2024年4月22日发(作者：贡沛)
用三比特GHZ态实现量子稠密编码的方案
麦麦提依明·吐孙;日比古·买买提明;阿力木·阿布都拉
【摘 要】This article introduced the scheme of Zhang San and Li Si has a
pair of three bits largest entangled Greenberger - Horne - Zeilinger state
( GHZ state) to achieve a quantum dense coding, through this scheme will
help realize quantum dense coding in multibody system. This article also
introduces simple method of any three bits system’ s density matrix
reduces to two bits density matrix.%文章介绍了考虑张三和李四拥有一对三比
特最大纠缠态Greenberger–Horne–Zeilinger态（简称GHZ态）来实现量子稠
密编码的一种方案，通过此方案有助于研究多体系统中实现量子稠密编码。文章中
还介绍从任意三比特系统的密度矩阵约化到两体系统密度矩阵的简单方法。
【期刊名称】《新疆师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【总页数】6页(P65-70)
【关键词】纠缠态;稠密编码;幺正变换;约化密度矩阵
【作 者】麦麦提依明·吐孙;日比古·买买提明;阿力木·阿布都拉
【作者单位】新疆师范大学 物理与电子工程学院，新疆 乌鲁木齐830054;新疆莎
车县城南双语实验高中，新疆 喀什844700;新疆师范大学 物理与电子工程学院，
新疆 乌鲁木齐830054
【正文语种】中 文
【中图分类】O431.2
量子纠缠在量子信息处理过程中起着重要作用，而且量子纠缠的研究对量子信息论
的发展有重大的意义［1-5］，因为它在量子信息处理过程中的核心资源，如量子
隐形传态［6］，量子稠密编码［7］，量子密钥分配［8］等等。量子稠密编码是
目前量子通讯中引起人们关注的研究热点之一，量子稠密编码最早的协议是
Bennett和Wiesner提出来的［7］，所谓的量子稠密编码是通过量子纠缠，传送
一个量子比特的信息量大于一个经典比特的信息量，而且只使用一个量子比特就可
以发送两个比特的经典信息，没有纠缠态的帮助此过程无法实现。近年来，量子稠
密编码在理论上［9-13］和实验上［14］都取得了一定的进展，而且发展迅速，
取得了很大的成就。Haus1aden等［15］人讨论了从两态系统的稠密编码方案推
广到N态系统的稠密编码方案。文章中推导了用GHZ态实现量子稠密编码的方案
和相应的相互正交的幺正变换矩阵，最后介绍了从任意三比特系统的密度矩阵推导
两比特系统约化密度矩阵的简单方法。在量子信息理论研究中计算多体系统中的密
度矩阵是比较难的问题，所以研究三比特系统的量子稠密编码和推导任意三比特系
统中约化密度矩阵对多体系统的理论研究具有一定的参考价值。
假定张三和李四需要相互通信，并已经拥有一对最大纠缠粒子+|111〉），AB粒
子属于张三，C粒子属于李四，张三需要把3比特的经典信息发送给李四。
三比特量子信道稠密编码［12］的过程为：首先，张三把这3比特的经典信息进
行编码，用0，1，2，3，4，5，6，7表示，分别对应000，001，010，011，
100，101，110，111。
张三对AB粒子进行幺正变换，表1给出张三对AB粒子的操作以及相应变化结果。
然后，张三把AB粒子发送给李四，李四对三个粒子执行幺正变换（当A粒子
（或者B粒子）为1时，对C粒子进行翻转，但是只能选择一个。即对两粒子进
行受控非操作，此处选择对BC粒子进行受控非操作（| 00〉〈00|+|10〉〈10|）
⊗I+（|01〉〈01|+|11〉〈11|）⊗σx），幺正变换的矩阵可表示为，变换后的结
果如表2所示。
现在李四可以在不破坏AB粒子态的情况下对C粒子进行测量。若李四对C粒子
的测量结果是|0〉，则编码的数字可能是0，2，4或6；若测量结果是|1〉，则编
码的数字可能是1，3，5或7。然后，李四对AB粒子执行受控非变换，受控非变
换的矩阵表示为，变换后的结果如表3所示。
然后李四再对A粒子进行Hadamard变换，Hadamard变换的矩阵表示是，变
换后的结果如表4所示。
所以，当李四对A粒子进行Hadamard变换后进行测量，根据测量结果就可以完
全确定张三传送的是哪一个编码数字，从而得出正确的解码结果。现将解码结果总
结如表5所示。
在三比特信道量子稠密编码方案中，对两比特量子纠缠态进行编码来实现3比特
经典信息的传送。按照文献［15，16］的相互正交的幺正变换公示在三比特系统
中实现两字稠密编码的幺正变换可以表示为：
U000|mn〉=|mn〉 U001|mn〉=|m〉⊗|n+1（mod2）〉
U010|mn〉=eiπm|m〉⊗|n〉 U011|mn〉=eiπm|m〉⊗|n+1（mod2）〉
U100|mn〉=|m+1（mod2）〉⊗|n〉 U101|mn〉=|m+1（mod2）〉⊗|n+1
（mod2）〉
U110|mn〉=eiπm|m+1（mod2）〉⊗|n〉 U111|mn〉=eiπm|m+1（mod2）〉
⊗|n+1（mod2）〉
其中，|mn〉=|m〉⊗|n〉，（m，n=0，1）。具体的幺正变换矩阵［16］是：
U000=Ι⊗Ι；U001=Ι⊗σx；U010=σz⊗Ι；U011=σz⊗σx；
U100=σx⊗Ι；U101=σx⊗σx；U110=-iσy⊗Ι；U111=-iσy⊗σx
编码以后的量子态可以表示为：
在此方案中，利用两个量子比特纠缠态实现了3比特经典信息的传送，因此得出
来的最大信道容量应该是3，是经典信道容量的1.5倍。Ui是作用在第1，2两个
量子比特上的幺正变换。信道容量还是用Ho1evo量［17，18］表示：
任意个三比特系统密度矩阵在标准基下的矩阵可以表示为：
然后把任意个三体系统A，B和C的密度矩阵用矩阵元表示为：
矩阵求迹的定义为：
是正交基，部分求迹的约化密度矩阵［19］表示为：
其中
按照上式AB系统的约化密度矩阵表示为：
通过研究三比特系统中实现量子稠密编码的方案，得出三比特系统跟两比特系统同
样适合用纠缠态来实现稠密编码，同时研究多体系统具有一定的理论依据。还推导
了三比特密度矩阵推导两比特约化密度矩阵的简单公式，此结果有助于理论研究者
把复杂的多体系统的情形简化到两体系统的情况来研究多体系统，具有一定的参考
价值。
【相关文献】
［1］Raussendorf R，Briege1H J.A one-way quantum computer［J］..2001，
86（22）：5188-5192.
［2］Xiang BW，et m information with Gaussian states［J］..2007，
448（1-4）：1-111.
［3］Long G L，et m secure direct communication and deterministic secure
quantum communication［J］..2007，2（3）：251 -272.
［4］WAN Hong-bo，YE for imp1ementing quantum dense coding by using
1inear optica1system［J］.Chinese Journa1of Quantum E1ectronics，2010，27（2）：
161-166.
［5］Jin R B，Chen L B，Wang F Q，Su Z K Genera1and Optima1Scheme for
Loca1Conversion of Pure States［J］.，2008，25（6）：1957.
［6］Bennett C H，Brassard G，Brassard C，Jozsa R，Peres A，WoottersW 1eporting
an unknown quantum state via dua1 c1assica1and Einstein-Podo1sky-Rosen channe1s
［J］.，1993，70：1895.
［7］Bennett CH，Wiesner S ication via one-and two-partic1e operators on
Einstein-Podo1sky-Rosen states［J］.，1992，69：2881.
［8］Ekert A m cryptography based on Be11's theorem［J］..1991，
67：661.
［9］Bareno A，Ekert A Coding Based on Quantum Entang1ement
［J］..1995，42：1253-1259.
［10］Braunstein S L，Kimb1e H coding for continuous variab1es［J］..A，
2000，61（4）：042302.
［11］Bose S，P1enio M B， state dense coding and its re1ation to
entange1ementmeasures［J］..2000，47：291.
［12］Hyuk-jae L，Doyeo1A and Sung W coding in entang1ed states
［J］..A，2002，66：024304.
［13］Guo F of anisotropy on optima1dense coding［J］..，2009，79：
015005.
［14］Matt1e K，Weinfurter H，Kwiat PG and Zei1inger coding in
Experimenta1Quantum Communication［J］..，1996，76：4656.
［15］Haus1aden P，Jozsa R，Schumacher B，Westmore1and M and WoottersW
K.C1assica1 information capacity of a quantum channe1［J］.. A 1996，54（3）：
1869.
［16］Gorbachev V N，Trubi1ko A I，Rodichkina A A，Zhi1iba A 1eportation and
dense coding via amu1tipartic1e quantum channe1of the GHZ-c1ass
［J］..，2002，2（5）：367-378.
［17］Tohya 1dense coding with mixed state entang1ement［J］.Phys.A：
，2001，34：6907.
［18］Bose S，P1enio M B and state dense coding and its re1ation to
entang1ementmeasures［J］..，2000，47（2-3）：291.
［19］曾瑾言，量子力学［M］.北京：科学出版社，2007：25-34.
2024年4月22日发(作者：贡沛)
用三比特GHZ态实现量子稠密编码的方案
麦麦提依明·吐孙;日比古·买买提明;阿力木·阿布都拉
【摘 要】This article introduced the scheme of Zhang San and Li Si has a
pair of three bits largest entangled Greenberger - Horne - Zeilinger state
( GHZ state) to achieve a quantum dense coding, through this scheme will
help realize quantum dense coding in multibody system. This article also
introduces simple method of any three bits system’ s density matrix
reduces to two bits density matrix.%文章介绍了考虑张三和李四拥有一对三比
特最大纠缠态Greenberger–Horne–Zeilinger态（简称GHZ态）来实现量子稠
密编码的一种方案，通过此方案有助于研究多体系统中实现量子稠密编码。文章中
还介绍从任意三比特系统的密度矩阵约化到两体系统密度矩阵的简单方法。
【期刊名称】《新疆师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【总页数】6页(P65-70)
【关键词】纠缠态;稠密编码;幺正变换;约化密度矩阵
【作 者】麦麦提依明·吐孙;日比古·买买提明;阿力木·阿布都拉
【作者单位】新疆师范大学 物理与电子工程学院，新疆 乌鲁木齐830054;新疆莎
车县城南双语实验高中，新疆 喀什844700;新疆师范大学 物理与电子工程学院，
新疆 乌鲁木齐830054
【正文语种】中 文
【中图分类】O431.2
量子纠缠在量子信息处理过程中起着重要作用，而且量子纠缠的研究对量子信息论
的发展有重大的意义［1-5］，因为它在量子信息处理过程中的核心资源，如量子
隐形传态［6］，量子稠密编码［7］，量子密钥分配［8］等等。量子稠密编码是
目前量子通讯中引起人们关注的研究热点之一，量子稠密编码最早的协议是
Bennett和Wiesner提出来的［7］，所谓的量子稠密编码是通过量子纠缠，传送
一个量子比特的信息量大于一个经典比特的信息量，而且只使用一个量子比特就可
以发送两个比特的经典信息，没有纠缠态的帮助此过程无法实现。近年来，量子稠
密编码在理论上［9-13］和实验上［14］都取得了一定的进展，而且发展迅速，
取得了很大的成就。Haus1aden等［15］人讨论了从两态系统的稠密编码方案推
广到N态系统的稠密编码方案。文章中推导了用GHZ态实现量子稠密编码的方案
和相应的相互正交的幺正变换矩阵，最后介绍了从任意三比特系统的密度矩阵推导
两比特系统约化密度矩阵的简单方法。在量子信息理论研究中计算多体系统中的密
度矩阵是比较难的问题，所以研究三比特系统的量子稠密编码和推导任意三比特系
统中约化密度矩阵对多体系统的理论研究具有一定的参考价值。
假定张三和李四需要相互通信，并已经拥有一对最大纠缠粒子+|111〉），AB粒
子属于张三，C粒子属于李四，张三需要把3比特的经典信息发送给李四。
三比特量子信道稠密编码［12］的过程为：首先，张三把这3比特的经典信息进
行编码，用0，1，2，3，4，5，6，7表示，分别对应000，001，010，011，
100，101，110，111。
张三对AB粒子进行幺正变换，表1给出张三对AB粒子的操作以及相应变化结果。
然后，张三把AB粒子发送给李四，李四对三个粒子执行幺正变换（当A粒子
（或者B粒子）为1时，对C粒子进行翻转，但是只能选择一个。即对两粒子进
行受控非操作，此处选择对BC粒子进行受控非操作（| 00〉〈00|+|10〉〈10|）
⊗I+（|01〉〈01|+|11〉〈11|）⊗σx），幺正变换的矩阵可表示为，变换后的结
果如表2所示。
现在李四可以在不破坏AB粒子态的情况下对C粒子进行测量。若李四对C粒子
的测量结果是|0〉，则编码的数字可能是0，2，4或6；若测量结果是|1〉，则编
码的数字可能是1，3，5或7。然后，李四对AB粒子执行受控非变换，受控非变
换的矩阵表示为，变换后的结果如表3所示。
然后李四再对A粒子进行Hadamard变换，Hadamard变换的矩阵表示是，变
换后的结果如表4所示。
所以，当李四对A粒子进行Hadamard变换后进行测量，根据测量结果就可以完
全确定张三传送的是哪一个编码数字，从而得出正确的解码结果。现将解码结果总
结如表5所示。
在三比特信道量子稠密编码方案中，对两比特量子纠缠态进行编码来实现3比特
经典信息的传送。按照文献［15，16］的相互正交的幺正变换公示在三比特系统
中实现两字稠密编码的幺正变换可以表示为：
U000|mn〉=|mn〉 U001|mn〉=|m〉⊗|n+1（mod2）〉
U010|mn〉=eiπm|m〉⊗|n〉 U011|mn〉=eiπm|m〉⊗|n+1（mod2）〉
U100|mn〉=|m+1（mod2）〉⊗|n〉 U101|mn〉=|m+1（mod2）〉⊗|n+1
（mod2）〉
U110|mn〉=eiπm|m+1（mod2）〉⊗|n〉 U111|mn〉=eiπm|m+1（mod2）〉
⊗|n+1（mod2）〉
其中，|mn〉=|m〉⊗|n〉，（m，n=0，1）。具体的幺正变换矩阵［16］是：
U000=Ι⊗Ι；U001=Ι⊗σx；U010=σz⊗Ι；U011=σz⊗σx；
U100=σx⊗Ι；U101=σx⊗σx；U110=-iσy⊗Ι；U111=-iσy⊗σx
编码以后的量子态可以表示为：
在此方案中，利用两个量子比特纠缠态实现了3比特经典信息的传送，因此得出
来的最大信道容量应该是3，是经典信道容量的1.5倍。Ui是作用在第1，2两个
量子比特上的幺正变换。信道容量还是用Ho1evo量［17，18］表示：
任意个三比特系统密度矩阵在标准基下的矩阵可以表示为：
然后把任意个三体系统A，B和C的密度矩阵用矩阵元表示为：
矩阵求迹的定义为：
是正交基，部分求迹的约化密度矩阵［19］表示为：
其中
按照上式AB系统的约化密度矩阵表示为：
通过研究三比特系统中实现量子稠密编码的方案，得出三比特系统跟两比特系统同
样适合用纠缠态来实现稠密编码，同时研究多体系统具有一定的理论依据。还推导
了三比特密度矩阵推导两比特约化密度矩阵的简单公式，此结果有助于理论研究者
把复杂的多体系统的情形简化到两体系统的情况来研究多体系统，具有一定的参考
价值。
【相关文献】
［1］Raussendorf R，Briege1H J.A one-way quantum computer［J］..2001，
86（22）：5188-5192.
［2］Xiang BW，et m information with Gaussian states［J］..2007，
448（1-4）：1-111.
［3］Long G L，et m secure direct communication and deterministic secure
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［4］WAN Hong-bo，YE for imp1ementing quantum dense coding by using
1inear optica1system［J］.Chinese Journa1of Quantum E1ectronics，2010，27（2）：
161-166.
［5］Jin R B，Chen L B，Wang F Q，Su Z K Genera1and Optima1Scheme for
Loca1Conversion of Pure States［J］.，2008，25（6）：1957.
［6］Bennett C H，Brassard G，Brassard C，Jozsa R，Peres A，WoottersW 1eporting
an unknown quantum state via dua1 c1assica1and Einstein-Podo1sky-Rosen channe1s
［J］.，1993，70：1895.
［7］Bennett CH，Wiesner S ication via one-and two-partic1e operators on
Einstein-Podo1sky-Rosen states［J］.，1992，69：2881.
［8］Ekert A m cryptography based on Be11's theorem［J］..1991，
67：661.
［9］Bareno A，Ekert A Coding Based on Quantum Entang1ement
［J］..1995，42：1253-1259.
［10］Braunstein S L，Kimb1e H coding for continuous variab1es［J］..A，
2000，61（4）：042302.
［11］Bose S，P1enio M B， state dense coding and its re1ation to
entange1ementmeasures［J］..2000，47：291.
［12］Hyuk-jae L，Doyeo1A and Sung W coding in entang1ed states
［J］..A，2002，66：024304.
［13］Guo F of anisotropy on optima1dense coding［J］..，2009，79：
015005.
［14］Matt1e K，Weinfurter H，Kwiat PG and Zei1inger coding in
Experimenta1Quantum Communication［J］..，1996，76：4656.
［15］Haus1aden P，Jozsa R，Schumacher B，Westmore1and M and WoottersW
K.C1assica1 information capacity of a quantum channe1［J］.. A 1996，54（3）：
1869.
［16］Gorbachev V N，Trubi1ko A I，Rodichkina A A，Zhi1iba A 1eportation and
dense coding via amu1tipartic1e quantum channe1of the GHZ-c1ass
［J］..，2002，2（5）：367-378.
［17］Tohya 1dense coding with mixed state entang1ement［J］.Phys.A：
，2001，34：6907.
［18］Bose S，P1enio M B and state dense coding and its re1ation to
entang1ementmeasures［J］..，2000，47（2-3）：291.
［19］曾瑾言，量子力学［M］.北京：科学出版社，2007：25-34.