2024年4月13日发(作者：茅玑)

高三数学客观题综合练习题(二)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合A＝{x|－1

A.{x|0≤x<1}

C.{x|1

答案 B

解析 由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1

－

B.{x|－1

D.{x|0

2.已知z＝2－i，则z(z＋i)＝( )

A.6－2i

C.6＋2i

答案 C

解析 因为z＝2－i，所以z(z

＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故选C.

3.已知点(1，1)在抛物线C：y

2

＝2px(p>0)上，则抛物线C的焦点到其准线的距离

为( )

1

A.

4

C.1

答案 B

1

解析 因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，p＝

2

，故抛物线C的焦点到其

1

准线的距离为

.故选B.

2

4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒

尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖，如

图，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三

角形的顶角为2θ，则侧棱长与 底面外接圆半径的比为( )

1

B.

2

D.2

－

B.4－2i

D.4＋2i

3

A.

3sin θ

1

C.

2sin θ

答案 C

解析 设底面边长为a，则其外接圆的半径为a.在侧面等腰三角形中，顶角为

a

2θ，两腰为侧棱，底边长为a，所以侧棱长为

2sin θ

，所以侧棱长与底面外接圆

a

2sin θ

1

半径的比为

a

＝

2sin θ

.故选C.

5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计

中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1).设计师将某手机的屏幕面积和

整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和

升级前相比( )

A.“屏占比”不变

C.“屏占比”变大

答案 C

解析 根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，

a＋m

a

b>a，则升级前的“屏占比”为

b

，升级后的“屏占比”为，其中m为升级

b＋m

a＋m

a

m（b－a）

后增加的面积，因为－

b

＝

>0，所以升级后“屏占比”变大，故

b＋mb（b＋m）

选C.

π



6.已知函数f(x)＝sin 4x－2cos 4x，若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x

0

)，则f



x

0

＋

8





＝( )

B.“屏占比”变小

D.变化不确定

3

B.

3cos θ

1

D.

2cos θ

A.0

C.－5

答案 A

B.5

D.1

解析 法一 由题意得f(x)＝sin 4x－2cos 4x＝5sin(4x－φ)(其中tan φ＝2)，

2ππ

所以函数f(x)的最小正周期T＝

4

＝

2

.

1

因为对任意的x∈R，都有f(x)≥f(x

0

)，所以f(x)在x＝x

0

处取得最小值，又x

0

＋

4

T

π

＝x

0

＋

8

，

π



所以点



x

0

＋

8

，0



是f(x)图象的一个对称中心，



π



故f



x

0

＋

8



＝0.



法二 由题意可得f(x)＝sin 4x－2cos 4x＝5sin(4x－φ)(其中tan φ＝2)，因为对

任意的x∈R，都有f(x)≥f(x

0

)，所以f(x)在x＝x

0

处取得最小值，于是4x

0

－φ＝

π

kπ

πφπ

kπ

φ

2kπ－

2

，k∈Z，则x

0

＝

2

－

8

＋

4

，k∈Z，所以x

0

＋

8

＝

2

＋

4

，k∈Z，

π



kπ

φ



故f



x

0

＋

8



＝5sin



4



2

＋

4



－φ



＝5sin 2kπ＝0.



7.若曲线y＝－x＋1在点(0，－1)处的切线与曲线y＝ln x在点P处的切线垂

直，则点P的坐标为( )

A.(e，1)

C.(2，ln 2)

答案 D

解析 y＝－x＋1的导数为y′＝－

2

1

x＋1

，可得曲线y＝－x＋1在点(0，－

B.(1，0)



1



D.



2

，－ln 2





11

1)处的切线斜率为－

2

.设P(m，ln m)，由y＝ln x的导数为y′＝

x

，得曲线y＝ln x

11



1



1



－

2



＝－1，解得m＝，所在点P处的切线斜率为k＝

m

，由两切线垂直可得

m

·

2





1



以P



2

，－ln 2



.故选D.



8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场

单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依

次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4

场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行

比赛.假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙

每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5.各场比赛的

结果互不影响.那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为( )

A.0.24

C.0.38

答案 C

解析 记“恰好经过4场比赛分出胜负”“恰好经过4场比赛甲所在球队获

胜”“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”分别为事件D，E，F，则E，F互

斥，且P(D)＝P(E)＋P(F).若事件E发生，则第4场比赛甲获胜，且前3场比赛

甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A或B比赛每场获胜的概率均为0.6，

乙与A或B比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛每场获胜的概率均为0.5，

且各场比赛结果相互独立，所以甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率

P(E)＝0.6×(0.4×0.5×0.5＋0.6×C

1

2

×0.5×0.5)＝0.24.若事件F发生，则第4场

比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A或B比

赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C

比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以A所在球队恰好

经过4场比赛获得胜利的概率P(F)＝0.4×(0.6×0.5×0.5＋0.4×C

1

2

×0.5×0.5)＝

0.14，所以P(D)＝P(E)＋P(F)＝0.38，故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

B.0.25

D.0.5

0分.)

9.已知(2x－a)

9

＝a

0

＋a

1

(x－1)＋a

2

(x－1)

2

＋…＋a

9

(x－1)

9

且展开式中各项系数和

为3

9

.则下列结论正确的是( )

A.a＝1

C.a

2

＝36

答案 ABD

解析 令x－1＝t，∴x＝t＋1，

原展开式为(2t＋2－a)

9

＝a

0

＋a

1

t＋a

2

t

2

＋…＋a

9

t

9

，

令t＝1得a

0

＋a

1

＋a

2

＋…＋a

9

＝(4－a)

9

＝3

9

，

∴a＝1，故A正确；

∴(2t＋1)

9

＝a

0

＋a

1

t＋a

2

t

2

＋…＋a

9

t

9

，

令t＝0，得a

0

＝1，故B正确；

27

(2t＋1)

9

的展开式中含t

2

的项为C

7

1

＝144t

2

，

9

(2t)·

B.a

0

＝1

3

9

＋1

D.a

1

＋a

3

＋a

5

＋a

7

＋a

9

＝

2

∴a

2

＝144，故C错误；

令t＝1，得a

0

＋a

1

＋a

2

＋…＋a

8

＋a

9

＝3

9

，①

令t＝－1，得a

0

－a

1

＋a

2

－a

3

＋…＋a

8

－a

9

＝－1，②

①－②3

9

＋1

2

得，a

1

＋a

3

＋a

5

＋a

7

＋a

9

＝

2

，故D正确.

10.已知△PAB中，AB＝2，PA＝PB，C是边AB的中点，Q为△PAB所在平面

→

·

→

的值可能是( ) 内一点.若△CPQ是边长为2的等边三角形，则APBQ

A.3＋3

C.3－3

答案 BD

→

·

→

＝(AC

→

＋CP

→

)·

→

＋CQ

→

)解析 如图(1)，若点Q与点B在CP的同侧，则APBQ(BC

B.1＋3

D.1－3

2024年4月13日发(作者：茅玑)

高三数学客观题综合练习题(二)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合A＝{x|－1

A.{x|0≤x<1}

C.{x|1

答案 B

解析 由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1

－

B.{x|－1

D.{x|0

2.已知z＝2－i，则z(z＋i)＝( )

A.6－2i

C.6＋2i

答案 C

解析 因为z＝2－i，所以z(z

＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故选C.

3.已知点(1，1)在抛物线C：y

2

＝2px(p>0)上，则抛物线C的焦点到其准线的距离

为( )

1

A.

4

C.1

答案 B

1

解析 因为点(1，1)在抛物线C上，所以1＝2p，p＝

2

，故抛物线C的焦点到其

1

准线的距离为

.故选B.

2

4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒

尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖，如

图，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三

角形的顶角为2θ，则侧棱长与 底面外接圆半径的比为( )

1

B.

2

D.2

－

B.4－2i

D.4＋2i

3

A.

3sin θ

1

C.

2sin θ

答案 C

解析 设底面边长为a，则其外接圆的半径为a.在侧面等腰三角形中，顶角为

a

2θ，两腰为侧棱，底边长为a，所以侧棱长为

2sin θ

，所以侧棱长与底面外接圆

a

2sin θ

1

半径的比为

a

＝

2sin θ

.故选C.

5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计

中的一个重要参数，其值通常在0～1(不含0，1).设计师将某手机的屏幕面积和

整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和

升级前相比( )

A.“屏占比”不变

C.“屏占比”变大

答案 C

解析 根据题意，不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a，整机面积为b，

a＋m

a

b>a，则升级前的“屏占比”为

b

，升级后的“屏占比”为，其中m为升级

b＋m

a＋m

a

m（b－a）

后增加的面积，因为－

b

＝

>0，所以升级后“屏占比”变大，故

b＋mb（b＋m）

选C.

π



6.已知函数f(x)＝sin 4x－2cos 4x，若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x

0

)，则f



x

0

＋

8





＝( )

B.“屏占比”变小

D.变化不确定

3

B.

3cos θ

1

D.

2cos θ

A.0

C.－5

答案 A

B.5

D.1

解析 法一 由题意得f(x)＝sin 4x－2cos 4x＝5sin(4x－φ)(其中tan φ＝2)，

2ππ

所以函数f(x)的最小正周期T＝

4

＝

2

.

1

因为对任意的x∈R，都有f(x)≥f(x

0

)，所以f(x)在x＝x

0

处取得最小值，又x

0

＋

4

T

π

＝x

0

＋

8

，

π



所以点



x

0

＋

8

，0



是f(x)图象的一个对称中心，



π



故f



x

0

＋

8



＝0.



法二 由题意可得f(x)＝sin 4x－2cos 4x＝5sin(4x－φ)(其中tan φ＝2)，因为对

任意的x∈R，都有f(x)≥f(x

0

)，所以f(x)在x＝x

0

处取得最小值，于是4x

0

－φ＝

π

kπ

πφπ

kπ

φ

2kπ－

2

，k∈Z，则x

0

＝

2

－

8

＋

4

，k∈Z，所以x

0

＋

8

＝

2

＋

4

，k∈Z，

π



kπ

φ



故f



x

0

＋

8



＝5sin



4



2

＋

4



－φ



＝5sin 2kπ＝0.



7.若曲线y＝－x＋1在点(0，－1)处的切线与曲线y＝ln x在点P处的切线垂

直，则点P的坐标为( )

A.(e，1)

C.(2，ln 2)

答案 D

解析 y＝－x＋1的导数为y′＝－

2

1

x＋1

，可得曲线y＝－x＋1在点(0，－

B.(1，0)



1



D.



2

，－ln 2





11

1)处的切线斜率为－

2

.设P(m，ln m)，由y＝ln x的导数为y′＝

x

，得曲线y＝ln x

11



1



1



－

2



＝－1，解得m＝，所在点P处的切线斜率为k＝

m

，由两切线垂直可得

m

·

2





1



以P



2

，－ln 2



.故选D.



8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场

单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束).现有两支球队进行比赛，前3场依

次分别由甲、乙、丙和A、B、C出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负，则第4

场由甲和B进行比赛；若经过4场比赛仍未分出胜负，则第5场由乙和A进行

比赛.假设甲与A或B比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A或B比赛，乙

每场获胜的概率均为0.5；丙与C比赛，丙每场获胜的概率均为0.5.各场比赛的

结果互不影响.那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为( )

A.0.24

C.0.38

答案 C

解析 记“恰好经过4场比赛分出胜负”“恰好经过4场比赛甲所在球队获

胜”“恰好经过4场比赛A所在球队获胜”分别为事件D，E，F，则E，F互

斥，且P(D)＝P(E)＋P(F).若事件E发生，则第4场比赛甲获胜，且前3场比赛

甲所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A或B比赛每场获胜的概率均为0.6，

乙与A或B比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C比赛每场获胜的概率均为0.5，

且各场比赛结果相互独立，所以甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率

P(E)＝0.6×(0.4×0.5×0.5＋0.6×C

1

2

×0.5×0.5)＝0.24.若事件F发生，则第4场

比赛B获胜，且前3场比赛A所在球队恰有一场比赛失利，由于甲与A或B比

赛每场获胜的概率均为0.6，乙与A或B比赛每场获胜的概率均为0.5，丙与C

比赛每场获胜的概率均为0.5，且各场比赛结果相互独立，所以A所在球队恰好

经过4场比赛获得胜利的概率P(F)＝0.4×(0.6×0.5×0.5＋0.4×C

1

2

×0.5×0.5)＝

0.14，所以P(D)＝P(E)＋P(F)＝0.38，故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

B.0.25

D.0.5

0分.)

9.已知(2x－a)

9

＝a

0

＋a

1

(x－1)＋a

2

(x－1)

2

＋…＋a

9

(x－1)

9

且展开式中各项系数和

为3

9

.则下列结论正确的是( )

A.a＝1

C.a

2

＝36

答案 ABD

解析 令x－1＝t，∴x＝t＋1，

原展开式为(2t＋2－a)

9

＝a

0

＋a

1

t＋a

2

t

2

＋…＋a

9

t

9

，

令t＝1得a

0

＋a

1

＋a

2

＋…＋a

9

＝(4－a)

9

＝3

9

，

∴a＝1，故A正确；

∴(2t＋1)

9

＝a

0

＋a

1

t＋a

2

t

2

＋…＋a

9

t

9

，

令t＝0，得a

0

＝1，故B正确；

27

(2t＋1)

9

的展开式中含t

2

的项为C

7

1

＝144t

2

，

9

(2t)·

B.a

0

＝1

3

9

＋1

D.a

1

＋a

3

＋a

5

＋a

7

＋a

9

＝

2

∴a

2

＝144，故C错误；

令t＝1，得a

0

＋a

1

＋a

2

＋…＋a

8

＋a

9

＝3

9

，①

令t＝－1，得a

0

－a

1

＋a

2

－a

3

＋…＋a

8

－a

9

＝－1，②

①－②3

9

＋1

2

得，a

1

＋a

3

＋a

5

＋a

7

＋a

9

＝

2

，故D正确.

10.已知△PAB中，AB＝2，PA＝PB，C是边AB的中点，Q为△PAB所在平面

→

·

→

的值可能是( ) 内一点.若△CPQ是边长为2的等边三角形，则APBQ

A.3＋3

C.3－3

答案 BD

→

·

→

＝(AC

→

＋CP

→

)·

→

＋CQ

→

)解析 如图(1)，若点Q与点B在CP的同侧，则APBQ(BC

B.1＋3

D.1－3