2024年4月23日发(作者：封易巧)
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第３２卷第４期
２００８年８月
北京交通
大学学报
Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．４
ＡＵｇ．２００８
ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢＥＩＪＩＮＧ ＩＡＯＴＯＮＧ Ｕ ＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
文章编号：１６７３—０２９ １（２００８）０４ ００２８—０５
基于改进剩余柔度矩阵的自由界面模态综合法
谢云叶，谢基龙，杨广雪，肖楠，周素霞
（北京交通大学结构强度检测国家级认证中心，
轨道车辆结构可靠性与运用检测技术教育部工程研究中心，北京１０００４４）
摘 要：传统的自由界面模态综合法在求解过程中，模态截断后没有或没有很好地考虑剩余模态的
影响，精度较差．这里提出了一种对传统自由界面法进行柔度矩阵改进的方法，这种方法恰当地考
虑了模态截断后高价模态的影响，把模态截断后由低价模态柔度矩阵表示的高价模态改进后的柔
度矩阵计入了子结构的运动方程，因而结构动态计算精度得以提高，并详细陈述了该改进柔度矩阵
的推导过程．通过算例表明，与传统自由界面法相比，该方法明显提高了结构动态响应的求解精度，
能满足工程需要，因此可以应用于大结构的动态分析中．
关键词：结构分析；自由界面模态综合法；准静力效应；剩余柔度矩阵
中图分类号：０３２７ 文献标志码：Ａ
Ａ Ｆｒｅｅ－Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｍｏｄｅ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ
Ｒｅｓｉｄｕａｌ Ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ Ｍａｔｒｉｘ
ＸＩＥ Ｙｕｎｙｅ，ＸＩＥ Ｊｉｌｏｎｇ，ＹＡＮＧ Ｇｕａｎｇｘｕｅ，ＸＩＡ０ Ｎａｎ，ＺＨＯＵ Ｓｕｘｉａ
（Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｔｅｓｔｉｎｇ（Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ），Ｃｈｉｎａ Ｎａｔｉｏｎａｌ
Ａｃｃｒｅｄｉｔａｔｉｏｎ Ｓｅｒｖｉｃｅ ｆｏｒ Ｃｏｎｆｏｒｍｉｔｙ Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ；
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｒａｉｌ Ｇｕｉｄｅｄ
Ｖｅｈｉｃｌｅｓ（Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ），Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｔｏ ｐｒｅｓｅｎｔ ａ ｎｅｗ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
ｆｒｏｍ ｏｎｅ ｏｆ ｃｏｍｍｏｎ ｆｒｅｅ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ａｎｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ
ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｒｅｄｕｃｅｄ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅｓ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ
ｏｆ ｌｏｗ—ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅｓ，ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｐｕｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈｏｓｅ
ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｄｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ．Ｉｎ
ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｈｏｗ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｌｆｅｘｉｂｉｈｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ
ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｖａｌｉｄａｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ：ａ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｅｎｄｓ ｂｕｉｌｔ—ｉｎ．Ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｗｎ
ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｆｒｅｅ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｈｉｇｈｅｒ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ
ｃｏｍｍｏｎ ｆｒｅｅ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｔｈｅ Ｈｏｕ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｍｅｅｔ ｅｎｇｉ—
ｎｅｅｒｉｎｇ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ，ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｆｒｅｅ－ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ；ｑｕａｓｉ—ｓｔａｔｉｃ ｅｆｆｅｃｔ；ｒｅｓｉｄｕａｌ ｆｌｅｘ—
ｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ
自由界面模态综合法是处理振动系统动力特性 来求解结构的特性，因而求解过程没有约束模态的
的方法．它通过将子结构问的界面自由度完全放松
收稿日期：２００７．０５—２５
参与，在最后的系统方程中不包含界面自由度，可使
基金项目：国家重点基础研究发展计划项目资助（“９７３”计划）（２００７ＣＢ７１４７０５）
作者简介：谢云叶（１９７０一），男，山东济宁人，博士生．ｅｍａｉｌ：０５１１６２６６＠ｂｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃ，Ｉ１
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第４期 谢云叶等：基于改进剩余柔度矩阵的自由界面模态综合法
系统综合自由度的规模变小，提高求解速度．２Ｏ世 式中：ｘｊ表示界面物理坐标，Ｘｉ表示非界面物理坐
纪６Ｏ年代，Ｈｕｒｔｖ就首先确定了模态坐标和模态综
合法的概念，奠定了模态综合法的基础．Ｈｏｕ［川、
ＫａｒｐｅｌＥ ２ｌ
Ｓｔｅｅｎ［ Ｊ等分别从不同的方面研究和发展
、
标； 为界面模态集， 为非界面模态集．由此可
见，界面物理坐标可以按界面模态坐标展开．
了自由界面模态综合法．２Ｏ世纪７Ｏ年代开始，模态
综合法逐渐在工程中得到广泛应用，并形成一些不
错的商业程序．我国力学工作者王文亮等＿４ Ｊ提出了
关于传统自由界面模态综合法的其他内容可以
参见文献［１—４］．
２改进柔度矩阵自由界面模态综合法
双协调子结构法，大大降低了综合自由度；郭佳名、
２．１生成子结构运动方程
邹经湘＿５ Ｊ提出了滞后阻尼结构的复模态综合法；王
将 按界面坐标（ ）与非界面坐标（ｉ）进行分
彦平等＿６ Ｊ改进了ＷＹＤ（Ｗｉｌｓｏｎ—Ｙｕａｎ—Ｄｉｃｋｅｎｓ）法；应
割，可得
祖光等【 Ｊ提出了混成模态综合法；王艾伦等［８］提出
了基于键合图方法的自由界面模态综合法．
＝
但是传统的自由界面模态综合法中由于模态截
＝ｌ［Ｌ ： Ｊｌ ㈤ （５）
断后没有或没有很好地考虑剩余模态的影响，使得
式中：下标０表示被缩减作近似处理的高阶模态，
求解精度较差．本文作者提出了一种对自由界面模
而下标ｋ表示将要保留的模态．
态综合法进行改进的措施，即在运动方程中计人了
当系统作无阻尼自由振动时，子结构运动方程
模态截断后改进的剩余柔度矩阵，也就是考虑高价
式（１）可写为分块的形式
模态对结构系统的影响，在不增加系统综合自由度
的规模的前提下，提高了求解的精度和效率，满足了
［： ］｛ ）＋［乏：ｋｊ １Ｊ』ｘｊ ）＝｛． ０）ｃ６，
工程上的要求．
式中：ｍ 、ｋ 分别为Ｍ、Ｋ分块后的元素，
．
是
１传统的自由界面模态综合法
界面力列向量．对于正弦振动，利用式（３）进行坐标
变换，将式（６）写成解耦的形式，得到振动位移 按
１．１对结构进行分割
振型 的展开式
将整体结构分为若干个子结构，并将子结构的
＝ ｐｍｒ（￣ （７）
界面自由度完全放松，即子结构间的界面没有任何
约束．子结构可以是结构中的自然部件，也可以是人
式中： 为正弦振动的幅值，Ⅳ是子结构的自由度
为划分的结构中的某个局部，可以依据具体情况进
数．
行合理划分．
可以根据正弦激振频率 的大小把子结构的
１．２子结构的模态分析
所有模态分为低价（小于等于ｓ）及高价（大于等于ｓ
对于界面完全自由的子结构，其无阻尼自由振
＋１）两部分．据此式（７）可写成
动方程可写为
＝
＋Ｋｘ＝０ （１）
∑ ＋∑ （８）
式中：Ｍ、Ｋ分别为子结构的质量矩阵和刚度矩阵，
对于式（８）中的第二项，由于结构高阶模态的特
Ｘ为子结构的位移列向量．
征值远大于 ，该式中含有的这些高阶项就可以忽
它的特征方程可写为
略动力效应而只考虑静力作用，此时所含的各项相
Ｋ ＝Ｍ＠Ａ （２）
当于子结构的高阶模态对其振动响应的贡献．由于
式中：Ａ是式（１）的特征值矩阵， 是被截断的子结
忽略了动力效应，可称为准静力效应．在此，考虑准
构的模态矩阵，把它转化为正则模态矩阵，则子结构
静力方程
的坐标变换为
Ｋ ６＝ｆ或 ６＝Ｇｆ （９）
Ｘ＝ ｐ （３）
式中： 为准静力，Ｇ＝Ｋ 为静柔度矩阵； ６为准
式中Ｐ 为子系统的模态坐标．式（３）可写成分块的
静力位移响应．
形式
根据上述分析，将式（３）写为
６＝
［ ｉ吐 ］（Ｐ Ｐ 。）Ｔ（１Ｏ）
（４） 简化为
６＝ ＋ 。 （１１）
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３０ 北京交通大学学报 第３２卷
其中｛ ｘｋ＝￣ ｋｐ ＇ｍ ｋ （１２）
的联接为例，探讨子结构间的联接过程．
方程．在此，以最具一般性的两个子结构Ａ和Ｂ间
式中： ， 分别为低价模态和高价模态对子结构
响应的贡献；ｐ 和ｐ 为对应的模态坐标．
但通常情况下，高阶模态矩阵 是没有计算
结果的，因而应通过式（９）和式（１１）来得到 ．为此
用矩阵 Ｔ左乘式（９）得
Ｋ ６＝ ＿厂 （１３）
将式（１０）代人式（１３）展开，并考虑模态的正交
性，就可得到没有耦合的方程，再与式（１２）联系起
来，可得
＝
Ｇ （１４）
式中： 是低价模态对子结构响应的贡献；Ｇ 是保
留的低价模态对应的低价柔度矩阵，它可由子结构
的低价模态特性得到．
按照同样的过程，对于剩余的高价模态也可以
得到与式（１４）相似的公式
＝
Ｇｏｆ （１５）
但高价模态没有被计算出来，因而不能像式
（１４）那样来计算高价模态的柔度矩阵Ｇ。（在这里可
称为剩余柔度矩阵）．由式（９）、式（１１）、式（１４）和式
（１５’）得
＝
Ｇｏｆ＋Ｇ （１６）
进而可得剩余柔度矩阵
Ｇ。＝Ｇ—Ｇ （１７）
即可由静柔度矩阵减去低价柔度矩阵得到剩余
柔度矩阵．已知低价柔度矩阵可由式（１４）中的Ｇ
求出，而静柔度矩阵为刚度矩阵的逆矩阵，这样就可
以由低价模态来求剩余柔度矩阵，省去了求解高价
模态的麻烦．
在正弦激励下，子结构按模态坐标展开的振动
方程可由式（６）解耦的形式求得，即
、
＝
（Ａ一０９２Ｊ） ｋ （１８）
由式（８）和式（１８）求得子结构以模态坐标表示的响
应，即
＝
Ｇｏｆ＋ ｐ ｋ （１９）
式中：
．
厂 为子结构的界面力；Ｉ为单位矩阵．
２．２联接子结构生成系统的运动方程
子结构间需要通过一定的关系联接在一起，以
形成整个结构的运动方程．通过分割方程式（１９）可
得子结构的界面位移
ｊ＝Ｇ ＋ ｊ ｍｋ ０２０１
式（１８）和式（２０）是子结构间联接的依据，可以
把分割的子结构联接到一起，形成整个结构的运动
首先对子结构Ａ，可依据式（２０）和式（１８）写出
含有界面力和界面位移的两式
ｊＡ＝Ｇｉｊ ｉＡ＋￣ｊｋＡｐｍｋＡ ０２１
五 』４＝（ＡＡ—ｏ９２Ｊ） （２２）
同样，对于子结构Ｂ也可写出
ＸｊＢ＝Ｇｉｊ ｉＢ＋ ｊｋＢ ｍｋＢ ２３
Ｔ朋 －＝（ＡＡ—ｏ９２Ｊ） Ｍ （２４）
子结构Ａ和Ｂ界面上的界面力协调条件为
ｌｉＡ＋ｌ＿Ｂ＝０ ２５
界面位移协调条件为
一
Ｘ—ｊＢ＝０ （２６）
将式（２１）和式（２３）代人式（２６），并考虑式（２５）
可得
＝
（ Ａ＋ ） （ ｋＢ一 Ａ ｋＡ）
（２７）
代人式（２２）中得
（ ＋ Ｂ） （ ｋＢ一 ｋＡｐ ｋＡ）＝
（Ａ』４一 Ｉ） 』４ （２８）
同理，对子结构Ｂ，由式（２４，２５）和式（２７）得
Ｔ
ｊ
Ｂ
（Ｇ）ｊＢ＋Ｇ』Ｊ』４） （ Ａ ｋＡ一 ｋＢ）＝
（ＡＢ一 Ｉ） Ｂ （２９）
将式（２８）及式（２９）联立即可得到系统整体结构
的运动方程．并可得到结构的固有频率 （ １，２，
…
，
ｋ）及对应模态坐标Ｐ 的模态集 求解结果
用式（２０）及式（２７）就可以返回到结构的物理坐标．
３算例
为了验证改进的基于柔度矩阵自由界面模态综
合法的精度及合理性，以两端固定支承的均匀梁为
例进行验算，并结合Ｈｏｕ的自由界面模态综合法的
计算结果进行对比．图１为两端固支均匀钢梁模型．
不失一般性，将整个梁任意分割为两个子结构Ａ与
Ｂ，求解结构的前１０阶模态的固有频率．
子结构 子结构Ｂ
一
一 一
图１两端固支梁模型
Ｆｉｇ．１ Ｍｏｄｄ ｏｆ ａ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｅｎｄｓ ｂｕｉｌｔ—ｉｎ
３．１ ３种情况及其求解
为了进一步揭示结构系统分割的单元数对该改
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第４期 谢云叶等：基于改进剩余柔度矩阵的自由界面模态综合法 ３
进法计算精度的影响，可把整个梁均分成不同的单
及结构精确值列于表１，并求出各自的误差，见图３．
３Ｏ
２６
２２
元数，每个子结构中含不同数目的单元，单元数之和
等于梁的总单元数．
假设将整个梁划分成７个相同的单元，子结构
Ａ中有４个单元（即ＮＡ＝４），子结构曰中有３个单
元（即Ｎ日＝３），见图２．
自由
摹１８
１４
１Ｏ
８
４
ｉ／
Ａ
Ｏ
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １Ｏ
图２分割后的两个子结构
模态阶数
Ｆｉｇ・２ Ｔｗｏ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄ ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ 图３ Ｉ－Ｉｏｕ法与改进法误差比较
又把整个梁均匀地划分成１０个单元和１３个单 Ｆｉｇ
３ Ｃｏｍｐ撕 。 。ｆ ｒｒ０
．
ｂ ｔｗｅｅｎ Ｈ。 ｍ ｔｈ。ｄ ａｎｄ
元．利用改进法求解的结果，连同Ｈｏｕ法的结果，以
表１ ３种情况的计算结果
Ｔａｂ．１ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｃａｓｅｓ
ｔｈｅ ｉｍｐｒ０ ｅｄ ｍｅｔｈｏｄ
．
Ｈｚ
３．２结果分析
其原因除精度提高变得困难外，就是计算规模将随
通过分析可以看出，改进法相对于一般的自由
界面模态综合法来说，求解精度有了明显的提高，且
计算精度值得信赖．
着单元数的增加而显著增加，计算将变得不经济，因
而要综合考虑精度和经济之间的矛盾，找到最佳结
合点．关于该方法的结构单元数及模态阶数对求解
精度的影响机理还不很明确，需做更深入的研究．
参考文献：
［１］Ｈｏｕ Ｓ Ｎ．Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｍｏｄａｌ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｎｄ Ａ
Ｎｅｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ Ｊ．Ｔｈｅ Ｓｈｏｃｋ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｂｕｌｌｅｔｉｎ，
１９６９，４０：２５—３０．
随着划分单元数的增加，其求解精度将进一步
提高，并与一般求解法有着相似的趋势，说明这些方
法在原理上的相似性和合理性．
由表１和图３还可以看出，对于改进法，随着单
元数的增加，求解精度的提高将变得困难．也就是
说，单元数达到一定程度后，误差将很难再降低．
另外，两种方法的计算误差均为正值，即计算结
果均比精确值大．其原因是由于对梁进行有限离散
［２］Ｋａｒｐｅｌ，Ｒｉｃｃｉ Ｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｍｏｄａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｌａｒｇｅ
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｂｙ Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃｌａ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｎｄ
Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９７，１１（２）：２４５—２５６．
而造成梁的刚度增大，自然频率随之变大．
［３］Ｓｔｅｎ Ｋｒｅｎｋ．Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｍｏｄｅｓ ａｎｄ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｉｎ Ｄａｍｐｅｄ
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｌａ ＶｉｂｒａｔｉｏｎｓｌＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，
２００４，２７０：９８１—９９６．
４ 结语
所提出的改进法是在一般自由界面模态综合法
的基础上，计入了被截断的高阶模态的影响，并改进
［４］王文亮，杜作润．结构振动与动态子结构法［Ｍ］．上海：
复旦大学出版社，１９８５．
ＷＡＮＧ Ｗｅｎｌｉａｎｇ，ＤＵ Ｚｕｏｒｕｎ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ
了柔度矩阵的算法．方程推导简单，计算过程并不繁
琐，因而方法可行．通过算例可以看出，该方法具有
Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｍ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：Ｆｕｄａｎ Ｕ—
ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
比较高的计算精度，而且计算规模增加有限，因而可
以满足工程上的要求．
对于实际结构，划分的单元数不能无限制增加．
［５］郭佳明，邹经湘．滞后阻尼结构的复模态综合技术及其界
面自由度的缩减［Ｊ］．振动工程学报，１９８７，１（１）：６—１０．
ＧＵＯ Ｊｉａｍｉｎｇ，ＺＯＵ Ｊｉｎｇｘｉａｎｇ．Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｍｏｄｅ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
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３２ 北京交通大学学报 第３２卷
ａｎｄ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｆｒｅｅｄｏｍ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｙｓｔｅｒｅｓｉｓ Ｄａｍｐｉｎｇ
ＹＩＮＧ Ｚｕｇｕａｎｇ，ＱＩＵ Ｊｉｂａｏ．Ｈｙｂｒｉｄ Ｍｏｄａｌ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ［Ｊ Ｊ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，１９８７，１
Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｆｒｅｅ Ｉｎｔｅｒｒａｃｉａｌ ａｎｄ Ｆｉｘｅｄ Ｉｎｔｅｒｆａｃｉｌａ
（１）：６—１０．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｍｏｄｅｓ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒ—
［６］王彦平，郑慕侨．基于ＷＹＤ方法的自由界面模态综合法
ｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９７，１４（１）：６４—６８．（ｉｎ
及其应用［Ｊ］．北京理工大学学报，１９９６，１６（１）：１９—２４．
Ｃｈｉｎｅｓｅ）
ＷＡＮＧ Ｙａｎｐｉｎｇ，ＺＨＥＮＧ Ｍｕｑｉａｏ．Ａ Ｆｒｅｅ－Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ
［８］王艾伦，赵振宇，仇勇．基于键合图方法的自由界面模态
Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｍｏｄｅ Ｓｖｎｔｈｅｓｉｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ＷＹＤ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉ—
综合法及其应用［Ｊ］．机械强度，２００３，２５（３）：３３０—３３３．
ｃａｔｉｏｎ［Ｊ Ｊ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，
ＷＡＮＧ Ａｉｌｕｎ，ＺＨＡＯ Ｚｈｅｎｙｕ，ＱＩＵ Ｙｏｎｇ．Ｎｅｗ Ｓｔｕｄｙ ｏｎ
１９９６，１６（１）：ｌ９—２４．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
Ｆｒｅｅ－Ｉｎｔｅｒｆａｅｅ Ｍｏｄａｌ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ
［７］应祖光，邱吉宝．基于固定界面与自由界面子结构模态
［Ｊ Ｊ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ，２００４，２５（３）：３３０—
的混成模态综合方法及其应用［Ｊ］．计算力学学报，
３３３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
１９９７，１４（１）：６４—６８．
●●●●●● ●●●●● ●●● ●●●●・●●●●●◆ ●◆● ◆●●¨｜●● ・●●
（上接第２７页）
参考文献：
Ｌｏｗ Ａｌｌｏｖ Ｓｔｅｅｌ［Ｃ］／／ＳＮＣＭ３４９，Ｐｒｃｏｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ
［１］Ｍｆｌｌｅｅｒ Ｋ Ｊ．Ａ Ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌ Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ Ｐａ—
Ｔｈｉｒｄ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｖｅｒｙ Ｈｉｇｈ Ｃｙｃｌｅ Ｆａ—
ｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ Ｍｅｔｌａ Ｆａｔｉｇｕｅ；ａｎｄ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｎｅｘｔ Ｃｅｎ
ｔｉｇｕｅ，Ｋｕｓａｔｓｕ，Ｊａｐａｎ，２００４（９）：６０９—６１６．
ｔｕｒｙ［Ｃ Ｊ／／Ｆａｔｉｇｕｅ ９９，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ７ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
［６］Ｍｕｒａｋａｍｉ Ｙ，Ｙｏｋｏｙａｍａ Ｎ，Ｎａｇａｔａ Ｊ．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ Ｆａ—
Ｆａｔｉｇｕｅ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ．ｗＵ Ｘ Ｒ．ＷＡＮＧ Ｚ Ｇ．ｅｄ．Ｂｅｒｉｎｇ：
ｔｉｇｕｅ Ｆａｉｌｕｒｅ ｉｎ Ｕｌｔｒａｌｏｎｇ Ｌｉｆｅ Ｒｅｇｉｍｅ ｌ Ｊ ｊ．Ｆａｔｉｇｕｅ＆
Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，１９９９：１５—３９．
Ｆｒａｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉｌａｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．２００２．２５
［２ Ｊ Ｓａｋａｉ Ｔ，Ｓａｔｏ Ｙ，Ｏｇｕｍａ Ｎ．Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ Ｓ－Ｎ Ｐｒｏｐｅｒ—
（８—９）：７３５—７４６．
ｔｉｅｓ ｏｆ Ｈｉｇｈ Ｃａｒｂｏｎ Ｃｈｒｏｍｉｕｍ Ｂｅａｒｉｎｇ Ｓｔｅｅｌ Ｕ ｎｄｅｒ Ａｘｉｌａ
［７］Ｓｈｉｏｚａｗａ Ｋ，Ｌｕ Ｌ Ｔ，Ｉｓｈｉｈａｒａ Ｓ．Ｓ－Ｎ Ｃｕｒｖｅ Ｃｈａｒａｅｔｅｒｉｓ—
Ｌｏａｄｉｎｇ ｉｎ Ｌｏｎｇｌｉ￣Ｆａｔｉｇｕｅ［Ｊ］．Ｆａｔｉｇｕｅ＆Ｆｒａｃｔｕｒｅ ｏｆ
ｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｕｂｓｕｒｆａｃｅ Ｃｒａｃｋ Ｉｎｉｔｉａｔｉｏｎ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ Ｕｌｔｒａ Ｌｏｎｇ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉｌａｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００２，２５（８—９）：７６５
Ｌｉｆｅ Ｆａｔｉｇｕｅ ｏｆ Ａ Ｈｉｇｈ Ｃａｒｂｏｎ—Ｃｈｒｏｍｉｕｍ Ｂｅａｒｉｎｇ Ｓｔｅｅｌ
—
７７３．
ｌ Ｊ Ｊ．Ｆａｔｉｇｕｅ＆Ｆｒａｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉｌａｓ＆
［３ Ｊ Ｓａｋａｉ Ｔ，Ｔａｋｅｄａ Ｍ，Ｓｈｉｏｚａｗａ Ｋ，ｅｔ ａ１．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｌａ Ｅｖ—
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００１，２４（１２）：７８１—７９０．
ｉｄｅｎｃｅ ｏｆ Ｄｕｐｌｅｘ Ｓ－Ｎ Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｉｎ Ｗｉｄｅ Ｌｉｆｅ Ｒｅｇｉｏｎ
［８］Ｍｕｒａｋａｍｉ Ｙ，Ｅｎｄｏ Ｍ．Ｅｆｆｃｅｔｓ ｏｆ Ｄｅｆｃｅｔｓ，Ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ａｎｄ
ｏｆｒ Ｈｉｇｈ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｓｔｅｅｌｓ［Ｃ］／／Ｆａｔｉｇｕｅ ９９，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ
Ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｉｅｓ ｏｎ Ｆａｔｉｇｕｅ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｌ Ｊ Ｊ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ
ｔｈｅ Ｓｅｖｅｎｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｆａｔｉｇｕｅ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｈｉｇｈ—
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆａｔｉｇｕｅ，１９９４，１６（３）：１６３—１８２．
ｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，１９９９：５７３—５７８．
１９ Ｊ Ｍｕｒａｋａｍｉ Ｙ，Ｎｏｍｏｔｏ Ｔ，Ｕｅｄａ Ｔ．Ｆａｃｔｏｒｓ Ｉｎｆｌｕｅｎｃｉｎｇ ｔｈｅ
［４ Ｊ Ｗａｎｇ Ｑ Ｙ，Ｂｅｒａｒｄ Ｊ Ｙ，Ｒａｔｈｅｒｙ Ｓ，ｅｔ １ａ．Ｈｉｇｈ—Ｃｙｃｌｅ Ｆａ—
Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ Ｓｕｐｅｒｌｏｎｇ Ｆａｔｉｇｕｅ Ｆａｉｌｕｒｅ ｉｎ Ｓｔｅｅｌｓ［Ｊ］．Ｆａ—
ｔｉｇｕｅ Ｃｒａｃｋ Ｉｎｉｔｉａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ Ｂｅｈａｖｉｏｕｒ ｏｆ Ｈｉｇｈ—
ｔｉｇｕｅ＆Ｆｒａｃｔｕｒｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉａｌｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．
Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｓｐｒｉｎｇ Ｓｔｅｅｌ Ｗｉｒｅｓ［Ｊ Ｊ．Ｆａｔｉｇｕｅ＆Ｆｒａｃｔｕｒｅ ｏｆ
１９９９，２２（７）：５８１—５９０．
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉｌａｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９９，２２（８）：６７３—
［１０ｊ Ｎｉｓｈｉｊｉｍａ Ｓ，Ｋａｎａｚａｗａ．Ｓｔｅｐｗｉｓｅ ⅣＣｕｒｖｅ ａｎｄ Ｆｉｓｈ—
６７７．
Ｅｙｅ Ｆａｉｌｕｒｅ ｉｎ Ｇｉｇａｃｙｃｌｅ Ｆａｔｉｇｕｅ［ＪＪ．Ｆａｔｉｇｕｅ＆Ｆｒａｃｔｕｒｅ
『５］Ｓｈｉｏｚａｗａ Ｋ，Ｎｉｓｌｌｉｎｏ Ｓ，Ｓｈｉｂａｔａ Ｎ，ｅｔ ａ１．Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ Ｔｅｍ—
ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｅｒｉｌａｓ＆Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９９，２２（７）：
ｐｅｒｉｎｇ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ Ｏｌｌ Ｓｕｐｅｒ—Ｌｏｎｇ Ｆａｔｉｇｕｅ Ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ
６０１—６０７．
2024年4月23日发(作者：封易巧)
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第３２卷第４期
２００８年８月
北京交通
大学学报
Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．４
ＡＵｇ．２００８
ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢＥＩＪＩＮＧ ＩＡＯＴＯＮＧ Ｕ ＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
文章编号：１６７３—０２９ １（２００８）０４ ００２８—０５
基于改进剩余柔度矩阵的自由界面模态综合法
谢云叶，谢基龙，杨广雪，肖楠，周素霞
（北京交通大学结构强度检测国家级认证中心，
轨道车辆结构可靠性与运用检测技术教育部工程研究中心，北京１０００４４）
摘 要：传统的自由界面模态综合法在求解过程中，模态截断后没有或没有很好地考虑剩余模态的
影响，精度较差．这里提出了一种对传统自由界面法进行柔度矩阵改进的方法，这种方法恰当地考
虑了模态截断后高价模态的影响，把模态截断后由低价模态柔度矩阵表示的高价模态改进后的柔
度矩阵计入了子结构的运动方程，因而结构动态计算精度得以提高，并详细陈述了该改进柔度矩阵
的推导过程．通过算例表明，与传统自由界面法相比，该方法明显提高了结构动态响应的求解精度，
能满足工程需要，因此可以应用于大结构的动态分析中．
关键词：结构分析；自由界面模态综合法；准静力效应；剩余柔度矩阵
中图分类号：０３２７ 文献标志码：Ａ
Ａ Ｆｒｅｅ－Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｍｏｄｅ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ
Ｒｅｓｉｄｕａｌ Ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ Ｍａｔｒｉｘ
ＸＩＥ Ｙｕｎｙｅ，ＸＩＥ Ｊｉｌｏｎｇ，ＹＡＮＧ Ｇｕａｎｇｘｕｅ，ＸＩＡ０ Ｎａｎ，ＺＨＯＵ Ｓｕｘｉａ
（Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｆｏｒ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｓｔｒｅｎｇｔｈ Ｔｅｓｔｉｎｇ（Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ），Ｃｈｉｎａ Ｎａｔｉｏｎａｌ
Ａｃｃｒｅｄｉｔａｔｉｏｎ Ｓｅｒｖｉｃｅ ｆｏｒ Ｃｏｎｆｏｒｍｉｔｙ Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ；
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｃｅｎｔｅｒ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｒａｉｌ Ｇｕｉｄｅｄ
Ｖｅｈｉｃｌｅｓ（Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ），Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｔｏ ｐｒｅｓｅｎｔ ａ ｎｅｗ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
ｆｒｏｍ ｏｎｅ ｏｆ ｃｏｍｍｏｎ ｆｒｅｅ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄｓ．Ａｎｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ
ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｒｅｄｕｃｅｄ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅｓ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ
ｏｆ ｌｏｗ—ｏｒｄｅｒ ｍｏｄｅｓ，ｉｓ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｐｕｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ ｔｈｏｓｅ
ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｎｏｄｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ．Ｉｎ
ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｈｏｗ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｌｆｅｘｉｂｉｈｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ
ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｖａｌｉｄａｔｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ：ａ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｅｎｄｓ ｂｕｉｌｔ—ｉｎ．Ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｗｎ
ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｆｒｅｅ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ａ ｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅ ｈｉｇｈｅｒ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｉｎ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ
ｃｏｍｍｏｎ ｆｒｅｅ—ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｔｈｅ Ｈｏｕ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｍｅｅｔ ｅｎｇｉ—
ｎｅｅｒｉｎｇ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ，ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｌａｒｇｅ—ｓｃａｌｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｆｒｅｅ－ｉｎｔｅｒｆａｃｅ ｍｏｄｅ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ；ｑｕａｓｉ—ｓｔａｔｉｃ ｅｆｆｅｃｔ；ｒｅｓｉｄｕａｌ ｆｌｅｘ—
ｉｂｉｌｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ
自由界面模态综合法是处理振动系统动力特性 来求解结构的特性，因而求解过程没有约束模态的
的方法．它通过将子结构问的界面自由度完全放松
收稿日期：２００７．０５—２５
参与，在最后的系统方程中不包含界面自由度，可使
基金项目：国家重点基础研究发展计划项目资助（“９７３”计划）（２００７ＣＢ７１４７０５）
作者简介：谢云叶（１９７０一），男，山东济宁人，博士生．ｅｍａｉｌ：０５１１６２６６＠ｂｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃ，Ｉ１
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第４期 谢云叶等：基于改进剩余柔度矩阵的自由界面模态综合法
系统综合自由度的规模变小，提高求解速度．２Ｏ世 式中：ｘｊ表示界面物理坐标，Ｘｉ表示非界面物理坐
纪６Ｏ年代，Ｈｕｒｔｖ就首先确定了模态坐标和模态综
合法的概念，奠定了模态综合法的基础．Ｈｏｕ［川、
ＫａｒｐｅｌＥ ２ｌ
Ｓｔｅｅｎ［ Ｊ等分别从不同的方面研究和发展
、
标； 为界面模态集， 为非界面模态集．由此可
见，界面物理坐标可以按界面模态坐标展开．
了自由界面模态综合法．２Ｏ世纪７Ｏ年代开始，模态
综合法逐渐在工程中得到广泛应用，并形成一些不
错的商业程序．我国力学工作者王文亮等＿４ Ｊ提出了
关于传统自由界面模态综合法的其他内容可以
参见文献［１—４］．
２改进柔度矩阵自由界面模态综合法
双协调子结构法，大大降低了综合自由度；郭佳名、
２．１生成子结构运动方程
邹经湘＿５ Ｊ提出了滞后阻尼结构的复模态综合法；王
将 按界面坐标（ ）与非界面坐标（ｉ）进行分
彦平等＿６ Ｊ改进了ＷＹＤ（Ｗｉｌｓｏｎ—Ｙｕａｎ—Ｄｉｃｋｅｎｓ）法；应
割，可得
祖光等【 Ｊ提出了混成模态综合法；王艾伦等［８］提出
了基于键合图方法的自由界面模态综合法．
＝
但是传统的自由界面模态综合法中由于模态截
＝ｌ［Ｌ ： Ｊｌ ㈤ （５）
断后没有或没有很好地考虑剩余模态的影响，使得
式中：下标０表示被缩减作近似处理的高阶模态，
求解精度较差．本文作者提出了一种对自由界面模
而下标ｋ表示将要保留的模态．
态综合法进行改进的措施，即在运动方程中计人了
当系统作无阻尼自由振动时，子结构运动方程
模态截断后改进的剩余柔度矩阵，也就是考虑高价
式（１）可写为分块的形式
模态对结构系统的影响，在不增加系统综合自由度
的规模的前提下，提高了求解的精度和效率，满足了
［： ］｛ ）＋［乏：ｋｊ １Ｊ』ｘｊ ）＝｛． ０）ｃ６，
工程上的要求．
式中：ｍ 、ｋ 分别为Ｍ、Ｋ分块后的元素，
．
是
１传统的自由界面模态综合法
界面力列向量．对于正弦振动，利用式（３）进行坐标
变换，将式（６）写成解耦的形式，得到振动位移 按
１．１对结构进行分割
振型 的展开式
将整体结构分为若干个子结构，并将子结构的
＝ ｐｍｒ（￣ （７）
界面自由度完全放松，即子结构间的界面没有任何
约束．子结构可以是结构中的自然部件，也可以是人
式中： 为正弦振动的幅值，Ⅳ是子结构的自由度
为划分的结构中的某个局部，可以依据具体情况进
数．
行合理划分．
可以根据正弦激振频率 的大小把子结构的
１．２子结构的模态分析
所有模态分为低价（小于等于ｓ）及高价（大于等于ｓ
对于界面完全自由的子结构，其无阻尼自由振
＋１）两部分．据此式（７）可写成
动方程可写为
＝
＋Ｋｘ＝０ （１）
∑ ＋∑ （８）
式中：Ｍ、Ｋ分别为子结构的质量矩阵和刚度矩阵，
对于式（８）中的第二项，由于结构高阶模态的特
Ｘ为子结构的位移列向量．
征值远大于 ，该式中含有的这些高阶项就可以忽
它的特征方程可写为
略动力效应而只考虑静力作用，此时所含的各项相
Ｋ ＝Ｍ＠Ａ （２）
当于子结构的高阶模态对其振动响应的贡献．由于
式中：Ａ是式（１）的特征值矩阵， 是被截断的子结
忽略了动力效应，可称为准静力效应．在此，考虑准
构的模态矩阵，把它转化为正则模态矩阵，则子结构
静力方程
的坐标变换为
Ｋ ６＝ｆ或 ６＝Ｇｆ （９）
Ｘ＝ ｐ （３）
式中： 为准静力，Ｇ＝Ｋ 为静柔度矩阵； ６为准
式中Ｐ 为子系统的模态坐标．式（３）可写成分块的
静力位移响应．
形式
根据上述分析，将式（３）写为
６＝
［ ｉ吐 ］（Ｐ Ｐ 。）Ｔ（１Ｏ）
（４） 简化为
６＝ ＋ 。 （１１）
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３０ 北京交通大学学报 第３２卷
其中｛ ｘｋ＝￣ ｋｐ ＇ｍ ｋ （１２）
的联接为例，探讨子结构间的联接过程．
方程．在此，以最具一般性的两个子结构Ａ和Ｂ间
式中： ， 分别为低价模态和高价模态对子结构
响应的贡献；ｐ 和ｐ 为对应的模态坐标．
但通常情况下，高阶模态矩阵 是没有计算
结果的，因而应通过式（９）和式（１１）来得到 ．为此
用矩阵 Ｔ左乘式（９）得
Ｋ ６＝ ＿厂 （１３）
将式（１０）代人式（１３）展开，并考虑模态的正交
性，就可得到没有耦合的方程，再与式（１２）联系起
来，可得
＝
Ｇ （１４）
式中： 是低价模态对子结构响应的贡献；Ｇ 是保
留的低价模态对应的低价柔度矩阵，它可由子结构
的低价模态特性得到．
按照同样的过程，对于剩余的高价模态也可以
得到与式（１４）相似的公式
＝
Ｇｏｆ （１５）
但高价模态没有被计算出来，因而不能像式
（１４）那样来计算高价模态的柔度矩阵Ｇ。（在这里可
称为剩余柔度矩阵）．由式（９）、式（１１）、式（１４）和式
（１５’）得
＝
Ｇｏｆ＋Ｇ （１６）
进而可得剩余柔度矩阵
Ｇ。＝Ｇ—Ｇ （１７）
即可由静柔度矩阵减去低价柔度矩阵得到剩余
柔度矩阵．已知低价柔度矩阵可由式（１４）中的Ｇ
求出，而静柔度矩阵为刚度矩阵的逆矩阵，这样就可
以由低价模态来求剩余柔度矩阵，省去了求解高价
模态的麻烦．
在正弦激励下，子结构按模态坐标展开的振动
方程可由式（６）解耦的形式求得，即
、
＝
（Ａ一０９２Ｊ） ｋ （１８）
由式（８）和式（１８）求得子结构以模态坐标表示的响
应，即
＝
Ｇｏｆ＋ ｐ ｋ （１９）
式中：
．
厂 为子结构的界面力；Ｉ为单位矩阵．
２．２联接子结构生成系统的运动方程
子结构间需要通过一定的关系联接在一起，以
形成整个结构的运动方程．通过分割方程式（１９）可
得子结构的界面位移
ｊ＝Ｇ ＋ ｊ ｍｋ ０２０１
式（１８）和式（２０）是子结构间联接的依据，可以
把分割的子结构联接到一起，形成整个结构的运动
首先对子结构Ａ，可依据式（２０）和式（１８）写出
含有界面力和界面位移的两式
ｊＡ＝Ｇｉｊ ｉＡ＋￣ｊｋＡｐｍｋＡ ０２１
五 』４＝（ＡＡ—ｏ９２Ｊ） （２２）
同样，对于子结构Ｂ也可写出
ＸｊＢ＝Ｇｉｊ ｉＢ＋ ｊｋＢ ｍｋＢ ２３
Ｔ朋 －＝（ＡＡ—ｏ９２Ｊ） Ｍ （２４）
子结构Ａ和Ｂ界面上的界面力协调条件为
ｌｉＡ＋ｌ＿Ｂ＝０ ２５
界面位移协调条件为
一
Ｘ—ｊＢ＝０ （２６）
将式（２１）和式（２３）代人式（２６），并考虑式（２５）
可得
＝
（ Ａ＋ ） （ ｋＢ一 Ａ ｋＡ）
（２７）
代人式（２２）中得
（ ＋ Ｂ） （ ｋＢ一 ｋＡｐ ｋＡ）＝
（Ａ』４一 Ｉ） 』４ （２８）
同理，对子结构Ｂ，由式（２４，２５）和式（２７）得
Ｔ
ｊ
Ｂ
（Ｇ）ｊＢ＋Ｇ』Ｊ』４） （ Ａ ｋＡ一 ｋＢ）＝
（ＡＢ一 Ｉ） Ｂ （２９）
将式（２８）及式（２９）联立即可得到系统整体结构
的运动方程．并可得到结构的固有频率 （ １，２，
…
，
ｋ）及对应模态坐标Ｐ 的模态集 求解结果
用式（２０）及式（２７）就可以返回到结构的物理坐标．
３算例
为了验证改进的基于柔度矩阵自由界面模态综
合法的精度及合理性，以两端固定支承的均匀梁为
例进行验算，并结合Ｈｏｕ的自由界面模态综合法的
计算结果进行对比．图１为两端固支均匀钢梁模型．
不失一般性，将整个梁任意分割为两个子结构Ａ与
Ｂ，求解结构的前１０阶模态的固有频率．
子结构 子结构Ｂ
一
一 一
图１两端固支梁模型
Ｆｉｇ．１ Ｍｏｄｄ ｏｆ ａ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ ｅｎｄｓ ｂｕｉｌｔ—ｉｎ
３．１ ３种情况及其求解
为了进一步揭示结构系统分割的单元数对该改
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第４期 谢云叶等：基于改进剩余柔度矩阵的自由界面模态综合法 ３
进法计算精度的影响，可把整个梁均分成不同的单
及结构精确值列于表１，并求出各自的误差，见图３．
３Ｏ
２６
２２
元数，每个子结构中含不同数目的单元，单元数之和
等于梁的总单元数．
假设将整个梁划分成７个相同的单元，子结构
Ａ中有４个单元（即ＮＡ＝４），子结构曰中有３个单
元（即Ｎ日＝３），见图２．
自由
摹１８
１４
１Ｏ
８
４
ｉ／
Ａ
Ｏ
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １Ｏ
图２分割后的两个子结构
模态阶数
Ｆｉｇ・２ Ｔｗｏ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｅｄ ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ 图３ Ｉ－Ｉｏｕ法与改进法误差比较
又把整个梁均匀地划分成１０个单元和１３个单 Ｆｉｇ
３ Ｃｏｍｐ撕 。 。ｆ ｒｒ０
．
ｂ ｔｗｅｅｎ Ｈ。 ｍ ｔｈ。ｄ ａｎｄ
元．利用改进法求解的结果，连同Ｈｏｕ法的结果，以
表１ ３种情况的计算结果
Ｔａｂ．１ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｃａｓｅｓ
ｔｈｅ ｉｍｐｒ０ ｅｄ ｍｅｔｈｏｄ
．
Ｈｚ
３．２结果分析
其原因除精度提高变得困难外，就是计算规模将随
通过分析可以看出，改进法相对于一般的自由
界面模态综合法来说，求解精度有了明显的提高，且
计算精度值得信赖．
着单元数的增加而显著增加，计算将变得不经济，因
而要综合考虑精度和经济之间的矛盾，找到最佳结
合点．关于该方法的结构单元数及模态阶数对求解
精度的影响机理还不很明确，需做更深入的研究．
参考文献：
［１］Ｈｏｕ Ｓ Ｎ．Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ Ｍｏｄａｌ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｎｄ Ａ
Ｎｅｗ Ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ Ｊ．Ｔｈｅ Ｓｈｏｃｋ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｂｕｌｌｅｔｉｎ，
１９６９，４０：２５—３０．
随着划分单元数的增加，其求解精度将进一步
提高，并与一般求解法有着相似的趋势，说明这些方
法在原理上的相似性和合理性．
由表１和图３还可以看出，对于改进法，随着单
元数的增加，求解精度的提高将变得困难．也就是
说，单元数达到一定程度后，误差将很难再降低．
另外，两种方法的计算误差均为正值，即计算结
果均比精确值大．其原因是由于对梁进行有限离散
［２］Ｋａｒｐｅｌ，Ｒｉｃｃｉ Ｓ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｍｏｄａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｌａｒｇｅ
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｂｙ Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃｌａ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ａｎｄ
Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，１９９７，１１（２）：２４５—２５６．
而造成梁的刚度增大，自然频率随之变大．
［３］Ｓｔｅｎ Ｋｒｅｎｋ．Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｍｏｄｅｓ ａｎｄ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｉｎ Ｄａｍｐｅｄ
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｌａ ＶｉｂｒａｔｉｏｎｓｌＪ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，
２００４，２７０：９８１—９９６．
４ 结语
所提出的改进法是在一般自由界面模态综合法
的基础上，计入了被截断的高阶模态的影响，并改进
［４］王文亮，杜作润．结构振动与动态子结构法［Ｍ］．上海：
复旦大学出版社，１９８５．
ＷＡＮＧ Ｗｅｎｌｉａｎｇ，ＤＵ Ｚｕｏｒｕｎ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ
了柔度矩阵的算法．方程推导简单，计算过程并不繁
琐，因而方法可行．通过算例可以看出，该方法具有
Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｕｂｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｍｅｔｈｏｄ［Ｍ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：Ｆｕｄａｎ Ｕ—
ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
比较高的计算精度，而且计算规模增加有限，因而可
以满足工程上的要求．
对于实际结构，划分的单元数不能无限制增加．
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维普资讯
３２ 北京交通大学学报 第３２卷
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Ｅｙｅ Ｆａｉｌｕｒｅ ｉｎ Ｇｉｇａｃｙｃｌｅ Ｆａｔｉｇｕｅ［ＪＪ．Ｆａｔｉｇｕｅ＆Ｆｒａｃｔｕｒｅ
『５］Ｓｈｉｏｚａｗａ Ｋ，Ｎｉｓｌｌｉｎｏ Ｓ，Ｓｈｉｂａｔａ Ｎ，ｅｔ ａ１．Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ Ｔｅｍ—
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６０１—６０７．