2024年4月7日发(作者：沃运洁)
2021
年河北省张家口市高考数学一模试卷
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．已知
A
，
B
都是
R
的子集，且
A
⊆
B
，则
B
∪（∁
R
A
）＝（ ）
A
．
A
2
．
|
A
．
|
＝（ ）
B
．
C
．
D
．
2
B
．
B
C
．∅
D
．
R
3
．小明同学从
9
种有氧运动和
3
种无氧运动中选
4
种运动进行体育锻炼，则他至少选中
1
种无氧运动的选法有（ ）
A
．
261
种
B
．
360
种
C
．
369
种
D
．
372
种
4
．溶液酸碱度是通过
pH
计算的，
pH
的计算公式为
pH
＝﹣
lg[H
+
]
，其中
[H
+
]
表示溶液中氢
离子的浓度，单位是摩尔
/
升，人体血液的氢离子的浓度通常在
1
×
10
﹣
7.45
～
1
×
10
﹣
7.35
之
间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的
pH
值的范围是（ ）
A
．
[7.25
，
7.55]
B
．
[7.25
，
7.45]
C
．
[7.25
，
7.35]
D
．
[7.35
，
7.45]
5
．已知两条不同的直线
l
，
m
和不重合的两个平面α，β，且
l
⊥β，有下面四个命题：
①若
m
⊥β，则
l
∥
m
；②若α∥β，则
l
⊥α；
③若α⊥β，则
l
∥α；④若
l
⊥
m
，则
m
∥β．
其中真命题的序号是（ ）
A
．①②
B
．②③
C
．②③④
D
．①④
6
．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过
该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团
中他恰好能进入两个的概率为．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相
互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左焦点为
F
，上顶点为
A
，右顶点为
B
，若∠
OAB
，
|AD|
•
|AE|
，则椭圆
C
∠
OAF
的平分线分别交
x
轴于点
D
，
E
，且
|AD|
2
+|AE|
2
﹣
|DE|
2
＝
的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．设
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且
f
（
x
）在（﹣∞，
0
）上是减函数，又
f
（﹣
4
）＝
0
，则不
等式
A
．（
0
，
4
）
C
．（﹣
4
，
0
）∪（
0
，
4
）
二、选择题（共
4
小题）
.
9
．如果平面向量
A
．
||
＝
3||
C
．与的夹角为
30
°
，那么下列结论中正确的是（ ）
B
．
的解集是（ ）
B
．（﹣
8
，﹣
4
）
D
．（﹣
8
，﹣
4
）∪（
0
，
4
）
D
．在方向上的投影为
10
．袋子中有
2
个黑球，
1
个白球，现从袋子中有放回地随机取球
4
次，取到白球记
0
分，
黑球记
1
分，记
4
次取球的总分数为
X
，则（ ）
A
．
X
～
B
（
4
，）
C
．
X
的期望
B
．
D
．
X
的方差
11
．已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，则（ ）
A
．
B
．
D
．
C
．
log
2
a+log
2
b
≤﹣
6
12
．已知函数
f
（
x
）＝
x+2tanx
，其导函数为
f
′（
x
），设
g
（
x
）＝
f
′（
x
）
cosx
，则（ ）
A
．
f
（
x
）的图象关于原点对称
B
．
f
（
x
）在
R
上单调递增
C
．
2
π是
g
（
x
）的一个周期
D
．
g
（
x
）在
三、填空题（共
4
小题）
.
13
．
1
）
x
2
＝
2py
若
P
（
4
，为抛物线
C
：（
p
＞
0
）上一点，抛物线
C
的焦点为
F
，则
|PF|
＝
．
14
．写出一个公差为
2
且“前
3
项之和小于第
3
项”的等差数列
a
n
＝
．
15
．已知函数
f
（
x
）＝
sin
π
x+acos
π
x
图象的一条对称轴为
在区间上的值域为
．
，则
a
＝
，函数
f
（
x
）
上的最小值为
16
．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立
体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全
等．如图，正二十面体是由
20
个等边三角形组成的正多面体，共有
12
个顶点，
30
条棱，
20
个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把
sin36
°按计算，则该正二十面体的表面积
与该正二十面体的外接球表面积之比等于
．
四、解答题（共
6
小题）
.
17
．已知公比小于
1
的等比数列
{a
n
}
中，其前
n
项和为
S
n
，
a
2
＝
（
1
）求
a
n
；
（
2
）求证：＜
1
．
a
﹣
bsinC
）＝
bsinBcosC
．
．
18
．在△
ABC
中，
cosB
（
（
1
）求
B
；
（
2
）若
c
＝
2a
，△
ABC
的面积为，求△
ABC
的周长．
19
．如图，四边形
ABCD
是正方形，
PA
⊥平面
ABCD
，
PA
∥
EB
，且
PA
＝
AB
＝
3
．
（
1
）求证：
CE
∥平面
PAD
；
（
2
）若，求直线
PD
与平面
PCE
所成角的正弦值．
20
．某电器企业统计了近
10
年的年利润额
y
（千万元）与投入的年广告费用
x
（十万元）的
相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令
u
i
＝
lnx
i
，υ
i
＝
lny
i
，得到相关数据如
表所示：
u
i
v
i
v
i
30.5
15
15
46.5
（
1
）从①
y
＝
bx+a
；②
y
＝
m
•
x
k
（
m
＞
0
，
k
＞
0
）；③
y
＝
cx
2
+dx+e
三个函数中选择一个作
为年广告费用
x
和年利润额
y
的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（
2
）根据（
1
）中选择的回归类型，求出
y
与
x
的回归方程；
（
3
）预计要使年利润额突破
1
亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据：
参考公式：回归方程
y
＝
≈
49.787
．
t
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
，＝﹣．
21
．已知双曲线
C
：＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）上一动点
P
，左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
且
F
2
（
2
，
0
），定直线
l
：
x
＝，
PM
⊥
l
，点
M
在直线
l
上，且满足
（
1
）求双曲线的标准方程；
．
B
两点，（
2
）若直线
l
0
的斜率
k
＝
1
，且
l
0
过双曲线右焦点与双曲线右支交于
A
，求△
ABF
1
的外接圆方程．
22
．已知函数．
（
1
）讨论函数
f
（
x
）在区间
[1
，
2]
上的最小值；
（
2
）当
a
＝
1
时，求证：对任意
x
∈（
0
，
+
∞），恒有成立．
参考答案
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．已知
A
，
B
都是
R
的子集，且
A
⊆
B
，则
B
∪（∁
R
A
）＝（ ）
A
．
A
B
．
B
C
．∅
D
．
R
解：由
Venn
图，易知
B
∪（∁
R
A
）＝
R
．
故选：
D
．
2
．
|
A
．
|
＝（ ）
B
．
C
．
D
．
2
解：
故选：
A
．
，
3
．小明同学从
9
种有氧运动和
3
种无氧运动中选
4
种运动进行体育锻炼，则他至少选中
1
种无氧运动的选法有（ ）
A
．
261
种
B
．
360
种
C
．
369
种
D
．
372
种
解：由题意，分有
1
种无氧运动，
2
种无氧运动，
3
种无氧运动，
则他至少选中
1
种无氧运动的选法有
故选：
C
．
4
．溶液酸碱度是通过
pH
计算的，
pH
的计算公式为
pH
＝﹣
lg[H
+
]
，其中
[H
+
]
表示溶液中氢
离子的浓度，单位是摩尔
/
升，人体血液的氢离子的浓度通常在
1
×
10
﹣
7.45
～
1
×
10
﹣
7.35
之
间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的
pH
值的范围是（ ）
A
．
[7.25
，
7.55]
解：依题意，令
因此，正常人体血液的
pH
值的范围是
[7.35
，
7.45]
．
B
．
[7.25
，
7.45]
C
．
[7.25
，
7.35]
D
．
[7.35
，
7.45]
，
（种）．
故选：
D
．
5
．已知两条不同的直线
l
，
m
和不重合的两个平面α，β，且
l
⊥β，有下面四个命题：
①若
m
⊥β，则
l
∥
m
；②若α∥β，则
l
⊥α；
③若α⊥β，则
l
∥α；④若
l
⊥
m
，则
m
∥β．
其中真命题的序号是（ ）
A
．①②
B
．②③
C
．②③④
D
．①④
解：对于①，由
l
⊥β，
m
⊥β，可得
l
∥
m
，故①正确；
对于②，若
l
⊥β，α∥β，可得
l
⊥α，故②正确；
对于③，若
l
⊥β，α⊥β，则
l
∥α或
l
⊂α，故③错误；
对于④，若
l
⊥β，
l
⊥
m
，则
m
∥β或
m
⊂β，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故选：
A
．
6
．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过
该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团
中他恰好能进入两个的概率为．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相
互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则
所以
所以，
，
，
所以该同学一个社团都不进入的概率：
．
故选：
D
．
7
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左焦点为
F
，上顶点为
A
，右顶点为
B
，若∠
OAB
，
|AD|
•
|AE|
，则椭圆
C
∠
OAF
的平分线分别交
x
轴于点
D
，
E
，且
|AD|
2
+|AE|
2
﹣
|DE|
2
＝
的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：如下图所示：
因为，所以由余弦定理得
，
又，所以∠
DAE
＝
45
°．
因为
AD
，
AE
分别为∠
OAB
，∠
OAF
的平分线，所以∠
BAF
＝
2
∠
DAE
＝
90
°，
所以
AB
⊥
AF
．
由题意可知，点
F
（﹣
c
，
0
），
A
（
0
，
b
），
B
（
a
，
0
），则
由，可得
a
2
﹣
c
2
﹣
ac
＝
0
，即
c
2
+ac
﹣
a
2
＝
0
，
．
在等式
c
2
+ac
﹣
a
2
＝
0
的两边同时除以
a
2
，可得
e
2
+e
﹣
1
＝
0
，
因为
0
＜
e
＜
1
，解得
故选：
C
．
．
8
．设
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且
f
（
x
）在（﹣∞，
0
）上是减函数，又
f
（﹣
4
）＝
0
，则不
等式
A
．（
0
，
4
）
C
．（﹣
4
，
0
）∪（
0
，
4
）
的解集是（ ）
B
．（﹣
8
，﹣
4
）
D
．（﹣
8
，﹣
4
）∪（
0
，
4
）
解：因为
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且在（﹣∞，
0
）上是减函数，
所以
f
（
x
）在（
0
，
+
∞）上是减函数，
又因为
f
（﹣
4
）＝
0
，所以
f
（
4
）＝
0
，
则函数
f
（
x
）的大致图象如右图所示：
由，得，即，
则或，
则或，解得﹣
8
＜
x
＜﹣
4
或
x
∈∅，
故
故选：
B
．
的解集是（﹣
8
，﹣
4
）．
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分．
9
．如果平面向量
A
．
||
＝
3||
C
．与的夹角为
30
°
解：因为
对于
A
，因为
对于
B
，因为
对于
C
，因为
，所以
，所以
，所以
，那么下列结论中正确的是（ ）
B
．
D
．在方向上的投影为
．
，故
A
正确；
，故
B
正确；
，所以与的夹角为
180
°，故
C
错误；
，故
D
错误．
对于
D
，在方向上的投影为
故选：
AB
．
10
．袋子中有
2
个黑球，
1
个白球，现从袋子中有放回地随机取球
4
次，取到白球记
0
分，
黑球记
1
分，记
4
次取球的总分数为
X
，则（ ）
A
．
X
～
B
（
4
，）
B
．
C
．
X
的期望
D
．
X
的方差
解：由于每次取球互不影响，故所有结果有
4
类：
①
4
次全是白球，
X
＝
0
，记其概率为
②
4
次只有
1
次是黑球，
X
＝
1
，记其概率为
③
4
次只有
2
次是黑球，
X
＝
2
，记其概率为
④
4
次只有
3
次是黑球，
X
＝
3
，记其概率为
⑤
4
次全是黑球，
X
＝
4
，记其概率为
故
X
～
B
（
4
，），故
A
正确，
B
错误；
因为
X
～
B
（
4
，），所以
X
的期望
因为
X
～
B
（
4
，），所以
X
的方差
故选：
ACD
．
11
．已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，则（ ）
A
．
B
．
D
．
，故
C
正确；
，故
D
正确．
．
；
；
；
；
C
．
log
2
a+log
2
b
≤﹣
6
解：对于
A
，因为
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，所以
2a
﹣
8b
＝
2a
﹣（
1
﹣
2a
）＝
4a
﹣
1
＞﹣
1
，所以
对于
B
，
，当且仅当
2a
＝
8b
，即
正确；
对于
C
，，当且仅当
2a
＝
8b
，即
时取等号，故
log
2
2a+log
2
8b
＝
1+log
2
a+3+log
2
b
≤﹣
2
，得
log
2
a+log
2
b
≤﹣
6
，
故
C
正确；
对于
D
，已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，所以（
2a+8b
）
2
≤
2
（
2a
）
2
+2
（
8b
）
2
，即
1
≤
8a
2
+128b
2
，则，当且仅当
2a
＝
8b
，即
时取等号，故
D
错误．
时取等号，故
，所以，故
A
正确；
，所以
，故
B
2024年4月7日发(作者：沃运洁)
2021
年河北省张家口市高考数学一模试卷
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．已知
A
，
B
都是
R
的子集，且
A
⊆
B
，则
B
∪（∁
R
A
）＝（ ）
A
．
A
2
．
|
A
．
|
＝（ ）
B
．
C
．
D
．
2
B
．
B
C
．∅
D
．
R
3
．小明同学从
9
种有氧运动和
3
种无氧运动中选
4
种运动进行体育锻炼，则他至少选中
1
种无氧运动的选法有（ ）
A
．
261
种
B
．
360
种
C
．
369
种
D
．
372
种
4
．溶液酸碱度是通过
pH
计算的，
pH
的计算公式为
pH
＝﹣
lg[H
+
]
，其中
[H
+
]
表示溶液中氢
离子的浓度，单位是摩尔
/
升，人体血液的氢离子的浓度通常在
1
×
10
﹣
7.45
～
1
×
10
﹣
7.35
之
间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的
pH
值的范围是（ ）
A
．
[7.25
，
7.55]
B
．
[7.25
，
7.45]
C
．
[7.25
，
7.35]
D
．
[7.35
，
7.45]
5
．已知两条不同的直线
l
，
m
和不重合的两个平面α，β，且
l
⊥β，有下面四个命题：
①若
m
⊥β，则
l
∥
m
；②若α∥β，则
l
⊥α；
③若α⊥β，则
l
∥α；④若
l
⊥
m
，则
m
∥β．
其中真命题的序号是（ ）
A
．①②
B
．②③
C
．②③④
D
．①④
6
．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过
该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团
中他恰好能进入两个的概率为．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相
互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左焦点为
F
，上顶点为
A
，右顶点为
B
，若∠
OAB
，
|AD|
•
|AE|
，则椭圆
C
∠
OAF
的平分线分别交
x
轴于点
D
，
E
，且
|AD|
2
+|AE|
2
﹣
|DE|
2
＝
的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．设
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且
f
（
x
）在（﹣∞，
0
）上是减函数，又
f
（﹣
4
）＝
0
，则不
等式
A
．（
0
，
4
）
C
．（﹣
4
，
0
）∪（
0
，
4
）
二、选择题（共
4
小题）
.
9
．如果平面向量
A
．
||
＝
3||
C
．与的夹角为
30
°
，那么下列结论中正确的是（ ）
B
．
的解集是（ ）
B
．（﹣
8
，﹣
4
）
D
．（﹣
8
，﹣
4
）∪（
0
，
4
）
D
．在方向上的投影为
10
．袋子中有
2
个黑球，
1
个白球，现从袋子中有放回地随机取球
4
次，取到白球记
0
分，
黑球记
1
分，记
4
次取球的总分数为
X
，则（ ）
A
．
X
～
B
（
4
，）
C
．
X
的期望
B
．
D
．
X
的方差
11
．已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，则（ ）
A
．
B
．
D
．
C
．
log
2
a+log
2
b
≤﹣
6
12
．已知函数
f
（
x
）＝
x+2tanx
，其导函数为
f
′（
x
），设
g
（
x
）＝
f
′（
x
）
cosx
，则（ ）
A
．
f
（
x
）的图象关于原点对称
B
．
f
（
x
）在
R
上单调递增
C
．
2
π是
g
（
x
）的一个周期
D
．
g
（
x
）在
三、填空题（共
4
小题）
.
13
．
1
）
x
2
＝
2py
若
P
（
4
，为抛物线
C
：（
p
＞
0
）上一点，抛物线
C
的焦点为
F
，则
|PF|
＝
．
14
．写出一个公差为
2
且“前
3
项之和小于第
3
项”的等差数列
a
n
＝
．
15
．已知函数
f
（
x
）＝
sin
π
x+acos
π
x
图象的一条对称轴为
在区间上的值域为
．
，则
a
＝
，函数
f
（
x
）
上的最小值为
16
．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立
体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全
等．如图，正二十面体是由
20
个等边三角形组成的正多面体，共有
12
个顶点，
30
条棱，
20
个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把
sin36
°按计算，则该正二十面体的表面积
与该正二十面体的外接球表面积之比等于
．
四、解答题（共
6
小题）
.
17
．已知公比小于
1
的等比数列
{a
n
}
中，其前
n
项和为
S
n
，
a
2
＝
（
1
）求
a
n
；
（
2
）求证：＜
1
．
a
﹣
bsinC
）＝
bsinBcosC
．
．
18
．在△
ABC
中，
cosB
（
（
1
）求
B
；
（
2
）若
c
＝
2a
，△
ABC
的面积为，求△
ABC
的周长．
19
．如图，四边形
ABCD
是正方形，
PA
⊥平面
ABCD
，
PA
∥
EB
，且
PA
＝
AB
＝
3
．
（
1
）求证：
CE
∥平面
PAD
；
（
2
）若，求直线
PD
与平面
PCE
所成角的正弦值．
20
．某电器企业统计了近
10
年的年利润额
y
（千万元）与投入的年广告费用
x
（十万元）的
相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令
u
i
＝
lnx
i
，υ
i
＝
lny
i
，得到相关数据如
表所示：
u
i
v
i
v
i
30.5
15
15
46.5
（
1
）从①
y
＝
bx+a
；②
y
＝
m
•
x
k
（
m
＞
0
，
k
＞
0
）；③
y
＝
cx
2
+dx+e
三个函数中选择一个作
为年广告费用
x
和年利润额
y
的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（
2
）根据（
1
）中选择的回归类型，求出
y
与
x
的回归方程；
（
3
）预计要使年利润额突破
1
亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据：
参考公式：回归方程
y
＝
≈
49.787
．
t
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
，＝﹣．
21
．已知双曲线
C
：＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）上一动点
P
，左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，
且
F
2
（
2
，
0
），定直线
l
：
x
＝，
PM
⊥
l
，点
M
在直线
l
上，且满足
（
1
）求双曲线的标准方程；
．
B
两点，（
2
）若直线
l
0
的斜率
k
＝
1
，且
l
0
过双曲线右焦点与双曲线右支交于
A
，求△
ABF
1
的外接圆方程．
22
．已知函数．
（
1
）讨论函数
f
（
x
）在区间
[1
，
2]
上的最小值；
（
2
）当
a
＝
1
时，求证：对任意
x
∈（
0
，
+
∞），恒有成立．
参考答案
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．已知
A
，
B
都是
R
的子集，且
A
⊆
B
，则
B
∪（∁
R
A
）＝（ ）
A
．
A
B
．
B
C
．∅
D
．
R
解：由
Venn
图，易知
B
∪（∁
R
A
）＝
R
．
故选：
D
．
2
．
|
A
．
|
＝（ ）
B
．
C
．
D
．
2
解：
故选：
A
．
，
3
．小明同学从
9
种有氧运动和
3
种无氧运动中选
4
种运动进行体育锻炼，则他至少选中
1
种无氧运动的选法有（ ）
A
．
261
种
B
．
360
种
C
．
369
种
D
．
372
种
解：由题意，分有
1
种无氧运动，
2
种无氧运动，
3
种无氧运动，
则他至少选中
1
种无氧运动的选法有
故选：
C
．
4
．溶液酸碱度是通过
pH
计算的，
pH
的计算公式为
pH
＝﹣
lg[H
+
]
，其中
[H
+
]
表示溶液中氢
离子的浓度，单位是摩尔
/
升，人体血液的氢离子的浓度通常在
1
×
10
﹣
7.45
～
1
×
10
﹣
7.35
之
间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的
pH
值的范围是（ ）
A
．
[7.25
，
7.55]
解：依题意，令
因此，正常人体血液的
pH
值的范围是
[7.35
，
7.45]
．
B
．
[7.25
，
7.45]
C
．
[7.25
，
7.35]
D
．
[7.35
，
7.45]
，
（种）．
故选：
D
．
5
．已知两条不同的直线
l
，
m
和不重合的两个平面α，β，且
l
⊥β，有下面四个命题：
①若
m
⊥β，则
l
∥
m
；②若α∥β，则
l
⊥α；
③若α⊥β，则
l
∥α；④若
l
⊥
m
，则
m
∥β．
其中真命题的序号是（ ）
A
．①②
B
．②③
C
．②③④
D
．①④
解：对于①，由
l
⊥β，
m
⊥β，可得
l
∥
m
，故①正确；
对于②，若
l
⊥β，α∥β，可得
l
⊥α，故②正确；
对于③，若
l
⊥β，α⊥β，则
l
∥α或
l
⊂α，故③错误；
对于④，若
l
⊥β，
l
⊥
m
，则
m
∥β或
m
⊂β，故④错误．
综上，真命题的序号是①②．
故选：
A
．
6
．某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过
该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为，已知三个社团
中他恰好能进入两个的概率为．假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相
互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则
所以
所以，
，
，
所以该同学一个社团都不进入的概率：
．
故选：
D
．
7
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
0
）的左焦点为
F
，上顶点为
A
，右顶点为
B
，若∠
OAB
，
|AD|
•
|AE|
，则椭圆
C
∠
OAF
的平分线分别交
x
轴于点
D
，
E
，且
|AD|
2
+|AE|
2
﹣
|DE|
2
＝
的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：如下图所示：
因为，所以由余弦定理得
，
又，所以∠
DAE
＝
45
°．
因为
AD
，
AE
分别为∠
OAB
，∠
OAF
的平分线，所以∠
BAF
＝
2
∠
DAE
＝
90
°，
所以
AB
⊥
AF
．
由题意可知，点
F
（﹣
c
，
0
），
A
（
0
，
b
），
B
（
a
，
0
），则
由，可得
a
2
﹣
c
2
﹣
ac
＝
0
，即
c
2
+ac
﹣
a
2
＝
0
，
．
在等式
c
2
+ac
﹣
a
2
＝
0
的两边同时除以
a
2
，可得
e
2
+e
﹣
1
＝
0
，
因为
0
＜
e
＜
1
，解得
故选：
C
．
．
8
．设
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且
f
（
x
）在（﹣∞，
0
）上是减函数，又
f
（﹣
4
）＝
0
，则不
等式
A
．（
0
，
4
）
C
．（﹣
4
，
0
）∪（
0
，
4
）
的解集是（ ）
B
．（﹣
8
，﹣
4
）
D
．（﹣
8
，﹣
4
）∪（
0
，
4
）
解：因为
f
（
x
）是
R
上的奇函数，且在（﹣∞，
0
）上是减函数，
所以
f
（
x
）在（
0
，
+
∞）上是减函数，
又因为
f
（﹣
4
）＝
0
，所以
f
（
4
）＝
0
，
则函数
f
（
x
）的大致图象如右图所示：
由，得，即，
则或，
则或，解得﹣
8
＜
x
＜﹣
4
或
x
∈∅，
故
故选：
B
．
的解集是（﹣
8
，﹣
4
）．
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分．
9
．如果平面向量
A
．
||
＝
3||
C
．与的夹角为
30
°
解：因为
对于
A
，因为
对于
B
，因为
对于
C
，因为
，所以
，所以
，所以
，那么下列结论中正确的是（ ）
B
．
D
．在方向上的投影为
．
，故
A
正确；
，故
B
正确；
，所以与的夹角为
180
°，故
C
错误；
，故
D
错误．
对于
D
，在方向上的投影为
故选：
AB
．
10
．袋子中有
2
个黑球，
1
个白球，现从袋子中有放回地随机取球
4
次，取到白球记
0
分，
黑球记
1
分，记
4
次取球的总分数为
X
，则（ ）
A
．
X
～
B
（
4
，）
B
．
C
．
X
的期望
D
．
X
的方差
解：由于每次取球互不影响，故所有结果有
4
类：
①
4
次全是白球，
X
＝
0
，记其概率为
②
4
次只有
1
次是黑球，
X
＝
1
，记其概率为
③
4
次只有
2
次是黑球，
X
＝
2
，记其概率为
④
4
次只有
3
次是黑球，
X
＝
3
，记其概率为
⑤
4
次全是黑球，
X
＝
4
，记其概率为
故
X
～
B
（
4
，），故
A
正确，
B
错误；
因为
X
～
B
（
4
，），所以
X
的期望
因为
X
～
B
（
4
，），所以
X
的方差
故选：
ACD
．
11
．已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，则（ ）
A
．
B
．
D
．
，故
C
正确；
，故
D
正确．
．
；
；
；
；
C
．
log
2
a+log
2
b
≤﹣
6
解：对于
A
，因为
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，所以
2a
﹣
8b
＝
2a
﹣（
1
﹣
2a
）＝
4a
﹣
1
＞﹣
1
，所以
对于
B
，
，当且仅当
2a
＝
8b
，即
正确；
对于
C
，，当且仅当
2a
＝
8b
，即
时取等号，故
log
2
2a+log
2
8b
＝
1+log
2
a+3+log
2
b
≤﹣
2
，得
log
2
a+log
2
b
≤﹣
6
，
故
C
正确；
对于
D
，已知
a
＞
0
，
b
＞
0
，且
2a+8b
＝
1
，所以（
2a+8b
）
2
≤
2
（
2a
）
2
+2
（
8b
）
2
，即
1
≤
8a
2
+128b
2
，则，当且仅当
2a
＝
8b
，即
时取等号，故
D
错误．
时取等号，故
，所以，故
A
正确；
，所以
，故
B