2024年4月12日发(作者：进问春)
2016年6月
第32卷第3期
纯粹数学与应用数学
PureandAppliedMathematics
Jun.2016
Vol.32No.3
GdKP
方程的最优系统和群不变解
李婷
,
沃维丰
315211)(宁波大学数学系,浙江宁波
摘要：利用经典李群方法对
GdKP
方程进行
Lie
对称分析
,
求得该方程的
Lie
对称代
数
,
及其相应的约化方程和最优系统
.
更进一步
,
作者求出了
dKP
方程的部分群不变解
.
该方法在物理中有广泛的应用
.
关键词：
GdKP
方程
;
李群方法
;
对称约化
;
最优系统
中图分类号：
O178
文献标识码：
A
文章编号：
1008-5513(2016)03-0324-07
DOI
：
10.3969/.1008-5513.2016.03.011
1
引言
孤子理论的产生和发展蕴藏着一系列求解偏微分方程精确解的方法,如反散射方
法、Darboux变换、Backlund变换、Lie对称分析等等.目前,寻求非线性微分方程相似
约化解的最基本有效的方法有
[1]
:Lie、Ovsinnio、Venikov等提出的经典李群法,Bluman和
[4]
Olver等推广的非经典李群法
[2
-
3]
,Clarkson和Kruskal提出的CK直接法
主要是基于群论,后一种方法是基于代数角度来约化方程.
本文主要考虑GdKP方程
[5
-
7]
(u
t
−f(x)u
x
)
x
=u
yy
.
等.前两种方法
(1)
其中,f是关于u的任意函数.一方面,给出方程(1)的Lie对称代数和约化方程,算出该5维
生成元的一个最优系统
[2]
;另一方面,根据GdKP方程的最优系统和李代数,得到dKP方程
(u
t
−uu
x
)
x
=u
yy
(2)
的部分群不变解.
收稿日期：2016-01-12.
基金项目：国家自然科学基金(11201249);浙江省自然基金(LY16A010002);宁波大学科研基金(XKL14D2040).
作者简介：李婷(1989-),硕士生,研究方向：偏微分方程.
通讯作者：沃维丰(1981-),博士,讲师,研究方向：偏微分方程.
第3期李婷等:GdKP方程的最优系统和群不变解
325
2GdKP
方程的对称和约化方程
一般地,k阶微分方程F(x,u,∂u,∂
2
u,···,∂
k
u)=0在由生成元
X=ξ
i
(x,u)
生成的群变换下是不变的,当且仅当
X
(k)
F(x,u,∂u,∂
2
u,···,∂
k
u)=0,
当F(x,u,∂u,∂
2
u,···,∂
k
u)=0时.
设方程(1.1)满足的点李对称的无穷小生成元为
X=ξ
1
(x,y,t,u)∂x+ξ
2
(x,y,t,u)∂y+ξ
3
(x,y,t,u)∂t+ξ
4
(x,y,t,u)∂u.(3)
∂∂
+η(x,u)
∂x
i
∂u
向量场(3)的二阶延拓pr
(2)
X对方程(1)应用李群方法,要求它的解集S={u|△=0}
在该向量场所产生的对称群的作用下是不变的,则必须满足下列条件:
pr
(2)
X(△)|
△=0
=0,△=(u
t
−f(u)u
x
)
x
−u
yy
.(4)
方程(4)对任意的x,t,u,u
x
,u
t
,u
xt
和u
xx
都成立,因此通过提x,t,u,u
x
,u
t
,u
xt
和u
xx
以
及他们乘积的系数,得到关于ξ
i
(i=1,···,4)的超定方程组.求解该方程组,最后得到方程(1)
的李对称为
1
ξ
1
(x,y,t,u)=c
1
x+c
2
y+c
5
,
2
ξ
2
(x,y,t,u)=c
1
y+c
2
t+c
3
,
ξ
3
(x,y,t,u)=c
1
t+c
4
,
ξ
4
(x,y,t,u)=0.
其中,c
i
(i=1,···,5)是任意常数.因此,方程(1)的对称群的向量场为
∂∂∂
+y+t,
∂x∂y∂t
1∂∂
+t,X
2
=y
2∂x∂y
∂∂∂
X
3
=,X
4
=,X
5
=.
∂y∂t∂x
X
1
=x
(5)
(6)
一个微分方程的对称群就是将方程的解仍变换为该方程的解的变换群.因此,若得到
了方程的对称群或者Lie对称代数,便可以用来求方程的其它解,即群不变解.取定无穷小
X
i
(i=1,···,5)之后,我们来求解特征方程
dxdydtdu
===
ξ
1
ξ
2
ξ
3
ξ
4
化方程.
(7)
以得到相似变量和向量场约化形式.然后,将它们代入原方程(1)中,便可以得到相应的对称约
2024年4月12日发(作者：进问春)
2016年6月
第32卷第3期
纯粹数学与应用数学
PureandAppliedMathematics
Jun.2016
Vol.32No.3
GdKP
方程的最优系统和群不变解
李婷
,
沃维丰
315211)(宁波大学数学系,浙江宁波
摘要：利用经典李群方法对
GdKP
方程进行
Lie
对称分析
,
求得该方程的
Lie
对称代
数
,
及其相应的约化方程和最优系统
.
更进一步
,
作者求出了
dKP
方程的部分群不变解
.
该方法在物理中有广泛的应用
.
关键词：
GdKP
方程
;
李群方法
;
对称约化
;
最优系统
中图分类号：
O178
文献标识码：
A
文章编号：
1008-5513(2016)03-0324-07
DOI
：
10.3969/.1008-5513.2016.03.011
1
引言
孤子理论的产生和发展蕴藏着一系列求解偏微分方程精确解的方法,如反散射方
法、Darboux变换、Backlund变换、Lie对称分析等等.目前,寻求非线性微分方程相似
约化解的最基本有效的方法有
[1]
:Lie、Ovsinnio、Venikov等提出的经典李群法,Bluman和
[4]
Olver等推广的非经典李群法
[2
-
3]
,Clarkson和Kruskal提出的CK直接法
主要是基于群论,后一种方法是基于代数角度来约化方程.
本文主要考虑GdKP方程
[5
-
7]
(u
t
−f(x)u
x
)
x
=u
yy
.
等.前两种方法
(1)
其中,f是关于u的任意函数.一方面,给出方程(1)的Lie对称代数和约化方程,算出该5维
生成元的一个最优系统
[2]
;另一方面,根据GdKP方程的最优系统和李代数,得到dKP方程
(u
t
−uu
x
)
x
=u
yy
(2)
的部分群不变解.
收稿日期：2016-01-12.
基金项目：国家自然科学基金(11201249);浙江省自然基金(LY16A010002);宁波大学科研基金(XKL14D2040).
作者简介：李婷(1989-),硕士生,研究方向：偏微分方程.
通讯作者：沃维丰(1981-),博士,讲师,研究方向：偏微分方程.
第3期李婷等:GdKP方程的最优系统和群不变解
325
2GdKP
方程的对称和约化方程
一般地,k阶微分方程F(x,u,∂u,∂
2
u,···,∂
k
u)=0在由生成元
X=ξ
i
(x,u)
生成的群变换下是不变的,当且仅当
X
(k)
F(x,u,∂u,∂
2
u,···,∂
k
u)=0,
当F(x,u,∂u,∂
2
u,···,∂
k
u)=0时.
设方程(1.1)满足的点李对称的无穷小生成元为
X=ξ
1
(x,y,t,u)∂x+ξ
2
(x,y,t,u)∂y+ξ
3
(x,y,t,u)∂t+ξ
4
(x,y,t,u)∂u.(3)
∂∂
+η(x,u)
∂x
i
∂u
向量场(3)的二阶延拓pr
(2)
X对方程(1)应用李群方法,要求它的解集S={u|△=0}
在该向量场所产生的对称群的作用下是不变的,则必须满足下列条件:
pr
(2)
X(△)|
△=0
=0,△=(u
t
−f(u)u
x
)
x
−u
yy
.(4)
方程(4)对任意的x,t,u,u
x
,u
t
,u
xt
和u
xx
都成立,因此通过提x,t,u,u
x
,u
t
,u
xt
和u
xx
以
及他们乘积的系数,得到关于ξ
i
(i=1,···,4)的超定方程组.求解该方程组,最后得到方程(1)
的李对称为
1
ξ
1
(x,y,t,u)=c
1
x+c
2
y+c
5
,
2
ξ
2
(x,y,t,u)=c
1
y+c
2
t+c
3
,
ξ
3
(x,y,t,u)=c
1
t+c
4
,
ξ
4
(x,y,t,u)=0.
其中,c
i
(i=1,···,5)是任意常数.因此,方程(1)的对称群的向量场为
∂∂∂
+y+t,
∂x∂y∂t
1∂∂
+t,X
2
=y
2∂x∂y
∂∂∂
X
3
=,X
4
=,X
5
=.
∂y∂t∂x
X
1
=x
(5)
(6)
一个微分方程的对称群就是将方程的解仍变换为该方程的解的变换群.因此,若得到
了方程的对称群或者Lie对称代数,便可以用来求方程的其它解,即群不变解.取定无穷小
X
i
(i=1,···,5)之后,我们来求解特征方程
dxdydtdu
===
ξ
1
ξ
2
ξ
3
ξ
4
化方程.
(7)
以得到相似变量和向量场约化形式.然后,将它们代入原方程(1)中,便可以得到相应的对称约