2024年4月6日发(作者：告忆柏)

第八讲 复数

知识、方法、技能

I．复数的四种表示形式

代数形式：

zabi(a,b

R）

几何形式：复平面上的点Z（

a,b

）或由原点出发的向量

OZ

.

三角形式：

zr(cos



isin



),r0,0

R.

指数形式：

zre

.

复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决

相关问题成为现实.

II．复数的运算法则

加、减法：

(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

乘法：

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;

r

1

(cos



1

isin



1

)r

2

(cos



2

isin



2

)r

1

r

2

[cos(



1





2

)isin(



1





2

)];

除法：

i



abiacbdbcad

i(cdi0).

cbi

c

2

d

2

c

2

d

2

r

1

(co



s



1

)r

11

isin

[co



s

1

(



2

)isin



(

1





2

)]

.

r

2

(co



s

2

isin



2

)r

2

nn

乘方：

[r(cos



isin



)]r(cosn



isinn



)(n

N）；

开方：复数

r(cos



isin



)的n

次方根是

n

r(cos



2k



isin



2k



)(k0,1,



,n1).

nn

III．复数的模与共轭复数

复数的模的性质

①

|z||Re(z)|,|z|Im(z)|;

②

|z

1

z

2

z

n

||z

1

||z

2

||z

n

|;

③

|

z

1

|z

1

|

|(z

2

0);

z

2

|z

2

|

④

||z

1

||z

2

|||z

1

z

2

|,与复数z

1

、

z

2

对应的向量

OZ

1

、

OZ

2

反向时取等号；

1

⑤

|z

1

z

2

z

n

||z

1

||z

2

||z

n

|

，与复数

z

1

,z

2

,



,z

n

对应的向量

OZ

1

,OZ

2



,OZ

n

同时取等号.

共轭复数的性质

①

zz|z|

2

|z|

2

；

②

zz2Re(z),zz2Im(z)

；

③

zz

④

z

1

z

2

z

1

z

2

；

⑤

z

1

z

2

z

1

z

1

；

⑥

(

z

1

z

2

)

z

1

z

2

(z

2

0);

⑦z是实数的充要条件是

zz,z

是纯虚的充要条件是

zz(z0).

Ⅳ．复数解题的常用方法与思想

（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主

值相等（辐角相差2



的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数

问题，从而获得解决问题的一种途径.

（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中

的一个突出方面.

赛 题 精 讲

例1：设m、n为非零实数，i为虚单位，

z

C，则方程

|zni||zmi|n

①与

|zni||zmi|m

②

如图I—1—8—1，在同一复平面内的图形（F

1

、F

2

是焦点）是（ ）

图I—1—8—1

2

2024年4月6日发(作者：告忆柏)

第八讲 复数

知识、方法、技能

I．复数的四种表示形式

代数形式：

zabi(a,b

R）

几何形式：复平面上的点Z（

a,b

）或由原点出发的向量

OZ

.

三角形式：

zr(cos



isin



),r0,0

R.

指数形式：

zre

.

复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决

相关问题成为现实.

II．复数的运算法则

加、减法：

(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

乘法：

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;

r

1

(cos



1

isin



1

)r

2

(cos



2

isin



2

)r

1

r

2

[cos(



1





2

)isin(



1





2

)];

除法：

i



abiacbdbcad

i(cdi0).

cbi

c

2

d

2

c

2

d

2

r

1

(co



s



1

)r

11

isin

[co



s

1

(



2

)isin



(

1





2

)]

.

r

2

(co



s

2

isin



2

)r

2

nn

乘方：

[r(cos



isin



)]r(cosn



isinn



)(n

N）；

开方：复数

r(cos



isin



)的n

次方根是

n

r(cos



2k



isin



2k



)(k0,1,



,n1).

nn

III．复数的模与共轭复数

复数的模的性质

①

|z||Re(z)|,|z|Im(z)|;

②

|z

1

z

2

z

n

||z

1

||z

2

||z

n

|;

③

|

z

1

|z

1

|

|(z

2

0);

z

2

|z

2

|

④

||z

1

||z

2

|||z

1

z

2

|,与复数z

1

、

z

2

对应的向量

OZ

1

、

OZ

2

反向时取等号；

1

⑤

|z

1

z

2

z

n

||z

1

||z

2

||z

n

|

，与复数

z

1

,z

2

,



,z

n

对应的向量

OZ

1

,OZ

2



,OZ

n

同时取等号.

共轭复数的性质

①

zz|z|

2

|z|

2

；

②

zz2Re(z),zz2Im(z)

；

③

zz

④

z

1

z

2

z

1

z

2

；

⑤

z

1

z

2

z

1

z

1

；

⑥

(

z

1

z

2

)

z

1

z

2

(z

2

0);

⑦z是实数的充要条件是

zz,z

是纯虚的充要条件是

zz(z0).

Ⅳ．复数解题的常用方法与思想

（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主

值相等（辐角相差2



的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数

问题，从而获得解决问题的一种途径.

（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中

的一个突出方面.

赛 题 精 讲

例1：设m、n为非零实数，i为虚单位，

z

C，则方程

|zni||zmi|n

①与

|zni||zmi|m

②

如图I—1—8—1，在同一复平面内的图形（F

1

、F

2

是焦点）是（ ）

图I—1—8—1

2