2024年4月15日发(作者：籍柔惠)

乒乓球的运动是个复杂的物理过程，它包括球拍击打乒乓球、球在空中飞行、

与球桌碰撞并反弹这几个过程。为了计算乒乓球半径变化对乒乓球飞行速度的影

响，我们对乒乓球发球的过程进行仿真模拟计算。

1.球拍击打乒乓球过程分析

球拍击打乒乓球是一个复杂的物理过程，由于乒乓球受到球拍的力要远大于

浮力等其他力，因此我们主要考虑两个力——与拍面垂直的撞击力F和与拍面相

切的摩擦力f，并认为球拍击打乒乓球时初速度和初角速度为0.设乒乓球质量为

m，直径为D，拍形为前倾与水平成角，拍对球作用时间为

t

0

，挥拍速度为v。

t

0

t

0

F在时间

t

0

内冲量为



fdt

用

I

f

表示，

F

在时间

t

0

内的冲量为



Fdt

用

I

F

表示。

00

F

通过乒乓球的质心而与乒乓球相切，因此摩擦力f对乒乓球的质心而f与乒乓

D

球相切，因此摩擦力f对乒乓球产生一个力矩

f

，此力矩在时间

t

0

内的冲量矩

2

D

0

D

为



fdt

，即为

If

2

0

2

t

乒乓球对质心的转动惯量

I

c



2

2

D

mr(r)

,沿F方向的末速度为

v

F

，沿f方

32

向的末速度为

v

f

，末角速度为



。根据动量定理和角动量定理

I

F

mv

F

0

I

f

mv

f

0

D

I

f

I

c



0

2

解得

I

v

F



F

m

v

f



I

f

m





DI

f

2I

c



3I

f

mD

对于速度，在分析水平与竖直分量时还要将

v

F

与

v

f

分解到水平与竖直方向。

X，y分别表示水平和竖直方向，则可得：

v

x



v

F

sin





v

f

cos





I

I

F

sin





f

cos



mm

v

y



v

f

sin





v

F

cos





I

f

m

sin





I

F

cos



m

2.乒乓球在空中飞行受力分析

乒乓球在空中飞行主要温分为两段：一段从球拍击打到与球桌撞击；另一段

为与球桌撞击反弹后。虽然分为两段，但这两段的受力分析完全一致，因此我们

只讨论了第一段。

乒乓球在飞行过程中主要受到竖直向下的重力，竖直向上的浮力，与运动方

向相反的空气阻力。通常乒乓球在飞行过程中还会伴随着绕轴旋转，所以还要考

虑magnus力。



假设乒乓球只在xoy内运动。球速度为v与水平线成



角，转速为



(



)

，

2



自转轴垂直于xoy面。

重力：

Gmg

1

空气密度设为



，浮力

F

浮

C

d



Av

2

，

C

d

为与形状相关的阻力系数，A为

6

横截面积。

又有magnus力：

F

d

C

L



D

3



v

。

则运动方程



d

2

x1

3

m



C



Dfvsin





C

d



Av

2

cos



L



2



dt2



2



m

dy



mg



1



g



D

3



C



D

3



vcos





1

C



Av

2

sin



Ld



62



dt

2

即乒乓球在空中运动方程．

3.与球桌撞击反弹过程

与球桌撞击反弹过程讨论了两段飞行的末态与初态的关系．在球与球桌碰撞

过程中，乒乓球不仅受到球桌对球的弹力，还受到桌面对球的滑动和滚动摩擦力，

且滑动摩擦力远远大于滚动摩擦力，因此在计算摩擦力对球的影响时，滚动摩擦

力可忽略不计．

设乒乓球以质心速度

v

c

（

v

c

为第一轨迹的末速度)斜向撞在球桌上．

v

c

可沿x

和Y方向分解为

v

cx

(第一轨迹末速度x方向分量)和

v

cy

(第一轨迹末速度Y方向

分量，通常为负值)．u为反弹速度，它也可沿x和Y方向分解为

u

x

和

u

y

，设恢

复因数为e，滑动摩擦系数为



0

2



．

乒乓球做平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向弹力的冲量

t

t

设碰后角速度为



(



2



')

，



'

即

S

N





Ndt

和瞬时摩擦力的冲量

S

f







Ndt

．

0

0

为碰撞后的转速．

对滑动摩擦力的冲量

S

f

，方向的讨论也是必不可少，它的方向由滑动摩擦力

的方向确定．

设O点的速度为

v

0

，则

v

0

v

cx

r



0

．

当

v

0

0

，即

v

cx

r



0

时，o点相对于球桌向x正方向滑动，则

S

f

方向为x

负方向；

当

v

0

0

，即

v

cx

r



0

时，o点相对于球桌向x负方向滑动，则

S

f

方向为x

正方向．

因此，应分两种情况列方程：

① 考虑

v

0

0

的情况．由于

S

f

方向为x负方向，则

u

x

相对于

v

cx

变小，而此

方向的摩擦力力矩恰恰使转速加快，即to>to。．

根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，有

mu

x

mv

cx

S

f

mu

y

mv

cy

S

N

I

c



I

c



0

S

f

r

式中乒乓球对质心轴的转动惯量

I

c



2

2

mr

3

由恢复系数的定义可得出：

u

y

ev

cy

解得





u



v





v(e



1)

xcxcx







u

y



ev

cy







'







3



v

cy

(e



1)



4



r



②

v

0

0

，

S

f

方向为x正方向，那么

u

x

相对于

v

cx

变大，而此方向的摩擦力力

矩恰恰使转速减慢，即







0

．

同样根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，和①同理列出方程组，解得





u



v





v(e



1)

xcxcx







u

y



ev

cy







'







3



v

cy

(e



1)



4



r



这样两段飞行过程因碰撞而联系起来．

这样，只要给定系数和数据就可以对乒乓球进行仿真模拟计算。

2024年4月15日发(作者：籍柔惠)

乒乓球的运动是个复杂的物理过程，它包括球拍击打乒乓球、球在空中飞行、

与球桌碰撞并反弹这几个过程。为了计算乒乓球半径变化对乒乓球飞行速度的影

响，我们对乒乓球发球的过程进行仿真模拟计算。

1.球拍击打乒乓球过程分析

球拍击打乒乓球是一个复杂的物理过程，由于乒乓球受到球拍的力要远大于

浮力等其他力，因此我们主要考虑两个力——与拍面垂直的撞击力F和与拍面相

切的摩擦力f，并认为球拍击打乒乓球时初速度和初角速度为0.设乒乓球质量为

m，直径为D，拍形为前倾与水平成角，拍对球作用时间为

t

0

，挥拍速度为v。

t

0

t

0

F在时间

t

0

内冲量为



fdt

用

I

f

表示，

F

在时间

t

0

内的冲量为



Fdt

用

I

F

表示。

00

F

通过乒乓球的质心而与乒乓球相切，因此摩擦力f对乒乓球的质心而f与乒乓

D

球相切，因此摩擦力f对乒乓球产生一个力矩

f

，此力矩在时间

t

0

内的冲量矩

2

D

0

D

为



fdt

，即为

If

2

0

2

t

乒乓球对质心的转动惯量

I

c



2

2

D

mr(r)

,沿F方向的末速度为

v

F

，沿f方

32

向的末速度为

v

f

，末角速度为



。根据动量定理和角动量定理

I

F

mv

F

0

I

f

mv

f

0

D

I

f

I

c



0

2

解得

I

v

F



F

m

v

f



I

f

m





DI

f

2I

c



3I

f

mD

对于速度，在分析水平与竖直分量时还要将

v

F

与

v

f

分解到水平与竖直方向。

X，y分别表示水平和竖直方向，则可得：

v

x



v

F

sin





v

f

cos





I

I

F

sin





f

cos



mm

v

y



v

f

sin





v

F

cos





I

f

m

sin





I

F

cos



m

2.乒乓球在空中飞行受力分析

乒乓球在空中飞行主要温分为两段：一段从球拍击打到与球桌撞击；另一段

为与球桌撞击反弹后。虽然分为两段，但这两段的受力分析完全一致，因此我们

只讨论了第一段。

乒乓球在飞行过程中主要受到竖直向下的重力，竖直向上的浮力，与运动方

向相反的空气阻力。通常乒乓球在飞行过程中还会伴随着绕轴旋转，所以还要考

虑magnus力。



假设乒乓球只在xoy内运动。球速度为v与水平线成



角，转速为



(



)

，

2



自转轴垂直于xoy面。

重力：

Gmg

1

空气密度设为



，浮力

F

浮

C

d



Av

2

，

C

d

为与形状相关的阻力系数，A为

6

横截面积。

又有magnus力：

F

d

C

L



D

3



v

。

则运动方程



d

2

x1

3

m



C



Dfvsin





C

d



Av

2

cos



L



2



dt2



2



m

dy



mg



1



g



D

3



C



D

3



vcos





1

C



Av

2

sin



Ld



62



dt

2

即乒乓球在空中运动方程．

3.与球桌撞击反弹过程

与球桌撞击反弹过程讨论了两段飞行的末态与初态的关系．在球与球桌碰撞

过程中，乒乓球不仅受到球桌对球的弹力，还受到桌面对球的滑动和滚动摩擦力，

且滑动摩擦力远远大于滚动摩擦力，因此在计算摩擦力对球的影响时，滚动摩擦

力可忽略不计．

设乒乓球以质心速度

v

c

（

v

c

为第一轨迹的末速度)斜向撞在球桌上．

v

c

可沿x

和Y方向分解为

v

cx

(第一轨迹末速度x方向分量)和

v

cy

(第一轨迹末速度Y方向

分量，通常为负值)．u为反弹速度，它也可沿x和Y方向分解为

u

x

和

u

y

，设恢

复因数为e，滑动摩擦系数为



0

2



．

乒乓球做平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向弹力的冲量

t

t

设碰后角速度为



(



2



')

，



'

即

S

N





Ndt

和瞬时摩擦力的冲量

S

f







Ndt

．

0

0

为碰撞后的转速．

对滑动摩擦力的冲量

S

f

，方向的讨论也是必不可少，它的方向由滑动摩擦力

的方向确定．

设O点的速度为

v

0

，则

v

0

v

cx

r



0

．

当

v

0

0

，即

v

cx

r



0

时，o点相对于球桌向x正方向滑动，则

S

f

方向为x

负方向；

当

v

0

0

，即

v

cx

r



0

时，o点相对于球桌向x负方向滑动，则

S

f

方向为x

正方向．

因此，应分两种情况列方程：

① 考虑

v

0

0

的情况．由于

S

f

方向为x负方向，则

u

x

相对于

v

cx

变小，而此

方向的摩擦力力矩恰恰使转速加快，即to>to。．

根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，有

mu

x

mv

cx

S

f

mu

y

mv

cy

S

N

I

c



I

c



0

S

f

r

式中乒乓球对质心轴的转动惯量

I

c



2

2

mr

3

由恢复系数的定义可得出：

u

y

ev

cy

解得





u



v





v(e



1)

xcxcx







u

y



ev

cy







'







3



v

cy

(e



1)



4



r



②

v

0

0

，

S

f

方向为x正方向，那么

u

x

相对于

v

cx

变大，而此方向的摩擦力力

矩恰恰使转速减慢，即







0

．

同样根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，和①同理列出方程组，解得





u



v





v(e



1)

xcxcx







u

y



ev

cy







'







3



v

cy

(e



1)



4



r



这样两段飞行过程因碰撞而联系起来．

这样，只要给定系数和数据就可以对乒乓球进行仿真模拟计算。