2024年4月7日发(作者：辟静淑)
物理与工程Ｖｏ１．２Ｏ Ｎｏ．６ ２０１０
含二绝热过程和二同类多方过程
的循环效率的简洁表达式
朱佑新
（华中科技大学物理学院，湖北武汉４３００７４）
（收稿日期：２００９—０８—０５；修回日期：２０１０—０４—０９）
摘 要 本文由熵的定义和温熵图得到含二绝热过程和二同类多方过程的这样一类特殊循环
过程效率的简洁表达式．结果表明，该类循环的效率形式上与卡诺循环的效率完全
相同．
关键词 循环效率；熵；温熵图
ＴＨＥ ＣｏＮＣＩＳＥ ＥＸＰＲＥＳＳＩＯＮ ＯＦ ＥＦＦＩＣＩＥＮＣＹ ＦＯＲ
Ａ ＣＹＣＬＥ ＣＯＮＳＩＳＴＳ ＯＦ ＴＷｏ ＡＤＩＡＢＡＴＩＣＳ ＡＮＤ
ＴＷｏ ＳＩＭＩＬＡＲ ＰｏＬＹＴＲｏＰＩＣＳ
Ｚｈｕ Ｙｏｕｘｉｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ ４３００７４）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｎｄ ｔｈｅ ＴＳ ｄｉａｇｒａｍ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｉｓｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｆｏｒ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃｙｃｌｅ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｗｏ ａｄｉａｂａｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｔｗｏ ｓｉｍｉｌａｒ ｐｏｌｙｔｒｏｐｉｃ
ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉＳ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｔ ｉＳ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃｙｃｌｅ ｉＳ ｔｈｅ
ｓａｍｅ ａｓ ｔｈａｔ ｏｆ Ｃａｒｎｏｔ ｃｙｃｌｅ．
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｃｙｃｌｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ；ｅｎｔｒｏｐｙ；Ｔ－Ｓ ｄｉａｇｒａｍ
循环的效率是衡量热机性能的重要指标，循 为多方指数相同的多方过程．众所周知，多方过程
的过程方程为：声 一Ｃ（ 为多方指数，Ｃ为常
数）．等值过程实际上是多方过程对应不同多方指
数的特殊情况．当１＇ｌ一１时为等温过程，图１对应
卡诺循环；当 一０时为等压过程，图１对应焦耳
环效率的计算是热力学教学的重点内容之一．文
献［１，２］以理想气体的两个绝热过程和多方指数
不同的两个多方过程构造一个“参数循环”，并求
出了该循环的效率
，
（ｍ一１）（ 一ｙ）（Ｔ２一Ｔ３）
（ 一１）（ＴＥｌ一），）（Ｔ】一Ｔ４）
，１、
…
循环；当，ｚ一。。时为等容过程，图１对应奥托循环．
式中符号意义同文献［１］．实际上，对含有两个绝
热过程的循环来说，除了最基本的卡诺循环外，还
有焦耳循环ｌ＿２ 和奥托循环等两种重要的循环．这
三种循环具有下列共同特征：①循环均由四个子
过程组成；②均包含两个绝热过程；③另两个子
过程均为性质相同的等值过程．这类循环的效率
有更简洁的表达式．
如图１所示，一定质量的理想气体经历准静
， ， ，
图１含二绝热过程和二同指数多方过程的循环过程，
分别表示ｎ，ｂ，Ｃ，ｄ四态的温度
态循环过程，其中６ｃ和ｄａ为绝热过程；ａｂ和ｃ
物理与工程Ｖｏ１．２０ Ｎｏ．６ ２０１０
设摩尔数为 的某理想气体在多方过程中的
摩尔热容量为ｃ ． ，则在无限小多方过程中，气体
从外界吸收的热量为
ｄＱ— Ｃ ， ｄＴ （２）
Ｔ
ｅｘｐ ｆＩ
。ｘｐ
１７ｄ ＳＳ
ｐ （Ｉ ）Ｊ ｄｓ
（１１ａ）
由式（２）可得，一次循环过程中，气体在ａｂ过
程中吸热和在ｃ 过程中放热分别为
Ｑ。：ｖＣ 。 （Ｔ 一Ｔａ）， Ｉ Ｑｚ ｌ— ｃ…（Ｔ 一Ｔｄ）
（３）
则该循环的效率为
１一 ＝ｌ一 Ｔｃ－－ Ｔｄ （４）
—
在式（１）中令 — 也可得式（４）．由于绝热过
程等熵，设 过程的熵为Ｓ ，ｂｃ过程的熵为Ｓ ｚ，
由熵的定义ｄＳ： 可得，口６过程的熵变
ｓ。 一』
一
： 一Ｊ
一 或
’
一一
＝
出一
一
西 ｎ』、６
．ｍＩｎ （５）
ｄ—ｄ 一Ｔ
ｃｄ过程的熵变
Ｓ—ｎ，）
一 ——
ｓ ＝』 一』
一
ｌ哮
（６）
由式（５）和式（６）得
墨墨Ｔ
Ｔａ
一
＝
－ Ｔｏ（７）
＝
即
Ｇ
＝
Ｔ
ｏｃ
将式（７）代人式（４）得
： 一 一 一
手 ㈣
利用温熵图能更直观地反映该循环的效率．
由式（５）和式（６）可分别得到口ｂ过程和ｃｄ过程温
度Ｔ和熵Ｓ的函数关系
丁＝ ｅｘｐ（ ）一 ｅｘｐ（ Ｓ－Ｓｚ）㈤
Ｔ＝Ｔｄ唧（ ＝Ｔｏ唧（ ）㈤
由式（９）和式（１Ｏ）结
合绝热过程的等熵性可
画出图１所示循环对应的
Ｔ—Ｓ图，如图２所示．则
循环的效率与Ｔ—Ｓ图中
有关图形面积的关系为
一
ａｂｃｄａ包围的面积
７ ａｂｆｅａ包围的面积
一
ｄｃｆｅｄ包围的面积
ａｂｆｅａ包围的面积 图２温熵图
一
１一
Ｔ
（１１ｂ）
以上计算表明，若循环过程由四个子过程组
成，其中两个为绝热过程，另两个为多方指数相同
的多方过程，已知某一绝热过程的高温态温度为
Ｔ ，低温态温度为Ｔ。，则该循环的效率为
卜 Ｔｚ （１２）
＝＝＝
式（１２）形式上和卡诺循环效率的表达式相同．由
此可推知，若卡诺循环、焦耳循环和奥托循环包含
同一个绝热过程，则这三个循环的效率相等．如
图３所示①，其中图３（ａ）表示三个循环的另一绝
热过程处在同一条绝热线上，图３（ｂ）表示三个循
环的另一绝热过程可以不在同一条绝热线上．
图３三个循环效率相等．ａｂｃｄ为卡诺循环；ｄ ｂｃｄ 为焦
耳循环；ｎ＂ｂｃｄ 为奥托循环
参 考 文 献
［１］ 梁志强．理想气体的一种特殊循环及其效率的求解［Ｊ］．大
学物理，１９９３，１２（８）：７
［２］ 严子浚．对“理想气体的一种特殊循环及其效率的求解”的
两点补充［Ｊ］．大学物理，１９９４，１３（１２）：１３
［３］黄淑清，聂宜如，申先甲编．热学教程［Ｍ］．北京：高等教
育出版社，１ ９８５．８９
①若三个循环含同一绝热过程ｄ。，也可画出相应的三个循环效
率相等示意图．
2024年4月7日发(作者：辟静淑)
物理与工程Ｖｏ１．２Ｏ Ｎｏ．６ ２０１０
含二绝热过程和二同类多方过程
的循环效率的简洁表达式
朱佑新
（华中科技大学物理学院，湖北武汉４３００７４）
（收稿日期：２００９—０８—０５；修回日期：２０１０—０４—０９）
摘 要 本文由熵的定义和温熵图得到含二绝热过程和二同类多方过程的这样一类特殊循环
过程效率的简洁表达式．结果表明，该类循环的效率形式上与卡诺循环的效率完全
相同．
关键词 循环效率；熵；温熵图
ＴＨＥ ＣｏＮＣＩＳＥ ＥＸＰＲＥＳＳＩＯＮ ＯＦ ＥＦＦＩＣＩＥＮＣＹ ＦＯＲ
Ａ ＣＹＣＬＥ ＣＯＮＳＩＳＴＳ ＯＦ ＴＷｏ ＡＤＩＡＢＡＴＩＣＳ ＡＮＤ
ＴＷｏ ＳＩＭＩＬＡＲ ＰｏＬＹＴＲｏＰＩＣＳ
Ｚｈｕ Ｙｏｕｘｉｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｕａｚｈｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ ４３００７４）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｔｒｏｐｙ ａｎｄ ｔｈｅ ＴＳ ｄｉａｇｒａｍ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｉｓｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｆｏｒ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃｙｃｌｅ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｗｏ ａｄｉａｂａｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｔｗｏ ｓｉｍｉｌａｒ ｐｏｌｙｔｒｏｐｉｃ
ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉＳ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｉｔ ｉＳ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｃｙｃｌｅ ｉＳ ｔｈｅ
ｓａｍｅ ａｓ ｔｈａｔ ｏｆ Ｃａｒｎｏｔ ｃｙｃｌｅ．
Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ ｃｙｃｌｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ；ｅｎｔｒｏｐｙ；Ｔ－Ｓ ｄｉａｇｒａｍ
循环的效率是衡量热机性能的重要指标，循 为多方指数相同的多方过程．众所周知，多方过程
的过程方程为：声 一Ｃ（ 为多方指数，Ｃ为常
数）．等值过程实际上是多方过程对应不同多方指
数的特殊情况．当１＇ｌ一１时为等温过程，图１对应
卡诺循环；当 一０时为等压过程，图１对应焦耳
环效率的计算是热力学教学的重点内容之一．文
献［１，２］以理想气体的两个绝热过程和多方指数
不同的两个多方过程构造一个“参数循环”，并求
出了该循环的效率
，
（ｍ一１）（ 一ｙ）（Ｔ２一Ｔ３）
（ 一１）（ＴＥｌ一），）（Ｔ】一Ｔ４）
，１、
…
循环；当，ｚ一。。时为等容过程，图１对应奥托循环．
式中符号意义同文献［１］．实际上，对含有两个绝
热过程的循环来说，除了最基本的卡诺循环外，还
有焦耳循环ｌ＿２ 和奥托循环等两种重要的循环．这
三种循环具有下列共同特征：①循环均由四个子
过程组成；②均包含两个绝热过程；③另两个子
过程均为性质相同的等值过程．这类循环的效率
有更简洁的表达式．
如图１所示，一定质量的理想气体经历准静
， ， ，
图１含二绝热过程和二同指数多方过程的循环过程，
分别表示ｎ，ｂ，Ｃ，ｄ四态的温度
态循环过程，其中６ｃ和ｄａ为绝热过程；ａｂ和ｃ
物理与工程Ｖｏ１．２０ Ｎｏ．６ ２０１０
设摩尔数为 的某理想气体在多方过程中的
摩尔热容量为ｃ ． ，则在无限小多方过程中，气体
从外界吸收的热量为
ｄＱ— Ｃ ， ｄＴ （２）
Ｔ
ｅｘｐ ｆＩ
。ｘｐ
１７ｄ ＳＳ
ｐ （Ｉ ）Ｊ ｄｓ
（１１ａ）
由式（２）可得，一次循环过程中，气体在ａｂ过
程中吸热和在ｃ 过程中放热分别为
Ｑ。：ｖＣ 。 （Ｔ 一Ｔａ）， Ｉ Ｑｚ ｌ— ｃ…（Ｔ 一Ｔｄ）
（３）
则该循环的效率为
１一 ＝ｌ一 Ｔｃ－－ Ｔｄ （４）
—
在式（１）中令 — 也可得式（４）．由于绝热过
程等熵，设 过程的熵为Ｓ ，ｂｃ过程的熵为Ｓ ｚ，
由熵的定义ｄＳ： 可得，口６过程的熵变
ｓ。 一』
一
： 一Ｊ
一 或
’
一一
＝
出一
一
西 ｎ』、６
．ｍＩｎ （５）
ｄ—ｄ 一Ｔ
ｃｄ过程的熵变
Ｓ—ｎ，）
一 ——
ｓ ＝』 一』
一
ｌ哮
（６）
由式（５）和式（６）得
墨墨Ｔ
Ｔａ
一
＝
－ Ｔｏ（７）
＝
即
Ｇ
＝
Ｔ
ｏｃ
将式（７）代人式（４）得
： 一 一 一
手 ㈣
利用温熵图能更直观地反映该循环的效率．
由式（５）和式（６）可分别得到口ｂ过程和ｃｄ过程温
度Ｔ和熵Ｓ的函数关系
丁＝ ｅｘｐ（ ）一 ｅｘｐ（ Ｓ－Ｓｚ）㈤
Ｔ＝Ｔｄ唧（ ＝Ｔｏ唧（ ）㈤
由式（９）和式（１Ｏ）结
合绝热过程的等熵性可
画出图１所示循环对应的
Ｔ—Ｓ图，如图２所示．则
循环的效率与Ｔ—Ｓ图中
有关图形面积的关系为
一
ａｂｃｄａ包围的面积
７ ａｂｆｅａ包围的面积
一
ｄｃｆｅｄ包围的面积
ａｂｆｅａ包围的面积 图２温熵图
一
１一
Ｔ
（１１ｂ）
以上计算表明，若循环过程由四个子过程组
成，其中两个为绝热过程，另两个为多方指数相同
的多方过程，已知某一绝热过程的高温态温度为
Ｔ ，低温态温度为Ｔ。，则该循环的效率为
卜 Ｔｚ （１２）
＝＝＝
式（１２）形式上和卡诺循环效率的表达式相同．由
此可推知，若卡诺循环、焦耳循环和奥托循环包含
同一个绝热过程，则这三个循环的效率相等．如
图３所示①，其中图３（ａ）表示三个循环的另一绝
热过程处在同一条绝热线上，图３（ｂ）表示三个循
环的另一绝热过程可以不在同一条绝热线上．
图３三个循环效率相等．ａｂｃｄ为卡诺循环；ｄ ｂｃｄ 为焦
耳循环；ｎ＂ｂｃｄ 为奥托循环
参 考 文 献
［１］ 梁志强．理想气体的一种特殊循环及其效率的求解［Ｊ］．大
学物理，１９９３，１２（８）：７
［２］ 严子浚．对“理想气体的一种特殊循环及其效率的求解”的
两点补充［Ｊ］．大学物理，１９９４，１３（１２）：１３
［３］黄淑清，聂宜如，申先甲编．热学教程［Ｍ］．北京：高等教
育出版社，１ ９８５．８９
①若三个循环含同一绝热过程ｄ。，也可画出相应的三个循环效
率相等示意图．