， ×=×=×=- 2 acos a - acos b acos a + acos b a 2 cos 2 a - cos 2 b a 2 sin 2 b - sin 2 a a 答案第51页，共22页 2 b 2 =3 a 2 =6 b1 所以 = ，解之得：，． 2 a2 故选： B 9 ． BC 【分析】利用平面性质判断选项 A ；利用两平面位置关系和异面直线定义判断选项 B ；利 用线面垂直的性质判断选项 C ；举反例否定选项 D. 【详解】选项 A ：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面 . 判断错误； 选项 B ：已知不重合的两个平面 a ， b ，则 a // b ，或 a ， b 相交， 两种情况均存在直线 aÌ a ， bÌ b ，使得 a ， b 为异面直线 . 判断正确； 选项 C ：过平面 a 外一定点 P ，有且只有一条直线 m 与平面 a 垂直， 过点 P 有且只有一个平面 b 与直线 m 垂直，则 a // b . 则过平面 a 外一定点 P ，有且只有一个平面 b 与 a 平行 . 判断正确； 选项 D ：在如图正方体中，直线 A 1 B 1 ^ 直线 A 2 B 2 ，直线 B 1 C 1 ^ 直线 B 2 C 2 ， ππ ÐABC¹ÐA 2 B 2 C 2 ， ,ÐA 2 B 2 C 2 = ，可得 111 23 由 ÐA 1 B 1 C 1 = 且 ÐA 1 B 1 C 1 +ÐA 2 B 2 C 2 ¹π . 判断错误 . 故选： BC 10 ． BD 答案第61页，共22页 【分析】依题意每隔 9 天去一次，即每次都是在上一次的星期数往后数三天，一一列举即 可判断 . 【详解】若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次是星期日，不符合题意，故 A 错 误； 若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星 期一，符合题意，故 B 正确； 若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合题意， 故 C 错误； 若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星 期四，符合题意，故 D 正确； 故选： BD 11 ． ABC 【分析】利用独立事件的概率和对立事件的概率可求四个选项，根据结果判断正误 . A 【详解】小华能力等级评定为，则需要连续做对 4 道题，所以 P = æ 2 ö + 1 × æ 2 ö = 64 ， A ç÷ç÷ 243 è 3 ø 3 è 3 ø 44 A 正确； 小华能力等级评定为 C ，则他连续做错 3 道题目，有四种情况， 33233 所以 P = æ 1 ö + 2 ´ æ 1 ö + æ 2 ö ´ æ 1 ö + 1 ´ 2 ´ æ 1 ö = 7 ． C ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ è 3 ø 3 è 3 øè 3 øè 3 ø 33 è 3 ø 81 B 由题意小华能力等级评定为的概率为 P B =1-P A -P C =1- 85158 = ， B 正确； 243243 小华只做了 4 道题目有两种情况，一是 4 道题全对，二是第 1 题对了，后续 3 道题目全错， 其概率为 P = æ 2 ö + 2 × æ 1 ö = 2 ， C 正确； 4 ç÷ç÷ è 3 ø 3 è 3 ø 9 小华做完 3 道题目结束测试的概率为 P = æ 1 ö = 1 ， 3 ç÷ è 3 ø 27 3 43 答案第71页，共22页 小华做完 5 道题目的概率为 P 5 =1-P 3 -P 4 = 故选： ABC. 12 ． AD 20 ， D 不正确． 27 【分析】选项 A ，由奇函数的定义判断；选项 B ，通过联立方程组判断切线是否存在；选 项 C ，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项 D ，特殊值法判断存在性 . 【详解】函数 f(x) = ax + (ab ¹ 0) ，定义域 ( - ¥ ,0 ) U ( 0,+¥ ) ，且 b x f ( -x ) =a ( -x ) + f(x) bb =-ax-=-f ( x ) ，函数是奇函数， A 选项正确； - xx 设直线 y=kx ，联立方程： ax + 2 b = kx ，得 (k-a)x-b=0 ， k-a¹0,Δ4=b ( k-a ) 0¹ ，直 x 线 y=kx 不可能是 f(x) 的一条切线， B 选项错误； bb b x¹x 2 若 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) ， 1 ，则 ax 1 += ax 2 + ，得 x 1 x 2 = ， x 1 x 2 a sinx bb ，由的有界性，显然 sin x (sin x +2)= 不一定有解， C 选项错误； aa 即 sin x (sin x +2)= 当 f(x)π=k+ 故选： AD $a b sin[f(x)]=cos[f(x)] π k Î Z ， ，显然存在，，使方程有解， D 选项正确 . 4 13 ． 2+1 / 1+2 【分析】根据复数的几何意义有，复数 z 对应的点 Z 到点 A ( 1,-1 ) 的距离为 1 ，即点 Z 的轨 迹为以 A ( 1,-1 ) 为圆心，半径 r=1 的圆，从而即可求解 . 答案第81页，共22页
2024年4月5日发(作者：九水之)
重庆市南开中学校2023届高三第九次质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1
．已知集合
A=(x,y)|y=x
2
，集合
B=(x,y)|y=1-x
，则集合
AÇB
的元素个数
{}
{}
为（
）
A
．
1B
．
2C
．
3D
．
4
ll
ππ
r
æö
2
．已知直线
的一个方向向量为
p
=
ç
sin,cos
÷
，则直线的倾斜角为（
）
33
øè
A
．
π
6
B
．
π
3
C
．
2π
3
D
．
4π
3
3
．已知
a
，为实数，则使得“
a
>
b
>0
”成立的一个充分不必要条件为（
）
b
11
>
ab
ln(a+1)>ln(b+1)
A
．
B
．
C
．
a
3
>b
3
D
．
a-1>b-1
4
．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明
·
《增广贤文》）是
勉励人们专心学习的
.
如果每天的“进步”率都是
1%
，那么一年后是
（）1+1%
365
=1.01
365
；如果每天的“退步”率都是
1%
，那么一年后是
（）1-1%
365
=0.99
365
.
365
1.011.01
一年后“进步”的是“退步”的
=（）
0.99
365
0.99
365
»
1481
倍
.
如果每
天的“进步”率和“退步”率都是
20%
，那么大约经过（
）天后“进步”的是“退
步”的一万倍
.
（
lg2»0.3010,lg3»0.4771
）
A
．
20B
．
21C
．
22D
．
23
5
．哥特式建筑是
1140
年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖
形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形
试卷第11页，共33页
拱门与大窗户中较为常见，它是由线段
AB
和两个圆弧
AC
、
BC
围成，其中一个圆弧
的圆心为
A
，另一个圆弧的圆心为
B
，圆
O
与线段
AB
及两个圆弧均相切，若
AB=2
，
uuuruuur
则
OA×OB=
（
）
A
．
-
7
16
B
．
-
2
7
C
．
-
4
3
D
．
-
4
7
y
a(a>0)
π
æö
6
．将函数
f(x)
=
sin
ç
x
+
÷
+
sinx
的图像向左平移个单位后的函数图像关于
3
èø
轴对称，则实数
a
的最小值为（
）
A
．
π
6
B
．
π
4
C
．
π
3
D
．
π
2
7
．若
(mx-1)
n
nÎN
*
的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第
6
项
()
的二项式系数最大，则有序实数对
(m,n)
共有（
）组不同的解
A
．
1
8
．已知
B
．
2C
．
3
E
D
．
4
O
22
OACB
xy
为坐标原点，椭圆：
+
，平行四边形的三个顶点
=
1(a
>
b
>
0)
22
ab
A
，
，
B
C
在椭圆
E
上，若直线
AB
和
OC
OACB
1
的斜率乘积为
-
，四边形的面积为
2
试卷第21页，共33页
36
，则椭圆
E
的方程为（
）
2
x
2
y
2
B
．
+=
1
63
2
A
．
x
8
+
y
2
4
=
1
22
C
．
x
+
y
=
1
42
D
．
x
+y
2
=1
2
2
二、多选题
9
．下列命题正确的有（
）
A
．空间中两两相交的三条直线一定共面
B
．已知不重合的两个平面
a
，
b
，则存在直线
aÌ
a
，
bÌ
b
，使得
a
，
b
为异面直
线
C
．过平面
a
外一定点
P
，有且只有一个平面
b
与
a
平行
D
．已知空间中有两个角
ÐABC
，
ÐABC
，若直线
A
1
B
1
^
直线
AB
，直线
BC^
直
111222
22
11
线
B
2
C
2
，则
ÐA
1
B
1
C
1
=ÐA
2
B
2
C
2
或
ÐA
1
B
1
C
1
+ÐA
2
B
2
C
2
=π
10
．学校北园食堂老麻抄手窗口又推出了酸辣粉、米粉等新品．小明同学决定每隔
9
天去老麻抄手窗口消费一次，连续去了
5
次，他发现这
5
次的日期中没有星期天，则
小明同学在这
5
次中第一次去北园食堂可能是（
）
A
．星期一
C
．星期五
B
．星期三
D
．星期六
11
．某项科学素养测试规则为：系统随机抽取
5
道测试题目，规定：要求答题者达到
等级评定要求或答完
5
道题方能结束测试．若答题者连续做对
4
道，则系统立即结束
测试，并评定能力等级为
A
；若连续做错
3
道题目，则系统自动终止测试，评定能力
等级为
C
；其它情形评定能力等级为．已知小华同学做对每道题的概率均为
3
，且
B
2
他每道题是否答对相互独立，则以下说法正确的是（
）
试卷第31页，共33页
A
．小华能力等级评定为
A
的概率为
64
243
B
．小华能力等级评定为
的概率为
B
158
243
C
．小华只做了
4
道题目的概率为
2
9
D
．小华做完
5
道题目的概率为
27
16
12
．已知函数
f(x)
=
ax
+
(ab
¹
0)
，则下列说法正确的有（
）
b
x
A
．
B
．
"ab¹0
，函数
f(x)
是奇函数
$ab¹0
，使得过原点
O
至少可以作
f(x)
的一条切线
C
．
"ab¹0
，方程
f(sinx)=f(sinx+2)
一定有实根
D
．
$ab¹0
，使得方程
sin[f(x)]=cos[f(x)]
有实根
三、填空题
13
．已知复数
z
满足
z-1-i=1
（
i
是虚数单位），则
z
的最大值为
__________
()
14
．
{
a
}
是公差不为零的等差数列，前
n
项和为
S
n
，若
S=15
，
a
，
a
，
a
12
成等比数
3
6
5
n
列，则
S
2033
______.
=
a
2033
15
．函数
f(x)=cos2x+2|sinx|(xÎ[0,2π])
的值域为
____
．
2
1
16
．若函数
f(x)=ax
3
-(a>0)
与函数g(x)=x
2
-cx的图像恰有三个不同交点，且交
33
点的横坐标构成等差数列，则实数
a
的取值范围是
________
．
试卷第41页，共33页
四、解答题
17
．在
VABC
中，内角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，已知
ππ
æöæö
bsin
ç
A
+
÷
+
acos
ç
+
B
÷
=
0
．
3
øèè
2
ø
(1)
求角
A
的大小；
(2)
点
DBC
为边上一点（不包含端点），且满足
ÐADB=2ÐACB
，求
DC
的取值范围．
BC
18
．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至
2022
年底，
我国移动物联网连接数达
18.45
亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国
家．下图是
2018-2022
年移动物联网连接数
w
与年份代码
t
的散点图，其中年份
2018-
2022
对应的
t
分别为
1~5
．
(1)
根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到
断它们的相关程度；
(2)
求
w
关于
t
的经验回归方程，并预测
2024
年移动物联网连接数．
nn
0.01
），并推
附：样本相关系数
r
=
å
(
t
i
-
t
)(
w
i
-
w
)
i
=
1
å
(
t
i
=
1
n
i
-
t
)
å
(
w
i
-
w
)
i
=
1
2
n
ˆ
=
，
b
2
å
(
t
i
-
t
)(
w
i
-
w
)
i
=
1
ˆ
×t
ˆ
=w-ba
，，
å
(
t
i
=
1
n
i
-
t
)
2
1740»41.7
试卷第51页，共33页
19
．已知平行六面体
ABCD-ABCD
中，底面
ABCD
和侧面
ABBA
都是边长为
2
的菱
11
1111
形，平面
ABCD
^
平面
ABB
1
A
1
，
A
1
B^B
1
D
．
(1)
求证：四边形
ABCD
是正方形；
(2)
若
ÐAAB=60°
，求二面角
A-B
1
C-B
的余弦值．
1
20
．设数列
{
a
}
的前
n
项和为
S
n
，且
3
a=
2
(
S+
2
n
)
，
nÎN
*
．
n
nn
(1)
证明：数列
{
a+
2
}
是等比数列，并求
{
a
}
的通项公式；
n
n
a
n
+
2
1
öæ
1
öæ
1
öæ
1
ö
，证明：
æ
1
+
1
+
1
+
L
1
+
÷ç÷ç÷
>
b
2n
+
1
．
ç÷
ç
2
è
b
1
øè
b
3
øè
b
5
øè
b
2n
-
1
ø
(2)
设b
n
=
log
3
21
．已知点
F(0,1)
，动点
M
在直线
l
：
y=-1
上，过点
M
且垂直于
x
轴的直线与线段
MF
的垂直平分线交于点
P
，记点
P
的轨迹为曲线
C
．
(1)
求曲线
C
的标准方程；
(2)
过
F
的直线与曲线
C
交于
A
，
B
两点，直线
OA
，
OB
与圆
x
2
+y
2
-2y=0
的另一个
交点分别为
D
，
E
，求
VDOE
与
VAOB
面积之比的最大值．
22
．对于定义在
D
上的函数
F(x)
，若存在
x
0
ÎD
，使得
F
(
x
)
=x
，则称
x
0
为
F(x)
的
00
一个不动点．设函数
f(x)=(x-1)e
x
-alnx+x
，已知
x
(
x¹1
)
为函数
f(x)
的不动点．
00
试卷第61页，共33页
(1)
求实数
a
的取值范围；
(2)
若
k
Î
Z
，且
kx 对任意满足条件的 x 0 成立，求整数 k 的最大值． 0 （参考数据： ln2»0.693 ， ln3»1.1 ， e»1.95 2 3 2 e ， »7.39 ， e»4.48 ） 3 2 试卷第71页，共33页 参考答案： 1 ． B 【分析】求出函数 y=x 2 与 y=1-x 的交点坐标，即可判断 . ì y = x 2 ，消去 y 得 x 2 +x-1=0 ，即 x 2 +x-1=0 ，【详解】由 ï í ï î y = 1 - x 解得 x = - 1 + 5 或 x = - 1 - 5 （舍去）， 22 所以 x = - 1 + 5 或 x =- - 1 + 5 ， 2 2 ì - 1 + 5 ì - 1 + 5 x =- x = ï ï ï 2 2 即方程组的解为 í 或 ï ， í ï y = 3 - 5 ï y = 3 - 5 ï ï 2 î 2 î 即函数 y=x 2 与 y=1-x 有两个交点， 又集合 A= { (x,y)|y=x 2 } ，集合 B= { (x,y)|y=1-x } ， ì ï æ - 1 + 53 - 5 öæ - 1 + 53 - 5 ö ü ï ,, - , ÷ç÷ 所以 A I B = í ç ç÷ç÷ ý 2222 ï øèø ï î è þ 即集合 AÇB 的元素个数为 2 个 . 故选： B 2 ． A 【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可 . l π π 3 = 3π =tan 6 . 【详解】由题意可得：直线的斜率 k= ，即直线的倾斜角为 π 36 sin 3 l cos 故选： A 答案第11页，共22页 3 ． D 【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析 . a=-2,b=-1 a > b >0 11 1 > ，例如 ，则 ->- 1 ，不能推出 ， ab 2 【详解】对于 A ，如果 如果 a > b >0 ，则必定有 1 < 1 ab ，既不是充分条件也不是必要条件，错误； 对于 B ，如果 ln ( a+1 ) >ln ( b+1 ) ，根据对数函数的单调性可知 a+1>b+1,a>b ，但不能 推出 a > b >0 ，例如 a=1,b=-0.5 ，不是充分条件， 如果 a > b >0 ，则 a+1>b+1>0,ln ( a+1 ) >ln ( b+1 ) ，是必要条件，即 ln ( a+1 ) >ln ( b+1 ) 是 a > b >0 的必要不充分条件，错误； 对于 C ，如果 a 3 >b 3 ，因为 y=x 3 是单调递增的函数，所以 a>b ，不能推出 a > b >0 ， 例如 a=-1,b=-2 ， 如果 a > b >0 ，则必有 a 3 >b 3 ，是必要不充分条件，错误； 对于 D ，如果 a-1>b-1 ，则必有 a>b³1>0 ，是充分条件，如果 a > b >0 ，例 如 a=1,b=0.5 ，则不能推出 a-1>b-1 ，所以是充分不必有条件，正确 . 故选： D. 4 ． D 【分析】根据题意可列出方程 10000 ´ (1 - 0.2) x = 1.2 x ，求解即可， 【详解】设经过 x 天“进步“的值是“退步”的值的 10000 倍 , 答案第21页，共22页 则 10000 ´ (1 - 0.2) x = 1.2 x ， 1.2 x ) = 10000 ， 0.8 即 ( x=log 1.2 10000= 0.8 lg10000444 ==»»23 , 1.23 lg3 - lg20.1761 lglg 0.82 故选： D ． 5 ． A 【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆 O 的半径，得到 OA ，余弦定理求 cosÐAOB ，利 uuuruuur 用向量数量积公式求 OA×OB . 【详解】若 AB=2 ，则圆弧 AC 、 BC 的半径为 2 ，设圆 O 的半径为 r ，则 OA=2-r ，过 O 作 OD^AB ，则 OD=r ， AD=1 ， Rt△ODA 222 22 OA=OD+AD(2-r)=r+1 ，解得 r= 3 ，则有 OA= 5 ， 中，，即 4 4 VAOB æ 5 öæ 5 ö + ç÷ - 2 2 ç÷ 222 7 中，由余弦定理得 cos Ð AOB = AO + BO - AB = è 4 øè 4 ø =- ， 55 2AO × BO25 2 ´´ 44 22 2 uuuruuuruuuruuur 7 æ 5 öæ 7 ö OA × OB = OA × OBcos Ð AOB = ç÷ç - ÷ =- ． 16 è 4 øè 25 ø 答案第31页，共22页 故选： A. 6 ． C 【分析】利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由平移变换写 出 g(x) 的表达式，再由对称性求得 a ，从而可得最小值． 3π æö 【详解】 f(x) = sinxcos ππ3 + cosxsin + sinx = sinx + cosx = 3sin ç x + ÷ ，将函数 33226 øè f(x) 图像向左平行移动个单位后的函数记为 a g(x) π ö ，则 g(x) = 3sin æ ç x + a + ÷ ，而函数 6 øè g(x) y ππ π ö 的图像关于轴对称有 g(0)=±3 ， sin æ ， a+=+kπ(kÎZ) ， a +=± 1 ç÷ 62 6 øè a k Î Z Qa>0 ππ () a=+kπ ， ，实数的最小值为． 33 故选： C ． 7 ． D 【分析】根据二项式系数的性质求解 . 【详解】根据二项式系数的性质知：由第 6 项的二项式系数最大知 n 的可能取值为 9 ， 10 ， 11 ， 又由题得：令 x=1 ，有 (m-1) n =2 n ，当 n=9 ， 11 时， m=3 ；当 n=10 时， m=3 或 -1 ， 故有序实数对 (m,n) 共有 4 组不同的解，分别为 ( 3,9 ) , ( 3,11 ) , ( -1,10 ) , ( 3,10 ) . 故选： D. 8 ． B 【分析】利用三角换元设 A(acos a ,bsin a ) ， B(acos b ,bsin b ) ，代入椭圆方程可得 答案第41页，共22页 1 cos( a - b ) =- ，再根据三角形面积的向量公式及斜率之积计算即可 . 2 uuuruuur 【详解】先证三角形面积公式的向量形式：在 VAOB 中， OA= ( x,y ) ,OB= ( x,y ) ， 1122 uuuruuur OA × OB cos Ð AOB = uuuruuur = 则 OA × OB x 1 x 2 + y 1 y 2 22 x 1 2 + y 1 2 × x 2 + y 2 , ，而 AÎ ( 0,π ) sin Ð AOB = 1 - cos 2 Ð AOB = x 1 y 2 - y 1 x 2 22 x 1 2 + y 1 2 × x 2 + y 2 S V AOB = ruuur 1 uuu 1 OAOBsinÐAOB=x 1 y 2 -y 1 x 2 22 uuuruuuruuur ，设 A(acos a ,bsin a ) ， B(acos b ,bsin b ) ，由题意可知 ; OC=OA+OB 所以 C(acos a +acos b ,bsin a +bsin b ) ， 将 C 坐标代入椭圆方程有 (cos a +cos b ) 2 +(sin a +sin b ) 2 =1=2+2 ( cos a cos b +sin a sin b ) 1 Þ cos( a - b ) =- ， 2 则 sin ( a - b ) = 3 2 所以四边形 OACB 的面积为 S=2S △ AOB =|acos a ×bsin b -acos b ×bsin a |=ab|sin( a - b )| ， AB OC 1 即 3 ab= 36 ，又根据和的斜率乘积为 - 知 2 22 bsin a - bsin b bsin a + bsin b b 2 sin 2 a - sin 2 b b 2 sin 2 a - sin 2 b b 2 ， ×=×=×=- 2 acos a - acos b acos a + acos b a 2 cos 2 a - cos 2 b a 2 sin 2 b - sin 2 a a 答案第51页，共22页 2 b 2 =3 a 2 =6 b1 所以 = ，解之得：，． 2 a2 故选： B 9 ． BC 【分析】利用平面性质判断选项 A ；利用两平面位置关系和异面直线定义判断选项 B ；利 用线面垂直的性质判断选项 C ；举反例否定选项 D. 【详解】选项 A ：空间中两两相交的三条直线可以共面也可以不共面 . 判断错误； 选项 B ：已知不重合的两个平面 a ， b ，则 a // b ，或 a ， b 相交， 两种情况均存在直线 aÌ a ， bÌ b ，使得 a ， b 为异面直线 . 判断正确； 选项 C ：过平面 a 外一定点 P ，有且只有一条直线 m 与平面 a 垂直， 过点 P 有且只有一个平面 b 与直线 m 垂直，则 a // b . 则过平面 a 外一定点 P ，有且只有一个平面 b 与 a 平行 . 判断正确； 选项 D ：在如图正方体中，直线 A 1 B 1 ^ 直线 A 2 B 2 ，直线 B 1 C 1 ^ 直线 B 2 C 2 ， ππ ÐABC¹ÐA 2 B 2 C 2 ， ,ÐA 2 B 2 C 2 = ，可得 111 23 由 ÐA 1 B 1 C 1 = 且 ÐA 1 B 1 C 1 +ÐA 2 B 2 C 2 ¹π . 判断错误 . 故选： BC 10 ． BD 答案第61页，共22页 【分析】依题意每隔 9 天去一次，即每次都是在上一次的星期数往后数三天，一一列举即 可判断 . 【详解】若第一次是星期一，则第二次是星期四，第三次是星期日，不符合题意，故 A 错 误； 若第一次是星期三，则第二次是星期六，第三次是星期二，第四次是星期五，第五次是星 期一，符合题意，故 B 正确； 若第一次是星期五，则第二次是星期一，第三次是星期四，第四次是星期日，不符合题意， 故 C 错误； 若第一次是星期六，则第二次是星期二，第三次是星期五，第四次是星期一，第五次是星 期四，符合题意，故 D 正确； 故选： BD 11 ． ABC 【分析】利用独立事件的概率和对立事件的概率可求四个选项，根据结果判断正误 . A 【详解】小华能力等级评定为，则需要连续做对 4 道题，所以 P = æ 2 ö + 1 × æ 2 ö = 64 ， A ç÷ç÷ 243 è 3 ø 3 è 3 ø 44 A 正确； 小华能力等级评定为 C ，则他连续做错 3 道题目，有四种情况， 33233 所以 P = æ 1 ö + 2 ´ æ 1 ö + æ 2 ö ´ æ 1 ö + 1 ´ 2 ´ æ 1 ö = 7 ． C ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ è 3 ø 3 è 3 øè 3 øè 3 ø 33 è 3 ø 81 B 由题意小华能力等级评定为的概率为 P B =1-P A -P C =1- 85158 = ， B 正确； 243243 小华只做了 4 道题目有两种情况，一是 4 道题全对，二是第 1 题对了，后续 3 道题目全错， 其概率为 P = æ 2 ö + 2 × æ 1 ö = 2 ， C 正确； 4 ç÷ç÷ è 3 ø 3 è 3 ø 9 小华做完 3 道题目结束测试的概率为 P = æ 1 ö = 1 ， 3 ç÷ è 3 ø 27 3 43 答案第71页，共22页 小华做完 5 道题目的概率为 P 5 =1-P 3 -P 4 = 故选： ABC. 12 ． AD 20 ， D 不正确． 27 【分析】选项 A ，由奇函数的定义判断；选项 B ，通过联立方程组判断切线是否存在；选 项 C ，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项 D ，特殊值法判断存在性 . 【详解】函数 f(x) = ax + (ab ¹ 0) ，定义域 ( - ¥ ,0 ) U ( 0,+¥ ) ，且 b x f ( -x ) =a ( -x ) + f(x) bb =-ax-=-f ( x ) ，函数是奇函数， A 选项正确； - xx 设直线 y=kx ，联立方程： ax + 2 b = kx ，得 (k-a)x-b=0 ， k-a¹0,Δ4=b ( k-a ) 0¹ ，直 x 线 y=kx 不可能是 f(x) 的一条切线， B 选项错误； bb b x¹x 2 若 f ( x 1 ) =f ( x 2 ) ， 1 ，则 ax 1 += ax 2 + ，得 x 1 x 2 = ， x 1 x 2 a sinx bb ，由的有界性，显然 sin x (sin x +2)= 不一定有解， C 选项错误； aa 即 sin x (sin x +2)= 当 f(x)π=k+ 故选： AD $a b sin[f(x)]=cos[f(x)] π k Î Z ， ，显然存在，，使方程有解， D 选项正确 . 4 13 ． 2+1 / 1+2 【分析】根据复数的几何意义有，复数 z 对应的点 Z 到点 A ( 1,-1 ) 的距离为 1 ，即点 Z 的轨 迹为以 A ( 1,-1 ) 为圆心，半径 r=1 的圆，从而即可求解 . 答案第81页，共22页