2024年4月10日发(作者：巫代桃)

对滑轮系统的一些等效

（作者：物理二班 李敏 PB03203126）

问题由来：

在《力学》（扬维编著）中的一些滑轮的经典题目如：

P136,20题：

如左图示，复杂的滑轮组，吊着物体质量

分别为m

1

,m

2

,m

3

,m

4

.设滑轮质量以及滑轮的轴承

处摩擦力均可忽略不计，且绳子长度不变，求每

图（一）

个物体的加速度和每段绳子的张力。

看到此题，每个人都明白列出一系列方程，求解方程即可，可复杂程度也是相当可观

的。

如果滑轮组更复杂，那方程数增加，求解方程的难度可呈级数增加，如何一种简单算法？

根据等效原理：在电路中，两个系统只要在输入电压、电流一定的情况下，仍能输出电

压与输出电流一致，此两系统在电路中就可以互相等效、互相替换。

对于一个力学系统：只要两个系统与外界的作用效果一样，即牛顿的力学方程形式一

样，就互相替代。

（一） 取滑轮的一小简单部分进行分析，以坚直向下为正方

向

假设此滑轮的对地加速度为a

0

，选此滑轮为参考系。m

1

、m

2

的相对



、

a

2



，m

1

、m

2

的对地加速度为

a

1

、

a

2

，且均受惯性力加速度为

a

1

作用。牛顿定律可得：

图（二）





m

1

(ga

0

)T

1

m

1

a

1



m(ga)Tma



20222







a

2





a

1



TT

2



1





TT

1

T

2

解得：

(m

1

m

2

)(ga

0

)





a



1

m

1

m

2





(m

2

m

1

)(ga

0

)



a



2

m

1

m

2





2m

1

m

2

(ga

0

)

TT



12

m

1

m

2





4mm(ga)

120



TTT

12



m

1

m

2





aa



a

(m

1

m

2

)g2m

2

a

0



(1)

10



1

m

1

m

2





aa



a

(m

2

m

1

)g2m

1

a

0

20



2

m

1

m

2



由其中：

T

4m

1

m

2

(ga

0

)

m

1

m

2

可取：

M

图（三）

4m

1

m

2



(2)

（量纲为质量单位）

m

1

m

2

原式子即可变为：

MgTMa

0

（简单牛顿运动方程）

而对于上端绳子来说，图二的装置与图三的简单装置作用效果一样，可以相互替换

（二） 以用上述等效方法，原题目中的系统可变为图（四），

4m

1

m

2



M



12

mm



12

其中





M

4m

3

m

4

34



m

3

m

4



由于a

0

=0，用式子（1）可得：

a

12



图（四）

M

12

M

34

g

M

12

M

34

8g

这样：

T

12

M

12

(ga

12

)

1111



m

1

m

2

m

3

m

4

对于原装置的m

1

,m

2

的加速度

a

1

、

a

2

，由式子（1）得：

a

1



(m

1

m

2

)g2m

2

a

12

g

m

1

m

2

4g

1111

m

1

()

m

1

m

2

m

3

m

4

其余各个物理量的算法类似，都与直接列出方程所得结果一样，与书

P

５０５

所给答

案一样。

讨论（1）：

1）等效质量式子

M

4m

1

m

2

。

m

1

m

2

如图（五）示。单一物体可等效于两端拉相同质量的滑轮组，滑轮组的

MM



4m

1

m

2

22

M

（与实际情况相符） 等效质量

M





MM

m

1

m

2



22

4

图（五）



a

0



2）加速度公式：

a

1

a

1

(m

1

m

2

)g2m

2

a

0

（a

2

的式子其实

m

1

m

2

与a

1

相对应，只是将m

1

改成m

2

，而将m

2

改成m

1

即可）。

当a =g时，即做自由落体运动，可知，a

1

的加速度也为g，因为不受力，由式子（1）

算得

a

1



(m

1

m

2

)g2m

2

g

）

g

（与实际情况相符。

m

1

m

2

3）受力情况分析，这一系统受外界的力，可直接用

MgTMa

0

，即

TMgMa

0

算得。

（三）

设计程序处理：

观察式子

M

(m

1

m

2

)g2m

2

a

0

4m

1

m

2

，及

a

1



m

1

m

2

m

1

m

2

此两个式子均符合一种递归关系。所以这一复杂滑轮系统可描述为数据结构中的二叉

树类型。叶子为物体，非叶子部分即为滑轮

此树结点的类型可为：

typedef struct Lnode{

float mass； //该结点以下的等效质量，叶子质量已给

float acceleration； //该处的对地加速度

float force； //该处所受上一级拉力

struct Lnode *rchild,*lchild；//左右孩子

}*pulley,Lnode； //此树结点不能单独只有左孩子或右孩子

树造好后，用一次深度检索（用后序遍历），由公式（1）：

M

可算出各个结点的等效质量。

4m

左

m

右

m

左

m

右

(m

左



a



左



再用一次广度检索，由公式：





a

(m

右

右





m

右

)g2m

右

a

0

m

右

m

左

m

左

)g2m

左

a

0

m

左

m

右

（其中左、右分别代表该结点左、右子树的所存储的等效质量）

再用：

TM

0

(ga

0

)

（其中

a

0

为该处结点的加速度，M

0

为该处的等效质量，T就是该处所受上一级滑轮

的拉力）

算出各结点的加速度，及绳子的拉力情况。

这样整个滑轮系统的所有讯息都被存在这棵二叉树中了。

而在实际，滑轮的质量不可忽略时，还有其转动惯量。将原来公式（1）（2）

推广开来：

依然取系统的一部分，如左图（六）示，取m

3

（即滑轮）为参考系，

且设其转动惯量

Ikm

3

R

2

（k>0）；以坚直向下为正方向。



、假设此滑轮的对地加速度为

a

0

， m

1

、m

2

的相对加速度分别为

a

1



，对地加速度分别为

a

1

、

a

2

，且均受惯性力作用。

a

2



m(ga)Tma



0111



1



m(ga)Tma



0222



2

由受力分析得：







a

1

a

2







a



1



(T

1

T

2

)RIT

1

T

2

km

3

a

1

R



图（六）





(m

1

m

2

)(ga

0

)



a

1



mmkm



123

由以上各式解得：



(mm)(ga)

10



a





2

2



m

1

m

2

km

3



总拉力：

TT

1

T

2

M(ga

0

)



观察可知：

依然可等效为一质量

M

0





4m

1

m

2

(m

1

m

2

)km

3



m

3



(ga

0

)

m

1

m

2

km

3



4m

1

m

2

(m

1

m

2

)km

3



m

3



(4)

的单一物体。

m

1

m

2

km

3

(m

1

m

2

)g(2m

2

km

3

)a

0





aaa(3)

10



1

mmkm



123

且两物体的绝对加速度



(mm)g(2mkm)a

1130



aa



a

2

220



m

1

m

2

km

3



讨论（2）：

1）：对单个物体可等效为如右图（七）示的装置；（其

中k无所谓等多少）且：

M2mm

3

；由式子（4）得：

M





4m2mkm

3

（依然符合实

m

3

2mm

3

M

；

2mkm

3

图（七）

际。）

2）：当a

0

=g 时，即做自由落体运动，可知a

0

=g。同样由式子（3）

可得：

a

1



(m

1

m

2

)g(2m

2

km

3

)g

g

（与实际情况相符）

m

1

m

2

km

3

3）：同样受力也可以用式子：

TMgMa

0

求得。

设计程序处理：

同样此类滑轮系统亦可以像上例一样描述为一棵二叉树。

描述方式与上一类大同小异，这里不详细解释。

同样也可由（３）（４）式子可计算《力学》P334的第16题，计算过程前面相似。此

处略去。

总结：

本文所介绍的算法可用于复杂的滑轮组合，亦可根据此算法编写一程序处理

此类复杂计算问题。

利用此文：学习运用等效原理可以使复杂的问题简单化，

及对一大系统的一小部分的研究来解决整体的复杂问题的方法。

参考文献：

《力学》 （扬维纮 编著）

《数据结构》

2024年4月10日发(作者：巫代桃)

对滑轮系统的一些等效

（作者：物理二班 李敏 PB03203126）

问题由来：

在《力学》（扬维编著）中的一些滑轮的经典题目如：

P136,20题：

如左图示，复杂的滑轮组，吊着物体质量

分别为m

1

,m

2

,m

3

,m

4

.设滑轮质量以及滑轮的轴承

处摩擦力均可忽略不计，且绳子长度不变，求每

图（一）

个物体的加速度和每段绳子的张力。

看到此题，每个人都明白列出一系列方程，求解方程即可，可复杂程度也是相当可观

的。

如果滑轮组更复杂，那方程数增加，求解方程的难度可呈级数增加，如何一种简单算法？

根据等效原理：在电路中，两个系统只要在输入电压、电流一定的情况下，仍能输出电

压与输出电流一致，此两系统在电路中就可以互相等效、互相替换。

对于一个力学系统：只要两个系统与外界的作用效果一样，即牛顿的力学方程形式一

样，就互相替代。

（一） 取滑轮的一小简单部分进行分析，以坚直向下为正方

向

假设此滑轮的对地加速度为a

0

，选此滑轮为参考系。m

1

、m

2

的相对



、

a

2



，m

1

、m

2

的对地加速度为

a

1

、

a

2

，且均受惯性力加速度为

a

1

作用。牛顿定律可得：

图（二）





m

1

(ga

0

)T

1

m

1

a

1



m(ga)Tma



20222







a

2





a

1



TT

2



1





TT

1

T

2

解得：

(m

1

m

2

)(ga

0

)





a



1

m

1

m

2





(m

2

m

1

)(ga

0

)



a



2

m

1

m

2





2m

1

m

2

(ga

0

)

TT



12

m

1

m

2





4mm(ga)

120



TTT

12



m

1

m

2





aa



a

(m

1

m

2

)g2m

2

a

0



(1)

10



1

m

1

m

2





aa



a

(m

2

m

1

)g2m

1

a

0

20



2

m

1

m

2



由其中：

T

4m

1

m

2

(ga

0

)

m

1

m

2

可取：

M

图（三）

4m

1

m

2



(2)

（量纲为质量单位）

m

1

m

2

原式子即可变为：

MgTMa

0

（简单牛顿运动方程）

而对于上端绳子来说，图二的装置与图三的简单装置作用效果一样，可以相互替换

（二） 以用上述等效方法，原题目中的系统可变为图（四），

4m

1

m

2



M



12

mm



12

其中





M

4m

3

m

4

34



m

3

m

4



由于a

0

=0，用式子（1）可得：

a

12



图（四）

M

12

M

34

g

M

12

M

34

8g

这样：

T

12

M

12

(ga

12

)

1111



m

1

m

2

m

3

m

4

对于原装置的m

1

,m

2

的加速度

a

1

、

a

2

，由式子（1）得：

a

1



(m

1

m

2

)g2m

2

a

12

g

m

1

m

2

4g

1111

m

1

()

m

1

m

2

m

3

m

4

其余各个物理量的算法类似，都与直接列出方程所得结果一样，与书

P

５０５

所给答

案一样。

讨论（1）：

1）等效质量式子

M

4m

1

m

2

。

m

1

m

2

如图（五）示。单一物体可等效于两端拉相同质量的滑轮组，滑轮组的

MM



4m

1

m

2

22

M

（与实际情况相符） 等效质量

M





MM

m

1

m

2



22

4

图（五）



a

0



2）加速度公式：

a

1

a

1

(m

1

m

2

)g2m

2

a

0

（a

2

的式子其实

m

1

m

2

与a

1

相对应，只是将m

1

改成m

2

，而将m

2

改成m

1

即可）。

当a =g时，即做自由落体运动，可知，a

1

的加速度也为g，因为不受力，由式子（1）

算得

a

1



(m

1

m

2

)g2m

2

g

）

g

（与实际情况相符。

m

1

m

2

3）受力情况分析，这一系统受外界的力，可直接用

MgTMa

0

，即

TMgMa

0

算得。

（三）

设计程序处理：

观察式子

M

(m

1

m

2

)g2m

2

a

0

4m

1

m

2

，及

a

1



m

1

m

2

m

1

m

2

此两个式子均符合一种递归关系。所以这一复杂滑轮系统可描述为数据结构中的二叉

树类型。叶子为物体，非叶子部分即为滑轮

此树结点的类型可为：

typedef struct Lnode{

float mass； //该结点以下的等效质量，叶子质量已给

float acceleration； //该处的对地加速度

float force； //该处所受上一级拉力

struct Lnode *rchild,*lchild；//左右孩子

}*pulley,Lnode； //此树结点不能单独只有左孩子或右孩子

树造好后，用一次深度检索（用后序遍历），由公式（1）：

M

可算出各个结点的等效质量。

4m

左

m

右

m

左

m

右

(m

左



a



左



再用一次广度检索，由公式：





a

(m

右

右





m

右

)g2m

右

a

0

m

右

m

左

m

左

)g2m

左

a

0

m

左

m

右

（其中左、右分别代表该结点左、右子树的所存储的等效质量）

再用：

TM

0

(ga

0

)

（其中

a

0

为该处结点的加速度，M

0

为该处的等效质量，T就是该处所受上一级滑轮

的拉力）

算出各结点的加速度，及绳子的拉力情况。

这样整个滑轮系统的所有讯息都被存在这棵二叉树中了。

而在实际，滑轮的质量不可忽略时，还有其转动惯量。将原来公式（1）（2）

推广开来：

依然取系统的一部分，如左图（六）示，取m

3

（即滑轮）为参考系，

且设其转动惯量

Ikm

3

R

2

（k>0）；以坚直向下为正方向。



、假设此滑轮的对地加速度为

a

0

， m

1

、m

2

的相对加速度分别为

a

1



，对地加速度分别为

a

1

、

a

2

，且均受惯性力作用。

a

2



m(ga)Tma



0111



1



m(ga)Tma



0222



2

由受力分析得：







a

1

a

2







a



1



(T

1

T

2

)RIT

1

T

2

km

3

a

1

R



图（六）





(m

1

m

2

)(ga

0

)



a

1



mmkm



123

由以上各式解得：



(mm)(ga)

10



a





2

2



m

1

m

2

km

3



总拉力：

TT

1

T

2

M(ga

0

)



观察可知：

依然可等效为一质量

M

0





4m

1

m

2

(m

1

m

2

)km

3



m

3



(ga

0

)

m

1

m

2

km

3



4m

1

m

2

(m

1

m

2

)km

3



m

3



(4)

的单一物体。

m

1

m

2

km

3

(m

1

m

2

)g(2m

2

km

3

)a

0





aaa(3)

10



1

mmkm



123

且两物体的绝对加速度



(mm)g(2mkm)a

1130



aa



a

2

220



m

1

m

2

km

3



讨论（2）：

1）：对单个物体可等效为如右图（七）示的装置；（其

中k无所谓等多少）且：

M2mm

3

；由式子（4）得：

M





4m2mkm

3

（依然符合实

m

3

2mm

3

M

；

2mkm

3

图（七）

际。）

2）：当a

0

=g 时，即做自由落体运动，可知a

0

=g。同样由式子（3）

可得：

a

1



(m

1

m

2

)g(2m

2

km

3

)g

g

（与实际情况相符）

m

1

m

2

km

3

3）：同样受力也可以用式子：

TMgMa

0

求得。

设计程序处理：

同样此类滑轮系统亦可以像上例一样描述为一棵二叉树。

描述方式与上一类大同小异，这里不详细解释。

同样也可由（３）（４）式子可计算《力学》P334的第16题，计算过程前面相似。此

处略去。

总结：

本文所介绍的算法可用于复杂的滑轮组合，亦可根据此算法编写一程序处理

此类复杂计算问题。

利用此文：学习运用等效原理可以使复杂的问题简单化，

及对一大系统的一小部分的研究来解决整体的复杂问题的方法。

参考文献：

《力学》 （扬维纮 编著）

《数据结构》