2024年4月21日发(作者：羊尔柳)
考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷1
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列命题中不正确的是
A．如A是n阶矩阵，则(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)．
B．如A，B均是n×1矩阵，则ATB=BTA．
C．如A，B均是n阶矩阵，且AB=0，则(A+B)2=A2+B2．
D．如A是n阶矩阵，则AmAk=AkAm．
正确答案：C
解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是A2一E，而(D)是因乘法有
结合律，两乘积都是Am+k，故(A)，(D)都正确． 关于(B)，由于ATB，BTA都
是1×1矩阵，而1阶矩阵的转置仍是其自身，故ATB=(ATB)T=BTA亦正确．唯
(C)中，从AB=0还不能保证必有BA=0，例如A=，则AB=，因此，(C)不正确．选
(C)． 知识模块：矩阵及其运算
2． 已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得B，再把B的第
1列的一2倍加至第3列得C，则满足PA－1=C－1的矩阵P为
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：对矩阵A作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘A，故应
选(B)． 知识模块：矩阵及其运算
3． 设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=．若P=(α1，
α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ=
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：对矩阵P作一次初等列变换：把第2列加至第1列，便可得到矩阵Q．若
记E12(1)=，则Q=PE12(1)．那么QTAQ=[PE12(1)]TA[PE12(1)]=(1)(PTAP)E12(1)
所以应选(A)． 知识模块：矩阵及其运算
4． 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，
±1，则必有(kA)*=
A．kA*．
B．kn－1A*．
C．knA*．
D．k－1A*．
正确答案：B
解析：由于kA=(kaij)，故行列式｜kA｜的代数余子式按定义为再根据伴随
矩阵的定义知应选(B)． 知识模块：矩阵及其运算
5． 设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：由于CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题
不妨附加条件A，b可逆，那么 知识模块：矩阵及其运算
6． 设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有
A．CBA=E．
B．BCA=E．
C．BAC=E．
D．ACB=E．
正确答案：B
解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由
于乘法不一定能交换，故其余不恒成立． 知识模块：矩阵及其运算
7． 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，
则B—C=
A．E．
B．一E．
C．A．
D．一A．
正确答案：A
解析：由 B=E+AB(E一A)B=EB=(E—A)－1； C=A+CAC(E—
A)=AC=A(E—A)－1(或C=AB)．那么B—C=(E一A)－1－A(E—A)－1=(E—A)(E
一A)－1=E(或B—C=B—AB=E)．故选(A)． 知识模块：矩阵及其运算
填空题
8． 设A，B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是__________．
正确答案：AB=BA
解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵．例如而AB对称
AB=BTAT=BA．所以应填：AB=BA． 知识模块：矩阵及其运算
9． 设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ
=___________．
正确答案：5
解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，
a3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以
αTβ=1+6+(－2)=5． 知识模块：矩阵及其运算
10． 设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________．
正确答案：
解析：由于A=αβT==2．所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βT
α)βT=4αβT=4A= 知识模块：矩阵及其运算
11． 已知A=， 则An=___________．
正确答案：
解析：由于A=λE+J，其中J=，而进而知 J4=J5=…=0．于是 知识模块：
矩阵及其运算
12． 已知A=，则An=__________．
正确答案：
解析：对A分块为则 B=3E+J，由于J3=J4=…=0，于是Bn=(3E+J)n=3nE+3n
－2J2．而 C=(3，－1)，C2=6C，…，Cn=6n－1C，所以 知识模块：矩阵及
其运算
13． 设A=，则A2013一2A2012=___________．
正确答案：0
解析：由于A2013一2A2012=(A一2E)A2012，而A一2E=试乘易见 (A
一2E)A=0，从而A2013一2A2012=0． 知识模块：矩阵及其运算
14． 已知PA=BP，其中P=，则A2012=__________．
正确答案：E
解析：因为矩阵P可逆，由PA=BP得A=P－1BP．那么A2=(P－1BP)(P－
1BP)=P－1B(PP－1)BP=P－1B2P．归纳地 A2012=P－1B2012P．因为，易见
B2012=E．所以 A2012=P－1EP=E． 知识模块：矩阵及其运算
15． 已知2CA一2AB=C—B，其中A=，则C3=____________．
正确答案：
解析：由2CA一2AB=C－B得2CA一C=2AB—
B．故有C(2A—E)=(2A—E)
B．因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)－1．那么 C3=(2A—
E)B3(2A—E)－1 知识模块：矩阵及其运算
16． 已知A=，则An=___________．
正确答案：
解析：先求A的特征值与特征向量．由对λ=0，由(0E—A)x=0，解出α1=；
对λ=6，由(6E—A)x=0，解出α2=令P=．而A=PAP－1，于是 知识模块：矩阵
及其运算
17． =___________．
正确答案：
解析：E12=是初等矩阵，左乘A=所得E12A是A作初等行变换(1，2两行
对换)，而E122011A表示A作了奇数次的1，2两行对换，相当于矩阵A作了一
次1，2两行对换，故而右乘E13是作1，3两列对换，由于是偶数次对换，因
而结果不变，即为所求． 知识模块：矩阵及其运算
18． 设A=，(A－1)*是A－1的伴随矩阵，则(A－1)*=__________．
正确答案：
解析：因为A－1.(A－1)*=｜A－1｜E，有(A－1)*=｜A－1｜A=A．本题｜
A｜=6，所以(A－1)*= 知识模块：矩阵及其运算
19． 已知n阶行列式｜A｜=，则｜A｜的第k行代数余子式的和
Ak1+Ak2+…+Akn=___________．
正确答案：
解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式
与伴随矩阵A*有密切的联系，而A*与A－1又密不可分．对于A用分块技巧，
很容易求出A－1．由于又因A*=｜A｜A－1，那么可见 Ak1+Ak2+…+Akn=
知识模块：矩阵及其运算
20． (Ⅰ)已知A=，则(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，则A－
1=____________．(Ⅲ)设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A
一2B，B=，则(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)
－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，则(E+A+A2)－1=____________．
正确答案：
解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有 AB+2B=A+2E
一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E
一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A) =(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－
1，故 (B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E． 知识模块：
矩阵及其运算
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21． 设A=，则A*的值．
正确答案： 涉及知识点：矩阵及其运算
22． 已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明A－B2是对称矩
阵．
正确答案：因为A—B2=A一BB=A+BTB，则有(A一
B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A一B2．所以A一B2是对称矩
阵． 涉及知识点：矩阵及其运算
23． 证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵．
正确答案：设A=(aij)，B=(bij)都是n阶上三角矩阵．对AB=C=(cij)，按矩
阵乘法定义，有cij=ai1b1j+…+aii－1bi－1j+aiibij+aii+1bi+1j+…+ainbnj．由于A
是上三角矩阵，则 ai1=ai2=…=aii－1=0．因为B是上三角矩阵，当i＞j时，有
bij=bi+1j=…=bnj=0．因此，当i＞j时，cij中的每一项都为0，从而cij=0．即AB
是上三角矩阵． 涉及知识点：矩阵及其运算
24． 某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调30％
的人参加培训，而参加培训的职工中有60％的人结业回岗，假设现有在岗职工
800人，参加培训人员是200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假
设职工人数不变)?
正确答案：用xi，yi分别表示i年后在岗与脱产职工的人数，x0，y0为目前
在岗与脱产的人数，则所以，两年后在岗职工668人，培训人员332人． 涉
及知识点：矩阵及其运算
25． 已知A=证明A2=lA，并求l．
正确答案：因为A中任两行、任两列都成比例，故可把A分解成两个矩阵
相乘，即A=(b1，b2，b3)，那么，由矩阵乘法的结合律，有A2=(b1，b2，b3)．由
于(b1，b2，b3)=a1b1+a2b2+a3b3是1×1矩阵，是一个数，记为l，则有
A2=lA． 涉及知识点：矩阵及其运算
26． 已知A，B及A，C都可交换，证明A，B，C是同阶矩阵，且A与
BC可交换．
正确答案：设A是m×n矩阵，由AB可乘，故可设B是n×s矩阵．又因
BA可乘，所以m=s．那么AB是m阶矩阵，BA是n阶矩阵．从A和B可交换，
即AB=BA，得m=n，即A，B是同阶矩阵，同理，C与A，B也同阶，由结合
律，有A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以，A与BC可交
换． 涉及知识点：矩阵及其运算
27． 求与A=可交换的矩阵．
正确答案：设，则有高斯消元，解出x1=2t+u， x2=2t， x3=t， x4=u．所
以为所求． 涉及知识点：矩阵及其运算
28． 已知A=，其中a1，a2，…，an两两不等．证明与A可交换的矩阵只
能是对角矩阵．
正确答案：设A与A可交换，并对A分别按列(行)分块，记为那么ajaij=aiaij，
又因ai≠aj，可见aij=0(i≠j)，即A是对角矩阵． 涉及知识点：矩阵及其
运算
29． 已知矩阵A=，求可逆矩阵P和Q，使PAQ=
B．
正确答案：对A作初等变换，有 涉及知识点：矩阵及其运算
30． 设A为n阶可逆矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n－2A．
正确答案：用伴随矩阵A*替换关系式AA*=｜A｜E中的矩阵A，得到
A*(A*)*=｜A*｜E．由于｜A*｜=｜A｜n－1，从A可逆知A*可逆．又因(A*)
－1=，于是得到(A*)*=｜A*｜(A*)－1=｜A｜n－1.=｜A｜n－2A． 涉及
知识点：矩阵及其运算
31． 设A是n阶正交矩阵，证明A*也是正交矩阵．
正确答案：由AAT=E，从行列式乘法公式知｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=1．又
因A－1=AT，于是A*=｜A｜A－1=｜A｜ AT，那么A*(A*)T=｜A｜AT.｜A｜
A=｜A｜2ATA=E．类似地(A*)TA*=E．所以，A*是正交矩阵． 涉及知识
点：矩阵及其运算
32． 已知A是3阶非零矩阵，且aij=Aij(=1，2，3)，证明A可逆，并求｜
A｜．
正确答案：因为A是非零矩阵，不妨设a11≠0，那么按第一行展开，并将
aij=Aij代入，即有｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=＞0，所以，A可逆．即AT=A*，
那么对AA*=｜A｜E两边取行列式，有｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜｜A｜E｜=｜
A｜3，得｜A｜2(｜A｜－1)=0．从而｜A｜=1． 涉及知识点：矩阵及其
运算
33． 求A=的逆矩阵．
正确答案：用伴随矩阵(2．10)，得所以 A*= 涉及知识点：矩阵及
其运算
34． 已知A是n阶对称矩阵，且A可逆，如(A—B)2=E，化简(E+A－1BT)T(E
一BA－1)－1．
正确答案：原式=[ET+(A－1BT)T][AA－1一BA－1]－1=[E+B(A－1)T][(A
—B)A－1]－1=[E+B(AT)－1]A(A一B)－1=(E+BA－1)A(A一B)=(A+B)(A一
B)． 涉及知识点：矩阵及其运算
35． 设A是n阶矩阵，若A2=A，证明A+E可逆．
正确答案：由于A2=A，故A2一A一2E=－2E，那么(A+E)(A一2E)=－2E，
即 (A+E)=E，按定义可知A+E可逆． 涉及知识点：矩阵及其运算
2024年4月21日发(作者：羊尔柳)
考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷1
(题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 下列命题中不正确的是
A．如A是n阶矩阵，则(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)．
B．如A，B均是n×1矩阵，则ATB=BTA．
C．如A，B均是n阶矩阵，且AB=0，则(A+B)2=A2+B2．
D．如A是n阶矩阵，则AmAk=AkAm．
正确答案：C
解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是A2一E，而(D)是因乘法有
结合律，两乘积都是Am+k，故(A)，(D)都正确． 关于(B)，由于ATB，BTA都
是1×1矩阵，而1阶矩阵的转置仍是其自身，故ATB=(ATB)T=BTA亦正确．唯
(C)中，从AB=0还不能保证必有BA=0，例如A=，则AB=，因此，(C)不正确．选
(C)． 知识模块：矩阵及其运算
2． 已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得B，再把B的第
1列的一2倍加至第3列得C，则满足PA－1=C－1的矩阵P为
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：对矩阵A作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘A，故应
选(B)． 知识模块：矩阵及其运算
3． 设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=．若P=(α1，
α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ=
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：对矩阵P作一次初等列变换：把第2列加至第1列，便可得到矩阵Q．若
记E12(1)=，则Q=PE12(1)．那么QTAQ=[PE12(1)]TA[PE12(1)]=(1)(PTAP)E12(1)
所以应选(A)． 知识模块：矩阵及其运算
4． 设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，
±1，则必有(kA)*=
A．kA*．
B．kn－1A*．
C．knA*．
D．k－1A*．
正确答案：B
解析：由于kA=(kaij)，故行列式｜kA｜的代数余子式按定义为再根据伴随
矩阵的定义知应选(B)． 知识模块：矩阵及其运算
5． 设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：由于CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题
不妨附加条件A，b可逆，那么 知识模块：矩阵及其运算
6． 设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有
A．CBA=E．
B．BCA=E．
C．BAC=E．
D．ACB=E．
正确答案：B
解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由
于乘法不一定能交换，故其余不恒成立． 知识模块：矩阵及其运算
7． 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，
则B—C=
A．E．
B．一E．
C．A．
D．一A．
正确答案：A
解析：由 B=E+AB(E一A)B=EB=(E—A)－1； C=A+CAC(E—
A)=AC=A(E—A)－1(或C=AB)．那么B—C=(E一A)－1－A(E—A)－1=(E—A)(E
一A)－1=E(或B—C=B—AB=E)．故选(A)． 知识模块：矩阵及其运算
填空题
8． 设A，B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是__________．
正确答案：AB=BA
解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵．例如而AB对称
AB=BTAT=BA．所以应填：AB=BA． 知识模块：矩阵及其运算
9． 设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ
=___________．
正确答案：5
解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，
a3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以
αTβ=1+6+(－2)=5． 知识模块：矩阵及其运算
10． 设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________．
正确答案：
解析：由于A=αβT==2．所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βT
α)βT=4αβT=4A= 知识模块：矩阵及其运算
11． 已知A=， 则An=___________．
正确答案：
解析：由于A=λE+J，其中J=，而进而知 J4=J5=…=0．于是 知识模块：
矩阵及其运算
12． 已知A=，则An=__________．
正确答案：
解析：对A分块为则 B=3E+J，由于J3=J4=…=0，于是Bn=(3E+J)n=3nE+3n
－2J2．而 C=(3，－1)，C2=6C，…，Cn=6n－1C，所以 知识模块：矩阵及
其运算
13． 设A=，则A2013一2A2012=___________．
正确答案：0
解析：由于A2013一2A2012=(A一2E)A2012，而A一2E=试乘易见 (A
一2E)A=0，从而A2013一2A2012=0． 知识模块：矩阵及其运算
14． 已知PA=BP，其中P=，则A2012=__________．
正确答案：E
解析：因为矩阵P可逆，由PA=BP得A=P－1BP．那么A2=(P－1BP)(P－
1BP)=P－1B(PP－1)BP=P－1B2P．归纳地 A2012=P－1B2012P．因为，易见
B2012=E．所以 A2012=P－1EP=E． 知识模块：矩阵及其运算
15． 已知2CA一2AB=C—B，其中A=，则C3=____________．
正确答案：
解析：由2CA一2AB=C－B得2CA一C=2AB—
B．故有C(2A—E)=(2A—E)
B．因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)－1．那么 C3=(2A—
E)B3(2A—E)－1 知识模块：矩阵及其运算
16． 已知A=，则An=___________．
正确答案：
解析：先求A的特征值与特征向量．由对λ=0，由(0E—A)x=0，解出α1=；
对λ=6，由(6E—A)x=0，解出α2=令P=．而A=PAP－1，于是 知识模块：矩阵
及其运算
17． =___________．
正确答案：
解析：E12=是初等矩阵，左乘A=所得E12A是A作初等行变换(1，2两行
对换)，而E122011A表示A作了奇数次的1，2两行对换，相当于矩阵A作了一
次1，2两行对换，故而右乘E13是作1，3两列对换，由于是偶数次对换，因
而结果不变，即为所求． 知识模块：矩阵及其运算
18． 设A=，(A－1)*是A－1的伴随矩阵，则(A－1)*=__________．
正确答案：
解析：因为A－1.(A－1)*=｜A－1｜E，有(A－1)*=｜A－1｜A=A．本题｜
A｜=6，所以(A－1)*= 知识模块：矩阵及其运算
19． 已知n阶行列式｜A｜=，则｜A｜的第k行代数余子式的和
Ak1+Ak2+…+Akn=___________．
正确答案：
解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式
与伴随矩阵A*有密切的联系，而A*与A－1又密不可分．对于A用分块技巧，
很容易求出A－1．由于又因A*=｜A｜A－1，那么可见 Ak1+Ak2+…+Akn=
知识模块：矩阵及其运算
20． (Ⅰ)已知A=，则(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，则A－
1=____________．(Ⅲ)设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A
一2B，B=，则(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)
－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，则(E+A+A2)－1=____________．
正确答案：
解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有 AB+2B=A+2E
一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E
一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A) =(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－
1，故 (B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E． 知识模块：
矩阵及其运算
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21． 设A=，则A*的值．
正确答案： 涉及知识点：矩阵及其运算
22． 已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明A－B2是对称矩
阵．
正确答案：因为A—B2=A一BB=A+BTB，则有(A一
B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A一B2．所以A一B2是对称矩
阵． 涉及知识点：矩阵及其运算
23． 证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵．
正确答案：设A=(aij)，B=(bij)都是n阶上三角矩阵．对AB=C=(cij)，按矩
阵乘法定义，有cij=ai1b1j+…+aii－1bi－1j+aiibij+aii+1bi+1j+…+ainbnj．由于A
是上三角矩阵，则 ai1=ai2=…=aii－1=0．因为B是上三角矩阵，当i＞j时，有
bij=bi+1j=…=bnj=0．因此，当i＞j时，cij中的每一项都为0，从而cij=0．即AB
是上三角矩阵． 涉及知识点：矩阵及其运算
24． 某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调30％
的人参加培训，而参加培训的职工中有60％的人结业回岗，假设现有在岗职工
800人，参加培训人员是200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假
设职工人数不变)?
正确答案：用xi，yi分别表示i年后在岗与脱产职工的人数，x0，y0为目前
在岗与脱产的人数，则所以，两年后在岗职工668人，培训人员332人． 涉
及知识点：矩阵及其运算
25． 已知A=证明A2=lA，并求l．
正确答案：因为A中任两行、任两列都成比例，故可把A分解成两个矩阵
相乘，即A=(b1，b2，b3)，那么，由矩阵乘法的结合律，有A2=(b1，b2，b3)．由
于(b1，b2，b3)=a1b1+a2b2+a3b3是1×1矩阵，是一个数，记为l，则有
A2=lA． 涉及知识点：矩阵及其运算
26． 已知A，B及A，C都可交换，证明A，B，C是同阶矩阵，且A与
BC可交换．
正确答案：设A是m×n矩阵，由AB可乘，故可设B是n×s矩阵．又因
BA可乘，所以m=s．那么AB是m阶矩阵，BA是n阶矩阵．从A和B可交换，
即AB=BA，得m=n，即A，B是同阶矩阵，同理，C与A，B也同阶，由结合
律，有A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以，A与BC可交
换． 涉及知识点：矩阵及其运算
27． 求与A=可交换的矩阵．
正确答案：设，则有高斯消元，解出x1=2t+u， x2=2t， x3=t， x4=u．所
以为所求． 涉及知识点：矩阵及其运算
28． 已知A=，其中a1，a2，…，an两两不等．证明与A可交换的矩阵只
能是对角矩阵．
正确答案：设A与A可交换，并对A分别按列(行)分块，记为那么ajaij=aiaij，
又因ai≠aj，可见aij=0(i≠j)，即A是对角矩阵． 涉及知识点：矩阵及其
运算
29． 已知矩阵A=，求可逆矩阵P和Q，使PAQ=
B．
正确答案：对A作初等变换，有 涉及知识点：矩阵及其运算
30． 设A为n阶可逆矩阵，证明：(A*)*=｜A｜n－2A．
正确答案：用伴随矩阵A*替换关系式AA*=｜A｜E中的矩阵A，得到
A*(A*)*=｜A*｜E．由于｜A*｜=｜A｜n－1，从A可逆知A*可逆．又因(A*)
－1=，于是得到(A*)*=｜A*｜(A*)－1=｜A｜n－1.=｜A｜n－2A． 涉及
知识点：矩阵及其运算
31． 设A是n阶正交矩阵，证明A*也是正交矩阵．
正确答案：由AAT=E，从行列式乘法公式知｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=1．又
因A－1=AT，于是A*=｜A｜A－1=｜A｜ AT，那么A*(A*)T=｜A｜AT.｜A｜
A=｜A｜2ATA=E．类似地(A*)TA*=E．所以，A*是正交矩阵． 涉及知识
点：矩阵及其运算
32． 已知A是3阶非零矩阵，且aij=Aij(=1，2，3)，证明A可逆，并求｜
A｜．
正确答案：因为A是非零矩阵，不妨设a11≠0，那么按第一行展开，并将
aij=Aij代入，即有｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=＞0，所以，A可逆．即AT=A*，
那么对AA*=｜A｜E两边取行列式，有｜A｜2=｜A｜.｜AT｜=｜｜A｜E｜=｜
A｜3，得｜A｜2(｜A｜－1)=0．从而｜A｜=1． 涉及知识点：矩阵及其
运算
33． 求A=的逆矩阵．
正确答案：用伴随矩阵(2．10)，得所以 A*= 涉及知识点：矩阵及
其运算
34． 已知A是n阶对称矩阵，且A可逆，如(A—B)2=E，化简(E+A－1BT)T(E
一BA－1)－1．
正确答案：原式=[ET+(A－1BT)T][AA－1一BA－1]－1=[E+B(A－1)T][(A
—B)A－1]－1=[E+B(AT)－1]A(A一B)－1=(E+BA－1)A(A一B)=(A+B)(A一
B)． 涉及知识点：矩阵及其运算
35． 设A是n阶矩阵，若A2=A，证明A+E可逆．
正确答案：由于A2=A，故A2一A一2E=－2E，那么(A+E)(A一2E)=－2E，
即 (A+E)=E，按定义可知A+E可逆． 涉及知识点：矩阵及其运算