2024年4月5日发(作者：念端懿)
换零钱问题
换零钱这样的事，在日常生活中经常会遇到。以整元纸币为例，有1元、5
元、10元、20元、50元、100元6种，换零钱就是把面额大的换成面额小的。
也许你已经换过无数次，不过，你可曾想过换零钱的方法究竟有多少种吗？也许
没有想过，其实，这里面的“学问”大着呢。今天我们就来研究研究这个司空见
惯的问题。
对于面额比较小的，很容易把所有的方法一一列举出来，比如：
把一张5元的换成面额较小的，只有5张1元的1种方法；
把一张10元的换成面额较小的，有2张5元的、1张5元的5张1元的、
10张1元的，3种方法；
把一张20元的换成面额较小的，有2张10元的、1张10元的2张5元的、
1张10元的1张5元的5张1元的、4张5元的、3张5元的5张1元的、2张
5元的10张1元的、1张5元的15张1元的、20张1元的，8种方法。
那么，
把一张50元的换成面额较小的有多少种方法？
把一张100元的换成面额较小的有多少种方法？
虽然你会想到答案肯定比8种更多，但是你一定想不到，答案竟然会分别达
到56种和343种。不信请往下看：
先看第一个问题：把一张50元的换成面额较小的有多少种方法？
为了便于有序思考，避免发生重复或遗漏，仍然采用列举的方法。
方法序号 20元 10元 5元 1元 (单位：张)
1 2 1 0 0
2 2 0 2 0
3 2 0 1 5
4 2 0 0 10
5 1 3 0 0
6 1 2 2 0
7 1 2 1 5
8 1 2 0 10
9 1 1 4 0
10 1 1 3 5
11 1 1 2 10
12 1 1 1 15
13 1 1 0 20
14 1 0 6 0
15 1 0 5 5
16 1 0 4 10
17 1 0 3 15
18 1 0 2 20
19 1 0 1 25
20 1 0 0 30
21 0 5 0 0
22 0 4 2 0
23 0 4 1 5
24 0 4 0 10
25 0 3 4 0
26 0 3 3 5
27 0 3 2 10
28 0 3 1 15
29 0 3 0 20
30 0 2 6 0
31 0 2 5 5
32 0 2 4 10
33 0 2 3 15
34 0 2 2 20
35 0 2 1 25
36 0 2 0 30
37 0 1 8 0
38 0 1 7 5
39 0 1 6 10
40 0 1 5 15
41 0 1 4 20
42 0 1 3 25
43 0 1 2 30
44 0 1 1 35
45 0 1 0 40
46 0 0 10 0
47 0 0 9 5
48 0 0 8 10
49 0 0 7 15
50 0 0 6 20
51 0 0 5 25
52 0 0 4 30
53 0 0 3 35
54 0 0 2 40
55 0 0 1 45
56 0 0 0 50
可见，的确有56种方法。
不过，想用列举的方法解决第二个问题，把一张100元的换成面额较小的都
列举出来，可就不怎么方便了，因为方法实在太多。那么，有没有一种办法，能
把方法总数算出来呢？有，能够用递推的方法。
要“递推”就要有“递推公式”，要找到“递推公式”就要有适当的符号。
我们用A、B、C、D、E分别表示1元、5元、10元、20元、50元纸币。用
A
n
、B
n
、C
n
、D
n
、E
n
分别表示把n元纸币换成这种纸币和比它面额小的纸币一共有
多少种方法。
为了熟悉这些符号，不妨把前面提到过的那些已知结果和问题，用这些符号
表示一下：
A
5
＝1，表示1张5元的换成1元的，有1种方法。
B
10
＝3，表示1张10元的换成5元、1元的，有3种方法。
C
20
＝8，表示1张20元的换成10元、5元、1元的，有8种方法。
D
50
＝？表示把1张50元的换成20元、10元、5元、1元的，即面额较小的
有多少种方法？
E
100
＝？表示把1张100元的换成50元、20元、10元、5元、1元的，即面
额较小的有多少种方法？
要找到“递推公式”，先从B
n
入手。比如B
10
，表示把1张10的换成5元的
和1元的方法总数。这个总数里面包括两种情况，一种是全都是1元的方法总数，
即A
10
；另一种是至少有1张5元的方法总数，那就要从10元里先减去5元，即
B
10－5
，所以，B
10
＝A
5
＋B
10－5
。推而广之，就得到递推公式：B
n
＝A
n
＋B
n－5
，同理，
C
n
＝B
n
＋C
n－10
，D
n
＝C
n
＋D
n－20
，E
n
＝D
n
＋E
n－50
。
此外还要补充说明三点：
1、因为无论多少钱，换成1元的方法都只有1种，所以当下标n为正整数
时，A
n
＝1。
2、当下标n为0时，规定A
0
＝1、B
0
＝1、C
0
＝1、D
0
＝1、E
0
＝1。
3、当下标n为负数时，规定A
负数
＝0、B
负数
＝0、C
负数
＝0、D
负数
＝0、E
负数
＝0。
现在，我们就能够用“递推法”解决前面的问题了。
为了熟悉一下这种方法，先把上面用“列举法”解决过的问题：把一张50
元的换成面额较小的方法有多少种？即求D
50
＝？再做一遍。
第一步：根据B
n
＝A
n
＋B
n－5
，B
50
＝A
50
＋B
45
＝A
50
＋A
45
＋B
40
＝A
50
＋A
45
＋A
40
＋B
35
＝
A
50
＋A
45
＋A
40
＋…＋A
10
＋A
5
＋B
0
，可见A的下标从50每次递减5，一直减到等于5，
说明从A
50
到A
5
共有50÷5＝10项，而A
n
恒等于1，B
0
＝1，所以B
50
＝10＋1＝11。
第二步：根据C
n
＝B
n
＋C
n－10
，C
50
＝B
50
＋C
40
＝B
50
＋B
40
＋C
30
＝B
50
＋B
40
＋B
30
＋C
20
＝
B
50
＋B
40
＋B
30
＋B
20
＋C
10
＝B
50
＋B
40
＋B
30
＋B
20
＋B
10
＋C
0
，其中B
50
＝11，从上一步B
50
的
表达式能够想到，B
40
比B
50
会少A
50
、A
45
两项，即少2，所以B
40
＝11－2＝9；同理，
B
30
＝9－2＝7，B
20
＝7－2＝5，B
10
＝5－2＝3；而C
0
＝1，所以C
50
＝11＋9＋7＋5＋
3＋1＝36。
第三步：根据D
n
＝C
n
＋D
n－20
，D
50
＝C
50
＋D
30
＝C
50
＋C
30
＋D
10
＝C
50
＋C
30
＋C
10
＋D
－10
，
其中C
50
＝36，与上一步的C
50
相比，C
30
少了B
50
、B
40
两项，C
10
又少了B
30
、B
20
两项，
所以C
30
＝36－(11＋9)＝16，C
10
＝16－(7＋5)＝4，而D
－10
＝0，于是D
50
＝36＋16
＋4＋0＝56，与列举法得到的结果相同。
现在用“递推法”解决第二个问题：把一张100元的换成面额较小的方法有
多少种？即求E
100
＝？
第一步：B
100
＝A
100
＋A
95
＋A
90
＋…＋A
10
＋A
5
＋B
0
＝100÷5＋1＝21。
第二步：C
100
＝B
100
＋B
90
＋B
80
＋…＋B
20
＋B
10
＋C
0
，其中B
100
＝21，B
90
比B
100
少了
A
100
、A
95
两项，即少2，所以B
90
＝21－2＝19；同理，B
80
＝19－2＝17，B
70
＝17－2
＝15，…，B
20
＝7－2＝5，B
10
＝5－2＝3；而C
0
＝1，于是C
100
＝21＋19＋17＋15
＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝121。
第三步：D
100
＝C
100
＋C
80
＋C
60
＋C
40
＋C
20
＋D
0
，其中C
100
＝121，从上一步C
100
的表
达式能够想到，C
80
会比C
100
少前面两项，所以C
80
＝121－(21＋19)＝81；同理，
C
60
＝81－(17＋15)＝49，C
40
＝49－(13＋11)＝25，C
20
＝25－(9＋7)＝9；而D
0
＝1，
于是D
100
＝121＋81＋49＋25＋9＋1＝286。
第四步：E
100
＝D
100
＋E
50
，其中D
100
＝286，为了求E
50
先求D
50
，D
50
＝C
50
＋C
30
＋
C
10
＋D
－10
，从第二步C
100
的表达式能够想到，C
50
会比C
100
少前面5项，所以C
50
＝
121－(21＋19＋17＋15＋13)＝36；同理，C
30
比C
50
少2项，C
10
比C
30
少2项，所
以C
30
＝36－(11＋9)＝16，C
10
＝16－(7＋5)＝4；而D
－10
＝0，于是D
50
＝36＋16＋
4＋0＝56。E
50
＝D
50
＋E
0
，其中D
50
＝56，E
0
＝1，所以E
50
＝56＋1＝57。最后，E
100
＝D
100
＋E
50
＝286＋57＝343。即，把一张100元的换成面额较小的方法有343种。
想不到一个生活中经常遇到的简单问题“换零钱”，其实并不简单，竟然会
引出如此精妙的数学思考。这不但再一次印证了生活中数学无处不在，同时也使
我们更进一步体会到数学思想方法的丰富多彩。爱数学、学数学、用数学，永远
是人们一种不可替代的智力追求和精神享受。
很久没有写过这么长的像模像样的文章了，今天是“母亲节”，就把它作为
礼物献给母亲的在天之灵吧！
2024年4月5日发(作者：念端懿)
换零钱问题
换零钱这样的事，在日常生活中经常会遇到。以整元纸币为例，有1元、5
元、10元、20元、50元、100元6种，换零钱就是把面额大的换成面额小的。
也许你已经换过无数次，不过，你可曾想过换零钱的方法究竟有多少种吗？也许
没有想过，其实，这里面的“学问”大着呢。今天我们就来研究研究这个司空见
惯的问题。
对于面额比较小的，很容易把所有的方法一一列举出来，比如：
把一张5元的换成面额较小的，只有5张1元的1种方法；
把一张10元的换成面额较小的，有2张5元的、1张5元的5张1元的、
10张1元的，3种方法；
把一张20元的换成面额较小的，有2张10元的、1张10元的2张5元的、
1张10元的1张5元的5张1元的、4张5元的、3张5元的5张1元的、2张
5元的10张1元的、1张5元的15张1元的、20张1元的，8种方法。
那么，
把一张50元的换成面额较小的有多少种方法？
把一张100元的换成面额较小的有多少种方法？
虽然你会想到答案肯定比8种更多，但是你一定想不到，答案竟然会分别达
到56种和343种。不信请往下看：
先看第一个问题：把一张50元的换成面额较小的有多少种方法？
为了便于有序思考，避免发生重复或遗漏，仍然采用列举的方法。
方法序号 20元 10元 5元 1元 (单位：张)
1 2 1 0 0
2 2 0 2 0
3 2 0 1 5
4 2 0 0 10
5 1 3 0 0
6 1 2 2 0
7 1 2 1 5
8 1 2 0 10
9 1 1 4 0
10 1 1 3 5
11 1 1 2 10
12 1 1 1 15
13 1 1 0 20
14 1 0 6 0
15 1 0 5 5
16 1 0 4 10
17 1 0 3 15
18 1 0 2 20
19 1 0 1 25
20 1 0 0 30
21 0 5 0 0
22 0 4 2 0
23 0 4 1 5
24 0 4 0 10
25 0 3 4 0
26 0 3 3 5
27 0 3 2 10
28 0 3 1 15
29 0 3 0 20
30 0 2 6 0
31 0 2 5 5
32 0 2 4 10
33 0 2 3 15
34 0 2 2 20
35 0 2 1 25
36 0 2 0 30
37 0 1 8 0
38 0 1 7 5
39 0 1 6 10
40 0 1 5 15
41 0 1 4 20
42 0 1 3 25
43 0 1 2 30
44 0 1 1 35
45 0 1 0 40
46 0 0 10 0
47 0 0 9 5
48 0 0 8 10
49 0 0 7 15
50 0 0 6 20
51 0 0 5 25
52 0 0 4 30
53 0 0 3 35
54 0 0 2 40
55 0 0 1 45
56 0 0 0 50
可见，的确有56种方法。
不过，想用列举的方法解决第二个问题，把一张100元的换成面额较小的都
列举出来，可就不怎么方便了，因为方法实在太多。那么，有没有一种办法，能
把方法总数算出来呢？有，能够用递推的方法。
要“递推”就要有“递推公式”，要找到“递推公式”就要有适当的符号。
我们用A、B、C、D、E分别表示1元、5元、10元、20元、50元纸币。用
A
n
、B
n
、C
n
、D
n
、E
n
分别表示把n元纸币换成这种纸币和比它面额小的纸币一共有
多少种方法。
为了熟悉这些符号，不妨把前面提到过的那些已知结果和问题，用这些符号
表示一下：
A
5
＝1，表示1张5元的换成1元的，有1种方法。
B
10
＝3，表示1张10元的换成5元、1元的，有3种方法。
C
20
＝8，表示1张20元的换成10元、5元、1元的，有8种方法。
D
50
＝？表示把1张50元的换成20元、10元、5元、1元的，即面额较小的
有多少种方法？
E
100
＝？表示把1张100元的换成50元、20元、10元、5元、1元的，即面
额较小的有多少种方法？
要找到“递推公式”，先从B
n
入手。比如B
10
，表示把1张10的换成5元的
和1元的方法总数。这个总数里面包括两种情况，一种是全都是1元的方法总数，
即A
10
；另一种是至少有1张5元的方法总数，那就要从10元里先减去5元，即
B
10－5
，所以，B
10
＝A
5
＋B
10－5
。推而广之，就得到递推公式：B
n
＝A
n
＋B
n－5
，同理，
C
n
＝B
n
＋C
n－10
，D
n
＝C
n
＋D
n－20
，E
n
＝D
n
＋E
n－50
。
此外还要补充说明三点：
1、因为无论多少钱，换成1元的方法都只有1种，所以当下标n为正整数
时，A
n
＝1。
2、当下标n为0时，规定A
0
＝1、B
0
＝1、C
0
＝1、D
0
＝1、E
0
＝1。
3、当下标n为负数时，规定A
负数
＝0、B
负数
＝0、C
负数
＝0、D
负数
＝0、E
负数
＝0。
现在，我们就能够用“递推法”解决前面的问题了。
为了熟悉一下这种方法，先把上面用“列举法”解决过的问题：把一张50
元的换成面额较小的方法有多少种？即求D
50
＝？再做一遍。
第一步：根据B
n
＝A
n
＋B
n－5
，B
50
＝A
50
＋B
45
＝A
50
＋A
45
＋B
40
＝A
50
＋A
45
＋A
40
＋B
35
＝
A
50
＋A
45
＋A
40
＋…＋A
10
＋A
5
＋B
0
，可见A的下标从50每次递减5，一直减到等于5，
说明从A
50
到A
5
共有50÷5＝10项，而A
n
恒等于1，B
0
＝1，所以B
50
＝10＋1＝11。
第二步：根据C
n
＝B
n
＋C
n－10
，C
50
＝B
50
＋C
40
＝B
50
＋B
40
＋C
30
＝B
50
＋B
40
＋B
30
＋C
20
＝
B
50
＋B
40
＋B
30
＋B
20
＋C
10
＝B
50
＋B
40
＋B
30
＋B
20
＋B
10
＋C
0
，其中B
50
＝11，从上一步B
50
的
表达式能够想到，B
40
比B
50
会少A
50
、A
45
两项，即少2，所以B
40
＝11－2＝9；同理，
B
30
＝9－2＝7，B
20
＝7－2＝5，B
10
＝5－2＝3；而C
0
＝1，所以C
50
＝11＋9＋7＋5＋
3＋1＝36。
第三步：根据D
n
＝C
n
＋D
n－20
，D
50
＝C
50
＋D
30
＝C
50
＋C
30
＋D
10
＝C
50
＋C
30
＋C
10
＋D
－10
，
其中C
50
＝36，与上一步的C
50
相比，C
30
少了B
50
、B
40
两项，C
10
又少了B
30
、B
20
两项，
所以C
30
＝36－(11＋9)＝16，C
10
＝16－(7＋5)＝4，而D
－10
＝0，于是D
50
＝36＋16
＋4＋0＝56，与列举法得到的结果相同。
现在用“递推法”解决第二个问题：把一张100元的换成面额较小的方法有
多少种？即求E
100
＝？
第一步：B
100
＝A
100
＋A
95
＋A
90
＋…＋A
10
＋A
5
＋B
0
＝100÷5＋1＝21。
第二步：C
100
＝B
100
＋B
90
＋B
80
＋…＋B
20
＋B
10
＋C
0
，其中B
100
＝21，B
90
比B
100
少了
A
100
、A
95
两项，即少2，所以B
90
＝21－2＝19；同理，B
80
＝19－2＝17，B
70
＝17－2
＝15，…，B
20
＝7－2＝5，B
10
＝5－2＝3；而C
0
＝1，于是C
100
＝21＋19＋17＋15
＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝121。
第三步：D
100
＝C
100
＋C
80
＋C
60
＋C
40
＋C
20
＋D
0
，其中C
100
＝121，从上一步C
100
的表
达式能够想到，C
80
会比C
100
少前面两项，所以C
80
＝121－(21＋19)＝81；同理，
C
60
＝81－(17＋15)＝49，C
40
＝49－(13＋11)＝25，C
20
＝25－(9＋7)＝9；而D
0
＝1，
于是D
100
＝121＋81＋49＋25＋9＋1＝286。
第四步：E
100
＝D
100
＋E
50
，其中D
100
＝286，为了求E
50
先求D
50
，D
50
＝C
50
＋C
30
＋
C
10
＋D
－10
，从第二步C
100
的表达式能够想到，C
50
会比C
100
少前面5项，所以C
50
＝
121－(21＋19＋17＋15＋13)＝36；同理，C
30
比C
50
少2项，C
10
比C
30
少2项，所
以C
30
＝36－(11＋9)＝16，C
10
＝16－(7＋5)＝4；而D
－10
＝0，于是D
50
＝36＋16＋
4＋0＝56。E
50
＝D
50
＋E
0
，其中D
50
＝56，E
0
＝1，所以E
50
＝56＋1＝57。最后，E
100
＝D
100
＋E
50
＝286＋57＝343。即，把一张100元的换成面额较小的方法有343种。
想不到一个生活中经常遇到的简单问题“换零钱”，其实并不简单，竟然会
引出如此精妙的数学思考。这不但再一次印证了生活中数学无处不在，同时也使
我们更进一步体会到数学思想方法的丰富多彩。爱数学、学数学、用数学，永远
是人们一种不可替代的智力追求和精神享受。
很久没有写过这么长的像模像样的文章了，今天是“母亲节”，就把它作为
礼物献给母亲的在天之灵吧！