2024年4月20日发(作者：荤盈盈)
导读：爱因斯坦场方程目前有哪些解，为什么场方程很难找到解？
接下来看看已知的爱因斯坦场方程解。
１、先看看什么是史瓦西解：史瓦西度规，又称史瓦西几何、史瓦西解，是卡尔·史
瓦西于1915年针对广义相对论的核心方程——爱因斯坦场方程——关于球
状物质分布的解。此解所对应的几何，可以是球状星球以外的时空，也可以是静
止不旋转、不带电荷之黑洞（称―史瓦西黑洞‖）的时空几何。 任何物体被压缩
成史瓦西度规将会形成黑洞。
史瓦西度规实际上是真空场方程的解析解，意思上表示其仅在引力来源物体以外
的地方能够成立。也就是说对一半径R之球状体，此解仅在ｒ>Ｒ时成立。然而，
若Ｒ少于史瓦西半径ｒ{displaystyle r_{s}}，此时解描述的是一个黑洞。为了
要描述引力来源物体内部与外部两者的引力场，史瓦西解必须跟一个适当的内部
解在ｒ等于Ｒ 处相洽。
注意到Ｍ趋于０当 或Ｒ趋于无限大Ｒ，史瓦西度规近似为闵可夫斯基时空。直
观上说，这样的结果是合理的：既然远离了引力来源物体，时空理应变得近乎平
直。具有这样性质的度规称作是―渐进平直。
２、什么叫雷斯勒-诺德斯特洛姆度规：雷斯勒-诺德斯特洛姆度规是广义相对
论中描述描述静态球对称带电物体的引力场的度规，是广义相对论的一个著名的
精确解，是雷斯勒（er）以及诺斯特朗姆首先提出的。具有这样的度
规形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特洛姆黑洞。
３、什么叫克尔解：广义相对论中，克尔度规或称克尔真空，描述的一旋转、球
对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何。其为广义相对论
的精确解。
克尔度规是史瓦西度规（1915年）的推广，后者用以描述静态不旋转、球对
称且不带电荷的庞大物体周遭真空区域的时空几何。在有带电荷的情形，史瓦西
度规转成雷斯勒-诺德斯特洛姆度规（1916年–1918年）。约瑟夫·冷泽和
汉斯·提尔苓曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直
到1963年方由罗伊·克尔提出精确解。但他并没有给出推导过程。1973年
Schiffer等人给出了克尔度规的推导。
克尔度规的带电荷版本为克尔-纽曼度规（1965年），以上四个相关的解可整
理为如下表格：
不旋转
(J = 0)
旋转
(J ≠ 0)
不带电荷
(Q = 0)
带电荷
(Q ≠ 0)
史瓦西度规
雷斯勒
-
诺德斯特洛姆度规
克尔度规
克尔
-
纽曼度规
４、什么叫弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规：罗伯逊-沃尔克度规是H.P.
罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明的。
按照宇宙学原理，在宇宙学尺度上天体系统最终要的特征之一是均匀性和各向同
性。H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明，适用于上述均匀性
和各向同性要求的四维时空只有3种
式中R(t)为宇宙标度因子，r，theta，phi是球坐标变量，t为宇宙时，k为空
间曲率。
k=1时，三维空间是球状的，总体积是有限的，其值为2R(t)。
k=-1时，三维空间是双曲空间，总体积是无限的。
k=0时，三维空间是平直的，总体积也是无限的。
由于宇宙膨胀的速率是时间函数，会随宇宙的几何特性而有不同，所以宇宙的形
状将会决定宇宙的终极命运。但值得留意的是，FRW度规是并不考虑暗能量的。
５、什么叫德西特宇宙：1917年，荷兰天文学家德西特继爱因斯坦之后提出
的一个宇宙模型。它与爱因斯坦静态宇宙模型一样，认为宇宙的空间不随时间而
变，故属静态型。但是，它又认为宇宙的物质有运动，不过物质的平均密度趋近
于零。在这些条件下，求解爱因斯坦引力场方程，得德西特静态时空度规。
６、什么叫哥德尔宇宙：哥德尔的宇宙表明，宇宙的旋转以一种极端的方式扭曲
了空间，以至于把时间都闭合了。哥德尔证明，这样的宇宙满足爱因斯坦场方程，
但不满足牛顿引力。
哥德尔的宇宙是一个不断旋转的宇宙。这种宇宙不膨胀，所有的物质都绕着一个
对称轴匀速转动。其中也包含了爱因斯坦的宇宙学常数，但不同的是，这里的宇
宙学常数小于零，因此产生的是引力，和物质的引力一起抵消了转动产生的离心
力。这本身就够有趣的了，但哥德尔的宇宙还有一个完全令人无法想象的性质：
它允许时间旅行。哥德尔证明，时空中的一些路径形成了闭合的回路。大多数人，
包括爱因斯坦，都相信这种事情应该违背了其他的物理定律，并且会导致科幻电
影里经常演到的逻辑悖论（例如，杀死婴儿时期的自己）。
７、什么叫托布-NUT度规：托布-NUT度规是一个爱因斯坦场方程的精确解，
为广义相对论的框架下所建构出的宇宙模型。
托布-NUT度规是由亚伯拉罕·哈斯克尔·托布（Abraham Haskel Taub）发现，
并由以斯拉·纽曼（Ezra T. Newman）、T. 昂蒂（T. Unti）和 L. 坦布里诺
（ino）拓展到更大的流形，其首字母缩写组成了―托布-NUT‖当中
的―NUT‖。托布的解是爱因斯坦方程在空的空间中的一个解，表达了一种一种
均匀却又各向异性的宇宙模型。
８、什么叫反反德西特空间：数学与物理学中，一个n维反德西特空间，标作
AdSn为一最大对称的洛伦兹流形，具有负常数的数量曲率。其为双曲空间的洛
伦兹类比，一如闵可夫斯基空间与德西特空间分别为欧几里得空间与椭圆空间的
类比。
反德西特空间最知名的应用是在AdS/CFT对偶。―德西特‖是以威廉·德西特
（1872–1934）为名，他与阿尔伯特·爱因斯坦于1920年代一同研究宇宙
中的时空结构。
以广义相对论的语言来说，反德西特空间为爱因斯坦场方程的最大对称真空解，
其带有负的（吸引性）的宇宙常数，对应到负的真空能量密度与正压力。
数学中，反德西特空间有时更广义地定义为一个具有任意度规标记(p, q)的空
间。物理学的情形中，一维类时维度才有意义。由于标记习惯的不同，可写作(n−1,
1)或(1, n−1)。
上面所有的，包括爱氏场方程推导和目前场方程著名的解，都是为我下面的推论
做铺垫，也是为大家学习提供资料。
总结一下你会发现，所有的解都是特殊的，这种特殊表现在―对称‖，―真空‖，―黑
洞‖，―趋于无限大，或无限小‖。有的是在解的基础上再解，比如史瓦西解发展
为克尔解。有的解是解的反面。
这时候你会说什么？ 一个词叫：―乱象丛生。‖正好描述这样的情况。
大的方向不对，大玩数学游戏，会使得我们越来越迷茫。去看看弦理论和无数种
黑洞性质的推想，就知道这样的情况有多严重。
我该庆幸我不懂高等数学，还是我该为自己不懂高等数学而羞耻。也许这不是我
自己可以评价的。就像我上面说的，不是我不相信数学，是我不相信理解宇宙的
纯粹的数学人。
摘自独立学者，诗人，作家，国学起名师灵遁者物理宇宙科普书籍《变化》
本文为摘录内容，全文如下：关于爱因斯坦场方程新解
2024年4月20日发(作者：荤盈盈)
导读：爱因斯坦场方程目前有哪些解，为什么场方程很难找到解？
接下来看看已知的爱因斯坦场方程解。
１、先看看什么是史瓦西解：史瓦西度规，又称史瓦西几何、史瓦西解，是卡尔·史
瓦西于1915年针对广义相对论的核心方程——爱因斯坦场方程——关于球
状物质分布的解。此解所对应的几何，可以是球状星球以外的时空，也可以是静
止不旋转、不带电荷之黑洞（称―史瓦西黑洞‖）的时空几何。 任何物体被压缩
成史瓦西度规将会形成黑洞。
史瓦西度规实际上是真空场方程的解析解，意思上表示其仅在引力来源物体以外
的地方能够成立。也就是说对一半径R之球状体，此解仅在ｒ>Ｒ时成立。然而，
若Ｒ少于史瓦西半径ｒ{displaystyle r_{s}}，此时解描述的是一个黑洞。为了
要描述引力来源物体内部与外部两者的引力场，史瓦西解必须跟一个适当的内部
解在ｒ等于Ｒ 处相洽。
注意到Ｍ趋于０当 或Ｒ趋于无限大Ｒ，史瓦西度规近似为闵可夫斯基时空。直
观上说，这样的结果是合理的：既然远离了引力来源物体，时空理应变得近乎平
直。具有这样性质的度规称作是―渐进平直。
２、什么叫雷斯勒-诺德斯特洛姆度规：雷斯勒-诺德斯特洛姆度规是广义相对
论中描述描述静态球对称带电物体的引力场的度规，是广义相对论的一个著名的
精确解，是雷斯勒（er）以及诺斯特朗姆首先提出的。具有这样的度
规形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特洛姆黑洞。
３、什么叫克尔解：广义相对论中，克尔度规或称克尔真空，描述的一旋转、球
对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何。其为广义相对论
的精确解。
克尔度规是史瓦西度规（1915年）的推广，后者用以描述静态不旋转、球对
称且不带电荷的庞大物体周遭真空区域的时空几何。在有带电荷的情形，史瓦西
度规转成雷斯勒-诺德斯特洛姆度规（1916年–1918年）。约瑟夫·冷泽和
汉斯·提尔苓曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直
到1963年方由罗伊·克尔提出精确解。但他并没有给出推导过程。1973年
Schiffer等人给出了克尔度规的推导。
克尔度规的带电荷版本为克尔-纽曼度规（1965年），以上四个相关的解可整
理为如下表格：
不旋转
(J = 0)
旋转
(J ≠ 0)
不带电荷
(Q = 0)
带电荷
(Q ≠ 0)
史瓦西度规
雷斯勒
-
诺德斯特洛姆度规
克尔度规
克尔
-
纽曼度规
４、什么叫弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规：罗伯逊-沃尔克度规是H.P.
罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明的。
按照宇宙学原理，在宇宙学尺度上天体系统最终要的特征之一是均匀性和各向同
性。H.P.罗伯逊和沃尔克分别于1935年和1936年证明，适用于上述均匀性
和各向同性要求的四维时空只有3种
式中R(t)为宇宙标度因子，r，theta，phi是球坐标变量，t为宇宙时，k为空
间曲率。
k=1时，三维空间是球状的，总体积是有限的，其值为2R(t)。
k=-1时，三维空间是双曲空间，总体积是无限的。
k=0时，三维空间是平直的，总体积也是无限的。
由于宇宙膨胀的速率是时间函数，会随宇宙的几何特性而有不同，所以宇宙的形
状将会决定宇宙的终极命运。但值得留意的是，FRW度规是并不考虑暗能量的。
５、什么叫德西特宇宙：1917年，荷兰天文学家德西特继爱因斯坦之后提出
的一个宇宙模型。它与爱因斯坦静态宇宙模型一样，认为宇宙的空间不随时间而
变，故属静态型。但是，它又认为宇宙的物质有运动，不过物质的平均密度趋近
于零。在这些条件下，求解爱因斯坦引力场方程，得德西特静态时空度规。
６、什么叫哥德尔宇宙：哥德尔的宇宙表明，宇宙的旋转以一种极端的方式扭曲
了空间，以至于把时间都闭合了。哥德尔证明，这样的宇宙满足爱因斯坦场方程，
但不满足牛顿引力。
哥德尔的宇宙是一个不断旋转的宇宙。这种宇宙不膨胀，所有的物质都绕着一个
对称轴匀速转动。其中也包含了爱因斯坦的宇宙学常数，但不同的是，这里的宇
宙学常数小于零，因此产生的是引力，和物质的引力一起抵消了转动产生的离心
力。这本身就够有趣的了，但哥德尔的宇宙还有一个完全令人无法想象的性质：
它允许时间旅行。哥德尔证明，时空中的一些路径形成了闭合的回路。大多数人，
包括爱因斯坦，都相信这种事情应该违背了其他的物理定律，并且会导致科幻电
影里经常演到的逻辑悖论（例如，杀死婴儿时期的自己）。
７、什么叫托布-NUT度规：托布-NUT度规是一个爱因斯坦场方程的精确解，
为广义相对论的框架下所建构出的宇宙模型。
托布-NUT度规是由亚伯拉罕·哈斯克尔·托布（Abraham Haskel Taub）发现，
并由以斯拉·纽曼（Ezra T. Newman）、T. 昂蒂（T. Unti）和 L. 坦布里诺
（ino）拓展到更大的流形，其首字母缩写组成了―托布-NUT‖当中
的―NUT‖。托布的解是爱因斯坦方程在空的空间中的一个解，表达了一种一种
均匀却又各向异性的宇宙模型。
８、什么叫反反德西特空间：数学与物理学中，一个n维反德西特空间，标作
AdSn为一最大对称的洛伦兹流形，具有负常数的数量曲率。其为双曲空间的洛
伦兹类比，一如闵可夫斯基空间与德西特空间分别为欧几里得空间与椭圆空间的
类比。
反德西特空间最知名的应用是在AdS/CFT对偶。―德西特‖是以威廉·德西特
（1872–1934）为名，他与阿尔伯特·爱因斯坦于1920年代一同研究宇宙
中的时空结构。
以广义相对论的语言来说，反德西特空间为爱因斯坦场方程的最大对称真空解，
其带有负的（吸引性）的宇宙常数，对应到负的真空能量密度与正压力。
数学中，反德西特空间有时更广义地定义为一个具有任意度规标记(p, q)的空
间。物理学的情形中，一维类时维度才有意义。由于标记习惯的不同，可写作(n−1,
1)或(1, n−1)。
上面所有的，包括爱氏场方程推导和目前场方程著名的解，都是为我下面的推论
做铺垫，也是为大家学习提供资料。
总结一下你会发现，所有的解都是特殊的，这种特殊表现在―对称‖，―真空‖，―黑
洞‖，―趋于无限大，或无限小‖。有的是在解的基础上再解，比如史瓦西解发展
为克尔解。有的解是解的反面。
这时候你会说什么？ 一个词叫：―乱象丛生。‖正好描述这样的情况。
大的方向不对，大玩数学游戏，会使得我们越来越迷茫。去看看弦理论和无数种
黑洞性质的推想，就知道这样的情况有多严重。
我该庆幸我不懂高等数学，还是我该为自己不懂高等数学而羞耻。也许这不是我
自己可以评价的。就像我上面说的，不是我不相信数学，是我不相信理解宇宙的
纯粹的数学人。
摘自独立学者，诗人，作家，国学起名师灵遁者物理宇宙科普书籍《变化》
本文为摘录内容，全文如下：关于爱因斯坦场方程新解